(完整word版)高中数学函数压轴题(精制).doc

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数 f (x)

1 x 3 ax b(a, b R) 在 x

2 处取得的极小值是

4 . 3

3

(1) 求 f (x) 的单调递增区间；

(2) 若 x [ 4,3] 时，有 f ( x)

m 2 m 10 恒成立，求实数 m 的取值范围 .

3

2. 某造船公司年最高造船量是 20 艘 . 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x 2

– 10x 3( 单位：万元 ), 成本函数

为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ).

又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x)

定义为 : Mf (x) = f (x+1)

– f

(x). 求 : （提示：利润

= 产值 – 成本）

(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?

(3)

边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数

(x)

5x

2

5x 1 ( x R) ，函数 y

f ( x) 的图象与 ( x) 的图象关于点 (0, 1

) 中心对称。

2

（ 1）求函数 y f ( x) 的解析式；

（ 2）如果 g 1 ( x)

f ( x) ，

g n (x) f [ g n 1 ( x)]( n N , n

2) ，试求出使 g 2 (x) 0 成

立的 x 取值范围；

（ 3）是否存在区间

E ，使 E

x f (x)

对于区间内的任意实数

x ，只要 n N ，且 n

2 时，都有

g n ( x) 0 恒成立？

4．已知函数： f ( x)

x 1 a

(a R 且 x a)

a x

（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a

－ x)=0 对定义域内的所有

x 都成立 .

（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+

1

,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；

2

+|(x

2

（Ⅲ）设函数 g(x)=x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .

5. 设 f (x) 是定义在 [ 0,1] 上的函数，若存在 x *

(0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x * ] 上单调递增，在 [ x * ,1] 上单调递减，则称 f ( x)

为 [0,1] 上的单峰函数， x * 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 .

对任意的 [0,1] 上的单峰函数 f ( x) ，下面研究缩短其含

峰区间长度的方法 .

（ 1）证明：对任意的 x 1 , x 2 (0,1) ， x 1

x 2 ，若 f (x 1 )

f ( x 2 ) ，则 (0, x 2 ) 为含峰区间；若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 ( x 1 ,1)

为含峰区间；

（ 2）对给定的 r ( 0 r 0.5) ，证明：存在 x 1 , x 2 (0,1) ，满足 x 2 x 1 2r ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不

大于 0.5 r ；

6. 2 ax 2 0 的两根分别为

，函数 f (x)

4x a 设关于 x 的方程 2x

、

2

1

x

（ 1）证明 f ( x) 在区间 ,

上是增函数；

（ 2）当 a 为何值时， f (x) 在区间 ,

上的最大值与最小值之差最小

7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的 x 0，当甲公司投

入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于

f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投

入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

(1)请解释 f 0 , g 0 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？

(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的

宣传费：若甲先投入a112

万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；同

样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n时，乙调整宣传费为b n；试问是否存在lim a n，lim b n的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由 .

n n

8. 设 f ( x) 是定义域在[ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.

（ l ）求证 f (x) 在[ 1, 1] 上是减函数；

（ ll ）如果 f ( x c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 的取值范围；

（ lll ）证明若 1 c 2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.

9.

2 *

已知函数 f （ x）＝ ax ＋bx＋ c，其中 a∈ N ，b∈ N， c∈Z。

（1）若 b>2a，且 f （ sinx ）（ x∈R）的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f （ x）的最小值；

（2）若对任意实数 x，不等式 4x≤ f （ x）≤ 2（ x2＋ 1）恒成立，且存在 x0，使得 f （ x0）<2（ x02＋ 1）成立，求 c 的值。

10.已知函数 f (x) x44x 3ax 21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1 ， 2] 上单调递减；

（1）求 a 的值；

（2）求证： x=1 是该函数的一条对称轴；

（ 3）是否存在实数b，使函数g (x) bx 2 1的图象与函数f(x) 的图象恰好有两个交点？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 .

11. 定义在区间（0，）上的函 f(x) 满足：（1） f(x) 不恒为零；（ 2）对任何实数 x、 q, 都有f ( x q) qf ( x) .

（ 1）求证：方程f(x)=0 有且只有一个实根；

（ 2）若 a>b>c>1, 且 a、 b、 c 成等差数列，求证：

f ( )

? f

( )

f

2 ( )

；

a c b

（ 3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有 f (m) f (n) 2 f ( m n

) ，求证： 3 m 22

2

12. 已知三次函数 f ( x) x3 ax 2 bx c

在 y 轴上的截距是2，且在(, 1), ( 2, ) 上单调递增，在（－1，2）上

单调递减 .

( Ⅰ ) 求函数 f (x)的解析式；

f (x)

(m 1) ln( x m) ，求 h(x) 的单调区间.

( Ⅱ ) 若函数h(x)

2)

3( x

13. 已知函数f ( x) 3x3( a 1)

（ a 0 且 a 1）．

a x