初中数学面积法

F GE 图 2ACBD 面积法1、常见规则图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 .答案：36考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。

分析：连接AC ，在ABC Rt ∆中，已知AB 、BC 根据勾股定理可以求得5=AC ，在ACD ∆中，222AD CD AC =+，根据勾股定理的逆定理确定ACD ∆为直角三角形，四边形ABCD 的面积为ACD ∆和ABC Rt ∆面积之和。

解答：连接AC ，在ABC Rt ∆中，3=AB ，4=BC ，则 522=+=BC AB AC又∵222AD CD AC =+ ∴ACD ∆为直角三角形∴ABC Rt ∆的面积为64321=⨯⨯，ACD Rt ∆的面积为3012521=⨯⨯∴四边形ABCD 的面积为ACD ∆和ABC Rt ∆面积之和，36630=+=S 故答案为 36．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD ∆为直角三角形是解题的关键。

2、如图2，已知ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，若1=∆ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 .答案：7考点：三角形面积与底的正比关系。

分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题。

解答：因为所有线段长之和是BC 的n 倍 ∴图中所有三角形面积之和就是ABC S ∆的n 倍 设1==GF DE ，则2==CG BD ，3=EF ，9=BC ∴图中共有1554321=++++个三角形 则它们在线段BC 上的底边之和为：图 1ACBDF E图 3ACBDECFA BD()()()()[]()()[]EF FG DF EG DE DG GC BG FC BF EC BE DC BD BC ++++++++++++++ 6333559=+⨯+⨯=由此可知BC 上所有线段之和63是BC =9的7倍 ∴图中所有三角形面积之和等于ABC S ∆的7倍． 已知1=∆ABC S ，故图中所有三角形的面积之和为7． 故答案为：7点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。

3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，则_______=∆DEF S .答案：m 83解答：不妨设□ABCD 为长方形，如图，则有m BC AD ==，1==CD AB∴m m m m m S S S S S DCF BEF ADE ABCD DEF 83484=---=---=∆∆∆∆四边形 4、如图4，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .答案：281a考点：正方形的性质；三角形的面积；勾股定理。

分析：观察图形可以发现BCP CDP BCD BPD S S S S ∆∆∆∆--=，所以要求BPD ∆的面积分别计算BPD S ∆、BCD S ∆、CDP S ∆、BCP S ∆即可。

解答：过P 作CD PF ⊥，BC PG ⊥，则AD PF //，CG PF =，CF PG = 观察图形可以发现BCP CDP BCD BPD S S S S ∆∆∆∆--= ∴22121a CD BC S BCD=⋅=∆ 28121a PF CD S CDP =⋅=∆ 24121a PG BC S BCP =⋅=∆ ∴2281418121a a S BPD =⎪⎭⎫⎝⎛--=∆点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了三角形面积的计算，本题中正确计算BPD S ∆、BCD S ∆、CDP S ∆、BCP S ∆是解题的关键。

G FPE 图 4A C BDO图 5ACD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .答案：4考点：三角形的面积。

分析：先设出一个三角形的面积：AOB ∆的面积是x s =1，再用代数式表示出图中其它三角形的面积，利用中间桥OCOA得出方程，进一步求出结果。

解答：设AOB ∆的面积是x s =1，则ADO ∆的面积是x s -=52，BOC ∆的面积是x s -=63，DOC ∆的面积是()x x s +=--=46104∵ABO ∆的边OA 上和BOC ∆的边上的高相等 ∴OC OA s s =31，同理OCOA s s =42 ∴4231s s s s = 即xxx x +-=-456，解得：2=x ∴426=-=∆OBC S点评：解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比等于边之比，从而转化成解方程，求出未知数的值。

6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，则DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的（ ） A 、41 B 、83 C 、85 D 、167 答案：A考点：三角形的面积。

分析：连接AE ．根据三角形的面积公式求得BDE ∆和ABE ∆的面积比，ABE ∆和ABC ∆的面积比，进而求得BDE ∆和ABC ∆的面积比，同理求得ECF ∆、ADF ∆和ABC ∆的面积比，最后求解。

解答：如图，连接AE ∵AB AD 41=，BC BE 41= ∴ABE BDE S S ∆∆=43，ABC ABE S S ∆∆=41∴ABC BDE S S ∆∆=163同理可得：ABC CEF S S ∆∆=163，ABC ADF S S ∆∆=163所以ABC DEF S S ∆∆=167F E CABDS 2 图 6A CBS 1 S 4S 3 甲DAC BE 乙DACBEGF 丙DACB EGF 丁D ACBEG F 戊D ACBE点评：此题考查了根据三角形的面积公式求三角形的面积比的方法。

7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分，则S 2和S 4的大小关系是（ ）A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定 答案：B考点：扇形面积的计算。

分析：设a AC AB 2==，由42S S S S S AC AB ACB +--=半圆半圆扇形S2=S ，根据扇形和圆的面积公式分别计算出它们的面积就可得到2S 和4S 的大小关系。

解答：设a AC AB 2==，根据题意得： 42S S S S S AC AB ACB +--=半圆半圆扇形()4422212360290S S a a =+⨯⨯⨯-⨯=ππ故42S S = 故选B ．点评：本题考查了扇形的面积公式：3602R n S π=，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或R S 21=， 为扇形的弧长，R 为半径。

8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，则矩形的内接三角形的面积总比数（ ）小或相等。

A 、74 B 、1 C 、82 D 、81 答案：B解答：需分类讨论，如图，显然图（甲）及图（乙）中内接三角形面积为1，如图（丙）、（丁）、（戊）中EFG ∆的面积显然小于1，综上所述，故选B .B 卷9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD 中，3=AB ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且︒=∠30BAE ，︒=∠15DAF ，则AEF ∆的面积为 .答案：33-考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。

分析：将ADF ∆绕A 点顺时针方向旋转90°到ABG ∆的位置，得到ABG ∆，得≅∆AEF AEG ∆，要求AEF ∆的面积求AEG ∆即可，且AB 为底边上的高，EG 为底边。

解答：将ADF ∆绕A 点顺时针方向旋转90°到ABG ∆的位置∴AF AG =，︒=∠=∠15FAD GAB ，︒=︒+︒=∠453015GAE ，()︒=︒+︒-︒=∠45153090EAF ∴FAE GAE ∠=∠ 又AE AE = ∴AEG AEF ∆≅∆∴EG EF =，︒=∠=∠60AEG AEF 在ABE Rt ∆中，3=AB ，︒=∠30BAE ∴︒=∠60AEB ，130tan =︒=AB BE在EFC Rt ∆中，()︒=︒+︒-︒=∠606060180FEC ，13-=-=BE BC EC ，()132-=EF ∴()132-=EG ，3321-=⋅=∆AB EG S AEG ∴33-==∆∆AEG AEF S S点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均相等的性质，解本题的关键是巧妙地构建ABG ∆，并且求证AEG AEF ∆≅∆．10、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知ABC ∆三条高的比是5:4:3，且三条边的长均为整数，则ABC ∆的一条边长可能是（ ）A 、10B 、12C 、14D 、16 答案：B考点：约数与倍数；三角形的面积。

专题：推理填空题。

分析：根据题意，设三边为X ，Y ，Z ，运用三角形面积公式得到321212121Za Ya Xa ==，据给出的已知条件得出三边之比，既而得出答案。

解答：解：设三边为X ，Y ，Z 三条对应的高为1a ，2a ，3a 可得：321212121Za Ya Xa == GFCD E 图 11AB已知5:4:3::321=a a a 可得12:15:20::=Z Y X 因为三边均为整数又4个答案分别是10，12，14，16 所以答案应该是12 故选B ．点评：此题考查了学生对公倍数和三角形面积的理解和掌握。

关键是运用三角形面积公式得到321212121Za Ya Xa ==，据给出的已知条件得出三边之比。

11、（第14届“希望杯“邀请赛）如图7，将ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B '，C '，A '，且使AB B B ='，BC C C 2='，AC A A 3='，若1=∆ABC S ，那么C B A S '''∆是（ ）A 、15B 、16C 、17D 、18 答案：D考点：三角形的面积。