单质点地震作用计算的计算方法

度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度 x g (t ) 的变化规律，
ω2 = ζ=
将上式代入式(2-3)，经简化后得：
k m c = c 2ω m
(2-5)
2 km
•
(2-6)
x(t ) + 2ζω x(t ) + ω 2 x(t ) = x g (t )
式(2-7)就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。
(2-18) F (t ) = kx(t ) = mω 2 x(t ) 由上式可以看到，相对位移 x (t ) 与惯性力 F (t ) 成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用 使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。 也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反 应地震影响的等效载荷的原因。 将式(2-16)代入式(2-18)，并注意到 ω' 和 ω 的微小差别，令 ω = ω' ，则得：
三、单质点弹性体系的地震反应
目前， 我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。 这种计 算理论是根据地震时地面运动的实测纪录， 通过计算分析所绘制的加速度 （在计算中通常采 用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一 定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。如果已知体系的自振周期，那 么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度， 进而求出地震 作用。 应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题， 而且， 在一定假设条件 下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。
的通解。由微分方程理论可知，其通解为：
• •
•
(2-8)
x(t ) = e
2
ζω t
( A cos ω′ t + B sin ω′ t)
(2-9)
式中 ω' = ω 1 - ζ ； 其值可由问题的初始条件确定。 当阻尼力为 0 时， 式(2-9) A 和 B 为常数， 变为：
x(t ) = A cos ωt + B sin ωt
后仅产生自由振动。这时，体系的位移可按式(2-3)确定。但式中的 x (0) 和 x (0) 应为微分 脉冲作用后瞬时的位移和速度值。 根据动量定理：
• • •

图 2-2
将 x (0) =0 和 x (0) 的值代入式(2-3)，即可求得时间 τ 作用的微分脉冲所产生的位移反应

x ( 0) = x g ( τ ) dτ
二.地震危害直接
2005 年 2 月 15 日新疆乌什发生 6.2 级地震，经济损失达 15757.43 万元，主要是土木结 构的房屋破坏严重。近期，云南普洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城，造成严重 的财产损失和人员伤亡。目前，因灾受伤群众为３００余人，其中３人死亡。全县各乡（镇） 房屋受损严重， 土木结构房屋墙体倒塌较多， 砖混结构房屋普遍出现墙体开裂， 承重柱移位。 作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。
• •
• •
(2-7)
2．运动方程的解答
式(2-7)是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于 齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者代表自由振动，后者代表强迫运动。 （1） 齐次微分方程的通解 为求方程(2-7)的全部解答，先讨论齐次方程
x(t ) + 2ζω x(t ) + ω 2 x(t ) = 0
m x(t ) + c x(t ) + kx(t ) = F (t )
• •
•
(2-4)
进行比较，不难发现两个运动方程基本相同，其区别仅在于式(2-3)等号右边为地震时地面 运动加速度与质量的乘积；而式(2-4)等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面 运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于 m x g (t ) ，指向与地面运动加速 而 x g (t ) 可由地震时地面加速度记录得到。 为了使方程进一步简化，设
max • •
(2-25)
也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。 4．地震影响系数 为了简化计算，将上述地震系数 k 和动力系数 β 的乘积用 a 来表示，并称为地震影响系 数。
主要内容：1．单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水
平地震作用的基本公式及计算方法。 2．计算水平地震作用关键在于求出地震系数 k 和动力系数β。
一、地震概述
地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产 生的一种地壳振动现象。据统计，地球上每年约有 15 万次以上或大或小的地震。人们 能感觉到的地震平均每年达三千次， 具有很大破坏性的达 100 次。 每次中等程度的地震 就会造成重大损失和人员伤亡， 研究地震的危害和抗震的方法极有必要， 目前已经研究 到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用， 但这些研究都离不开单质点地震作用 的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。
• •
(2-14)
dx = e
ζω ( t - τ )
x g ( τ) ω'
sin ω' (t - τ)dτ
(2-15)
将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加， 就可得到全部加载过程所引起的总反应。 因 此，将式(2-15)积分，可得时间为 t 的位移
x(t ) =
1 t •• x g ( τ )e ω' ∫0
ζω ( t - τ )
sin ω' (t - τ)dτ
(2-16)
上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅（Duhamel）积分。它与齐次微分方 程(2-8)的通解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快 就会衰减，公式(2-9)的影响通常可以忽略不计。 分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度 x g (t ) 直接影响体系地震反应的大 小；而不同频率（或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻 尼比 ζ 对体系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。
ζ=
c c = 2mω cr
(2-13)
上式表示结构的阻尼系数 c 与临界阻尼系数 c r 的比值， 所以 ζ 称为临界阻尼比， 简称阻尼比。 在建筑抗震设计中，常采用阻尼比 ζ 表示结构的阻尼参数。由于阻尼比 ζ 的值很小，它
2
的变化范围在 0.01～0.1 之间， 因此， 有阻尼自振频率 ω' = ω 1 - ζ 和无阻尼自振频率 ω 很 接近，因此计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。 （2） 地震作用下运动方程的特解 进一步考察运动方程(2-7)
如果将式(2-3)代入式(2-17)，并考虑到 c x (t ) 远小于 kx (t ) 而略去不计，则得：
F (t ) = mω ∫ x g ( τ)e
0
• t •
ζω ( t - τ )
sin ω(t - τ)dτ
(2-19)
由上式可见，水平地震作用是时间 t 的函数，它的大小和方向随时间 t 而变化。在结构 抗震设计中，并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。 设 F 表示水平地震作用的最大绝对值，由式(2-19)得：
max • •
• •
max
= kg
代入式(2-21)，并以 FEk 代替 F ，则得：
FEk = mkβg = kβG
max
(2-23) －地震动峰值加速度；
g x 式中 FEk －水平地震作用标准值； S a －质点加速度最大值；
。 k －地震系数； β －动力系数； G －建筑的重力荷载代表值（标准值） 式(2-23)就是计算水平地震作用的基本公式。 由此可见， 求作用在质点上的水平地震作 用 FEk ，关键在于求出地震系数 k 和动力系数 β 。 2．地震系数 k 地震系数 k 是地震动峰值加速度与重力加速度之比，即
k=
g x
g
max
(2-24)
也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响 就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参 数。 3．动力系数 β 动力系数 β 是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之比，即
β=
Sa xg
• • • • •
x(t ) + 2ζω x(t ) + ω 2 x(t ) = x g (t )
可以看到， 方程与单位质量的弹性体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同， 区别仅 • • 在于方程等号右端为地震地面加速度 是随时间而变化的单位质量的“扰力” 。 为了便于求方程(2-7)的特解，我们将 • • “扰力”
(2-10)
式(2-10)为无阻尼单质点体系自由振动的通解， 表示质点做简谐振动， 这里 ω = k / m 为无 阻尼自振频率。对比式(2-9)和式(2-10)可知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数 衰减的简谐振动，其振动频率为 ω' = ω 1 - ζ ， ω' 称为有阻尼的自振频率。 根据初始条件 t=0 可以确定常数 A 和 B ，将 t=0 和 x (t ) = x (0) 代入式(2-9)得：
F = mω ∫ x g ( τ ) e
0
• t •
ζω ( t - τ )
sin ω(t - τ)dτ
max
(2-20) (2-21)
或 这里
• t •
F = mS a S a = ω ∫ x g ( τ )e
0 ζω ( t - τ )
sin ω(t - τ)dτ
max
(2-22)
令
Sa = β x g xg
1．运动方程的建立
为了研究单质点弹性体系的地震反应， 我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。 图 2-1 表示单质点弹性体
m
系的计算简图。
L
H
图 2-1 单质点弹性体系计算简图
由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方程:
m x(t ) + c x(t ) + kx(t ) = m x g (t )
(2-11)
上式就是式(2-8)在给定的初始条件时的解答。 由 ω' = ω 1 - ζ 和 ζ = c / 2mω 可以看出，有阻尼自振频率 ω' 随阻尼系数 c 增大而减小，
2
即阻尼愈大，自振频率愈慢。当阻尼系数达到某一数值 c r 时，即
c = c r = 2mω = 2 km
(2-12)
时，则 ω' = 0 ，表示结构不再产生振动。这时的阻尼系数 c r 称为临界阻尼系数。它是由结构 的质量 m 和刚度 k 决定的，不同的结构有不同的阻尼系数。而

四、 单质点弹性体系水平地震作用
1．水平地震作用基本公式 由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量 m 乘以它的绝对加速度，方向与加 速度的方向相反，即
• • • •
F (t ) = m x g (t ) + x(t )
式中 F (t ) 为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。
(2-17)
单质点地震作用计算的计算方法
所谓单质点弹性体质， 是指可以将结构参与振动的全部质量集中于一点， 用无重量的弹性直 杆支承于地面上的结构．例如水塔、单层房屋等建筑物，由于它们的质量大部分集中于结构 的顶部，所以通常将这些结构简化成单质点体系．目前，计算弹性体系的反应时，一般假定 地基不产生转动， 而把地基的运动分解为一个竖向和两个水平向的分量， 然后分别计算这些 运动分量对结构的影响．
2
A = x ( 0) • • 为确定常数 B ，对时间 t 求一阶导数，并将 t=0， x (t ) = x (0) 代入，得： x(0) + ζω x(0) B= ω'
将 A 、 B 值代入式(2-9)得：
• •
x(t ) = e
ζω t
x(0) + ζω x(0) x(0) cos ω' t + sin ω' t ω'
• •
•
• •
(2-3)
测记录求得； x (t)表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间 t 的函 数，是待求的未知量。 若将式(2-3)与动力学中单质点弹性体系在动荷载 F (t ) 作用下的运动方程
其中 x g (t)表示地面水平位移，是时间 t 的函数，它的变化规律可自地震时地面运动实
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x g (t ) ，所以，在求方程的解答时，可将 x g (t ) 看作
x g (t ) 看作是无穷多个连续作用
的微分脉冲，如图 2-2 所示。现在讨论任一 微分脉冲的作用。设它在 t = τ - dτ 开始作
dτ ，此时微分脉冲的大小 用，作用时间为 • •
为
x g ( τ)dτ 。显然，体系在微分脉冲作用