关系中常用函数详解

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三角函数中的三角恒等式详解

三角函数中的三角恒等式详解三角恒等式是三角函数中的重要概念，在数学中具有广泛的应用和意义。

它们描述了各种三角函数之间的关系和等式。

通过研究和掌握三角恒等式，可以解决各种与三角函数相关的问题，同时也可以更深入地理解三角函数的性质和特点。

1. 正、余、正切三角恒等式正弦、余弦和正切是最基本的三角函数之一，它们之间有许多重要的恒等式。

其中最基本的是正弦和余弦的平方和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。

这一恒等式被称为“三角恒等式之母”，它表明了正弦和余弦函数在单位圆上的关系。

同时，我们还可以通过这个恒等式推导出其他的三角恒等式。

2. 倍角和半角恒等式在三角函数的学习中，学习和掌握倍角和半角恒等式是非常重要的。

倍角恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系，它们形式上的表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，tan2θ =2tanθ/ (1 - tan^2θ)。

这些恒等式在解决实际问题时起到了关键的作用，可以简化计算，并提供了更多的数学工具。

半角恒等式则是倍角恒等式的逆过程，它描述了一个角的正弦、余弦、正切与另一个角的关系。

其中最为常用的是正弦半角恒等式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]，其中的正负号根据θ所处的象限来确定。

3. 和差恒等式和差恒等式描述了两个角的和或差与三角函数之间的关系。

三角函数的和差恒等式分为正弦和余弦的和差恒等式，以及正切的和差恒等式。

最常用的是正弦和余弦的和差恒等式：sin(θ ±φ) = sinθcosφ ±cosθsinφ，cos(θ ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ。

这些和差恒等式在解决三角函数的运算问题时，提供了简化计算的方法，并方便进一步化简表达式。

4. 导数和积分恒等式在微积分中，也存在一些与三角恒等式相关的导数和积分恒等式。

ProE函数关系式详解

不少人对PROE中关系式不是很理解，我对以往在网上发表的有关文章对其错误部分作了修改，添加了一些内容，希望对大家有所帮助。

一）关系式中可以用下列数学函数式表达：1）、正弦sin( )2）、余弦cos( )3)、正切tan( )4)、反正弦asin( )5)、反余弦acos( )6)、反正切atan( )7)、双曲线正弦sinh( )8)、双曲线余弦cosh( )9)、双曲线正切tanh( )以上九种三角函数式所使用的单位均为“度”。

10）、平方根sqrt( )11)、以10为底的对数log( )12)、自然对数ln( )13)、e的幂exp( )14)、绝对值abs( )15)、不小于其值的最小整数（上限值）ceil( )16)、不超过其值的最大整数（下限值）floor( )可以给函数ceil和floor加一个可选的自变量，用它指定要圆整的小数位数。

带有圆整参数的这些函数的语法是：ceil(parameter_name或number, number_of_dec_places)floor (parameter_name 或number, number_of_dec_places)其中的parameter_name或number意为参数名称或者一个带小数位的精确数值后面跟随着的number_of_dec_places意为十进位的小数位数，是可选值：A）可以被表示为一个数或一个使用者自定义参数。

如果该参数值是一个实数，则被截尾成为一个整数。

B）它的最大值是8。

如果超过8，则不会舍入要舍入的数（第一个自变量），并使用其初值。

C）如果不指定它，则功能同前期版本一样。

使用不指定小数部分位数的ceil和floor函数，其举例如下：ceil (10.2) 值为11floor (10.2) 值为10使用指定小数部分位数的ceil和floor函数，其举例如下：ceil (10.255, 2) 等于10.26ceil (10.255, 0) 等于11 [ 与ceil (10.255)相同]ceil(10.25531415926,7)等于10.2553142ceil(10.25531415926,8)等于10.25531416floor (10.255, 2) 等于10.25floor (10.255, 0) 等于10.Floor(10.2531415926,7)等于10.2553141Floor(10.2531415926,8)等于10.25531415举例一：以上函数式通常用的四种表达式如下图：以上两种曲线是在proe中的曲线—从方程—指定坐标系（选系统中固有的坐标系）—选笛卡儿坐标，就会出现公式界面，再输入如上公式。

proe关系式详解

在ProE关系式中我们可以使用系统函数，ProE对数学函数有强大的支持能力,通过这些函数我们可以来进行一些特定的运算得到所期望的值，这里就对一些比较常用的系统函数进行一个概括总结。

1、数学函数在ProE中，我们可以使用灵活。

的数学函数,常用的函数列表如下：sin(）、cos()、tan(）函数：这三个都是数学上的三角函数，分别使用角度的度数值来求得角度对应的正弦、余弦和正切值,比如：A=sin(30)，A=0.5B=cos(30），B=0.866C=tan（30），C=0。

577asin（)、acos(）、atan()函数：这三个是上面三个三角函数的反函数，通过给定的实数值求得对应的角度值，如:A=asin（0.5)，A=30B=acos（0。

5），B=60C=atan(0.5）,C=26.6log():求得10为底的对数值，如:A=log（1）,A=0A=log（10),A=1A=log(5)，A=0.6989ln（)：求得以自然数e为底的对数值，e是自然数，值是2.718。

.。

,如：A=ln(1），A=0 A=ln(5)，A=1。

609exp()：求得以自然数e为底的开方数,如:A=exp（2）,A=e^2=7。

387abs（):求得给定参数的绝对值，如：A=abs(-1.6)，A=1。

6B=abs(3.5），B＝3。

5max()、min（）：求得给定的两个参数之中的最大最小值，如:A=max(3.8,2.5),A=3。

8B=min（3.8,2。

5）,B=2.5mod(）:求第一个参数除以第二个参数得到的余数,如：A=mod(20,6）,A=2B=mod（20。

7,6。

1），B=2。

4sqrt（）：开平方,如：A=sqrt(100）,A=10；B=sqrt(2)，B=1.414pow()：指数函数,如A=pow(10,2)，A=100B=pow(100,0.5），B=10ceil（)：不小于其值的最小整数floor(）：不超过其值的最大整数ceil（10.2)值为11floor（10。

lmivar函数

Lmivar函数详解一、概述Lmivar函数是一种在统计分析中常用的函数，主要用于处理和分析多变量数据。

它的主要功能是对数据进行线性混合模型的分析，通过这种方式，我们可以更好地理解数据之间的关系，以及各种因素对结果的影响。

二、函数定义Lmivar函数的基本定义如下：lmiv.a(formula, data)其中，formula是一个公式，描述了我们想要进行的统计模型；data是我们的数据集。

三、参数说明1. formula：这是一个公式，用于描述我们想要进行的统计模型。

在这个公式中，我们可以用~符号来分隔因变量和自变量。

例如，如果我们想要预测一个因变量y，基于两个自变量x1和x2，我们的公式应该是y ~ x1 + x2。

2. data：这是我们的数据集。

这个数据集应该包含我们想要分析的所有变量。

四、返回值Lmivar函数返回一个列表，包含了所有模型的摘要信息。

每个模型的摘要信息包括以下几部分：1. 系数：这是每个自变量的系数，表示了这个自变量对因变量的影响。

系数的正负表示了影响的方向，系数的大小表示了影响的强度。

2. R方：这是模型的R方值，表示了模型解释因变量变异的能力。

R方值越接近1，表示模型的解释能力越强。

3. F统计量：这是模型的F统计量，用于检验模型的整体显著性。

如果F统计量的p值小于0.05，那么我们通常认为模型是显著的。

五、示例以下是一个简单的示例，展示了如何使用Lmivar函数：# 首先，我们加载了数据data(mtcars)# 然后，我们使用Lmivar函数进行了线性混合模型的分析result <- lmiv.a(mpg ~ cyl + disp, data = mtcars)# 最后，我们打印出了模型的摘要信息print(summary(result))在这个示例中，我们使用了mtcars数据集，这个数据集包含了32种不同型号的汽车的各种参数。

我们想要预测汽车的每加仑行驶英里数（mpg），基于汽车的气缸数（cyl）和排气量（disp）。

会计常用函数知识点总结

一、常用函数的概念在Excel中，函数是一种预定义的公式，用于执行特定的计算或任务。

在会计领域，有许多常用的函数可以帮助会计师进行数据分析、财务报表的制作和预算管理等工作。

常用函数可以大大提高会计工作的效率和准确性。

二、常用函数的分类在会计领域，常用函数可以分为数学和统计函数、逻辑函数、日期和时间函数、文本函数以及查找与引用函数等几类。

1. 数学和统计函数：包括SUM、AVERAGE、MAX、MIN、STDEV等函数，用于进行数学和统计计算。

2. 逻辑函数：包括IF、AND、OR、NOT等函数，用于进行逻辑判断和条件计算。

3. 日期和时间函数：包括DATE、TODAY、NOW、YEAR、MONTH等函数，用于处理日期和时间数据。

4. 文本函数：包括LEFT、RIGHT、MID、LEN、CONCATENATE等函数，用于处理文本数据。

5. 查找与引用函数：包括VLOOKUP、HLOOKUP、INDEX、MATCH等函数，用于查找和引用数据。

三、常用函数的使用技巧1. 在会计工作中，会计师可以使用SUM函数来进行财务报表的汇总计算。

例如，可以使用=SUM(A1:A10)来计算A1至A10单元格的和。

2. 逻辑函数IF可以帮助会计师进行复杂的条件计算。

例如，可以使用=IF(A1>0,"正数","负数")来判断A1单元格中的数值是否为正数。

3. 日期和时间函数可以帮助会计师处理账期、账龄等相关数据。

例如，可以使用=YEAR(A1)来提取A1单元格中日期的年份。

4. 文本函数可以帮助会计师处理公司名称、产品名称等文本数据。

例如，可以使用=CONCATENATE(A1,"-",B1)来将A1和B1单元格中的文本数据连接起来。

5. 查找与引用函数可以帮助会计师在大量数据中快速查找到需要的数据。

例如，可以使用=VLOOKUP(A1,Sheet2!A1:B10,2,FALSE)来在Sheet2中查找A1单元格中的数值对应的第二列数据。

postgre常用函数

postgre常用函数PostgreSQL是一种开源对象关系数据库管理系统，它具有许多优良的功能和特性，其中包括一组强大的内置函数。

在本文中，我们将介绍PostgreSQL中的一些常用函数，以帮助您更好地了解PostgreSQL。

数学函数1. abs(x) -返回参数x的绝对值。

2. cbrt(x) -返回x的立方根。

3. ceil(x) -返回大于或等于x的最小整数。

4. floor(x) -返回小于或等于x的最大整数。

5. mod(x, y) -返回x除以y的余数。

6. pi() - 返回π的值。

7. round(x, d) -将x四舍五入到d位小数。

字符串函数日期和时间函数1. age(date1, date2) -返回date1与date2之间的年龄。

2. extract(field from timestamp) -从时间戳中提取指定的日期或时间部分，如年、月、日、时、分、秒等。

3. now() -返回当前日期和时间。

4. date_part(field, timestamp) -与Extract类似，也是从时间戳中提取指定的日期或时间部分。

5. timestampadd(interval, n, timestamp) -在时间戳中添加指定的时间间隔。

6. timestampdiff(interval, timestamp1, timestamp2) -计算时间戳之间的时间间隔。

聚合函数1. avg(expression) -计算指定表达式的平均值。

2. count(expression) -返回指定表达式的行数。

3. max(expression) -返回指定表达式的最大值。

4. min(expression) -返回指定表达式的最小值。

5. sum(expression) -计算指定表达式的总和。

其他常用函数总结PostgreSQL是一种十分强大的数据库管理系统，这些内置函数大为增强了其实用价值和功能。

高一数学函数重点知识点归纳总结三篇

高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。

高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。

f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

三角函数公式大全详解

三角函数公式大全详解一、什么是三角函数？三角函数是一类函数，它们以三角形为基本图形，通过三角形任意两条边和它们之间的夹角代表某一比例关系。

它们是以平面角度（θ）来描述某一比例关系，可以将角度θ在特定范围内运用到具有实际意义的函数中，比如描述的是三角形的大小或形状。

二、三角函数的九大公式（正弦定理、余弦定理、正切定理）1. 正弦定理：a2=b2+c2-2bccosA（a、b、c分别表示三角形的三边的长度，A表示夹角）；2. 余弦定理：a2=b2+c2-2accosB（a、b、c分别表示三角形的三边的长度，B表示夹角）；3. 正切定理：tanA/tanB=tan(A+B)/tan(A-B)（A、B分别表示三角形两个内角的大小）；4. 正弦函数：y=sinx（x为角度，sinx表示一个三角形的第三边与夹角的长度的比率）；5. 余弦函数：y=cosx（x为角度，cosx表示一个三角形的第二边与夹角的长度的比率）；6. 正切函数：y=tanx（x为角度，tanx表示一个三角形第一边与夹角的长度的比率）；7. 余切函数：y=cotx（x为角度，cotx表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率）；8. 正割函数：y=secx（x为角度，secx表示一个三角形第二边与夹角的长度的比值的倒数）；9. 余割函数：y=cscx（x为角度，cscx表示一个三角形第三边与夹角的长度的比值的倒数）。

三、三角函数的反函数1. 反正弦函数：y=arcsinx（x表示一个三角形的第三边与夹角的长度之比，arcsinx表示求三角形夹角的大小θ）；2. 反余弦函数：y=arccosx（x表示一个三角形的第二边与夹角的长度之比，arccosx表示求三角形夹角的大小θ）；3. 反正切函数：y=arctanx（x表示一个三角形第一边与夹角的长度之比，arctanx表示求三角形夹角的大小θ）；4. 反余切函数：y=arccotx（x表示一个三角形第一边与夹角的长度相反的比率，arccotx表示求三角形夹角的大小θ）；5. 反正割函数：y=arcsecx（x表示一个三角形第二边与夹角的长度的倒数，arcsecx表示求三角形夹角的大小θ）；6. 反余割函数：y=arccscx（x表示一个三角形第三边与夹角的长度的倒数，arccscx表示求三角形夹角的大小θ）。

经济学中常用的函数

微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。

这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。

影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。

忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =，（1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。

产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。

注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。

例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。

下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ，二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂函数 )0,0(>>=-ααA AP D 。

二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。

所以，供给和需求是相对的概念，这就是说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。

产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。

影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。

忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =，（1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。

注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。

例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。

因而价格上涨供给量反而减少。

经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ，二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=，幂函数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。

ProE中的函数理解

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Ceil(10.2)-->11 最小整数为 11.
floor(-10.2)-->-11 整数为-11.
floor(10.2)-->10 大整数为 10.
比 10.2 大的比-10.2 小的最大
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A=max(3.8,2.5) A=3.8 B=min(3.8,2.5) B=2.5
mod()函数求第一个参数除以第二个参数得到的余数，如：
A=mod(20,6) A=2 B=mod(20.7,6.1) B=2.4
sqrt()函数开平方，如： A=sqrt(100) A=10; B=sqrt(2) B=1.414...
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sinh()、cosh()、tanh()函数
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。
cname: 代表中文名称，输入‘基本件’ x: 代表件号，一般情况下，明细表中件号一栏，可以和零件名称（model name）保持一致，

函数关系

无人愿意购买此商品.
2. 供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
规模报酬不变；可见，当a 1 时，如果投入增加一倍，产出增当 a 1 时，加不到一倍，即规模报酬递减；
如果投入增加一倍，产出增当 a 1 时，
加不止一倍，即规模报酬递增 .
4. 成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
解由题意知 P 20 （万元） ,
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 L(10) ( 20 18 10 0.5 102 ) 110(万元).
故f1 ( x ), f 2 ( x )不互为反函数,经过一来一回的兑换
后, x美元变成0.9856 x美元,即发生了亏损. 例如：1000美元经过这样的来回兑换，将亏损14.4美元.
练习题
设生产与销售某种商品的总收入函数 R 是产量 X 的二次函数，经统计得知当产量分别为 0,2,4 时，总收入 R 为 0,6,8，试确定 R 关于 X 的函数式。 2. 某企业对某产品制定如下销售策略：购买 20 公斤以下（包括 20 公斤）部分，每公斤价 10 元；购买量小于等于 200 公斤时，其中超出 20 公斤的部分，每公斤 7 元；购买超过 200 公斤的部分，每公斤价 5 元，试写出购买量 X 公斤的费用函数 C(X)。 1.

初三数学三角函数值计算方法详解

初三数学三角函数值计算方法详解三角函数是数学中常见的一类函数，它们的计算与应用广泛存在于数学的各个领域中。

对于初三学生来说，掌握三角函数值的计算方法是非常重要的，因为它是进一步学习和应用三角函数的基础。

本文将详细介绍初三数学中三角函数值的计算方法。

1. 正弦函数的计算方法正弦函数（简写为sin）常用于描述角度和边长之间的关系。

要计算一个角度的正弦值，需要按照以下步骤进行：a. 将角度转换为弧度：首先，将角度转换为弧度，用弧度与度之间的换算公式：弧度 = 度* π / 180。

这就是说，角度的弧度值等于角度值乘以圆周率π再除以180。

b. 计算正弦值：经过弧度转换后，使用计算器或查表等方式，找到对应角度的正弦值。

注意，正弦函数的值是一个介于-1和1之间的实数。

2. 余弦函数的计算方法余弦函数（简写为cos）也常用于描述角度和边长之间的关系。

要计算一个角度的余弦值，需要进行以下步骤：a. 将角度转换为弧度：与计算正弦值时的步骤相同，首先将角度转换为弧度。

同样地，用弧度与度之间的换算公式：弧度 = 度* π / 180。

b. 计算余弦值：经过弧度转换后，使用计算器或查表等方式，找到对应角度的余弦值。

和正弦函数一样，余弦函数的值也是介于-1和1之间的实数。

3. 正切函数的计算方法正切函数（简写为tan）常用于描述角度和边长之间的关系。

要计算一个角度的正切值，需要进行以下步骤：a. 将角度转换为弧度：同样地，将角度转换为弧度，使用换算公式：弧度 = 度* π / 180。

b. 计算正切值：经过弧度转换后，使用计算器或查表等方式，找到对应角度的正切值。

正切函数的值可以是任何实数。

4. 切比雪夫扩展函数的计算方法除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他类型的三角函数，其中切比雪夫扩展函数（简写为sec、cosec、cot）是常见的。

计算这些函数的值需要按照以下步骤进行：a. 先计算对应的余弦值、正弦值或正切值；b. 根据之前得到的值，求取其倒数来得到相应的切比雪夫扩展函数值。

高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数在上是减函数,则的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称指数函数对数函数一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点０,1 1,０图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称；函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

初中数学一次函数知识点详解

初中数学一次函数知识点详解初中数学一次函数知识点详解一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像――一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的.任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典

§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4．常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类深度解析题型一函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．（2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二分段函数例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习（1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为。

mysql round函数用法

MySQL Round函数用法详解MySQL是一种常用的关系型数据库管理系统，它提供了许多功能强大的函数来处理数据。

其中，Round函数是一个常用的数值函数，用于对数字进行四舍五入。

Round函数的语法如下：```ROUND(X, D)```其中，X表示要进行四舍五入的数字，D表示要保留的小数位数。

下面将详细介绍Round 函数的使用方法。

1. 四舍五入到整数如果D为0，则Round函数将四舍五入到最接近的整数。

例如：```SELECT ROUND(3.5, 0); -- 结果为4SELECT ROUND(3.4, 0); -- 结果为3```2. 四舍五入到指定小数位数如果D大于0，则Round函数将四舍五入到指定的小数位数。

例如：```SELECT ROUND(3.14159, 2); -- 结果为3.14SELECT ROUND(3.14159, 3); -- 结果为3.142```3. 四舍五入到负数小数位数如果D小于0，则Round函数将四舍五入到指定的负数小数位数。

例如：```SELECT ROUND(1234.5678, -1); -- 结果为1230SELECT ROUND(1234.5678, -2); -- 结果为1200```4. 处理特殊情况在使用Round函数时，需要注意一些特殊情况。

例如，当要四舍五入的数字恰好等于两个整数的中间值时，Round函数会将结果舍入到最接近的偶数。

例如：```SELECT ROUND(2.5, 0); -- 结果为2SELECT ROUND(3.5, 0); -- 结果为4```此外，当要保留的小数位数大于数字本身的小数位数时，Round函数会在小数部分补0。

例如：```SELECT ROUND(3.14, 4); -- 结果为3.1400```综上所述，MySQL的Round函数是一个非常实用的数值函数，可以方便地对数字进行四舍五入。

无论是进行简单的四舍五入到整数，还是精确到指定的小数位数，Round函数都能满足需求。

dax left join 函数

dax left join 函数DAX Left Join函数详解在Power BI和Excel中，DAX函数是非常重要的一部分，它可以帮助我们进行数据建模和数据分析。

其中，DAX Left Join函数是一种非常常用的函数，它可以帮助我们将两个表格进行左连接，从而实现数据的合并和分析。

本文将详细介绍DAX Left Join函数的使用方法和注意事项。

一、DAX Left Join函数的基本语法DAX Left Join函数的基本语法如下：LEFT JOIN(<表格1>, <表格2>, <关联列>)其中，<表格1>和<表格2>是需要进行左连接的两个表格，<关联列>是两个表格中需要进行关联的列。

需要注意的是，<关联列>必须在两个表格中都存在，并且数据类型必须相同。

二、DAX Left Join函数的使用方法1. 创建两个表格我们需要创建两个表格，分别为“销售表”和“客户表”。

其中，“销售表”包含了销售记录的详细信息，包括销售日期、销售金额、客户ID等；“客户表”包含了客户的详细信息，包括客户ID、客户名称、客户地址等。

2. 创建关联关系在Power BI或Excel中，我们需要创建关联关系，将“销售表”和“客户表”进行关联。

具体方法是，在“销售表”中选择“客户ID”列，在“建模”选项卡中选择“关联表”命令，然后选择“客户表”和“客户ID”列进行关联。

3. 使用DAX Left Join函数进行左连接在Power BI或Excel中，我们可以使用DAX公式编辑器来编写DAX函数。

具体方法是，在“公式栏”中输入DAX公式，然后按下“Enter”键即可。

在本例中，我们需要使用DAX Left Join函数来将“销售表”和“客户表”进行左连接。

具体方法是，在公式栏中输入以下公式：Sales = LEFT JOIN(Sales, Customers, Customers[CustomerID])其中，“Sales”是新建的表格名称，“Sales”和“Customers”分别是需要进行左连接的两个表格，“Customers[CustomerID]”是需要进行关联的列。