第九章 杆件的变形及刚度计算
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A
F
B x
l
第九章
解：
杆件的变形及刚度计算
w
F
A B
x
（1） 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
2 Fb Pbl 2 2 3 w | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
第九章
杆件的变形及刚度计算
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
A C' C B x w挠度（
转角
B
第九章
杆件的变形及刚度计算
梁变形后的轴线称为挠曲线 .
3.挠曲线 ——
挠曲线方程为
w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
第九章
杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
一、基本概念
1.挠度 横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B x w挠度 C'
B'
第九章
2.转角
杆件的变形及刚度计算
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示 w
l
l 0
FN ( x) dx EA
第九章
杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl GI p M x 180 [ ] GI
第九章
杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
杆件的变形及刚度计算
F
D点的连续条件
w2 在 x = a 处 w1 w1 w2
边界条件 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w 2 0
FRA
A
1
D
2
FRB
B
a
b
l
代入方程可解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
第九章
杆件的变形及刚度计算
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
2
2 Fb Fbl 2 2 3 y | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
第九章
杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
A a l D B
b
第九章
杆件的变形及刚度计算
x
解: 梁的两个支反力为
b FRA F l a FRB F l
两段梁的弯矩方程分别为
F FRA
A 1 a D b l 2
FRB
B
x
b M1 FRA x F x l b M2 F x F ( x a) l
(0 x a ) (a x l )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A B
wA 0
A
wB 0
B
wA 0
A 0
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
是叠加原理.
第九章
杆件的变形及刚度计算
1.载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用
于结构而引起的变形的代数和.
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
到的冲击和振动作用.
F 2
F 2
F
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FP FP
u
u [u ]
FN l l EA
b 挠曲线方程 EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
第九章
2
(4)
第九章
杆件的变形及刚度计算
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2.结构形式叠加（逐段刚化法）
第九章
杆件的变形及刚度计算
F q
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
第九章
杆件的变形及刚度计算
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
M ( x) w" EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
积分法的原则
（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁 的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.
（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而 简化了确定积分常数的工作.
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9–4 用叠加法求弯曲变形
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
第九章
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
max
Fab( l a ) B 6lEI
第九章
杆件的变形及刚度计算
简支梁的最大挠度应在
w' 0 处
先研究第一段梁,令 w1 0 得
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 1 w 1' 6lEI
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
（a）（0 x a）
Fb 2 2 2 ( 1 w1 l b 3x ) 6lEI Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
（b）（ a x l ）
Fb l 1 2 2 2 2 [ ( x a ) x ( l b )] 2 w 2' 2lEI b 3 Fb l 3 3 2 2 [ ( ( x a ) w2 x l b ) x] 6lEI b
第九章
杆件的变形及刚度计算
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
b 挠曲线方程 EIw 1 M 1 F x l
转角方程
b x2 F EIw1 C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
第九章
杆件的变形及刚度计算
（b）（ a x l ）
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
第九章
杆件的变形及刚度计算
q A x B
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
FRA FRB
ql 2
FRA
tan w ' w '( x )
w
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
第九章
ห้องสมุดไป่ตู้
杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,向下为负. 转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
A C B x
挠曲线
C'
w挠度
转角
B
第九章
杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
第九章
杆件的变形及刚度计算
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
2 3 2
M ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
w
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时: 曲线向上凸时:
M
M
w 0 M 0 w
M
M 0 w 0
M
因此,
w与 M 的正负号相同
O
M 0 w 0
x
x
O
w 0 M 0
F
B x
l
第九章
解：
杆件的变形及刚度计算
w
F
A B
x
（1） 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
2 Fb Pbl 2 2 3 w | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
第九章
杆件的变形及刚度计算
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
A C' C B x w挠度（
转角
B
第九章
杆件的变形及刚度计算
梁变形后的轴线称为挠曲线 .
3.挠曲线 ——
挠曲线方程为
w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
第九章
杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
一、基本概念
1.挠度 横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B x w挠度 C'
B'
第九章
2.转角
杆件的变形及刚度计算
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示 w
l
l 0
FN ( x) dx EA
第九章
杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl GI p M x 180 [ ] GI
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杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
杆件的变形及刚度计算
F
D点的连续条件
w2 在 x = a 处 w1 w1 w2
边界条件 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w 2 0
FRA
A
1
D
2
FRB
B
a
b
l
代入方程可解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
第九章
杆件的变形及刚度计算
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
2
2 Fb Fbl 2 2 3 y | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
第九章
杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
A a l D B
b
第九章
杆件的变形及刚度计算
x
解: 梁的两个支反力为
b FRA F l a FRB F l
两段梁的弯矩方程分别为
F FRA
A 1 a D b l 2
FRB
B
x
b M1 FRA x F x l b M2 F x F ( x a) l
(0 x a ) (a x l )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A B
wA 0
A
wB 0
B
wA 0
A 0
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
是叠加原理.
第九章
杆件的变形及刚度计算
1.载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用
于结构而引起的变形的代数和.
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
到的冲击和振动作用.
F 2
F 2
F
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FP FP
u
u [u ]
FN l l EA
b 挠曲线方程 EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
第九章
2
(4)
第九章
杆件的变形及刚度计算
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
2.结构形式叠加（逐段刚化法）
第九章
杆件的变形及刚度计算
F q
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
第九章
杆件的变形及刚度计算
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
M ( x) w" EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
积分法的原则
（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁 的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.
（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而 简化了确定积分常数的工作.
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9–4 用叠加法求弯曲变形
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章
杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
第九章
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
max
Fab( l a ) B 6lEI
第九章
杆件的变形及刚度计算
简支梁的最大挠度应在
w' 0 处
先研究第一段梁,令 w1 0 得
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 1 w 1' 6lEI
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
（a）（0 x a）
Fb 2 2 2 ( 1 w1 l b 3x ) 6lEI Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
（b）（ a x l ）
Fb l 1 2 2 2 2 [ ( x a ) x ( l b )] 2 w 2' 2lEI b 3 Fb l 3 3 2 2 [ ( ( x a ) w2 x l b ) x] 6lEI b
第九章
杆件的变形及刚度计算
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
b 挠曲线方程 EIw 1 M 1 F x l
转角方程
b x2 F EIw1 C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
第九章
杆件的变形及刚度计算
（b）（ a x l ）
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
第九章
杆件的变形及刚度计算
q A x B
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
FRA FRB
ql 2
FRA
tan w ' w '( x )
w
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
第九章
ห้องสมุดไป่ตู้
杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,向下为负. 转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
A C B x
挠曲线
C'
w挠度
转角
B
第九章
杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
第九章
杆件的变形及刚度计算
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
2 3 2
M ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
w
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时: 曲线向上凸时:
M
M
w 0 M 0 w
M
M 0 w 0
M
因此,
w与 M 的正负号相同
O
M 0 w 0
x
x
O
w 0 M 0