几种分式型递推数列的通项求法

几种分式型递推数列的通项求法

李云皓

(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000)

1.1 引言

数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。

2.1 基本概念

设数列{a n }的首项为a 1，且

a n+1=α1a n +β1

α2a n +β2

(n =1,2,⋯) ①

其中αi 、βi (i =1,2,⋯)为常数，同时α2≠0,

α1α2

≠

β1β2

，我们称这个递推公式为

分式递推式，而数列{a n }称为由分式递推式给定的数列。显然，该数列的递推式也可写成

a n+1a n +αa n+1+βa n +γ=0 (n =1,2,⋯) ②

2.2 递推式的特征方程与特征根

我们先来看一个引例：

首项为a 1，由递推式a n+1a n +αa n+1+βa n =0 (n =1,2,⋯)给定的数列{a n }的通项公式我们是会求的：

a n+1a n +αa n+1+βa n =0

∴1+αa n +βa n+1

=0

即

1a n+1=−αβa n +1

β 为常系数等比差数列（由递推式a n+1=αa n +β给定的数列，其中α、β为常数），该数列的通项是熟知的，为

a n =αn−1(a 1−

β1−α)+β

1−α

于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。

下面给出特征方程推导过程： 数列的递推式为

a n+1=α1a n +β1

α2a n +β2

两边同时减去x 得

a n+1−x =

α1a n +β1

α2a n +β2

−x

通分后得

a n+1−x =(α1−xα2)a n +β1−xβ2

α2a n +β2

∴a n+1−x =(α1−xα2)(a n −x )+β1−xβ2+x (α1−xα2)

α2(a n −x)+β2+xα2

令

β1−xβ2+x (α1−xα2)=0

即

α1x +β1−x (α2x +β2)=0

∴x =α1x +β1

α2x +β2

③

方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，x 为特征根。

3.1 例题（第一部分）

下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。

[例1]在数列{a n }中，a 1=4，且a n+1=3a n +2

a n +4

，求数列{a n }的通项公式。

解：特征方程x =3x +2

x +4

有两个不等根：x 1=1，x 2=−2

{ a n+1−1=

3a n +2a n +4−1=2a n −2

a n +4

a n+1+2=3a n +2a n +4+2=

5a n +10a n +4

两式相除得

a n+1−1a n+1+2=2(a n −1)

5(a n +2)

由此可见，数列{a n −1a n +2}是以12为首项，2

5

为公比的等比数列。

∴a n −1a n +2=(25)n−1·a 1−1a 1+2=(25

)n−1

·2 ∴a n =2n−1+5n−15n−1−2n−2

(n =1,2,⋯)

故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。

[例2]在数列{a n }中，a 1=3，且a n+1=2a n −1

9a n +8

，求数列{a n }的通项公式。

解：特征方程x =2x −19x +8有两个重根：x 1=x 2=−1

3

a n+1+13=2a n −19a n +8+13=5(3a n +1)

3(9a n +8)

两边同乘3得

3a n+1+1=5(3a n+1)

9a n+8

=

5(3a n+1)

3(3a n+1)+5

两边取倒数

1

3a n+1+1=

3

5

+

1

3a n+1

∴

1

3a n+1

=

3

5

(n−1)+

1

3a1+1

=

6n−5

10∴a n=

5−2n

6n−5

(n=1,2,⋯)

故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。

[例3]在数列{a n}中，a1=3，且a n+1=

2

2−a n，求数列{a n

}的通项公式。

解：特征方程x=

2

2−x有两个虚数根：x1

=1+i，x2=1−i

{a n+1−(1+i)=

2

2−a n

−(1+i)=

(1+i)a n−2i

2−a n

=(1+i)·

a n−(1+i)

2−a n

a n+1−(1−i)=

2

2−a n

−(1−i)=

(1−i)a n+2i

2−a n

=(1−i)·

a n−(1−i)

2−a n

两式相除得

a n+1−(1+i) a n+1−(1−i)=

1+i

1−i

·

a n−(1+i)

a n−(1−i)

∴a n−(1+i)

a n−(1−i)

=(

1+i

1−i

)

n−1

·

a1−(1+i)

a1−(1−i)

=i n−1·

2−i

2+i ∴a n=

1+3i−i n−1+3·i n

2+i−2·i n−1+i n

(n=1,2,⋯)

由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。

3.2 例题（第二部分）

下面我们来看另一类型的分式递推式。

[例4]在数列{a n}中，a1=a1，且a n+1=

a n2

2a n+a，求数列{a n

}的通项公式。

解：两边取倒数有：

1 a n+1=

2a n+a

a n2

=

2

a n

+

a

a n2

=a(

1

a n2

+2·

1

a

·

1

a n

) 1

a n+1

+

1

a

=a(

1

a n2

+2·

1

a

·

1

a n

+

1

a2

)

1

a n+1

+

1

a

=a(

1

a n

+

1

a

)

2