第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介

u r bi 0 r u 1 fi 0 r w z 2 0 c i zr z c i bi u w z r ui bm 0 w i f m 0 u j 0 c m w j c m bm um wm
应变: 应力: 由于是轴对称问题，所以以上力学参量 只是r和z的函数，与θ无关.
(3) 基本方程
①平衡方程
②几何方程
③物理方程
三、 三结点单元位移函数
轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整 个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三 角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为
等参单元的基本概念
局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。
整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐 标变换得来的，称为实际单元。 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参 数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。采用等 参变换的单元，称为等参单元。
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
0 0 ci bi
由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵
1 E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) 1 0

1 1

1

1 0

1 0
1
0 0 1 2 2(1 ) 0
第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的旋转体。
(2) 边界条件轴对称：要求结构受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
源自文库Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
单元刚度矩阵为
[ K ]e 2 [ B ]T [ D][ B ]rdrdz
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到。
第11章 等参单元
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状不太 规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复杂的边界上， 有时只能采用不规整单元；但直接研究这些不规整单元则 比较困难，如何利用规整单元（如三角形单元、矩形单元、 正六面体单元）的原理来研究所对应的不规整单元的表达 式? 这将涉及到几何形状映射、坐标系变换(等参变换、 非等参变换)等问题。
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci