北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案
北京西城区高三期末数学试题答案
……………… 2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 P(M ) 19 39 29 .
100 50 ……………… 3 分
（Ⅱ）由题意， X 的所有可能取值为：0，1，2.
……………… 4 分
因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人
(D)第 四 象 限
3.在△ABC 中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=
(A)4
(B)2 2
(C)2 3
(D)2 6
4.设 x>y, 且 xy≠0, 则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是
(A)x1
1 >
y
(B)ln|x|>ln|y|
(C)2-x <2-y
(D)x2>y2
5.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a 的取值范围为
ABB1A1 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AC1D ; (Ⅱ)求二面角 C-AC1-D 的余弦值; (Ⅲ)试判断直线 A1B1 与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明.
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页 (共5页)
18.(本 小 题 满 分 13 分 )
(B)必 要 而 不 充 分 条 件
(C)充 要 条 件
(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
7.紫 砂 壶 是 中 国 特 有 的 手 工 制 造 陶 土 工 艺 品 , 其 制 作 始 于 明 朝 正 德 年 间 .紫 砂 壶 的 壶 型 众
2020年1月北京市西城区高三上学期期末数学试题(pdf版含答案)
则实数k 的取值范围为
(A)(－1,+ ∞)
(B)(－1,0]
(C)
1 4
,
(D)
1 4
,
0
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 (1－x)5 的展开式中,x2 的系数为
.
10.已知向量a=(－4,6),b=(2,x)满足a∥b,其中x∈R,那么|b|=
18.(本小题满分13分)
已知椭圆W : x2 y2 1的右焦点为F,过点F 且斜率为k (k≠0)的直线l 与椭圆W交于A,B 两点, 4
线段AB 的中点为M .O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:点 M 在y 轴的右侧; (Ⅱ)设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点C,D.若△ODC 与△CMF 的面积相等, 求直线l的斜率k.
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单
位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r= 1 t +10,且日销售量y (单位:箱)与 4
时间t 之间的函数关系式为y=120－2t.
① 第4天的销售利润为
元;
② 在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠 m (m ∈N* )元给 “精准扶贫”对象.
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
2020.1
本试卷共5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3, -+∞ B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．[)1,5【答案】B 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ） A ．4 B ．22C ．23D ．26【答案】D4．设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11x y> B ．ln ln x y > C ．22x y --< D ．22x y > 【答案】C5．已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,2D ．(),2-∞【答案】A6．设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 【答案】B8．已知函数() 1f x x k =++,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间 [],a b 上的值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(]1,0-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D二、填空题9．在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】1010．已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r,其中x ∈R ,那么b =r _____________【答案】1311．在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________ 【答案】312．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个【答案】313．对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一14．某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1104r t =+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =-①第4天的销售利润为__________元;②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________． 【答案】1232 5三、解答题15．已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值32-.16．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析17．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.（1）求证1://A B 平面1AC D ; （2）求二面角1C AC D --的余弦值;（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析18．已知椭圆22: 14x W y +=的右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB的中点为,M O 为坐标原点. （1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C D .若ODC △与CMF V 的面积相等,求直线l 的斜率k【答案】（1）证明见解析（2）24±19．已知函数()21,2x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; （2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间; （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.（3）11e+20．设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉; （3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个。
2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市房山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合{}12A x x =-≤≤，B ＝{0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数=z z 的虚部为（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】B【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出z ，由此利用复数的定义能求出z 的虚部． 【详解】i i133z ===+,故z 的虚部为3 故选：B 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用． 3．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28 B ．21C ．14D ．7【答案】C【解析】利用等差数列下角标性质求得4a ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题． 4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC⊥底面ABC，且SBC∆为等腰三角形，ABC∆为直角三角形，故体积112221323V=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题6．若点5π5π(cos,sin)66M在角α的终边上，则tan2α=（）A3B．3C3D．3【答案】D【解析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值,再利用二倍角公式求解【详解】5π5π(cos,sin)66M即为31,22M⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则2333tan tan23113αα-=∴==-故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．7．已知双曲线C的方程为2214yx-=，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．11(,)(,)22-∞-+∞U【答案】A【解析】利用直线PQ 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为2±，当直线PQ 的斜率为(2,2)-时，满足题意，当直线PQ 的斜率(,2)(2,)-∞-+∞U 为时，交双曲线为同一支，故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题8．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为π3”是“||a b +r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由“|a b +rr|=|a r|2+|b r|2+2a r •b =r3，即1+1+2a r •b =r 3，得2a r •b =r 1，a r •12b =r ，则cosθ112112a b a b ⋅===⨯rr r r， 则a r与b r夹角θ3π=，即“a r 与b r 夹角为3π”是“|a b +r r|=的充分必要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（ ）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】BD M垂直，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，在正方【解析】先找到一个平面总是保持与1体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AF⊥面DMD1，MD1⊥平面AEF即可得出．【详解】D M垂直，如图，先找到一个平面总是保持与1取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D D⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF易证DM⊥AF，1又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184 乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题11．已知两点()2,0A ，()0,2B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求AB ，写出圆的标准方程即可。
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1,2}C. {0,2}D. {−2,−1,0，1，2}2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A. a2<abB. 1a >1bC. |a|<|b|D. (12)a<(12)b5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. [−3,1]6.设a⃗，b⃗ 是两个向量，则“|a⃗+b⃗ |>|a⃗−b⃗ |”是“a⃗⋅b⃗ >0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. B. 18π C. 6π D. 3√3π8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D，使得f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，那么称函数f(x)为对称函数．已知函数f(x)=√2−x−k是对称函数，则实数k的取值范围是()A. [2,94)B. (−∞,94)C. (2,94)D. (−∞,94]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答)10. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|b ⃗ |=_____．11. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，同时a 9，a 1，a 5成等比数列，且a 1+3a 5+a 9=20，则a 13=______ ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______，侧面积为______．13. 双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为____________．14. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x −0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2,π)时，若f(α)=√22，求α的值．16.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机⋅并说明理由．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.设椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．19.已知函数．(Ⅰ)当a=2时，求曲线在y=f(x)点(1,f(1))处的切线方程：(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)求f(x)在[1,e]上的最小值．20.集合A={x|−1<x<3,x∈Z}的子集有多少个？并写出所有的子集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，由交集的定义求解即可．解：因为A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，所以A∩B={0,2}．故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．解：在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则A=180°−75°−45°=60°，故由正弦定理可得asinA =csinC,c=asinCsinA=10×√22√32=10√63．故选D．4.答案：D解析：解：∵a >b >0， ∴(12)a <(12)b ．故选：D ．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，利用直线与圆相交或相切的条件求解． 解：∵直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点 ∴圆心到直线x −y +1=0的距离为√2≤√2 ∴|a +1|≤2 ∴−3≤a ≤1故选D ．6.答案：C解析：解：若|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |，则等价为|a ⃗ +b ⃗ |2>|a ⃗ −b ⃗ |2， 即|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ >|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 即4a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0成立， 反之，也成立，即“|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |”是“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的充要条件， 故选：C ．根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不向量数量积的应用是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，所以ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．8.答案：A解析：本题主要考查了函数的值域，单调性，f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b，即a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．利用换元法，结合范围得出结论．解：函数f(x)=√2−x −k 在(−∞,2]上是减函数，故满足条件①． 又f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，∴{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b,∴a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根． 令t =√2−x ，则x =2−t 2，t ≥0，∴关于t 的方程t 2−t +k −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实数根， ∴{1−4(k −2)>0k −2≥0，解得2≤k <94，即实数k 的取值范围是[2,94). 故选A ．9.答案：40解析：解：由于(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)r，令r=2求得x2的系数等于C52×22=40，故答案为40．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10.答案：3√5解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，向量的模，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．由向量的坐标，结合平行向量的条件，得到x 的值，从而得到向量的模长．解：向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,3)，且a⃗//b⃗ ，则4×3−2x=0，解得x=6，所以b⃗ =(6,3)，所以|b⃗ |=√62+32=3√5，故答案为3√5．11.答案：28解析：本题考查等差数列的通项公式的运用、等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：设{a n}的公差为d(d≠0)，由a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即a12=(a1+8d)(a1+4d)，化为3a1+8d=0①，由a1+3a5+a9=20，可得5a5=20，即有a1+4d=4②，由①②可得a1=−8，d=3，a n=a1+(n−1)d=−8+3(n−1)=3n−11，n∈N∗，a13=3×13−11=28．故答案为28．12.答案：12；27解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP=12AD⋅AP=6，S△ABP=12AB⋅AP=6，S△CDP=12CD⋅PD=152，S△CBP=12BC⋅BP=152．∴四棱锥的侧面积S=6+6+152+152=27.四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PA=13×32×4=12．故答案为12，27．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算体积和四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积和体积计算，属于中档题．13.答案：y=±√2x解析：本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．依据题意，求出a、c、b的值，再根据双曲线的焦点在x轴上，求出双曲线的渐近线方程．解：由2a=4，ca=√3，得a=2，c=2√3，b=2√2，所以渐近线方程为y=±√2x.故答案为y=±√2x.14.答案：45.6解析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售(15−x)辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．解：依题意，可设甲销售x(x≥0)辆，则乙销售(15−x)辆，∴总利润S=5.06x−0.15x2+2(15−x)=−0.15x2+3.06x+30=−0.15(x−10.2)2+45.606，根据二次函数图象和x∈N∗，可知当x=10时，获得最大利润S=−0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为45.615.答案：解：(1)因为f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos4x=1sin4x+1cos4x=√22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：√22．(2)∵f(x)=√22sin(4x+π4)，f(α)=√22，所以sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈(π2, π)，∴α=916π．解析：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．(1)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；(2)通过α∈(π2, π)，且f(α)=√22，求出α的正弦值，然后求出角即可．16.答案：解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950．(2)由题意，X 的所有可能取值为：0,1,2.因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是1575=15，所以P(X =0)=C 2×(1−15)2=1625， P(X =1)=C 21×15×(1−15)=825，P(X =2)=C 22×(15)2=125，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=0×1625+1×825+2×125=25． (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225因为11615>225，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．解析：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．(1)根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以X ～B(2,15)即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．17.答案：(1)证明：取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，连接OM ，OD ，DN ，MN ，∵O ，M ，N 分别是BC ，AB ，BE 的中点， ∴OM//AC ，MN//AE ，MN =12AE =1， ∵BD =CD ，O 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ， ∵平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC =BC ， ∴OD ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ， ∴OD//AE ，∵△BCD 是等腰直角三角形，BC =2，∴OD =1， ∴OD//MN ，OD =MN ，∴四边形OMND 是平行四边形，∴DN//OM ， ∴DN//AC ，又DN ⊂平面BDE ，AC ⊄平面BDE ， ∴AC//平面BDE ．(2)解：∵△ABC 是等边三角形，∴OA ⊥BC ，以O 为原点，以OB ，OA ，OD 为坐标轴建立空间坐标系O −xyz ，如图， 则O(0,0，0)，D(0,0，1)，B(1,0，0)，设AE =m(m >0)，则E(0,√3,m)， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,m −1)， 设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0√3y +(m −1)z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，又平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√(1−m)23+2，令√(1−m)23+2=cos60°=12，解得m =1+√6． ∴AE =1+√6．(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，m⃗⃗⃗ =(1,−√2,1)， ∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√2×2=√22， ∴直线CD 与平面BDE 所成角的正弦值为√22，故直线CD 与平面BDE 所成角为45°．解析：(1)取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，证明四边形OMND 是平行四边形得出DN//OM ，又OM//AC 即可得出DN//AC ，于是AC//平面BDE ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设AE =m ，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于12计算m 的值即可；(3)计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BDE 的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)， ∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0， 从而k MA +k MB =0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ，综上，∠OMA =∠OMB ．解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，，f (1)=12，f′(x )=2x −12x 2，∴f′(1)=32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=32(x −1)， 即3x −2y −2=0． (Ⅱ)f′(x )=2ax−12x 2，∵f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数， ∴f′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴只需{2a −1≥04a −1≥0，解得a ≥12，所以，当a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数． (Ⅲ)f′(x )=2ax−12x 2，①当a ≤0时，f′(x )<0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e．②当0<a ≤12e 时，12a ≥e ，f′(x )≤0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e ．③当12e <a <12时，1<12a <e ，令f′(x )<0，解得1<x <12a ， 令f′(x )>0，解得12a <x <e ，∴f(x)在区间(1,12a )上单调递减函数，在区间(12a ,e)上单调递增函数，．④当a≥1时，f′(x)≥0在x∈[1,e]上恒成立，2∴f(x)在区间[1,e]上是单调递增函数，∴f(x)min=f(1)=1．2综上，．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性最值，属于较难题．(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程;(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，则fˈ(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，解得a≥1；2(Ⅲ)对a进行分类讨论求出函数的单调区间，即可求出最值．20.答案：8；ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}．解析：A={0,1,2}，所以真子集共23=8个，分别是ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}．。
2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边 ．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且 则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量 满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得 ．
因此 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为 的等差数列 中, ,且 成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知 是方程 的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在 的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】 展开式通项为 ,令 ,所以 的系数为 ．
北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．101011．3 12．313．答案不唯一，如2211648x y -=14．1232；5注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x=-112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ………………3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分B1CDBA A1C1E解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点. 连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r，DA =u u u r，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r， …… 6分设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n，得1110,20,x y =+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， B 1CD BAA 1C 1zyxF由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-u u u r，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r. ……………… 12分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u rn ，所以11A B u u u u r与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x += ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +==， ……………… 5分因为0M x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标2(41M M y k x k ==+. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +. ……………… 9分所以△ODC 的面积222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立.设()e (1)x g x a x b =-+-， ……………… 9分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减.所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2eb =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分 （Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ， 由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。
2020年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(理)
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5 （C ）(1,16)（D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 12 40 32 8元件B7 1840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下， （ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。
2020高三上期末9个区试卷与答案
强度约为一般说话时声音强度的
【】
A．106 倍
B．108 倍
C．1010 倍
D．1012 倍
10．若点 N 为点 M 在平面 上的正投影，则记 N f (M ) . 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
记平面 AB1C1D 为 ，平面 ABCD 为 ，点 P 是棱 CC1上一动点（与 C ，C1 不重合）， Q1 f [ f (P)] ，
权重
教育与文化（0.20） 0.7
0.9
0.1
医疗与养老（0.20） 0.7
0.6
0.3
交通与购物（0.32） 0.5
0.7
0.2
休闲与健身（0.28） 0.5
0.6
0.1
注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数T w1T1 w2T2 w3T3 w4T4 ，其中 w1, w2 , w3, w4 为该小区四个
（1）求证： AB// 平面 CMN ；
（2）求证： AB VC ；
（3）求直线VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.
V
M N
A
C
B
6
19．（本小题共 13 分）某市《城市总体规划（2016—2035 年）》提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活圈”全
覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活
方面的权重，T ,T ,T ,T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为 0~1 之间的一个数 1234
值）.
现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [0,0.2） [0.2,0.4） [0.4,0.6） [0.6,0.8） [0.8,1]
2020西城高三期末(数学文)有答案
北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2020.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =I （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x =（B ）cos y x = （C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是（A ）11a b < （B ）33a b > （C ）22a b >（D ）a b > 4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C o '∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2x f x x =-，2121()log ()2x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 开始 输出 结束是否输入x[2,2]x ∈-()2x f x =()f x ()2f x =11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3,3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()322sin f x x x =-. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=o ，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：11C A B C ⊥.ABCDC 1A 1B 117.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短倍.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠. （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末 高三数学参考答案及评分标准（文科） 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 60o 11. 4 3(2,0)±30x y ±= 14. ①③④ 注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()6f π=23sin 2sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分（Ⅱ）()f x 3sin2cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-.………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分 所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC . ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=o ， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b .ABCDC 1 A 1B 1O则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,2c a b ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=......（*）， (6)分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分因为直线OP 的斜率为1-，所以112k -=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分O到直线1:12l y x =+的距离为5………………11分2211(1)AB x y =+-=253， ………………12分所以△OAB 的面积为122252335⨯⨯=. ………………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分(1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分(Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， (13)分所以21ln()a >---， 解得31ea <-. ………………14分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a ab =+=+=.………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. (8)分（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b++. 设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b=++. 所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。
北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。
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北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．101011．3 12．313．答案不唯一，如2211648x y -=14．1232；5注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x=-112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ………………3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分B1CDBA A1C1E17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11A CAC E =，则E 是1A C 的中点.连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =，DA =，(CA =-，1(0,2,0)CC =， …… 6分 设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=n ，110DC ⋅=n，得1110,20,x y =+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=n ，120CC ⋅=n，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， B 1CD BAA 1C 1zyxF由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-. ……………… 12分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠n ，所以11A B 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x += ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +==， ……………… 5分因为0M x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标2(41M M y k x k ==+. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +. ……………… 9分所以△ODC 的面积222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立.设()e (1)x g x a x b =-+-， ……………… 9分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减.所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2eb =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =；……………… 3分（Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈使得0x A ∈, ……………… 4分令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈，x A ∉. ……………… 8分（Ⅲ）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意，……………… 12分所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。