北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学答案

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷

高三数学参考答案 2020.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10

10

11．3 12．3

13．答案不唯一，如22

11648

x y -=

14．1232；5

注：第14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为1

()2cos cos )

2f x x x x =⋅-

……………… 2分

2cos cos x x x

=-

11

2cos222x x --

……………… 5分

π1

sin(2)62x =--， ……………… 7分

所以函数()f x 的最小正周期为2π

π2

T ==. ……………… 8分

（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ

2666

x ---≤≤． ……………… 9分

所以当ππ262x -

=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值3

2

-. ……………… 11分 当π7π266x -=-

，即π

2

x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，

……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，

……………… 2分

所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929

()10050

P M +=

=

. ………………3分

（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分

因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是

151

755

=， ……………… 5分 所以022

116

(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12

118

(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 222

11

(2)C ()525

P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：

……………… 9分 故16812

()0122525255

E X =⨯

+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.

如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：

由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：

5210125110116

52121115

⨯+⨯+⨯=++，

乘坐飞机的人满意度均值为：4101457022

41475

⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分

因为

11622

155

>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分

B1

C

D

B

A A1

C1

E

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11A C

AC E =，则E 是1A C 的中点.

连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，

得1//DE A B . ……………… 2分

又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，

所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .

因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.

由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，

又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.

分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分

则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，

所以1(1,2,0)DC =

，DA =

，(CA =-，1(0,2,0)CC =， …… 6分 设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=n ，110DC ⋅=n

，得111

0,

20,x y =+=⎪⎩

令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=n ，120CC ⋅=n

，得222

0,

20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩

令21z =

，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则

1212|cos ||

|||||θ⋅==

⋅n n n n ， B 1

C

D B

A

A 1

C 1

z

y

x

F