线性代数练习进步册附规范标准答案

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第1章 矩阵 习 题

1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y x

x ； (2) ⎩⎨

⎧+=-=ϕϕϕ

ϕcos sin sin cos 1

1y x y y x x

2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.

3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=150421321

B ，求3AB -2A 和A T B .

4. 计算

(1) 2

210013112⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

.\

(2) ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1)1,,(2

1

22212

11211y x c b b b a a b a a y x

5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪

⎨⎧+-=+=+-=323

3122

11323z

z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表

示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.

6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -

1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3，⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).

7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O .

(2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .

7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ，证明A 及A -2E 都可逆，并用A 分别表示出它们的逆矩阵．

8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：

(1)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------=132126421321A

(2)⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=033414

31210110122413B .

9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~

1

22r r -⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛---1211233

02101~13c c +⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--131123302001=B .

10. 设ΛAP P =-1

，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=2001Λ，求A 9.

11. 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .

12. 设

102

212

533

A

--

⎛⎫

⎪

=-

⎪

⎪

-

⎝⎭

, 利用初等行变换求A-1.

复习题一

1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A ) ACB =E ； (B ) CBA =E ； (C ) BAC =E ； (D ) BCA =E .

2. 设⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=3332

31

232221

131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++=133312

321131

131211

23

2221

a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .

(A ) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C ) P 1P 2A =B ； (D ) P 2P 1A =B .

3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=000101000010

10001P ，⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=10000010010

0000

12P ，则C -1=（ ）. (A) A -

1P 1P 2； (B) P 1A -

1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -

1P 1.

4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆.

5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A T B ，求C n .