初中数学实用拓展公式定理汇总

初中数学实用拓展公式定理汇总

一、解析几何

直线斜率公式

已知11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线l 上两点，α是直线l 的倾斜角，k 是它的斜率，则 1212

tan y y k x x α-==-. 两点之间的距离公式

已知11(,)A x y 、22(,)B x y ，则

AB =点到直线的距离公式

已知直线:l y kx b =+，00(,)A x y ，l 到点A 的距离是d ，则

d =平行直线的距离公式

已知直线11:l y kx b =+、22:l y kx b =+，l 1到l 2的距离是d ，则

d =两直线位置关系的判定

已知直线l 1、l 2的斜率是k 1、k 2，则

1212l l k k ⇔=∥；1212=1l l k k ⊥⇔-.

二、三角函数

已知α、β是任意角，则下列公式成立：

和差角正弦公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；

和差角余弦公式 cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ；

和差角正切公式 tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=m ； 倍角正弦公式 sin 22sin cos ααβ=；

倍角余弦公式 2cos 22cos 1αα=-；

倍角正切公式 22tan tan 21tan ααα

=

-. 当0180α︒<<︒时，则下列公式成立：

半角正弦公式 1cos sin 22

α

α-=； 半角余弦公式 1cos cos 22

αα+=； 半角正切公式 1cos tan 21cos α

αα-=

+. 三、几何定理

正弦定理 在任意△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则

sin sin sin a b c A B C

==. 这一定理适合解已知两角及一边（AAS 或ASA ）的三角形.

余弦定理 在任意△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则

2222cos a b c bc A =+-;

2222cos b a c ac B =+-;

2222cos c a b ab C =+-.

这一定理适合解已知两边及一角或三条边（SAS 或SSS ）的三角形.

梅涅劳斯定理 如图，一条直线与△ABC 相交，与AB 、

BC 延长线、AC 分别交于D 、E 、F 三点，则

1AD BE CF DB EC FA

⋅⋅=.

塞瓦定理 如图，在△ABC 中任取一点O ，延长AO 、BO 、CO 交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F 三点，则

1AF BD CE FB DC EA

⋅⋅=.

相交弦定理 如图，圆的两条弦AB 、CD 相交于一点P ，则

AP BP CP DP ⋅=⋅.

切割线定理如图，过圆外一点P作圆的切线AT与圆相

切与点T，作圆的割线P A交圆于点A、B，则

2

=⋅.

PT PA PB

割线定理如图，过圆外一点P作圆的两条割线P A、PB

与圆相交于点A、B、C、D ，作圆的割线P A交圆于点A、B，

则

⋅=⋅.

PA PC PB PD

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称圆幂定理.

托勒密定理圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线乘积.

四点共圆

判定一对角互补的四边形一定有外接圆.

判定二外角等于内对角的四边形有外接圆.

判定三若C、D在线段AB的同侧，且∠ACD=∠ADB，则A、B、C、D四点共圆.

⋅=⋅，则A、B、C、D四点共圆.

判定四若线段AB、CD交于点P，且AP BP CP DP

⋅=⋅，则A、B、C、D 判定五若线段AB、CD的延长线交于点P，且AP BP CP DP

四点共圆.