高考数学真题较难题汇编

2021年普通高等学校招生全国统一考试1.四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，那么( )A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ12.a，b，e是平面向量，e是单位向量，假设非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e•b+3=0，那么|a−b|的最小值是( )A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√33.a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，假设a1>1，那么( )A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a44.λ∈R，函数f(x)={x−4，x≥λx2−4x+3，x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_____________________，假设函数f(x)恰有2个零点，那么λ的取值范围是________________________5.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)6.点P(0，1)，椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大7.(15分)如图，点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴(2)假设P是半椭圆x2+ y 24=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围8.(15分)函数f(x)=√x−lnx(1)假设f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2(2)假设a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 那么((15))f f 的值为 ▲ ．10．如下图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．假设函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，那么()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l交于另一点D ．假设0AB CD ⋅=，那么点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，那么4a c +的最小值为 ▲ ．14．集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 17．〔本小题总分值14分〕某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN 〔P 为此圆弧的中点〕和线段MN 构成．圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．〔1〕用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；〔2〕假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．〔本小题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ． 〔1〕求椭圆C 及圆O 的方程；〔2〕设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①假设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．假设OAB △26，求直线l 的方程． 19．〔本小题总分值16分〕记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．假设存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，那么称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点〞．%网〔1〕证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点〞；〔2〕假设函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点〞，求实数a 的值；〔3〕函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点〞，并说明理由． 20．〔本小题总分值16分〕设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列． 〔1〕设110,1,2a b q ===，假设1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； 〔2〕假设*110,,(12]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求的取值范围〔用1,,b m q 表示〕．2021年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)8.在平面直角坐标系中，点A 〔-1，0〕，B 〔2，0〕，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||=2，那么的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，那么这三个砝码的总质量为9克的概率是______〔结果用最简分数表示〕10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1〔n ∈N*〕，前n 项和为S n 。

假设，那么q=____________11.常数a >0，函数的图像经过点、，假设，那么a =__________12.实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：，，，的最大值为__________16.设D 是含数1的有限实数集，是定义在D 上的函数，假设的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，那么在以下各项中，的可能取值只能是〔 〕〔A〔B〔C〔D 〕0 20.〔此题总分值16分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，点F 〔2，0〕，直线l ：x=t ，曲线：，l与x 轴交于点A ，与交于点B ，P 、Q 分别是曲线与线段AB 上的动点。

〔1〕用t 为表示点B 到点F 的距离；〔2〕设t =3，，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； 〔3〕设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在上？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，说明理由。

EF BF AE ⋅1Sn 1lim2n n a →∞+=222()(2)f x ax =+65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，236p qpq +=²²1x y +=₁₁²²1x y +=₂₂212x x y y +=₁₂₁f x （）f x （）π61f （）τ²8y x =00x t y （≦≦，≧）ττ2FQ =∣∣τ21.(此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分)给定无穷数列{a n }，假设无穷数列{b n }满足：对任意，都有，那么称 “接近〞。

〔1〕设{a n }是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；〔2〕设数列{a n }的前四项为：a ₁=1，a ₂=2，a ₃=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x |x =b i ，i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；〔3〕{a n }是公差为d 的等差数列，假设存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b ₂-b ₁，b ₃-b ₂，…b 201-b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔北京卷〕〔4〕“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频．假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为 〔A〔B〔C〔D〔7〕在平面直角坐标系中，记d 为点P 〔cos θ，sin θ〕到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3〔D 〕4〔8〕设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤那么〔A 〕对任意实数a ，(2,1)A ∈ 〔B 〕对任意实数a ，〔2，1〕A ∉〔C 〕当且仅当a <0时，〔2，1〕A ∉ 〔D 〕当且仅当32a ≤时，〔2，1〕A ∉ *n N ∈1||n n b a -≤{}{}n n b a 与2111n n b a +=+*n N ∈{}n b {}n a〔13〕能说明“假设f 〔x 〕>f 〔0〕对任意的x ∈〔0，2］都成立，那么f 〔x 〕在［0，2］上是增函数〞为假命题的一个函数是__________．〔14〕椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．假设双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 〔18〕〔本小题13分〕设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．〔Ⅰ〕假设曲线y= f 〔x 〕在点〔1，(1)f 〕处的切线与x 轴平行，求a ；〔Ⅰ〕假设()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．〔19〕〔本小题14分〕抛物线C ：2y =2px 经过点P 〔1，2〕．过点Q 〔0，1〕的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． 〔Ⅰ〕求直线l 的斜率的取值范围；〔Ⅰ〕设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．〔20〕〔本小题14分〕设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n n t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记M 〔αβ，〕=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．〔Ⅰ〕当n =3时，假设(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M 〔,αα〕和M 〔,αβ〕的值；〔Ⅰ〕当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M 〔αβ，〕是奇数；当,αβ不同时，M 〔αβ，〕是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔Ⅰ〕给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M 〔αβ，〕=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2021年普通高等学校招生全国统一考试〔北京卷〕w〔7〕在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧〔如图〕，点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，假设tan cos sin ααα<<，那么P 所在的圆弧是〔A 〕AB〔B 〕CD 〔C 〕EF 〔D 〕GH〔8〕设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤那么〔A 〕对任意实数a ，(2,1)A ∈ 〔B 〕对任意实数a ，〔2,1〕A ∉ 〔C 〕当且仅当a <0时,〔2,1〕A ∉〔D 〕当且仅当32a ≤时,〔2,1〕A ∉ 〔14〕假设ABC △的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，那么∠B =_________；c a 的取值范围是_________.〔19〕〔本小题13分〕设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 〔20〕〔本小题14分〕椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .〔Ⅰ〕求椭圆M 的方程；〔Ⅰ〕假设1k =，求||AB 的最大值；〔Ⅰ〕设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .假设C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)(5)2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>(7)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，那么双曲线的方程为(A)221412x y -= (B) 221124x y -= (C) 22139x y -= (D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 假设点E 为边CD 上的动点，那么⋅AE BE 的最小值为(A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 3(12)圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,2232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x t y t (t为参数)与该圆相交于A ，B 两点，那么ABC ∆的面积为 .(13),R a b ∈，且360a b -+=，那么128ab +的最小值为 . (14)0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩假设关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，那么a 的取值范围是 .(17)(本小题总分值13分)如图，//AD BC 且AD =2BC ，AD CD ⊥,//EG AD 且EG =AD ，//CD FG 且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.〔I 〕假设M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ⊥平面； 〔II 〕求二面角E BC F --的正弦值；〔III 〕假设点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.(18)(本小题总分值13分)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列. 11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.〔I 〕求{}n a 和{}n b 的通项公式；〔II 〕设数列{}n S 的前n 项和为()*∈n T n N ，〔i 〕求n T ；〔ii 〕证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑.(19)(本小题总分值14分)设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且62FB AB ⋅=.〔I 〕求椭圆的方程；〔II 〕设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 假设52sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. (20)(本小题总分值14分)函数()x f x a =，()log a g x x =，其中a >1. 〔I 〕求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；〔II 〕假设曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； 〔III 〕证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕w〔8〕在如图的平面图形中， 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==那么·BC OM 的值为 〔A 〕15- 〔B 〕9- 〔C 〕6-〔D 〕0〔13〕a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，那么2a +18b的最小值为__________． 〔14〕a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．假设对任意x ∈［–3，+∞〕，f (x )≤x 恒成立，那么a 的取值范围是__________．〔17〕〔本小题总分值13分〕如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． 〔Ⅰ〕求证：AD ⊥BC ；〔Ⅱ〕求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； 〔Ⅰ〕求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．〔18〕〔本小题总分值13分〕设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n 〔n ∈N *〕；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n 〔n ∈N *〕．b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．〔Ⅰ〕求S n 和T n ；〔Ⅱ〕假设S n +〔T 1+T 2+…+T n 〕=a n +4b n ，求正整数n 的值． 〔19〕〔本小题总分值14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .椭圆的离心率为53，||13AB =.〔I 〕求椭圆的方程；〔II 〕设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.假设BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.〔20〕〔本小题总分值14分〕设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列. 〔I 〕假设20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； 〔II 〕假设3d =，求()f x 的极值；〔III 〕假设曲线()y f x = 与直线 12()63y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试1l8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．89．函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，假设()g x 存在2个零点，那么a 的取值范围是A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅰ，其余局部记为Ⅰ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，那么A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．假设OMN △为直角三角形，那么MN =A ．32B ．3C ．23D ．412．正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，那么α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．3216．函数()2sin sin 2f x x x =+，那么()f x 的最小值是________． 18．〔12分〕如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF⊥．〔1〕证明：平面PEF⊥平面ABFD；〔2〕求DP与平面ABFD所成角的正弦值．19．〔12分〕设椭圆2212xC y+=：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为()20，．〔1〕当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；〔2〕设O为坐标原点，证明：OMA OMB=∠∠．20．〔12分〕某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，那么更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果断定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p<<，且各件产品是否为不合格品相互独立．〔1〕记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p，求()f p的最大值点p；〔2〕现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以〔1〕中确定的p作为p的值．每件产品的检验费用为2元，假设有不合格品进入用户手中，那么工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．〔i〕假设不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；〔ii〕以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．〔12分〕函数()1lnf x x a xx=-+．〔1〕讨论()f x的单调性；〔2〕假设()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．2021年普通高等学校招生全国统一考试1w11．角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，那么a b -=A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，那么满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，那么△ABC 的面积为________．18．〔12分〕如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．〔1〕证明：平面ACD ⊥平面ABC ；〔2〕Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积． 20．〔12分〕设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． 〔1〕当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； 〔2〕证明：ABM ABN =∠∠．21．〔12分〕函数()e ln 1xf x a x =--．〔1〕设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； 〔2〕证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．2021年普通高等学校招生全国统一考试2l3．函数2e e ()x xf x x --=的图象大致为10．假设()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，那么a 的最大值是 A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．假设(1)2f =， 那么(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．5012．1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，那么C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．1416．圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，假设SAB △的面积为那么该圆锥的侧面积为__________．19．〔12分〕设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．〔1〕求l 的方程；〔2〕求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 20．〔12分〕如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．〔1〕证明：PO ⊥平面ABC ；〔2〕假设点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．〔12分〕函数2()e x f x ax =-．〔1〕假设1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； 〔2〕假设()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．2021年普通高等学校招生全国统一考试2w11．1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，假设12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，那么C 的离心率为A．1- B．2CD112．()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．假设(1)2f =，那么(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．5016．圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，假设SAB △的面积为8，那么该圆锥的体积为__________．19．〔12分〕如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．〔1〕证明：PO ⊥平面ABC ；〔2〕假设点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．20．〔12分〕设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． 〔1〕求l 的方程；〔2〕求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 21．〔12分〕函数321()(1)3f x x a x x =-++．〔1〕假设3a =，求()f x 的单调区间； 〔2〕证明：()f x 只有一个零点．2021年普通高等学校招生全国统一考试3l6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，那么ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣7．函数422y x x =-++的图像大致为9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，假设ABC ∆的面积为2224a b c +-，那么C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，那么三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．54311．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：〔00a b >>，〕的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．假设16PF OP =，那么C 的离心率为 A ．5B ．2C ．3D ．212．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，那么 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+16．点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．假设90AMB =︒∠，那么k =________．19．〔12分〕如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．〔1〕证明：平面AM D ⊥平面BMC ；〔2〕当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 20．〔12分〕斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，． 〔1〕证明：12k <-；〔2〕设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．〔12分〕函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．〔1〕假设0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； 〔2〕假设0x =是()f x 的极大值点，求a ．2021年普通高等学校招生全国统一考试3w6．函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为 A ．π4B ．π2C ．πD ．2π12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．16．函数())ln 1f x x =+，()4f a =，那么()f a -=________．21．〔12分〕函数()21e xax x f x +-=．〔1〕求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程；f x+≥．〔2〕证明：当1a≥时，()e0。