一次函数增减性与几何变换

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函数专题——-一次函数的图像和性质

教学过程一、课程导入画出y=-x与y=-x+2的图象，找出它们的相同点和不同点小结：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。

即k值相同时，直线一定平行。

二、复习预习①如图〔l 〕所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限〔直线不经过第四象限〕；②如图〔2〕所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限〔直线不经过第二象限〕；③如图〔3〕所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限〔直线不经过第三象限〕；④如图〔4〕所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限〔直线不经过第一象限〕．k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时， y 的值随x 值的增大而减小；一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置.三、知识讲解考点1 一次函数图象上点的坐标特征1、一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(kb ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．2、正比例函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知xy 是定值． 3、经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．考点2 一次函数图像的平移上加下减〔b〕，左加右减〔x〕直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。

即k值相同时，直线一定平行。

考点3 待定系数法求一次函数关系式先设待求函数关系式〔其中含有未知的常数系数〕，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。

第19章一次函数——几何变换专项练习 2022—2023学年人教版数学八年级下册

一次函数典型例题——几何变换◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．一次函数典型例题——几何变换（解析）◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，∴﹣3k2+12＝0，∴，∴k＝﹣2；（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），∴﹣3k2+12＝9，∴k＝1或k＝﹣1；（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，∴k﹣2＝﹣2，∴k＝0；（4）∵一次函数为减函数，∴k﹣2＜0，∴k＜2．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．【解答】解：（1）∵函数的图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵图象不经过三象限，∴3m﹣7＜0，m﹣1≥0，解得：1≤m＜；（3）∵不论m取何值，直线恒过一定点P，∴当x＝﹣时，y＝﹣1＝，即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P坐标为：（﹣，）．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．【解答】解：∵y1与kx﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，∴y1＝k1（x﹣2），y2﹣3＝k2x，∴y＝k1（x﹣2）+k2x+3，把x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7代入上式解得，解得：，则y与x的解析式为y＝3x+1．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．【解答】解：（1）当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝﹣2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，设C的坐标为（m，2m+1），∵S△AOC＝3，∴|2m+1|＝3，∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，∴C（，6）或（﹣，﹣6）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4，令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．【解答】解：连接AF，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝＝5，∵CD∥x轴，点D、点A关于直线CF对称，∴CD＝CA＝5．∠DCF＝∠ACF＝∠FGA，∴∠CAF＝∠D＝90°设EF＝x，则DF＝AF，DF＝4﹣x，AE＝2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4．解得x＝．∴点F坐标为（5，）．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝1，点A的坐标为（﹣2，0）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠F AH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣1；∴A（﹣1，0），B（0，2）．（1）∵直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，∴直线CD与x轴，y轴的交点坐标（﹣2，0），（0，﹣1），设直线CD的解析式是y＝k1x+b1，则，解得．故直线CD的解析式是y＝﹣x﹣1；（2）∵将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，∴直线EF与x轴，y轴的交点坐标（2，0），（0，1），设直线EF的解析式是y＝k2x+b2，则，解得．故直线EF的解析式是y＝﹣x+1．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），解得：k＝2，b＝﹣8，∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得，（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，把直线AB向上平移m个单位后得y＝﹣x+m﹣1．由，解得，即交点为（，）．由题意，得，解得m＞3；（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y＝﹣x+n，将A（﹣1，0）代入，得0＝﹣×（﹣1）+n，解得n＝﹣．即直线AB的解析式为y＝﹣x﹣．由，解得，所以B点坐标为（，﹣）．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝1+2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，3）．∴点（﹣1，3）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3，3）．（2）当直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）时，得3＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣2过点B（3，3）时，得3＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，则b的取值范围是k≤﹣5或k≥．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式y＝2x；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线ly＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解答】解：（1）由，解得，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，∵B（3，3），C（2，0），∴C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OC：OB'＝4：3，∴B′C：OB′＝5：3，∵B′C＝BC＝10，∴OB′＝6，∴B′点的坐标为：（6，0）；（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA，由OB′＝6，OC：OB'＝4：3，∴OC＝8，设AE＝a，则EB′＝EB＝8﹣a，AB′＝AO﹣OB′＝10﹣6＝4，由勾股定理，得a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点E的坐标为（10，3），点C的坐标为（0，8），设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴CE所在直线的解析式为y＝﹣x+8．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．【解答】解：∵y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，∴6﹣3m＜0，2n﹣4≥0，故m＞2，n≥2．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝，所以A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，3），∴S△ABC＝×|3|×＝；（2）把l1：y＝2x+3向下平移1个长度单位后得l2：y＝2x+2；（3）直线l2：y＝2x+2与x轴、y轴的交点C、D的坐标分别为：C（﹣1，0）、D（0，2），∴S△CBD＝×|1|×|3﹣2|＝．216．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（5，3），已知直线l ：y ＝x ﹣2（1）将直线l 向上平移m 个单位，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．【解答】解：（1）设平移后的直线方程为y ＝x +b ，把点A 的坐标为（5，3）代入，得3＝×5+b ，解得 b ＝．则平移后的直线方程为：y ＝x +．则﹣2+m ＝，解得 m ＝；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，且点A 的坐标为（5，3），∴B （3，3）．把x ＝3代入y ＝x +，得y ＝×3+＝2，即E （3，2）．∴BE ＝3﹣2＝1，∴△ABE 的面积＝×2×1＝1．22。

一次函数课件ppt

掌握如何根据直线的方程求解一次函数，并了解直线的性质。
一次函数与两直线的交点
了解如何通过两直线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数与抛物线的交点
了解如何通过抛物线的交点求解一次函数的解析式。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数与最值问题
掌握如何利用一次函数解决最值问题。
一次函数与不等式问题
了解如何利用一=kx+b(k,b是常数，k≠0)中，当b=0时， y=kx(k是常数，k≠0)，此时称y是x的正比例函数。
一次函数的表达式
表达式
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
变量的取值范围
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
截距的意义
b是常数项，表示与y轴的交点坐标。当b>0时，交点在y 轴的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的负半轴上；当 b=0时，交点在原点。
03 一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
一次函数与一元一次方程的关系
01
了解如何用一次函数解决一元一次方程的问题。
一次函数的单调性
02
掌握如何根据函数的单调性求解函数的值域和定义域。
一次函数的零点
03
了解如何通过零点将函数进行分类，并求解函数的零点。
一次函数在几何中的应用
直线方程与一次函数的关系
一次函数的图像
图像的绘制
描点法，先确定自变量x的取值范围，然后分别在坐标系中找出对
应的y值，描点、连线即可得到一次函数的图像。
图像的性质
当k>0时，直线呈上升趋势；当 k<0时，直线呈下降趋势。截距b 的取值决定了直线与y轴交点的位置。

一次函数单调性

一次函数单调性一次函数单调性是数学中最基本的概念之一，它是一个函数的一些属性，由于它的单调性，使得一次函数在几何图形上具有规律的特征，从而为微积分的基础研究提供了有力的支持，同时也为曲线的运动及路线规划提供了依据。

一次函数单调性有两种，即单调性和单凹性，就是曲线在所有有限点处，其斜率都是一致的，即保持着一定的斜率。

这也是一次函数最重要的性质之一。

单调性指的是曲线在所有有限点处，其斜率都是一致的，具体来说，即曲线上两点之间，斜率（即斜率的比例）一定是正的，斜率的比例要么是正的，要么是负的，而不可能是0，同时也不可能有正负变换的情况。

这表明曲线是从左到右上升的，或者从右到左下降的。

当曲线在某一点处斜率等于0时，这个点叫做极大值点或极小值点，这个极大值点或极小值点即可用积分表示，称为极值点。

另外，单凹性指的是曲线在所有有限点处，其斜率的变化是有方向的，具体来说，即曲线上两点之间，斜率（即斜率的比例）要么是正，要么是负，但不可能是0，同时也不可能有正负变换的情况。

这表明曲线是从左到右以一定的斜率上升的，或者是从右到左以一定的斜率下降的。

当曲线在折点处斜率也等于0时，这个折点叫做极小值点或极大值点，这个极小值点或极大值点可用计算机图像表示，称为折点。

一次函数单调性也可以作为绘制曲线的参数，它提供了一定的限制，从而可以确定曲线的整体形状。

一次函数单调性是一种特殊的特性，它可以用来解决一些概率问题，也可以用来描述一些复杂的数学函数，同时也可以用来表示一些自然现象，例如气压与温度的变化等，所以一次函数单调性有着极为重要的地位，是数学研究的基石。

一次函数单调性的研究也可以帮助我们更好地理解几何图形，其特性也可以用来解释一些微分方程，也可以用来处理数据，以及解决一些概率问题等。

总之，一次函数单调性是一个非常重要的概念，它为数学及其相关学科的发展提供了重要的基础。

考点10 一次函数(精讲)(解析版)

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

微专题六一次函数的图象与几何变换

微专题六一次函数的图象与几何变换
专题解读
一次函数图象的平移规律：左加右减、上加下减；图象的平移不改变 k 的值．
探究一一次函数图象的平移
典型例题 1 一次函数 y＝kx＋b 的图象，如图所示．
(1) 求这个一次函数的表达式；
(2) 如果这个一次函数的图象向上平移 m 个单位得到的图象恰与它向右平移 n 个单位得到的图象完全相同，求 m，n 之间的关系.
解：(1)这个一次函数的表达式为 y＝－21x ＋2；
(2)依题意可得：－12x＋2＋m＝－12(x－n) ＋2，
化简得：m＝21n.
对点自测
1. 直线 y＝2x＋2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是( D )
A. (－4，0)
B. (－1，0)
C. (0，2)
D. (2，0)
A. (0，4) B. (0，3) C. (－4，0) D. (0，－3)
解：∵直线 y＝－43x＋8 与 x 轴，y 轴分别
交于点 A 和点 B， ∴y＝0 时，x＝6，则 A 点坐标为：(6，0)，当 x＝0 时，y＝8，则 B 点坐标为(0，8)； ∴BO＝8，AO＝6， ∴AB＝ 82＋62＝10，
A. (－2，0)
B. (2，0)
C. (－6，0)
D. (6，0)
解：∵直线 l1 经过点(0，4)，l2 经过点(3， 2)，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，
∴两直线相交于 x 轴上，直线 l1 经过点(3，－2)，l2 经过点(0，－4)，
把点(0，4)和点(3，－2)代入直线 l1 的表达式 y＝kx＋b，则有
2. 如图，直线 l1 与直线 l2 关于 y 轴对称， 4

一次函数的图象(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)b k-的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y =kx +b 图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2）1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3）121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数(21)2y a x a =-+-（a 为常数）．（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值；（2）若1a =，直接写出这个函数图象经过的象限．【答案】（1）2a =；（2）当1a =时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）y kx b =+经过原点则0b =，据此求解；（2）把1a =代入(21)2y a x a =-+-，得1y x =-，根据10k =>，10b =-<即可得出结论．（1）解：因为(21)2y a x a =-+-经过原点，所以20a -=，解得2a =．（2）解：当1a =时，则(21)21y a x a x =-+-=-∵10k =>，10b =-<，∴函数图象经过一、三、四象限．【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大．【举一反三】【变式1】（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y kx b =-与y bx k =+的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分四种情况，根据k 、b 的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可．解：当0k >，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第一，三，四象限，则y bx k =+经过一，二，三象限，则选项D 符合题意；当0k >，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，三象限，则y bx k =+经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当0k <，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第二，三，四象限，则y bx k =+经过一，三，四象限，则选项B 符合题意；；当0k <，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，四象限，则y bx k =+经过二，三，四象限，则选项A 符合题意；．故选：C ．【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键．【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则函数y bx b =-的图象经过的象限是．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限判断b 的取值范围，再判断函数y bx b =-的图象经过的象限．解：∵一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，∴0b <，0b ->，∴函数y bx b =-的图象经过一、二、四象限．故答案为：一、二、四．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，直线22y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）若点C 在x 轴上，且2ABC AOB S S = ，求点C 的坐标．【答案】（1）(0,2)B ，(1,0)A ；（2）(3,0)或(1,0)-【分析】（1）当0x =时求解y 的值及当0y =时求解x 的值即可求解．（2）由（1）得2OB =，1OA =，根据2ABC AOB S S = 可得22AC OA ==，进而可求解．（1）解：当0x =时，2y =，∴点B 的坐标为：(0,2)，当0y =时，1x =，∴点A 的坐标为：(1,0)．（2）由（1）得：2OB =，1OA =，则：11222OA OB AC OB ⨯⋅=⋅，即：22AC OA ==，∴点C 的坐标为：(3,0)或(1,0)-．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数()11110y k x b k =+≠与()22220y k x b k =+≠的图象分别为直线1l 和直线2l ，下列结论正确的是（）A ．120k k > B ．120k k ->C ．120b b +<D ．12·0b b >【答案】B 【分析】根据图示，可得110,0k b >>，220,0k b <<，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数()11110y k x b k =+≠中，110,0k b >>；一次函数()22220y k x b k =+≠中，220,0k b <<，∴A 、12·0k k <，故原选项错误，不符合题意；B 、∵120,0k k ><，∴120k k ->，故原选项正确，符合题意；C 、∵120,0b b ><，且12b b >，∴120b b +>，故原选项错误，不符合题意；D 、∵120,0b b ><，∴120b b < ，故原选项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，当PM PN +的值最小时，点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】先求出,A B 的坐标，根据中点，得到,M N 的坐标，求出点N 关于y 轴的对称点N '的坐标，连接MN '，根据两点之间线段最短，得到MN '与y 轴的交点即为点P ，求出MN '的解析式，即可．解：∵24y x =+，当0x =时，4y =，当0y =时，2x =-，∴()()2,0,0,4A B -，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴()()1,2,1,0M N --，∴点N 关于y 轴的对称点N '为()1,0，连接,MN PN ''，∵点P 是y 轴上一个动点，∴PM PN PM PN MN ''+=+≥，∴当,,P M N '三点共线时，PM PN +的值最小，设直线MN '的解析式为y kx b =+，则：20k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴11k b =-⎧⎨=⎩，∴1y x =-+，当0x =时，1y =，∴()0,1P ；故答案为：()0,1．【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点P 的位置．【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数2y x =-．（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点()3,2--是否在平移后的函数图象上．【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．（1）解：列表：x 20y02-过点()2,0和点()0,2-画出直线2y x =-，；（2）解：把函数2y x =-图象向上平移3个单位，得函数的解析式为1y x =+，当3x =-时，312y =-+=-，∴点()3,2--在平移后的直线上．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点画出图象．【举一反三】【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y x =向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为1y x =+，根据函数1y x =+不经过第四象限，即可得出结论．解：将正比例函数y x =向上平移1个单位长度得到1y x =+，一次函数1y x =+经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在第四象限，故选：D ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，将AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴负半轴上的点A '处，，折痕所在直线交y 轴正半轴于点C ．把直线AB 向左平移，使之经过点C ，则平移后直线的函数关系式是．【答案】121053y x =-+【分析】先求得A B 、的坐标，然后由勾股定理求出AB ，再由折叠的性质得出13A B AB '==，求得()8,0A '-，在Rt A OC '△中，根据勾股定理222A C OC A O ''=+，列出方程，解方程即可求得点C 的坐标，即可求得平移后的解析式．解：∵直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，令0x =，解得12y =，令0y =，解得5x =，∴()0,12A ，()5,0B ，∴125OA OB ==，，∵90AOB A OC '∠=∠=︒，∴13AB =，∴13A B AB '==，∴()8,0A '-，设OC x =，∴12A C AC x '==-，在Rt A OC '△中，222A C OC A O ''=+，即()222128x x -=+，解得103x =，∴100,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴平移后的直线的解析式为121053y x =-+．故答案为：121053y x =-+【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点C 的坐标是解题的关键．【考点四】一次函数图象的增减性➼➻求参数★★判断位置【例4】（2019春·广西贵港·八年级统考期末）已知一次函数(21)2y a x a =-+-.（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）122a <<【分析】（1）y=kx+b 经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b 的图象经过一、三、四象限，k ＞0，b ＜0，据此列出不等式组求解即可．解：（1）由题意得，20a -=，∴2a =．（2）由题意得21020a a ->⎧⎨-<⎩，，解得122a <<，∴a 的取值范围是122a <<．【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，则点(,)P m m -所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．解：∵一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，∴210m ->解得：12m >∴(,)P m m -在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式2】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．【答案】112b -≤≤【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x ＋b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围．解：直线y ＝12x ＋b 经过点B ，将B （3，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得3+=12b ，解得12b =-；直线y ＝12x ＋b 经过点A ，将A （1，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=12b ，解得12b =；直线y ＝12x ＋b 经过点C ，C （2，2）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=2b ，解得1b =；故b 的取值范围是112b -≤≤．故答案为：112b -≤≤【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．【考点五】一次函数图象的增减性➼➻求最值【例5】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数|1|2y x =--的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．（1）列表：x (2)-1-01234…y…10a2-1-b1…则=a _________，b =_________．（2）描点并画出该函数的图像；（3）①请写出一条关于函数|1|2y x =--的性质：__________________；②观察函数图像，当24y <<时，x 的取值范围是_________；③观察图像，直接写出函数|1|2y x =--的最小值_________．【答案】（1）1-，0；（2）见分析；（3）①当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②53x -<<-或57x <<；③2-【分析】（1）直接将0x =、3x =分别代入函数|1|2y x =--中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；②根据图像的增减性可求解；③根据图像的最低点可求得该函数的最小值．（1）解：由表格知，当0x =时，0121a =--=-，当3x =时，3120b =--=，故答案为：1-，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数|1|2y x =--图像如图所示：（3）解：①根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，或函数|1|2y x =--关于直线1x =对称，等，故答案为：当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，当2y =时，由|1|22x --=得3x =-或5x =，当4y =时，由|1|24x --=得5x =-或7x =，∴当24y <<时，x 的取值范围是53x -<<-或57x <<，故答案为：53x -<<-或57x <<；③由图像知，当1x =时，函数|1|2y x =--取得最小值，最小值为2-，故答案为：2-．【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+1【答案】A【分析】先根据0＜k ＜2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．解：∵0＜k ＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）已知一次函数23y x =-+，当05x ≤≤时，函数y 的最大值是．【答案】3【分析】根据20-<知道一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，代入计算即可得到答案．解：∵20-<，∴一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，∴当05x ≤≤时，在0x =时y 取得最大值，即：当05x ≤≤时，y 的最大值为：max 0(2)33y =⨯-+=，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数y kx b =+，当0k <时y 随x 的增大而减小，0k >时，y 随x 的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六】一次函数图象的增减性➼➻比较大小【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知一次函数24y x =-+．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若3n >，点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，试比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）12y y >，理由见分析【分析】（1）求出一次函数24y x =-+图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y 随x 的增大而减小，又可判断213n n +>+，即可确定12y y >．解：（1）对于24y x =-+，当0y =时，即240x -+=，∴2x =；当0x =时，即4y =．∴函数24y x =-+的图象经过点（2，0）、（0，4）；∴函数24y x =-+的图象如图所示．（2）∵3n >，∴()()21320n n n +-+=->，∴213n n +>+．∵24y x =-+，20k =->，∴y 随x 的增大而减小．∵点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，∴12y y >．【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3y C ．3y ＞1y ＞2y D ．3y ＜1y ＜2y 【答案】A【分析】判断-2＜-1＜1，根据一次函数的性质，得到结论．解：∵直线y ＝－x ＋7中k =-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，且-2＜-1＜1，∴1y ＞2y ＞3y ，故选A ．【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．【变式2】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若()11,A x y ，()22,B x y 分别是一次函数45y x =-+图象上两个不相同的点，记()()1212W x x y y =--，则W0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．解：∵一次函数45y x =-+，y 随x 增大而减小，∴当12x x <时，12y y >，∴12120,0x x y y --<>，∴()()12120W x x y y =--<，当12x x >时，12y y <，∴12120,0x x y y --><，∴()()12120W x x y y =--<，故答案为：＜．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【考点七】一次函数的图象➼➻一次函数与一元一次方程【例7】（2019春·广东江门·八年级阶段练习）如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5，直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （23，133），B （3,02-）,C （5,0）（2）16912解：（1）由题意得，令直线l 1、直线l 2中的y 为0，得：x 1=-，x 2=5，由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0），∵l1、l2相交于点A，∴解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y=∴点A的坐标为（，）；（2）由（1）题知：|BC|=，又由函数图象可知S△ABC=×|BC|×|y A|=××=【举一反三】【变式1】（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b （k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（）A．y随x的增大而减小B．k＞0，b＜0C．当x＜0时，y＜0D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可．解：由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，故选：D．【点拨】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线2y x =与=+y kx b 相交于点(,2)p m ，则关于x的方程2kx b +=的解是.【答案】=1x 【分析】首先利用函数解析式2y x =求出m 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x 的方程2kx b +=的解可得答案．解：直线2y x =与=+y kx b 相交于点(),2P m ，22m ∴=，1m ∴=，()1,2P ∴，∴当=1x 时，2y kx b =+=，∴关于x 的方程2kx b +=的解是=1x ，故答案为：=1x ．【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．。

一次函数的几何变换

）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。

第二十章一次函数-3一次函数的性质(上)沪教版八年级第二学期数学

技能点拨
【答案】C 【解析】解：过C点作CD⊥x轴于D，如图． ∵y=-2x+2的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点， ∴当x=0时，y=2，则B（0，2），当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，则A（1，0）． ∵线段AB绕A点顺时针旋转90°， ∴AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠BAO+∠CAD=90°，而∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CAD．在△ABO和△CAD中
di
er
bu
fen
第二部分
技能点拨
【答案】C 【解析】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=-2x向下平移2个单位，得到直线是：y=-2x-2．故选C．
技能点拨
变式：(中)把直线y=2x-1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（） A．y=2x-2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2
课堂检测
【解答】（3）直线y=2x-4与x轴的交点A的坐标为（2，0），与直线x=-1 的交点B的坐标为（-1，-6），直线y=2x-4绕点P（-1，0）顺时针旋转90°时，A点的对应点A′的坐标为（1，-3），B点的对应点B′的坐标为（-7，-0），设旋转后的直线解析式为y=kx+b，把A′（-1，-3），B′（-7，0）代入得
知识回顾
一次函数图像的几何变换
（2）对称直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y=k（-x）+b，即y=kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b，即 y=kx-b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

一次函数的图像(解析版)

5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线；一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交；（2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误；当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案．【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>，故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误；将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标．【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=，解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+，解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，；故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =， ∴(0,3)M ，又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______．【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解．【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限，可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______．【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可．【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称，则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6．故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <，故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______．【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（），两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______．【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围．【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ．（1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可．【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-．故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可；（3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可．【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=，解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠，解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值．【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值；（2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =，故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+，将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =，故函数的解析式为：132y x =+，故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-，设直线1l 的解析式是1y k x =，则可得：124k =，解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =，把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+．【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由．【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+；（2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下：对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标．【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标；（2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，，令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标．【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断；（2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”；（2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，；（3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=，解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是，n 的值是．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小；故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小；（5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。

讲一次函数的图象与性质

讲一次函数的图象与性质汇报人：日期:•一次函数概述•一次函数的图象•一次函数的性质目录•一次函数的应用•一次函数的变体形式•总结与展望01一次函数概述一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，$k \neq 0$。

一次函数定义一次函数可以用点集或解析式表示，如$y=kx+b$。

一次函数的表示定义与表示一次函数的基本形式斜截式$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。

点斜式$y-y_1=k(x-x_1)$，其中$(x_1,y_1)$是已知点。

两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是已知点。

斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数为增函数；当$k<0$时，函数为减函数。

斜率性质截距性质单调性截距$b$决定了函数的截距，即当$x =0$时，$y=b$。

一次函数的单调性由其斜率决定，斜率为正时，函数单调递增；斜率为负时，函数单调递减。

030201一次函数的重要性质02一次函数的图象确定函数图象的坐标根据函数表达式，我们可以确定函数图象上的点的坐标。

绘制函数图象通过描点法或平滑曲线法，将函数图象绘制在坐标系上。

确定函数表达式首先需要确定一次函数的表达式，通常形如y=kx+b（k≠0）。

直线特征一次函数的斜率k决定了图象的倾斜程度。

当k>0时，图象向右上方倾斜；当k<0时，图象向右下方倾斜。

斜率特征截距特征一次函数的截距b决定了图象与y轴的交点位置。

当b>0时，图象与y轴交于正半轴；当b<0时，图象与y轴交于负半轴。

一次函数的图象是一条直线。

b值变化规律当b值增大或减小时，图象与y轴的交点位置会发生变化。

k值变化规律当k值增大或减小时，图象的倾斜程度会发生变化。

函数图像平移规律当函数图像在x轴方向上平移时，斜率k不变，截距b发生变化；当函数图像在y轴方向上平移时，斜率k不变，截距b发生变化。

一次函数的图像及性质复习课

图像可以通过描点法或解析法绘制，通过图像可以直观地了解函数的增减性、与坐标轴的交点等性质。
02 一次函数的性质
一次函数的单调性
总结词
一次函数的单调性是指函数值随自变量增减而增减的性质。
详细描述
对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时，函数在全体实数范围内单调递增；当k<0时，函数在全体实数范围内单调递减。
04 一次函数的图像变换
横向平移
总结词
一次函数图像在x轴方向上平移
详细描述
当一次函数表达式为y=kx+b时，若图像在x轴方向上向右平移a个单位，则新的函数表达式为y=k(x-a)+b；若图像在x轴方向上向左平移a个单位，则新的函数表达式为y=k(x+a)+b。
纵向平移
总结词
一次函数图像在y轴方向上平移
经典例题3
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图像与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，若 |OA| = 4，|OB| =
6，求此函数的解析式。
解题技巧的总结
解题技巧1
解题技巧3
利用已知点坐标代入函数解析式求解未知数。
利用函数图像的平移规律求解问题。
解题技巧2
根据函数图像与坐标轴的交点求出函数解析式。
02
$k$是斜率，决定了函数的增减性；$b$是截距，决定了函数与y轴的交点。
一次函数的标准形式
一次函数的标准形式是$y = kx + b$，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。
标准形式是一次函数的简化形式，方便进行数学分析和计算。
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，与y轴的交点为 $(0, b)经典例题1

自学初中数学资料一次函数的图像 (资料附答案)

自学资料一、正比例函数的图像和性质【知识探索】1．因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数（是常数，）的图象．一般地，过原点（0，0）和点（1，）（是常数，）的直线，即正比例函数（）的图象．【错题精练】例1．关于正比例函数y=−2x，下列说法正确的是（）A. 图像经过（2，－1）；B. 图像经过第一象限；C. x<−1时，y>0；D. y随x的增大而增大．【答案】C例2．正比例函数y=，且y随x的增大而减小，则k为（）A. -B.C. 1D. -1第1页共17页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【答案】A例3．路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（）A. ；B. ；C. ；D. ．【答案】A．例4．（2005•湖州）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A. a＞b＞cB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. b＞c＞a【解答】C【答案】C【举一反三】1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（）第2页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】B【答案】B2．函数y=（2m-1）x是正比例函数，且y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. m＞B. m＜C. m≥D. m≤【解答】A【答案】A3．正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线y=（-a-1）x经过（）A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限【解答】C【答案】C第3页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训4．（2005•滨州）如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（）A. k1＜k2＜k3＜k4B. k2＜k1＜k4＜k3C. k1＜k2＜k4＜k3D. k2＜k1＜k3＜k4【解答】B【答案】B二、一次函数图像所过的象限【知识探索】1．1．一次函数（、是常数，且）所过的象限：（1）当，时，直线经过第一、二、三象限；（2）当，时，直线经过第一、三象限；（3）当，时，直线经过第一、三、四象限；（4）当，时，直线经过第一、二、四象限；（5）当，时，直线经过第二、四象限；（6）当，时，直线经过第二、三、四象限．【错题精练】例1．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（）A. ；B. ；第4页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训C. ；D. ．【答案】D例2．一次函数y=x+1与一次函数y=−3x+m的图像的交点不可能在（）A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三项限； D. 第四象限．【答案】D例3．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k<0；②a>0；③当x<3时，y 1<y2中，正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B例4．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求△ABP的面积．第5页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】例5．已知一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6，（1）k满足何条件时，它的图象经过原点；（2）k满足何条件时，它的图象平行于直线y=﹣x+1；（3）k满足何条件时，y随x的增大而减小；（4）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限；（5）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方．【答案】第6页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训1．等腰三角形的周长是12，设其腰长是x，底边长是y，则y与x的函数图象是（）A. ；B. ；C. ；D. ．第7页共17页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第8页共17页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】（1）解：∵直线y =kx +b 经过点A （﹣5，0），B （﹣1，4），∴{−5k +b =0−k +b =4，解方程组得：{k =1b =5， ∴直线AB 的解析式为y =x +5；（2）解：∵直线y =−2x −4与直线AB 相交于点C ，∴{y =x +5y =−2x −4，解得：{x =−3y =2， ∴点C 的坐标为（﹣3，2）；（3）解：由图可知，关于x 的不等式kx +b ＞−2x −4的解集是x ＞−3．【答案】（1）y =x +5；（2）（﹣3，2）；（3）x ＞−3．5．已知直线y=kx+b 经过点A （0，6），且平行于直线y=-2x 。

一次函数知识点

一次函数知识点一次函数是数学中一种基本的函数类型，它在解析几何、函数分析等领域中有着广泛的应用。

一次函数的表达式通常写作y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。

以下是一次函数的主要知识点总结：1. 定义：一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数，k≠0。

2. 图像：一次函数的图像是一条直线，这条直线的斜率由k决定，截距由b决定。

3. 斜率：斜率k表示函数图像的倾斜程度，斜率的正负决定了直线的上升或下降方向。

4. 截距：截距b是直线与y轴交点的y坐标，当x=0时，y的值即为b。

5. 增减性：当k>0时，函数随着x的增加而增加；当k<0时，函数随着x的增加而减少。

6. 函数值的正负：当k>0，b>0时，函数值y>0；当k>0，b<0时，函数值y可能为正或负；当k<0，b>0时，函数值y可能为正或负；当k<0，b<0时，函数值y<0。

7. 函数的平移：一次函数可以通过改变k和b的值来实现图像的平移。

8. 函数的对称性：一次函数没有对称性，因为它的图像是一条直线，不会关于任何点或线对称。

9. 函数的交点：两条一次函数的图像相交于一点，这一点的坐标满足两个函数的方程。

10. 函数的应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用，如计算斜率、预测趋势、解决实际问题等。

11. 函数的解析：通过解析一次函数的方程，可以找到函数图像上任意一点的坐标。

12. 函数的变换：一次函数可以通过缩放、平移等方式进行变换，以适应不同的数学和实际问题。

13. 函数的方程：一次函数的方程可以表示为y = kx + b，也可以表示为x = (y - b) / k。

14. 函数的解析式：解析式是描述一次函数图像特征的数学表达式，它包含了斜率和截距的信息。

15. 函数的图像绘制：通过绘制一次函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化趋势。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和应用一次函数，解决与之相关的数学问题。

八年级数学一次函数的图象和性质

描点作图
将计算出的点在坐标轴上标出，并使用平滑的曲线连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自变量变化的速率，斜率k>0时，函数值随自变量增大而增大；斜率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用

一次函数图像及性质

《一次函数的图象和性质》教课方案一、内容分析函数是数学领域中最重要的内容之一，也是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．它反应了数目之间的对应规律，是研究数目关系的重要工具．函数思想是最重要的思想，正如 F.克莱因的一句名言：“一般受教育者在数学课上应当学会的重要事情是用变量和函数来思虑．”一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实质生活中有着宽泛的应用．一次函数的学习是成立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比率函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的相关看法，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并联合图象剖析一次函数的性质．它既是正比率函数的图象和性质的拓展，又是持续学习“用函数看法看方程（组）与不等式”的基础．1.对于一次函数的图象学生在学习一次函数的图象从前已经学习了函数的图象和正比率函数的图象，掌握了画函数图象的基本方法——描点法，所以，对于运用列表、描点、连线画出一次函数的近似图象其实不生分，可是对于一次函数的图象为一条直线的理解则是本节课的内容，所以，教课时需要在学生着手绘图象的基础上，经过对一次函数与正比率函数分析式的剖析比较，使学生从数的角度加深对形的理解．在认识了一次函数的图象是一条直线，以及它和正比率函数图象之间的关系后，一次函数图象的画法能够有两种，一种是平移，另一种是两点法，突出两点法绘图时如何选用适合的点．2.对于一次函数的性质对于一次函数的性质主假如研究一次函数中的的正负对函数增减性（图象的变化趋向）的影响，对于这个性质的研究，让学生经历“先特别化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，经过对图象的研究和剖析函数自己的性质 , 深刻领悟函数分析式与函数图象之间的联系，浸透的是数形联合的思想．同时联合一次函数的图象与正比率函数图象之间的关系类比得出一次函数的性质．从数学自己发展过程来看, 正是因为变量与函数看法的引入, 标记着初等数学向高等数学的迈进 , 是一种数学思想与看法的融入. 不论从一次函数到反比率函数 , 再到此后的二次函数 , 甚至高中的其余各种函数, 都是函数的某种详细形式, 都为进一步深刻领悟函数供给了一个平台. 所以，后续学习中对反比率函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法近似．也就是说，一次函数的学习为今后其余函数的学习供给了一种研究的模式．3.教课要点掌握一次函数的图象和性质。

一次函数与几何变换

一次函数与几何变换一次函数和几何变换是数学中常见的概念，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。

本文将分别介绍一次函数和几何变换，并探讨它们之间的关系。

一、一次函数一次函数又称为线性函数，是指函数的表达式中只包含一个未知数，且未知数的最高次数为1。

一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y轴的交点。

斜率k的正负决定了直线的倾斜方向，而斜率的绝对值则表示了直线的倾斜程度。

截距b则决定了直线与y轴的位置。

一次函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，物体的运动过程可以用一次函数来描述，其中时间作为自变量，位移作为因变量。

另外，一次函数还可用于经济学中的供求关系、工程学中的电路分析等领域。

二、几何变换几何变换是指平面上的点或图形在平移、旋转、镜像、放缩等操作下的变化。

这些操作可以改变图形的位置、形状、大小等特征。

平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。

平移操作不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置。

旋转是指将图形绕着一个固定的点旋转一定角度。

旋转操作改变了图形的方向和位置，但不改变图形的形状和大小。

镜像是指将图形沿着一条直线对称翻转。

镜像操作改变了图形的方向和位置，同时改变了图形的形状。

放缩是指将图形按照一定比例进行扩大或缩小。

放缩操作改变了图形的大小和形状，但不改变图形的位置。

几何变换在几何学和计算机图形学中有广泛的应用。

例如，图像处理中常常使用几何变换来实现图像的平移、旋转、镜像、缩放等操作。

此外，几何变换还可以用于地图的绘制、建筑设计等领域。

三、一次函数与几何变换的关系一次函数和几何变换之间存在着密切的联系。

在一次函数中，自变量和因变量之间的线性关系可以通过几何变换来进行直观的展示。

以平移为例，对于一次函数y = kx + b来说，当x增加1单位时，y的增量为k单位。

这可以类比为平面上的一个点在x轴方向上移动了1单位，其对应的y值也随之改变了k单位。

一次函数知识点总结讲解

一次函数知识点总结讲解1．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．2．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）5．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．6．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．7．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．8．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．。

考点12 一次函数的图象和性质(解析版)

考点12〖一次函数的图象和性质〗【命题趋势】近三年来，中考一次函数的图象及性质考查题型主要为选择题、填空题。

1、考查内容有：①一次函数的增减性；①一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定。

2、确定一次函数解析式考查形式有：①单纯的根据一次函数性质求其解析式；①结合反比例函数求一次函数解析式；①压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。

【考查题型】选择题、填空题【常考知识】一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征及函数图象所在象限判定；单纯的根据一次函数性质求其解析式；结合反比例函数求一次函数解析式；压轴题中在第（1）或（2）问中求一次函数解析式。

【夺分技巧】①直线的倾斜方向“①”① k>0,函数值随x的增大而增大。

①直线的倾斜方向“①”① k<0,函数值随x的增大而减小。

①一次函数y=kx+b(k≠0)的上、下平移时，直接在后面加减平移单位；左、右平移时，是左加右减，如直线y=kx+b(k≠0)向左移2个单位得到直线y=k（x+2）+b(k≠0)。

①直线与y轴正半轴相交① b>0;直线与y轴负半轴相交① b<0.①一次函数y=kx+b(k≠0)有两个未知数，因此只需两个独立条件（两个已知点或两组x,y对应值）即可列出一次方程（组）求解。

【易错点】审题不细，误认为k>0，只按一种情况做而漏到另外一种情况。

一、选择题1.（2020·吉林·中考模拟卷）对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（）A.图象经过点(1, 3)B.图象与x轴交于点(−2, 0)C.图象不经过第四象限D.当x>2时，y<4【答案】D【考点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点【解析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】令y＝0，解得x＝−2，① 图象与x轴交于点(−2, 0)，故选项B正确（1）① k＝1>0，b＝2>0，① 不经过第四象限，故选项C正确（2）① k＝1>0，① 函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y＝4，① 当x>2时，y>4，故选项D不正确，2.（2020·四川·中考真卷）过点(1, 3)的正比例函数的解析式是（）A.y=3xB.y=13x C.y=3xD.y=2x+1【答案】A【考点】待定系数法求正比例函数解析式【解析】首先设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)，再把(1, 3)点代入函数解析式，算出k的值，即可得到答案．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)，① 过点(1, 3)，① 3=k×1，解得k=3，故正比例函数解析式为：y=3x，3.（2020·海南.模拟卷）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝−2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【考点】两直线相交非垂直问题、两直线平行问题、两直线垂直问题、一次函数的性质、相交线【解析】根据方程或方程组得到A(−3, 0)，B(−1, 2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】在y＝x+3中，令y＝0，得x＝−3，解得，，① A(−3, 0)，B(−1, 2)，① △AOB的面积＝3×2＝3，4.（2020·云南·中考真卷）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤2的解集是（）A.x≤−2B.x≤−4C.x≥−2D.x≥−4【答案】C【考点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象【解析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后求得函数y＝2时的自变量的值，根据图象即可求得．【解答】① 直线y＝kx+b与x轴交于点(2, 0)，与y轴交于点(0, 1)，① ，解得① 直线为y＝-+1，当y＝2时，2＝-+1，解得x＝−2，由图象可知：不等式kx+b≤2的解集是x≥−2，5.（2020·广西·模拟卷）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点(2, 3)，把正比例函数y＝kx(k≠0)的图象平移，使它过点(1, −1)，则平移后的函数图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】正比例函数的图象、一次函数图象与几何变换【解析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点(1, −1)求出一次函数解析式，即可求解．【解答】把点(2, 3)代入y＝kx(k≠0)得2k＝3，解得，① 正比例函数解析式为，设正比例函数平移后函数解析式为，把点(1, −1)代入得，① ，① 平移后函数解析式为，故函数图象大致为：．6.（2020·山西·模拟卷已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2，在同一直角坐标系下的x图象如图所示，其中符合k1⋅k2>0的是（）A.①①B.①①C.①①D.①①【答案】B【考点】反比例函数的性质、正比例函数的性质【解析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1⋅k2的正负情况，从而可以解答本题．【解答】①中k1>0，k2>0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；①中k1<0，k2>0，故k1⋅k2<0，故①不符合题意；①中k1>0，k2<0，故k1⋅k2<0，故①不符合题意；①中k1<0，k2<0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；7.（2020·湖南·模拟卷）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（）A.(−1, 2)B.(1, −2)C.(2, 3)D.(3, 4)【答案】B【考点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点【解析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．【解答】A、当点A的坐标为(−1, 2)时，−k+3＝3，解得：k＝1>0，① y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B、当点A的坐标为(1, −2)时，k+3＝−2，解得：k＝−5<0，① y随x的增大而减小，选项B符合题意；C、当点A的坐标为(2, 3)时，2k+3＝3，解得：k＝0，选项C不符合题意；>0，D、当点A的坐标为(3, 4)时，3k+3＝4，解得：k=13① y随x的增大而增大，选项D不符合题意．8.（2020·贵州·模拟卷）一次函数y＝2x−1的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】一次函数的图象【解析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．【解答】由题意知，k＝2>0，b＝−1<0时，函数图象经过一、三、四象限．9.（2020·安徽·模拟卷）若m<−2，则一次函数y＝(m+1)x+1−m的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】一次函数的图象【解析】由m<−2得出m+1<0，1−m>0，进而利用一次函数的性质解答即可．【解答】① m<−2，① m+1<0，1−m>0，所以一次函数y＝(m+1)x+1−m的图象经过一，二，四象限，10.（2020·湖北·模拟卷）已知函数y ={−x +1(x <2)−2x (x ≥2) ，当函数值为3时，自变量x 的值为（） A.−2 B.−23C.−2或−23D.−2或−32【答案】A【考点】一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数的性质、一次函数的性质【解析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【解答】若x <2，当y ＝3时，−x +1＝3，解得：x ＝−2；若x ≥2，当y ＝3时，−2x =3，解得：x =−23，不合题意舍去； ① x ＝−2，11.（2020·辽宁·模拟卷）一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（） A.第一 B.第二C.第三D.第四【答案】D【考点】一次函数的性质【解析】根据一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k >0，与y 轴的交点为(0, 3)，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．【解答】① 一次函数y ＝kx +3(k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ① k >0，该函数过点(0, 3)，① 该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，12.（2020·贵州·模拟卷）已知一次函数y =(2m +1)x +m −3的图像不经过第二象限，则m的取值范围( ) A.m >− B.m <3 C.-<m <3 D.-<m ≤3【答案】D【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况．【解答】当函数图象经过第一，三，四象限时，{2m +1>0m −3<0，解得：−12<m <3 当函数图象经过第一，三象限时， {2m +1>0m −3=0，解得m =3. ．．−12<m ≤3.13.（2020·江苏·模拟卷）一次函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象经过点A(−3, 0)，点B(0, 2)，那么该图象不经过的象限是（） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、函数的图象【解析】（方法一）根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y =23x +2的图象经过第一、二、三象限，即该图象不经过第四象限；（方法二）描点、连线，画出函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象，观察函数图象，即可得出一次函数y ＝kx +b(k ≠0)的图象不经过第四象限．【解答】（方法一）将A(−3, 0)，B(0, 2)代入y ＝kx +b ，得：{−3k +b =0b =2 ，解得：{k =23b =2 ，x+2．① 一次函数解析式为y=23>0，b＝2>0，① k=23x+2的图象经过第一、二、三象限，① 一次函数y=23即该图象不经过第四象限．故选：D．（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象不经过第四象限．x+2分14.（2020·贵州·模拟卷）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2和直线y=23别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是()x+2A.y=x+2B.y=√2x+2C.y=4x+2D.y=2√33【答案】C【考点】一次函数图象上点的坐标特点【解析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．x+2分别交x轴于点A和点B．【解答】解：① 直线y=2x+2和直线y=23① A(−1, 0)，B(−3, 0)A、y=x+2与x轴的交点为(−2, 0)，故直线y=x+2与x轴的交点在线段AB上；B、y=√2x+2与x轴的交点为(−√2, 0)，故直线y=√2x+2与x轴的交点在线段AB上；C、y=4x+2与x轴的交点为(−12, 0)，故直线y=4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D、y=2√33x+2与x轴的交点为(−√3, 0)，故直线y=2√33x+2与x轴的交点在线段AB上.15.（2020·重庆·模拟卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，则k的值为（）A.−12B.−42C.42D.−21【答案】D【考点】一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质【解析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≅△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【解答】① 当x＝0时，y＝0+4＝4，① A(0, 4)，① OA＝4；① 当y＝0时，0=43x+4，① x＝−3，① B(−3, 0)，① OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，① 四边形ABCD是正方形，① ∠ABC＝90∘，AB＝BC，① ∠CBE+∠ABO＝90∘，∠BAO+∠ABO＝90∘，① ∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，{∠CBE=∠BAO ∠BEC=∠AOBBC=AB，① △AOB≅△BEC(AAS)，① BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，① OE＝3+4＝7，① C点坐标为(−7, 3)，① 点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，① k＝−7×3＝−21．二、填空题16.（2020·四川·模拟卷）函数y＝x−1的图象一定不经过第________象限．【答案】二【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】根据一次函数y＝kx+b的图象的性质作答．【解答】由已知，得：k>0，b<0．故直线必经过第一、三、四象限．则不经过第二象限．17.（2020·广东·模拟卷）一次函数y＝−2x+b，且b>0，则它的图象不经过第________象限．【答案】三【考点】一次函数的性质【解析】直接利用y＝kx+b与y轴交于(0, b)，当b>0时，(0, b)在y轴的正半轴上，进而得出答案．【解答】① 一次函数y＝−2x+b，且b>0，① 它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．18.（2020云南·模拟卷）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________．【答案】k>0【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解答】① 一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，① k>0．19.（2020·吉林·模拟卷）一次函数y＝(2m−1)x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的．取值范围为________>12【答案】m【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m−1>0，再解不等式即可求出m的取值范围．【解答】① 一次函数y＝(2m−1)x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，① 2m−1>0，解得m>1．220.（2020·广西·模拟卷）将直线y＝−2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】y＝−2x+1【考点】一次函数图象与几何变换【解析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．【解答】将直线y＝−2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝−2x+(1)21.（2020·山东·模拟卷）已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而________．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【考点】正比例函数的性质【解析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，22.（2020·贵州·模拟卷）把直线y＝2x−1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为________．【答案】y=2x+3【考点】一次函数图象与几何变换【解析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把直线y=2x−1向左平移1个单位长度，得到y=2(x+1)−1=2x+1再向上平移2个单位长度，得到y=2x+323.（2020·黑龙江·模拟卷）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1:y=kx+k+1与直线l2:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是________.【答案】(−1, 1)【考点】一次函数图象上点的坐标特点【解析】变形解析式得到两条直线都经过点(−1, 1)，即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点(−1, 1)；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝(k+1)x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S k，求出S1=12×(1−12)=14，S2=12×( 12−13)，以此类推S100=12×( 1100−1101)，相加后得到12×(1−1101)．【解答】解：① 直线l1:y=kx+k+1=k(x+1)+1，① 直线l1:y=k(x+1)+1经过点(−1, 1)；① 直线l2:y=(k+1)x+k+2=(k+1)x+k+1+1=(k+1)(x+1)+1，① 直线l2:y=(k+1)x+k+2经过点(−1, 1)．① 无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点(−1, 1)．24.（2020·海南·模拟卷）如图，正比例函数的图象与一次函数y=−x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y=−2x【考点】一次函数图象上点的坐标特点、待定系数法求正比例函数解析式【解析】根据图象和题意，可以得到点P的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到点P的坐标，然后代入正比例函数解析式，即可得到这个正比例函数的解析式．【解答】解：① 点P到x轴的距离为2，① 点P的纵坐标为2.① 点P在一次函数y=−x+1上，① 2=−x+1，得x=−1，① 点P的坐标为(−1, 2).设正比例函数解析式为y=kx，则2=−k，得k=−2，① 正比例函数解析式为y=−2x，25.（2020·云南模拟卷）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米．【答案】350【考点】一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式【解析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将(8, 960)、(20, 1800)代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，将(8, 960)，(20, 1800)代入，得：{8k+b=960, 20k+b=1800,解得：{k=70, b=400,① s=70t+400；当t=15时，s=1450，则1800−1450=350（米），① 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，26.（2020·湖北·模拟卷）如图，点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为________．【答案】6【考点】反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特点、反比例函数图象上点的坐标特征【解析】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，由线段的比例关系求得△AOC和△ACD 的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．【解答】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，① ，① ＝，△AOB的面积为6，① ＝2，① ＝1，① △AOD的面积＝3，根据反比例函数k的几何意义得，，① |k|＝6，① k>0，① k＝6．27 .（2020·四川·模拟卷）如图，直线y＝kx+b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4, 2)，则关于x 的不等式kx +b <2的解集为________．【答案】x <4【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】结合函数图象，写出直线y =kx +b 在直线y =2下方所对应的自变量的范围．【解答】解：直线y =kx +b 与直线y =2交于点A (4,2)x <4时，y <2 关于x 的不等式kx +b <2________的解集为：x <428.（2020·湖南模拟卷）如图，已知直线a:y ＝x ，直线b:y =−12x 和点P(1, 0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点P 2，过点P 2作y 轴的平行线交直线a 于点P 3，过点P 3作x 轴的平行线交直线b 于点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2020的横坐标为________．【答案】22010【考点】一次函数图象上点的坐标特点、规律型：点的坐标、规律型：图形的变化类、正比例函数的性质、规律型：数字的变化类【解析】点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上，得到P 1(1, 1)，求得P 2的纵坐标＝P 1的纵坐标＝1，得到P 2(−2, 1)，即P 2的横坐标为−2＝−21，同理，P 3的横坐标为−2＝−21，P 4的横坐标为4＝22，P 5＝22，P 6＝−23，P 7＝−23，P 8＝24…，求得P 4n ＝212n ，于是得到结论．【解答】① 点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上，① P1(1, 1)，① P1P2 // x轴，① P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，① P2在直线y=−12x上，① 1=−12x，① x＝−2，① P2(−2, 1)，即P2的横坐标为−2＝−21，同理，P3的横坐标为−2＝−21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝−23，P7＝−23，P8＝24…，① P4n＝212 n，① P2020的横坐标为212×2020=21010，29.（2020·江苏·模拟卷）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y=−1x，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为a n，若a1＝2，则a2020＝________．【答案】2【考点】规律型：数字的变化类、反比例函数的性质、规律型：图形的变化类、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质、规律型：点的坐标【解析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．【解答】当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2=−1x1=−12，B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2=−32，A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3=−1a2=23，B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3=−13，A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4=−1a3=3，B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，…由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，① 2020÷3＝673...1，① a2020＝a1＝2，30.（2020·重庆·模拟卷）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为(1, 1)．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为(5, 3)．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标________．【答案】(2×32020−1, 32020)【考点】规律型：数字的变化类、一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质、相似三角形的性质与判定、规律型：图形的变化类、规律型：点的坐标【解析】由B坐标为(1, 1)根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．【解答】① 点B坐标为(1, 1)，① OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，① A1(2, 3)，① A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，① B1(5, 3)，① A2(8, 9)，① A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，① B2(17, 9)，同理可得B3(53, 27)，B4(161, 81)，…由上可知，B n(2×3n−1, 3n)，① 当n＝2020时，B n(2×32020−1, 32020)．。