抛物线与几何变换(讲义)
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线的几何变换
抛物线的几何变换抛物线是一种常见的曲线形状，它在几何学中有着重要的应用。
通过对抛物线进行几何变换，我们可以得到一系列有趣的结果和应用。
本文将就抛物线的几何变换进行详细探讨。
我们来讨论抛物线的平移变换。
平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离。
对于抛物线来说，平移变换可以使得抛物线在平面上的位置发生改变，但其形状和大小保持不变。
通过平移变换，我们可以将抛物线的顶点从原点移动到任意位置，从而得到不同位置的抛物线。
接下来，我们来探讨抛物线的缩放变换。
缩放是指改变图形的大小，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，缩放变换可以使得抛物线的形状变得更加扁平或者更加瘦长。
通过缩放变换，我们可以调整抛物线的曲率和尺寸，从而满足不同的需求。
除了平移和缩放变换，我们还可以对抛物线进行旋转变换。
旋转是指将图形绕着某个点或者某个轴进行旋转，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，旋转变换可以使得抛物线沿着顶点或者其他点进行旋转，从而改变抛物线的朝向和方向。
通过旋转变换，我们可以得到不同方向的抛物线，具有更多的应用场景。
我们还可以对抛物线进行镜像变换。
镜像是指通过某个直线将图形的各个部分对称翻转，使得图形的对称轴上的点保持不变。
对于抛物线来说，镜像变换可以使得抛物线关于某个直线对称，从而得到与原抛物线关于对称轴对称的抛物线。
通过镜像变换，我们可以得到一对关于对称轴对称的抛物线，具有更多的几何特性。
我们来谈论一下抛物线的平移、缩放、旋转和镜像的组合变换。
通过将这些变换结合起来，我们可以得到更加复杂的抛物线图形。
例如，我们可以先进行平移变换，将抛物线移动到指定位置，然后再进行缩放变换，调整抛物线的大小，最后进行旋转变换，改变抛物线的方向。
这样，我们可以得到一个全新的抛物线图形，具有丰富的几何特征。
抛物线的几何变换是一种有趣且实用的数学工具。
通过对抛物线进行平移、缩放、旋转和镜像变换，我们可以得到各种不同形状和特性的抛物线图形。
专题12-3 抛物线的几何变换
12－3抛物线的几何变换1.理解抛物线在旋转与平移两种几何变换中，图像的位置变化与解析式的变化之间的联系及规律.2.理解抛物线在几何变换过程中，由顶点或某个定点的位置情况确定参数的取值范围.3. 灵活应用“数形结合”的思想理解函数图像上点的坐标特征与意义.类型一抛物线的旋转变换例1如图12－48，设点P为抛物线2(2)y x=+上的任意一点，将整条抛物线绕其顶点G顺时针方向旋转90°后得到一个新图象，点P在新图象中的对应点记为Q.（1）当点P的横坐标为－4时，求点Q的坐标；（2）设Q（m,n），试用n表示m.【分析】（1）过点P作PE⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F，由旋转的性质知：△GQF≌△PGE，则QF＝GE，PE＝GF，从而可求出Q点的坐标.（2）已知点Q的坐标，即可得到QF、FG的长，仿照（1）的方法可求出点P的坐标，然后代入原抛物线的解析式中，可求得m、n的关系式.【解】（1）2(2)y x=+，则G（－2,0），易求得P（－4,4）.如图12－48，连接QG、PG，过点Q作QF⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E.依题意，可得△GQF≌△PGE，则可得Q（2，2）.（2）已知Q （m ,n ），则GE ＝QF ＝n ，FG ＝m ＋2.由（1）知：PE ＝FG ＝m ＋2，GE ＝QF ＝n ，即P （－2－n ，m ＋2）. 代入原抛物线的解析式中，得m ＋2＝（－2－n ＋2）2， 整理得22m n =-.【点评】此题主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识.拓展与变式1 如图12－49，已知抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0），它的顶点为G ，点P 为抛物线对称轴右侧上任意一点（不与点G 重合）.（1）求证：顶点G 一定在x 轴的正半轴上；（2）将抛物线绕其顶点G 逆时针旋转90°后得到一个新图象，点Q 为点P 旋转后的对应点.①当n ＝2，点P 的横坐标为4时，求点Q 的坐标；②设点Q 的坐标为（a ，b ），请用含n 、b 的代数式表示a .【答案】解：（1）222y x nx n =-+=()2x n -，则该抛物线的顶点坐标是（n ，0）．∵n 为常数，n ＞0，∴顶点G 一定在x 轴的正半轴上；（2）①由（1）知，抛物线222y x nx n =-+的顶点坐标是（n ，0）． ∴当n ＝2时，顶点为G （2，0），∵P 点横坐标为4，纵坐标为4， ∴P 点横、纵坐标与顶点G 差值为2、4，∴根据旋转的性质得到Q 点坐标为：（−2，2）； ②设P （x ，y ）．如图，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则∠QMG ＝∠GNP ＝90°，∵根据旋转性质得∠QGP ＝90°，∴∠QGM ＝∠GPN （同角的余角相等），在△QMG 与△GNP 中，∠QMG ＝∠GNP ，∠QGM ＝∠GPN ，QG ＝GP ， ∴△QMG ≌△GNP （AAS ），∴QM ＝GN ，MG ＝PN ，∴b ＝x−n ，n−a ＝y ，又∵点P 在抛物线y ＝()2x n -上， ∴n−a ＝()2x n -＝2b ，则a ＝−2b ＋n ．拓展与变式2 如图12－50，点P 为抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0）上任意一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.若原抛物线恰好也经过点A ，点Q 在第一象限内，是否存在这样的点P ，使得AQ ＝GQ ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】点Q 在第一象限内，AQ ＝GQ ，如图所示，由旋转知，AG ＝CG ，且∠AGC＝90°，∴∠AGO＝∠CGx＝45°，∴OA＝OG ，，∴n ＝1，∴点A （0，1），点A 的对应点C （2，1），G （1，0）， ∴直线CG 解析式为y ＝x −1，线段CG 的中垂线MN 解析式为y ＝−x ＋2，由y ＝−x ＋2，y ＝2x −2x ＋1，解得x=12，y=32-或x=12，y=32+，∵点P 在第一象限，∴点P ，32）．拓展与变式3 如图12－51，将抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0），绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 是新图象在第一象限内的一点，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC ，求证：△AQO ≌△EQO.【答案】∵四边形OQDE 为平行四边形，∴QC＝CE ＝12QE ， 又∵AQ＝2QC ，∴AQ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC，∴∠AQO＝∠EQO，∵在△AQO 和△EQO 中， AQ ＝EQ ，∠AQO＝∠EQO，QO ＝QO ，∴△AQO≌△EQO（SAS ）拓展与变式4 如图12－52，将抛物线222y x nx n =-+（n 为常数，n>0）绕顶点G 逆时针旋转90°后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），其中Q 为新图象在第一象限内的一点，点D 在x 轴的正半轴上，C 为OD 的中点，QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC ，当QD ＝n 时，求n 的值.【答案】如图，延长QC 到点E ，使CE ＝CQ ，连接OE ；∵C 为OD 中点， ∴OC ＝CD ，∵∠ECO ＝∠QCD ，∴△ECO ≌△QCD ，∴OE ＝DQ ＝n ； ∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝QE ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠1＝∠2， ∴△AQO ≌△EQO ，∴AO ＝EO ＝n ，∴A （0，n ），∵A （0，n ）在新图象上，∴0＝n −2n ，∴1n ＝1，2n ＝0（舍）， ∴n ＝1．类型二抛物线的平移变换例2（2017绍兴）如图12－53，矩形ABCD的两条对称轴在坐标轴上.点A的坐标为（2,1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这上点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为2y x=，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，由该抛物线的函数表达式变为（）A.2814y x x=++ B.2814y x x=-+C.243y x x=++ D.243y x x=-+【分析】抛物线的顶点的变化确定图象的平移规律.先由图象顶点A平移得到点C，得到平移规律，从而确定抛物线的顶点坐标的变化，可得答案.【解】由A(2,1)，则可得C(－2，－1)，由点A（2,1）到点C（－2，－1），需要先将点A向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度.则抛物线2y x=，经过平移后变为22(4)2814y x x x=+-=++.故选A.例3（2017绵阳）将二次函数2y x=的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数2y x b=+的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A.b＞8B. b＞－8C. b≥8D. b≥－8【分析】抛物线因平移与另一图象之间位置变化情况确定参数的取值范围.先根据平移原则，写出解析式，再列出方程组，两图象有公共点，则△≥0，从而可以求出b的取值.【解】依题意得平移后得到的二次函数图象的解析式为2(3)1y x =--，则，2(3)12y x y x b⎧=--⎨=+⎩ ∴2(3)1x --＝2x b +，即2880x x b -+-=.由△＝（－8）2－4×1×（8－b ）≥0，解得b ≥－8，故选D.【点评】平移后的抛物线的关系式的确定方法：首先将原抛物线配方，确定顶点坐标，然后根据平移的性质求出平移后的顶点坐标，从而求得平移后的抛物线.在不同的背景下，如何确定顶点或定点，并由点的变化情况确定图象的位置变换，是解题的关键.拓展与变式5 如图12－54，抛物线2y x =沿直线y x =个单位长度，顶点在直线y x =上的M 处，则平移后的抛物线的解析式为 .【答案】y=()21x -+1拓展与变式6 抛物线21y x =+的图象沿着直线112y x =-个单位长度，其函数解析式变为 .【答案】y=2x +4x+4或y=2x -4x+6拓展与变式7 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度或向上平移1个单位长度，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.若抛物线经过两次简单变换后的新抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能是（ ）A. 21y x =-B. 265y x x =++C. 244y x x =++D. 2817y x x =++【答案】B【同步练习】1.将抛物线22(1)3y x =-+绕着原点O 旋转180°，所得抛物线的解析式为 . 【答案】y=()221x -+-32.将抛物线221210y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为 .【答案】y=22x -+12x-263.已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），若将此抛物线绕点A 按顺时针方向旋转180°，则旋转所得的抛物线对应的函数关系式为 .【答案】y=2x --6x-54.已知抛物线243y x x =+-，请你设计一种平称的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =上，请你写出平移后的抛物线的解析式.【答案】y=()21x -+1（答案不唯一，只需顶点的横、纵坐标相同即可）5.如图12－55，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（－2,4），AB ⊥y 轴于点B ，抛物线22y x x c =--+经过点A ，将抛物线向下平移m 个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△AOB 的内部（不包括△AOB 的边界），则m 的取值范围是 .【答案】1＜m ＜36.如图12-56，抛物线2(0)y ax bx a =+<的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为B ，将该抛物线的图象绕原点O 旋转180°后，与x 轴交于点C ，若此时四边形ABCD 恰好为矩形，则b 的值为 .【答案】-【压轴挑战】7.（2017济宁）已知函数2(25)2y mx m x m =--+-的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围，并写出当m 取值范围内最大整数时函数的解析式； （2）题（1）求得的函数记为C 1.①当n ≤ x ≤－1时，y 的取值范围是1≤y ≤－3n ，求n 的值；②函数C 2：2()y m x h k =-+的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心、的圆内或圆上，设函数C 1的图象顶点为M ，求点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式.【答案】(1)函数图象与x 轴有两个交点, ∴m ≠0且[一(2m-5)]2一4m(m-2)＞0, 解得m ＜2512且m ≠O.∵m 为符合条件的最大整数, ∴m=2. ∴函数的解析式为y=22x +x.(2)①抛物线的対称轴为直线x=2b a -=14-，∵n ≤x ≤－1＜14-, a=2＞0, ∴当n ≤x ≤-时, y 随x 的増大而喊小,且1≤y ≤-3n.∴当x=n 时, y=－3n.∴22n +n=-3n,解得n=－2或n=O(舍去).∴n 的值为一2.②∵y=22x +x=221(x )4+-18，∴M （14-，-18）如图D12-15，当点P 在OM 与⊙0的交点处时，PM 有最大值.设直线OM 的解析式为y=kx ，将点M 的坐标代入，得14-k=一18，解得k=12.∴直线OM 的解析式为y=12x.设点P 的坐标为（x ，12x),由勾股定理得=5,∴x=2（x=-2舍），∴点P 坐标为（2,1），∴当点P 与点M 距离最大时， 函数2C 的解析式为y=2()22x -+18、如图12—57，已知抛物线21122C y x x =-：与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C ，P 是抛物线上的点，其横坐标为6，D 为抛物线的顶点.（1）求ABC S ∆（2）将抛物线1C 绕点D 旋转180°后得到抛物线2C ,并将2C 沿直线CD 平移，平移后的抛物线交y 轴于点Q ，顶点为R ，平移后是否存在这样的抛物线，使△CRQ为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解（1）对于抛物线2112(0,1(32C x x CA B -：y=（1[(3(132ABC S ∆=-=（2）易得抛物线2112)22C x --：y=（旋转180°后抛物线221(2)22C y x =---：直线CD 的解析式为y x =--2C 平移后的关系式为21()2y x a a =---易得C （0，,R(,a a -) Q 21(0,2a a --22222222411,(1),24CR a a CQa a RQ a a =+=+=+由2222221,(1)222CR CQ a a a a a a =+=+⇒=-+=--得到舍）由22222412,2(4CR RQ a a a a a a =+=+⇒==-得到舍去）由22222411(1)024RQ CQ a a a a a =+=+⇒=得到综上所述，当a=2时，抛物线解析式为21(2)22y x =---当2a =-+21222y x =-+-+-（。
高中数学必修抛物线教学讲义
03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
高二数学《抛物线》知识精讲 人教版
高二数学《抛物线》知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 《抛物线》 教学目标：1. 理解并掌握抛物线的定义及其标准方程。
2. 理解并掌握抛物线的性质，并会画图。
3. 掌握抛物线单元中的相关知识，并会综合应用。
能力训练：1. 掌握抛物线的定义及标准方程、几何性质的综合应用。
2. 会求轨迹方程及抛物线的实际应用问题。
3. 准确把握抛物线标准方程的四种形式，进一步巩固待定系数法。
4. 进一步培养学生数形结合的能力，并能灵活运用常用的一些数学变换方法解决综合性问题。
教学过程： 知识提要： 1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线。
2. 抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上：y 2=2px ，（p>0）。
（2）顶点在原点，焦点在x 轴负半轴上：y 2=－2px ，（p>0）。
（3）顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴上：x 2=2py ，（p>0）。
（4）顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，x 2=－2py ，（p>0）。
3. 抛物线的几何性质：（1）焦点在x 轴正半轴上的抛物线y 2=2px ，（p>0）的几何性质： ①范围：x ≥0，y ∈R 。
②对称性：图形关于x 轴对称。
③顶点：0（0，0）。
④离心率：e=1。
⑤准线：。
x p=-2说明：其实从图形上就可以反映前三条性质，下面列表给出四种形式的性质：图形 =2px(p>0)=2py(p>0)二. 重点、难点：重点：抛物线的定义，标准方程，几何性质的综合运用。
难点：抛物线的几何性质在解题及证题中的运用。
【典型例题分析】 例1. 选择题：1. 抛物线y=ax 2（a ≠0）的焦点坐标是（ ）A aB aC aD a.().().().()140140014014，，，，--解：把方程化为：≠，与对照。
第2章 2.7.1 抛物线的标准方程-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
2.7 抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程学习目标核心素养1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养．在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．1．抛物线的定义[提示]不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2y＝p2提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负．[提示]一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p (p ＞0)即为焦点到准线的距离． (2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上．(3)× 当定点在直线上时，不表示抛物线．2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－8 B [由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18．] 3．抛物线y 2＝－16x 的焦点坐标为( ) A ．(－4,0) B ．(4,0) C ．(0,4)D ．(0，－4) A [y 2＝－16x ，∴p ＝－8，∴p2＝－4，开口方向向左， ∴焦点坐标为(－4,0)．]4．抛物线x 2＝16y 的准线方程为 ．y ＝－4 [抛物线的焦点在y 轴上，开口方向向上，故准线方程为y ＝－p2，且2p ＝16，∴p2＝4，∴准线方程为y ＝－4．]求抛物线的标准方程【例1】(1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [思路探究][解](1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3．∴抛物线的方程为y2＝－6x．若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y．综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x．②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p的值；(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.[跟进训练]1．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,25)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．[解]设焦点F(a,0)，|PF|＝(a＋5)2＋20＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1，或a＝－9．当焦点为F(－1,0)时，p＝2，抛物线的开口向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口向左，其方程为y2＝－36x．抛物线定义的应用[探究问题[提示]抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1．定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．[提示]焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”．[提示]抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误．【例2】 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．[思路探究] 把|MF |比M 到y 轴的距离大12，转化为|MF |与点M 到x ＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．1．(变换条件、改变问法)若本例中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．[解] 设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋y 20＝4 ①，又由例题的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②，由①②可得⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3． 2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．[解] 如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，最小值为3＋12＝7 2．这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用【例3】点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是() A．11．25 cm B．5．625 cmC．20 cm D．10 cm(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．(1)B[如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4542＝458＝5．625(cm)．](2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．即抛物线方程为x2＝－25y．∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6．由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝y B－(－4)＝－425＋4＝3．84，∴最长支柱的长为3．84米．求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系．(2)设出合适的抛物线方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量．(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．[跟进训练][解] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y ．当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船面露出水面上的部分高为0．75 m ， 所以h ＝|y A |＋0．75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．1．抛物线y 2＝4x 上的点M (4，y 0)到其焦点F 的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6C [由抛物线y 2＝4x ，得F (1,0)，如图，|FM |＝4＋p2＝4＋1＝5．]2．抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．y 2＝16xD ．y 2＝8xC [抛物线的准线为x ＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝4，p ＝8，抛物线方程为y 2＝16x ．]3．若抛物线y 2＝2px (p ≠0)的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则实数p＝ ．4 [因为椭圆x 26＋y 22＝1，所以a 2＝6，b 2＝2， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，故c ＝2， 所以右焦点为(2,0)，所以p2＝2，p ＝4．]4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．11 [解] 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，M 点到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ．将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6．∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
抛物线的知识点高二
抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。
一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。
当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。
2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。
3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。
4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。
三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。
2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。
3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。
4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。
五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。
3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。
4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。
抛物线知识点归纳总结
积
• 利用抛物线的对称性，简化体积计算过程
抛物线面积与体积问题的实际应用
抛物线面积与体积在几何问题中的应用
• 描述圆锥曲线、圆等几何图形的面积和体积问题
• 描述抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线的面积和体积问题
抛物线面积与体积在物理问题中的应用
• 描述物体的抛物线运动轨迹的面积和体积问题
• 描述物体的抛物线形变问题的面积和体积问题
• 标准方程y = ax^2 + bx + c决定了抛物线图像的形状、
• 一般方程为Ax^2 + Bx + Cy + D = 0，其中A、B、C、
开口方向、顶点坐标等
D为常数，A≠0
• 根据抛物线图像的特征，可以反推出标准方程
• 一般方程可以转化为标准方程，进而确定抛物线图像
03
抛物线的方程求解与应用
kx
抛物线的切线绘制方法与技巧
抛物线的切线绘制方法
抛物线的切线绘制技巧
• 确定抛物线上需要绘制切线的点
• 利用抛物线的对称性，简化切线绘制过程
• 利用切线方程，计算切线的斜率和截距
• 结合图像，判断抛物线的形状和开口方向，辅助切线绘
• 绘制切线，使其通过指定点和切线方程
制
抛物线切线问题的实际应用
• 对抛物线方程进行化简，得到标准方程或一般方程
• 变形后的抛物线方程仍保持原有性质，但图像发生改变
• 化简后的抛物线方程便于求解和应用
04
抛物线的极值与最值问题
抛物线的极值点与最值点求解
抛物线的极值点
抛物线的最值点
• 抛物线在顶点处取得极值，即顶点为极值点
• 抛物线在顶点处取得最值，即顶点为最值点
高中数学选修一第2章 2.7.2 抛物线的几何性质人教B版讲义
2.7.2 抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？[提示]有一条对称轴．思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．( )(2)抛物线的范围为x∈R．( )(3)抛物线关于顶点对称．( )(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 A [∵抛物线的方程为y 2＝8x ， ∴其准线l 的方程为x ＝－2， 设点P (x 0，y 0)到其准线的距离为d ， 则d ＝|PF |，即|PF |＝d ＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∵点P 到y 轴的距离是6， ∴x 0＝6， ∴|PF |＝6＋2＝8．]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝ ．8 [∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2．∵由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8．]4．顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 ．y 2＝24x 或y 2＝－24x [∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p ＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y 2＝24x 或y 2＝－24x ．]由抛物线的几何性质求标准方程【】(1)平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 ．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．](2)解：椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3．用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6， 因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋a 2＝10．① 因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0．②由①②，得⎩⎨⎧a ＝2，x0＝9或⎩⎨⎧a ＝18，x0＝1或⎩⎨⎧a ＝－18，x0＝－1或⎩⎨⎧a ＝－2，x0＝－9.所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．抛物线性质的应用【例2】(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线上一点，且∠AFO ＝120°(O 为坐标原点)，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是 ．(2)已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个三角形的边长．(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ， 在Rt △AFH 中，|FH |＝x 0－1， 由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°， 故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)， 所以A 点的坐标为错误!，将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0， 解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 2＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 2＋y 2， 即x 21－x 2＋2px 1－2px 2＝0， 整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ．利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A ，B 关于x 轴对称而出错．[跟进训练] 2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] 由已知得c a ＝2，所以a2＋b2a2＝4，解得ba＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．焦点弦问题[探究问题]以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题： (1)过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] ①|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin2θ(θ为AB 的倾斜角)．③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p22sin θ．⑤1|AF|＋1|BF|＝2p(定值)． (2)以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？[提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (3)解决焦点弦问题需注意什么？[提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)，∴x 1＋x 2＝k2p ＋2pk2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k2p ＋2pk2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k2p ＋2p k2＋p ＝52p ，∴k ＝±2．∴所求直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2．1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离． [解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)， 由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ，所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1． [解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2p k y ＋p 2，即y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y1，B 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y2，得kA 1F ＝－y1p ，kB 1F ＝－y2p． ∴kA 1F ·kB 1F ＝y1y2p2＝－1， ∴∠A 1FB 1＝90°．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12．]2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有错误!⇒错误!⇒错误!所以符合题意的点为(2，±42)．]3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y204，y0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y204，y0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y204，－y0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．]4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是 ．158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，11 / 11 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14． ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y1＋y22＝158．] 5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若|AB |＝8，求k 的值．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2． 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由错误!可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k2＋4k2． ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k2＋4k2＋2＝8， 解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1．。
高中抛物线通用课件
02 抛物线的焦点和准线是相互垂直的，且距离为 $|p|$。
抛物线的开口方向与大小
抛物线的开口方向由焦点的位置 决定，焦点在 $x$ 轴正半轴上 时，开口向右；焦点在 $x$ 轴
负半轴上时，开口向左。
抛物线的开口大小由焦距 $p$ 的绝对值决定，$|p|$ 值越大， 开口越大；$|p|$ 值越小，开口
04
抛物线的作图与计算
抛物线的作图方法
直接作图法
通过抛物线的定义，利用 直尺、圆规等工具直接画 出抛物线。
参数法
引入参数方程，通过参数 的变化来绘制抛物线。
坐标法
利用抛物线的标准方程， 通过坐标变换和函数图像 绘制抛物线。
抛物线的计算方法
标准方程法
利用抛物线的标准方程， 求出焦点、准线等几何量 。
越小。
当 $p = 0$ 时，抛物线退化为 一条直线，即 $y = 0$。
03
抛物线的应用
抛物线在几何图形中的应用
抛物线与椭圆、双曲线的比较
通过比较抛物线与椭圆、双曲线的定义和性质，理解抛 物线的几何特性。
抛物线与直线的位置关系
研究抛物线与直线相交、平行和垂直的条件，以及这些 条件下的几何意义。
抛物线在实际问题中的应用
01
抛物线与物理学
理解抛物线在物理学中的应用，如斜抛运动、光 线的反射和折射等。
02
抛物线与经济学的关系
探讨抛物线在经济学中的运用，如需求曲线、成 本曲线等。
抛物线与其他数学知识的综合应用
抛物线与三角函数
结合三角函数的知识，研究抛物线的周期性和对 称性。
抛物线与导数
利用导数研究抛物线的极值点和切线斜率，解决 实际问题中的最优化问题。
当 $p > 0$ 时，抛物线开口向右；当 $p < 0$ 时 02 ，抛物线开口向左。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结定义与性质：抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
焦点并不在准线上。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线具有镜像对称性，其形状大致为U形。
垂直于准线并通过焦点的线被称为“对称轴”。
与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，是抛物线最锋利弯曲的点。
沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。
“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。
抛物线可以向上、向下、向左、向右或向另一个任意方向打开。
标准方程：抛物线有多种标准方程形式，根据开口方向和焦点位置的不同，可以分为右开口、左开口、上开口和下开口抛物线。
例如，右开口抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），其中p为焦准距。
焦点与准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离相等的点。
准线是抛物线上所有点到焦点距离相等的直线。
焦点和准线的位置关系决定了抛物线的开口方向和大小。
焦半径公式：对于抛物线y²=2px（p>0），任意一点M(x0,y0)到焦点的距离（焦半径）为|MF|=2x0。
焦点弦：焦点弦是过焦点的任意一条弦，其长度可以用焦点坐标和弦端点坐标之间的关系来表示。
焦点弦的长度与焦点到弦的端点的距离之和是一个定值。
应用：抛物线在几何光学和力学中有重要的用处，特别是反射光的材料制成的抛物面天线或抛物线麦克风等。
抛物线也广泛应用于工程学和建筑学中，如建筑设计中的门廊、拱桥等结构的设计，以及照明设计中的抛物面反射等。
在数学教育中，抛物线作为一个经典的数学曲线，对于培养学生的几何直观和空间想象能力具有重要作用。
总之，抛物线是一个具有丰富性质和应用价值的数学曲线，在各个领域都有广泛的应用。
通过深入学习和理解抛物线的性质和应用，可以更好地掌握相关领域的知识和技能。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结1. 定义- 抛物线是二次函数的图像，具有一个顶点和一个对称轴。
- 它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。
2. 标准方程- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中 (h, k) 是顶点的坐标，a 是抛物线的开口系数。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
3. 图像特征- 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，开口向下。
- 对称性：抛物线关于其对称轴（垂直于 x 轴的直线）对称。
- 焦点和准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离的最小值点，准线是与抛物线焦点等距的一条直线。
4. 焦点和准线的性质- 焦点：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，焦点坐标为 (h, k+ 1/(4a))。
- 准线：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，准线的方程为 y =k - 1/(4a)。
5. 顶点- 顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
- 顶点坐标可以通过方程的顶点形式直接获得。
6. 对称轴- 对称轴是一条垂直线，其方程为 x = h。
7. 抛物线的变换- 水平变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上平移来改变位置。
- 垂直变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上缩放来改变大小。
8. 应用- 物理：抛物线运动（如物体在重力作用下的抛射运动）。
- 工程：建筑设计中的拱形结构。
- 经济学：成本和收益分析中的收益最大化问题。
9. 求导与极值- 对于一般形式 y = ax^2 + bx + c，求导得到 y' = 2ax + b。
- 顶点处的导数为零，即 y'(h) = 0，这是找到顶点的方法。
10. 抛物线与直线的交点- 通过解方程组 {y = ax^2 + bx + c, y = mx + n} 可以找到抛物线与直线的交点。
专题3抛物线与几何变换
专题提优3 抛物线与几何变换———专题讲解———一、抛物线的平移 （1）具体步骤：先利用配方法将二次函数化成y =a （x －h ）2＋k 的形式，确定其顶点（h ，k ），然后作出二次函数y =ax 2的图象，将抛物线y =ax 2平移，使其顶点平移到（h ，k ）．具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”． 二、抛物线的对称二次函数图象的对称一般有五种情况： ①关于x 轴对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =－ax 2－bx －c ；y =a （x －h ）2＋k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =－a （x －h ）2－k ． ②关于y 轴对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax 2－bx ＋c ；y =a （x －h ）2＋k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =a （x ＋h ）2＋k ． ③关于原点对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于原点对称后，得到的解析式是y =－ax 2＋bx －c ；y =a （x －h ）2＋k 关于原点对称后，得到的解析式是y =－a （x ＋h ）2－k ． ④关于顶点对称：y =ax 2＋bx ＋c 关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；y =a （x －h ）2＋k 关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． ⑤关于点（m ，n ）对称：()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．———典型例题———【例1】（2014•陕西）已知抛物线C ：cbx x y ++-=2经过A （－3，0）和B （0，3）两点．将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴于x 轴的交点记为N ． （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；（3将抛物线C 平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴于x 轴的交点记为N′．如果以点M 、N 、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移为什么【提示】根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，需要分类讨论．【感悟】1、二次项系数的不变性．抛物线平移中，二次函数中二次项系数是不变的；2、以点带线．顶点的平移方向和平移距离就是抛物线平移的方向和距离，反之，亦然；3、顶点式的应用，是解答抛物线平移的常用公式．既做到由顶点坐标求解析式，又做到能由解析式求出顶点坐标．【例2】（2013•河北省）如图，一段抛物线：y =－x （x －3）（0≤x ≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m = ．【提示】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值．【方法总结】旋转前后的图形大小与形状都没发生变化．———小试身手———1．（☆☆ 2014•浙江宁波）已知点A （a －2b ，2－4ab ）在抛物线y =x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A ．（－3，7）B ．（－1，7）C ．（－4，10）D ．（0，10）2．（☆☆ 2012•陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2－x －6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m |的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．63．（☆☆☆2014•山东临沂）在平面直角坐标系中，函数22(y x x x =-≥0)的图象为1C ，1C 关于原点对称的图象为2C ，则直线y a =（a 为常数）与1C ，2C 的交点共有（ ）A ．1个B ．1个或2个C ．1个或2个或3个D ．1个或2个或3个或4个 4．（☆☆☆）如图，抛物线m ：y =ax 2＋b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）A ．ab =－2B ．ab =－3C ．ab =－4D ．ab =－5（第4题图） （第5题图）5．（☆☆☆☆2014•西湖区一模）如图，将二次函数y =x 2－m （其中m ＞0）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y 1，另有一次函数y =x ＋b 的图象记为y 2，则以下说法：（1）当m =1，且y 1与y 2恰好有三个交点时，b 有唯一值为1；（2）当b =2，且y 1与y 2恰有两个交点时，m ＞4或0＜m ＜47；（3）当m =b 时，y 1与y 2至少有2个交点，且其中一个为（0，m ）；（4）当m =－b 时，y 1与y 2一定有交点．其中正确说法的序号为 ．6．（☆☆ 2013•河南省）如图，抛物线的顶点为P （－2，2），与y 轴交于点A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，－2），点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．7．（☆☆2010•关系桂林）将抛物线y =2x 2－12x ＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 ．8．（☆☆☆☆2014•湖南衡阳模拟）已知二次函数y =2x 2＋bx ＋1（b 为常数），当b 取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则这条抛物线的解析式是 ；若二次函数y =2x 2＋bx ＋1的顶点只在x 轴上方移动，那么b 的取值范围是 ．9．（☆☆☆2014•贵州贵阳）如图，经过点A （0，－6）的抛物线y =12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B （－2，0），C 两点． （1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．10．（☆☆☆2014•江西抚州）如图，抛物线y =ax 2＋2ax （a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，F n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a=－1时，①求图象F1的顶点坐标；②点H（2014，－3）（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n的顶点T n的横坐标为201，则图象F n对应的解析式为，其自变量x的取值范围为．（2）设图象F n、F n＋1的顶点分别为T n、T n＋1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a为何值时，以O、T n、T n＋1、Q四点为顶点的四边形为矩形并直接写出此时m的值．11．（☆☆☆2014•江苏镇江）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗请说明理由；12．（☆☆☆☆2014•湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13．（☆☆☆☆☆2014•辽宁盘锦）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c经过原点，与x轴相交于点E（8，0 ），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．———参考答案———例1．【解析】（1）∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A（－3，0）和B（0，3）两点，∴930,3,b cc--+=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=-⎧⎨=⎩故此抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3，∴当x=－22(1)-⨯-=－1时，y=4，∴M（－1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′，∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．例2．【答案】2【解析】∵一段抛物线：y=－x（x－3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为y13=－（x－36）（x－39），当x=37时，y=－（37－36）×（37－39）=2．1．【答案】D【解析】∵点A（a－2b，2－4ab）在抛物线y=x2＋4x＋10上，∴（a－2b）2＋4×（a－2b）＋10=2－4ab，a2－4ab＋4b2＋4a－8b＋10=2－4ab，（a＋2）2＋4（b－1）2=0，∴a＋2=0，b－1=0，解得a=－2，b=1，∴a－2b=－2－2×1=－4，2－4ab=2－4×（－2）×1=10，∴点A的坐标为（－4，10）．∵对称轴为直线x=－421⨯=－2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．2．【答案】B【解析】当x=0时，y=－6，故函数图象与y轴交于点C（0，－6），当y=0时，x2－x－6=0，即（x＋2）（x－3）=0，解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．3．【答案】【解析】C 函数y =x 2－2x （x ≥0）的图象为C 1关于原点对称的图象为C 2的解析式是y =－x 2－2x （x ≤0），观察图象：当a >1或a <－1时，直线y =a 与图象C 1、C 2只有1个交点；当a =1或a =－1时，直线y =a 与图象C 1、C 2有2个交点；当－1<a <1时，直线y =a 与图象C 1、C 2有3个交点． 4．【答案】B【解析】令x =0，得y =b ．∴C （0，b ）．令y =0，得ax 2＋b =0，∴x =±ab-，∴A （－ab -，0），B （ab -，0），∴AB =2ab -，BC =22OB OC +=ab b -2．要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB =BC ，∴2ab -=a b b -2．∴4×（a b -）=b 2－ab，∴ab =－3．∴a ，b 应满足关系式ab =－3． 5．【答案】②③【解析】①当m =1，且y 1与y 2恰好有三个交点时，b 有唯一值为1，b =45，故①错误；②当b =2，且y 1与y 2恰有两个交点时，m ＞4或0＜m ＜47，故②正确；③当m =b 时，y 1与y 2至少有2个交点，且其中一个为（0，m ）故③正确；④当m =－b 时，y 1与y 2没有交点，故④错误． 6．【答案】12【解析】连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP =A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形．∵抛物线的顶点为P （－2，2），与y 轴交于点A （0，3），平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，－2）， ∴PO =2222+=22，∠AOP =45°，又∵AD ⊥OP ，∴△ADO 是等腰直角三角形，∴PP′=22×2=42，AD =DO =223，∴抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为42×223=12．7．【答案】y =－2x 2＋12x －20【解析】y =2x 2－12x ＋16=2（x 2－6x ＋8）=2（x －3）2－2，将原抛物线绕顶点旋转180°后，得y =－2（x －3）2－2=－2x 2＋12x －20．8．【答案】y =－2x 2＋1，－22＜b ＜2【解析】∵y =2x 2＋bx ＋1的顶点坐标是（－4b，288b -），设x =－4b，y =288b -，∴b =－4x ，∴y =288b -=28(4)8x -=－2x 2＋1，若二次函数y =2x 2＋bx ＋1的顶点只在x 轴上方移动，∵a =2＞0，∴抛物线与x 轴没有交点，∴△＜0，即△=b 2－8＜0，9．【解析】（1）将A （0，－6），B （－2，0）代入y =12x 2＋bx ＋c ，得6,022,c b c -=⎧⎨=-+⎩解得2,6.b c =-⎧⎨=-⎩∴y =12x 2－2x －6，∴顶点坐标为（2，－8）； （2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1=12（x －2＋1）2－8＋m ，∴P （1，－8＋m ）．在抛物线y =12x 2－2x －6中易得C （6，0），∴直线AC 的解析式为y 2=x －6， 当x =1时，y 2=－5，∴－5＜－8＋m ＜0， 解得3＜m ＜8；（3）∵A （0，－6），B （－2，0），∴线段AB 的中点坐标为（－1，－3），直线AB 的解析式为y =－3x －6， ∴过AB 的中点且与AB 垂直的直线的解析式为y =13x －83， ∴直线y =13x －83与x =1的交点坐标为（1，－73）， ∴此时的点P 的坐标为（1，－73），∴此时向上平移了8－73=173个单位， ∴①当3＜m ＜173时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形； ②当m =173时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形； ③当173＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形． 10．【解析】（1）当a =－1时，①y =ax 2＋2ax =－x 2－2x =－（x ＋1）2＋1，∴图象F 1的顶点坐标为（－1，1）； ②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和－1，∴点H （2014，－3），不在该“波浪抛物线”上． ∵图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，201÷4=50…1，故其图象与F 2，F 4，…形状相同， 则图象F n 对应的解析式为y =（x －201）2－1，其自变量x 的取值范围为200≤x ≤202． 故答案为：不在，y =（x －201）2－1，200≤x ≤202．（2）设OQ 中点为O′，则线段T n T n ＋1经过O′，由题意可知OO′=O′Q ，O′T n =O′T n ＋1， ∴当T n T n ＋1=OQ =12时，四边形OT n T n ＋1Q 为矩形，∴O′T n ＋1=6．∵F 1对应的解析式为y =a （x ＋1）2－a ，∴F 1的顶点坐标为（－1，－a ）， ∴由平移的性质可知，点T n ＋1的纵坐标为－a ，∴由勾股定理得（－a）2＋12=62，∴a∵a＜0，∴a=m的值为4．11．【解析】（1）∵抛物线y=－x2＋2nx－n2＋2n过点P，P点的纵坐标为4，∴4=－x2＋2n x－n2＋2n，解得x1=n，x2=n．∵PQ=x1－x2=4，∴=4，解得n=4，∴抛物线的函数关系式为y=－x2＋8x－8，∴4=－x2＋8x－8，解得x=2或x=6，∴P（2，4）．（2）正确；∵P（2，4），PQ=4，∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（－2，4），∴P与Q′正好关于y轴对称，∴所得新抛物线的对称轴是y轴．∵抛物线y=－x2＋8x－8=－（x－4）2＋8，∴抛物线的顶点M（4，8），∴顶点M到直线PQ的距离为4，∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．12．【解析】（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°－45°）＋45°=90°，∴AO⊥CO．∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形．∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x，∴其以OO′为底边的高为x，∴y=12×（2x）•x=x2；（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵12×6=3，∴点G的坐标为（3，3）．设抛物线解析式为y=ax2＋bx，则933,6480,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,58.5ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=－15x2＋85x；（3）设点P到x轴的距离为h，则S△POB=12×8h=8，解得h=2．当点P在x轴上方时，－15x2＋85x=2，整理得x2－8x＋10=0，解得x1=4，x2=4，此时，点P的坐标为（4，2）或（4，2）；当点P在x轴下方时，－15x2＋85x=－2，整理得x2－8x－10=0，解得x1=4－26，x2=4＋26，此时，点P的坐标为（4－26，－2）或（4＋26，－2）．综上所述，点P的坐标为（4－6，2）或（4＋6，2）或（4－26，－2）或（4＋26，－2）时，△POB的面积S=8．13．【解析】（1）由题意可知A（4，－4），∵抛物线y=ax2＋bx＋c经过原点、点E（8，0 ）和A（4，－4），则0,6480,1644,ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩解得1,42,0.abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y=14x2－2x．（2）∵∠APC=90°，∴∠APB＋∠CPG=90°．∵AB⊥PE，∴∠APB＋∠PAB=90°，∴∠CPG=∠PAB．∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA，∴△ABP≌△PGC，PB=CG，AB=PG=4．∵P（m，0），OP=m，且点P是线段OE上的动点，∴PB=CG=|4－m|，OG=|m＋4|．①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，m＜4，4－m＞0，PB=CG=4－m，∴C（m＋4，4－m）；②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，m＞4，4－m＜0，∴PB=|4－m|=－（4－m）=m－4，∴CG=m－4，∴C（m＋4，4－m）．综上所述，点C坐标是C（m＋4，4－m）．（3）如图1，当点P在OB上时，∵CD∥y轴，则CD⊥OE．∵点D 在抛物线上，横坐标是m ＋4，将x =m ＋4代入y =41x 2－2x 得y ＝41(m ＋4)2−2(m ＋4) ， 化简得y ＝41m 2−4，∴D （m ＋4，41m 2−4），CD =4－m －（41m 2−4）=−41m 2−m ＋8． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD =4， ∴−41m 2−m ＋8=4，解得m 1＝−2＋25，m 2＝−2−25． ∵点P 在线段OE 上，∴m 2＝−2−25不符合题意，舍去，∴P （−2＋25，0）；如图2，当点P 在线段BE 上时，∵C （m ＋4，4－m ）， ∵点D 在抛物线上，横坐标是m ＋4，将x =m ＋4代入y =41x 2－2x 得y ＝41(m ＋4)2−2(m ＋4)， 化简得y ＝41m 2−4，∴D （m ＋4，41m 2−4）， ∴CD =41m 2−4−(4−m )＝41m 2＋m ＋8． ∵四边形ABDC 是平行四边形，∴AB =CD =4， ∴41m 2＋m −8＝4，解得m 1＝−2＋213，m 2＝−2−213， ∵点P 在线段OE 上，∴m 2＝−2−213不符合题意，舍去，∴P （−2＋213，0）．综上所述，当以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形时，点P 的坐标为P （−2＋25，0）或P （−2＋213，0）．[。
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
解析几何中的曲线与抛物线
解析几何中的曲线与抛物线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形的性质和变换。
而曲线则是解析几何中一个非常重要的概念，它是由一系列点组成的连续的线条。
在曲线的研究中，抛物线是一种经典的曲线，具有许多独特的性质和应用。
一、抛物线的定义与性质抛物线是在解析几何中最常见的曲线之一，它可以由一个平面上的点P和一个定点F以及一个定直线l确定。
我们定义抛物线为，到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹。
这个点P称为焦点，定直线l称为准线。
抛物线的特点是对称性，我们可以通过平行于准线并经过焦点的直线来获得抛物线上的其他点。
抛物线的数学表达式是y^2=4ax，其中a是焦点到准线的距离。
从这个表达式我们可以看出，抛物线是关于y轴对称的，开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向右；当a<0时，抛物线开口向左。
另一个重要的性质是焦点和准线的关系。
对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点F(a, 0)的距离可以表示为PF = √((x-a)^2 + y^2)，而它到准线l的距离可以表示为PM = |y|。
根据抛物线的定义，这两个距离相等，即√((x-a)^2 + y^2) = |y|。
消去绝对值符号后得到(x-a)^2 = y^2，即x=a+y^2/4a。
这个方程描述的就是抛物线上任意一点P的坐标。
二、抛物线的应用抛物线作为一种经典的曲线，具有许多实际应用。
以下介绍几个典型的应用场景。
1. 抛物线的光学应用在光学中，抛物线经常被用来设计反射器和聚光器。
抛物面反射器具有将平行光线聚集到焦点的特性，因此广泛应用于望远镜、抛物面反射望远镜等光学仪器中。
而聚光器则通过将光线反射到焦点上，实现对光的集束和聚焦，广泛应用于舞台灯光、汽车大灯等领域。
2. 抛物线在物理中的应用在牛顿力学中，抛物线也有重要的应用。
当一个物体在水平面上以一定的初速度和初角度被抛出时，其轨迹将是一条抛物线。
这是因为在水平方向上，物体保持匀速直线运动；而在竖直方向上，物体受到重力加速度的影响，运动遵循自由落体的规律。
抛物线的定义-高中数学知识点讲解
抛物线的定义1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0 时，为右开口的抛物线；当p＜0 时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0 时，为开口向上的抛物线，当p＜0 时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：푝①焦点为（2，0）；②准线方程为：x =―푝2；③离心率为e＝1．④通径为 2p（过焦点并垂直于x 轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例 1：点P 是抛物线y2＝x 上的动点，点Q 的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P 是抛物线y2＝x 上的动点，∴设P（x，푥），∵点Q 的坐标为（3，0），∴|PQ| =(푥―3)2+(푥―0)2=푥2―5푥+9=(푥―5)2+11，24∴当x =5525，即P（，）时，224|PQ|取最小值112．1/ 2故答案为：11 2．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例 2：已知点P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，点P 到点（0，3）的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P 作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q 三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF| =32+12=10．即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p 点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．2/ 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
内容基本要求略高要求较高要求 二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图的平移（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.知识点睛中考要求第三讲抛物线与几何变换2二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。
2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。
重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班 二次函数·第3讲·学生版 page 3 of 8一、抛物线的平移【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）A. 右移两个单位，下移一个单位B. 右移两个单位，上移一个单位C. 左移两个单位，下移一个单位D. 左移两个单位，上移一个单位【例2】 ⑴（09湖北孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4⑵（09湖北鄂州）把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是A ．20092008B ．20082009C ．20102009D ．20092010【例3】 （08宁波）如图，ABCD Y 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ． ⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．【例4】 （09浙江宁波）抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．y O A BC D4【例5】 ⑴ 设抛物线22y x =，把它向右平移p 个单位，或向下移q 个单位，都能使抛物线与直线4y x =-恰好有一个交点，求p 、q 的值．⑵ 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值．⑶ 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2y ax =，其图象经过点112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，求原解析式．【例6】 （2010年海淀一模）关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.（1）求c 的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.【例7】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线2010年·暑假·短期班 二次函数·第3讲·学生版 page 5 of 8()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.二、抛物线的对称【例8】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【例9】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例10】 （“宇振杯”竞赛）设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【例11】 (2006年太原市数学竞赛题)已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ．⑴ 求1C 关于点()10R ，中心对称的图象2C 的解析式； ⑵ 设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为,A B ，当18AB =时，求a 的值．【例12】 （06太原）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．⑴ 求1c 关于()10R ，成中心对称的图象2c 的函数解析式；6⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．【例13】 （2010年延庆一模）如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．2010年·暑假·短期班 二次函数·第3讲·学生版 page 7 of 8【习题1】 （09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++【习题2】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【习题3】 （09兰州）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A ．()213y x =---B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()213y x =-++【习题4】 （09甘肃庆阳）将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()221y x =+B ．()221y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-【习题5】 （07金华）将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）A. 232y x =-B. 23y x =C. 23(2)y x =+D. 232y x =+【习题6】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．家庭作业8。