抛物线与几何变换(讲义)

一、二次函数图的平移

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数

2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称

知识点睛

中考要求

第三讲

抛物线与几何变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称

2

y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，对称

()2

y a x h k =-+关于点()m n ，

对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。

2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。

一、抛物线的平移

【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）

A. 右移两个单位，下移一个单位

B. 右移两个单位，上移一个单位

C. 左移两个单位，下移一个单位

D. 左移两个单位，上移一个单位

重、难点

例题精讲

【例2】 ⑴（09湖北孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，

则a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 ⑵（09湖北鄂州）把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．

⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n ，抛物线()()2211

11n y x x n n n n +=-+

++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是

A ．20092008

B ．20082009

C ．20102009

D ．20092010

【例3】 （08宁波）如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c

=++经过x 轴上的点A ，B ． ⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．

【例4】 （09浙江宁波）抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，

． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

【例5】 ⑴ 设抛物线22y x =，把它向右平移p 个单位，或向下移q 个单位，都能使抛物线与直线4y x =-恰

好有一个交点，求p 、q 的值．

⑵ 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值．

⑶ 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2y ax =，其图象

经过点112⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭，，求原解析式．

【例6】 （2010年海淀一模）关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.

（1）求c 的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.

【例7】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.

（1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个

单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部

分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.