抛物线与几何变换(讲义)

一、二次函数图的平移
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数
2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称
知识点睛
中考要求
第三讲
抛物线与几何变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2
y a x h k =-+关于点()m n ，
对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。

2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。

一、抛物线的平移
【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
A. 右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
重、难点
例题精讲
【例2】 ⑴（09湖北孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，
则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 ⑵（09湖北鄂州）把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．
⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n ，抛物线()()2211
11n y x x n n n n +=-+
++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是
A ．20092008
B ．20082009
C ．20102009
D ．20092010
【例3】 （08宁波）如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c
=++经过x 轴上的点A ，B ． ⑴ 求点A ，B ，C 的坐标． ⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
【例4】 （09浙江宁波）抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，
． （1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
【例5】 ⑴ 设抛物线22y x =，把它向右平移p 个单位，或向下移q 个单位，都能使抛物线与直线4y x =-恰
好有一个交点，求p 、q 的值．
⑵ 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值．
⑶ 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2y ax =，其图象
经过点112⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，，求原解析式．
【例6】 （2010年海淀一模）关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.
（1）求c 的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.
【例7】 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.
（1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个
单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部
分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
()1
2
y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
二、抛物线的对称
【例8】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象
绕__________旋转得到．
【例9】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数
解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例10】 （“宇振杯”竞赛）设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C
关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．
【例11】 (2006年太原市数学竞赛题)
已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ．
⑴ 求1C 关于点()10R ，
中心对称的图象2C 的解析式； ⑵ 设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为,A B ，当18AB =时，求a 的值．
【例12】 （06太原）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．
⑴ 求1c 关于()10R ，
成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．
【例13】 （2010年延庆一模）如图，已知抛物线1C ：()2
25y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两
点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．
（1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
【习题1】 （09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得
的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A ．22y x x =--+
B ．22y x x =-+-
C ．22y x x =-++
D ．22y x x =++
家庭作业
【习题2】 已知抛物线265y x x =-+，求
⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【习题3】 （09兰州）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析
式为
A ．()2
13y x =---
B ．()2
13y x =-+-
C ．()213y x =--+
D ．()2
13
y x =-++
【习题4】 （09甘肃庆阳）将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．()2
21y x =+
B ．()2
21y x =-
C ．221y x =+
D ．221y x =-
【习题5】 （07金华）将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A. 232y x =-
B. 23y x =
C. 23(2)y x =+
D. 232y x =+
【习题6】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的
解析式为________________．。