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初一数学上册预科讲义

有理数和实数第一部分第一讲有理数的基本概念1、正数像 3、1、+0.33 等的数，叫做正数。

在小学过的数，除 0 外都是正数。

正数都大于 0。

2、负数像−1、−3.12、−175 、−2012等在正数前加上“−”(读作负)号的数，叫做负数。

负数都小于 0。

0既不是正数，也不是负数。

3、相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

“相反意义的量”的含义包含两部分：相反意义，在相反意义的基础上有数量。

如：南为正方向，向南 1km 表示为+1km ，那么向北 3km 表示为−3km 。

若向东走3km 如何表示？4、有理数整数与分数统称为有理数。

凡是可以化成分数形式的数，都是有理数。

否则，不是有理数。

150.5 1.3 0.1▪23▪ 0.12▪3▪ 0.123▪3.1415926 π5、无理数无限不循环小数，如 π。

有理数分类标准：①性质、②正负⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数正分数分数零正整数整数有理数：先性质后正负 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数非正数非负数零正分数正整数正有理数有理数：先正负后性质)(⎪⎩⎪⎨⎧小数是有理数不可化成分数形式，不—无限不循环小数理数可化为分数形式，是有无限循环小数有限小数⎭⎬⎫注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例 1：⑴下列各组量中，具有相反意义的量是( )A. 节约汽油 10升和浪费粮食B. 向东走 8 公里和向北走 8公里C. 收入 300元和支出 100元D. 身高 1.8米和身高 0.9米⑵如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下5 ℃记作( )A. −5B. −10C. −5 ℃D. −10 ℃⑶如果水位升高 4m时水位变化记为+4m，那么水位下降 3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为 200米，−150米，那么甲地比乙地高出( )A. 200米B. 50米C. 300米D. 350米⑸饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 ± 30(ml) ”字样。

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有理数第一章具有相反意义的量1.1学习目标：用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量； 1. 从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性； 2..理解有理数的意义，会对有理数进行分类 3.学习重点：.用正数和负数表示一对具有相反意义量学习难点：.负数概念的建立用正数、负数表示具有相反意义的量一：、10.5、125、为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用表示，例如：我们小学学过的32”-的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用表示，它是在正数前面加上“等大于0 32.、-等就是负数、.例如：3-1、-0.618（读做负）号3 .既不是，也不是（1）0 .）正数和零统称为，负数和零统称为（2（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m表示点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. （1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类有理数的分类(1)．正整数非负数有理数正分数有理数负整数非正数有理数负分数3-0.37、9、-5.14、-1、78(2)有下列数：3.6、-，其中、0、5整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？11、2010、0、-、2.7、、-10.3、 2 -0.414、-734点拨）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，（1.要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数 .（即自然数））正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数（2 、把下列各数填入相应的大括号内例2131、-、0、-5.32.8 -24、、49、、-（-1）、-5.4 242（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测.吨吨面粉记作50吨，那么运出+200吨面粉记做200、面粉厂运进12、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为米.?0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 标准.4（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（）①0是整数，0是有理数②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数④0是整数，不是自然数A、4个B、3个C、2个D、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（）?）℃，请你写出适合药品保存的温度2、某种药品的说明书上标明保存温度是（720 . 1234、、-、……那么第8、有一列数：-7个数是 .5210179、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是相反数与绝对值数轴1.2数轴1.2.1学习目标：能在数轴上标出表示已知有.2. 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数.3.理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.形结合的数学思想学习重点：. 正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数学习难点：.数轴上的点与有理数之间的关系一、概念点拨）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。

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第一章有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量；2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性；3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点：用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、32等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用表示，它是在正数前面加上“-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、-32等就是负数. （1）0既不是，也不是 .（2）正数和零统称为，负数和零统称为 .（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m 表示点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2.（1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类(1)有理数的分类(2)有下列数：3.6、-53、78、0、-0.37、9、-5.14、-1，其中整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？-0.414、-7、2.7、-31、2010、0、41、-10.3、 2点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数.（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、21、-43、0、-（-121）、-5.4（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作吨.非负数非正数正整数正分数有理数负整数负分数2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为米.4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg +0.02kg ，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果标准.（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（）①0是整数，0是有理数 ②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数 ④0是整数，不是自然数A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（20+28、有一列数：-21、52、-103、174……那么第7个数是 . 9、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是1.2 数轴相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数. 学习难点：数轴上的点与有理数之间的关系.一、概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。

新初一数学预科第1节美妙的数学世界

美妙的数学世界【知识纵横】从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大的科学体系．走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式的模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据“世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表示数据和信息．走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”1.数论有1997盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3.......1997,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后再将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯数为（ C ）A 1464盏B 533盏C 999盏D 998盏2十进制与二进制我们平常用的数是十进制数，如2639=9103106102223+⨯+⨯+⨯，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3…..9.在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码0和1,如二进制中的101=1202112+⨯+⨯等于十进制的5,那么二进制那个中的1101等于十进制的数是几?3.定义新运算设a,b 是两个数，规定,2)(4÷+-⨯=*b a b b a 这里“+，-，⨯，÷”是通常的运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号，计算：3*（4*6）4 观察归纳与猜想（1）已知 1+3=4=221+3+5=9=231+3+5+7=16=241+3+5+7+9=25=25根据前面各式的规律，可猜想1+3+5+7+………+(2n-1)=________(期中n 为自然数)（2）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，………叫做三角形数它有一定的规律性,则第24,个三角形数与第22个三角形数的差为______________.5.图形计数与面积计算（1）如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是7、4、6，则阴影部分面积是（2）图中有多少个三角形？6 数与形A,B,C,D,E,F 六只足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天的时候，统计出A,B,C,D,E,五队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B 队比赛的球队是（）A C 队B D 队C E 队D F 队7基础闯关题目1杯鲜橙汁售价1.80元，现商家促销：买1杯鲜橙汁送奖卷1张，3张奖卷兑换1杯鲜橙汁，每张奖卷的价值相当于（）元A 0.3B 0.45C 0.5D 0.6自我评价定级B N CQ。

冀教版七年级整式预科专题讲义

冀教版七年级整式预科专题讲义例3. 当x=1时，代数式13++qx px 的值为2005，求x=－1时，代数式13++qx px 的值.例2. 如果,0)1(22=-++b a 那么代数式(a+b)2005的值为（） A. –2005 B. 2005 C. -1 D. 1例3．某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价为（） A. 0.7a 元 B.0.3a 元 C.a 310 元 D. a 710元几个重要的代数式（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是：； a 与b 差的平方是：；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： ,则三位整数是：；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是：；偶数是：，奇数是：；三个连续整数是：；（4）若b ＞0，则正数是: ，负数是：，非负数是：，非正数是： . 归纳法在代数式中的体现（1）观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------请你将猜想到的规律用自然数n(n ≥1)表示出来______________________.（2）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3：图１图2 图31、填写下表：23、能否分出246个三角形？简述你的理由。

达标练习1. 某机关原有工作人员m 人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.2. 甲以a 千米/小时、乙以b 千米/小时（a ＞b ）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.3. 某工厂有煤m 吨，计划每天用煤n 吨，实际每天节约用煤b 吨，节约后可以多用（） A 、⎪⎭⎫⎝⎛-+n m b n m 天 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--b n m n m 天 C,⎪⎭⎫⎝⎛+-b n m n m 天 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛--n m b n m天 4. 一艘轮船从A 港顺水航行到B 港的速度为a ，从B 港逆水航行到A 港的速度为b ，则此轮船从A港出发到B 港后再回到A 港的平均速度为（） A 、ba ab+B 、ba ab+2 C 、2ba + D 、abba 2+ 5. 某校学生中男生人数为x ，女生人数为y ，教师人数与全校师生人数的比为1:11，则教师人数为（） A 、11yx + B 、12yx + C 、10yx + D 、6yx + 6. 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P ，点P 选在何处，才能使这20户居民到P 点的距离总和最小？7. 某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.3元；超过5千米，每千米价2.4元。

初一预科数学第十一讲

代数式整式一、知识概述1、由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．(1)圆周率π是常数；(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如321x 写成27x 2、几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式的每一项都包括它前面的符号．多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．3、单项式和多项式统称整式．二、例题解答1、判断下列各式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数．2、下列结论中，正确的是（） A 、单项式52a b 2的系数是2，次数是2 B 、单项式a 既没有系数，也没有指数 C 、单项式—a b 2c 的系数是—1，次数是4 D 、没有加减运算的代数式是单项式 3、多项式―35a 3b ―7ab ―6ab 4+1是次项式，它最高项的系数是 . 4、下列说法正确的是（）A 、5m －2的项是5m 和2B 、31+x 和3xy都是单项式 C 、x y x 2-与x 2－3x ＋2都是多项式 D 、2xy 与52y +都是整式5、在y 3+1，m 3+1，―x 2y ，cab ―1，―8z ，0中，整式的个数是（）A. 6B.3C.4D.5 6、如果单项式3a 2b 43-m 的次数与单项式31x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。

三、练习巩固1、x 的2倍与y 的平方的21的和，用代数式表示为_____，它是__________（填单项式或多项式）；2、单项式-4ab 2，3ab ，-b 2的和是_________，它是____次_____项式；3、3x 3-4 是_____次_____项式；3x 3-2x-4 是___次____项式；-x-2的常数项是____；4、a-5a 2b 3+3ab+1 是_____次____项式，最高次项是____，最高次项的系数是______，常数项是____；5、2x-3πx 3+8 是___次___项式，第二项是____，它的系数是_____． 6、多项式22323z y x yz x -+-是___次____项式 7、在① －a ；②32y x + ；③0 ；○4a 1 ；若○5π2- ；○6x 2＋y ;○7π3 ，中是单项式的有_________（填写序号）8、如果多项式3x m―（n ―1）x+1是关于x 的二次二项式，试求m ，n 的值。

第7讲.初一预科班.教师版

|初一预科班·第7讲·教师版| 1不等式的基本概念及性质易错点1——不等式不等式：利用不等符号连接的式子叫不等式．不等号包括：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”．例如：52−<−，314a +>−+，10x +≤，210a +>，0x ≥，35a a ≠等都是不等式．注意：不等式32≥成立；而不等式33≥也成立，因为33=成立，所以不等式33≥成立．易错点2——不等式的性质基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >（或a bc c >）如果a b <，并且0c >，那么ac bc <（或a bc c<）基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <（或a bc c <）如果a b <，并且0c <，那么ac bc >（或a bc c>）注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵ 在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式32>为例，在不等式32>两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ① 如果0a >，那么32a a >； ② 如果0a =时，那么32a a =； ③ 如果0a <时，那么32a a <．不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．知识点睛第七讲不等式|初一预科班·第7讲·教师版| 2易错点3——不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是０），所得结果，仍是等式．两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不能除以０而不等式性质中，不等式两边不能乘以０，也不能除以０一元一次不等式易错点1——一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.例如25x >是一个一元一次不等式.易错点2——不等式解（解集）不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4−，2−，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．其中x 是未知数，a ，b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b <或ax b >（0a ≠）叫做一元一次不等式的标准形式．易错点3——解一元一次不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．|初一预科班·第7讲·教师版| 3一元一次不等式组易错点1——一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．例如1302841x x x ⎧−⎪⎨⎪+<−⎩≥是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上；另外，这里的几个一元一次不等式必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次方程组了，例如，不等式组24x y >⎧⎨<⎩中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组．易错点2——一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．易错点3——解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．a b >）|初一预科班·第7讲·教师版| 4【例1】 ⑴0a >； ⑵0a ≥； ⑶0a ≤；⑷0x y −<； ⑸1a −≤； ⑹48m ≥； ⑺133x x ≤；⑻ 102q q −−≤【例2】 ⑴不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑸不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【例3】根据题意可得0a >、0b <、0c =，所以选择B ．【例4】D 【例5】A 【例6】不等式所有解组成这个不等式的解集当未知数等于某个值，且该值在这个不等式的解集的范围内，则它是不等式的一个解，否则不是这个不等式的解．选A ．【例7】需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．(1)1.5(2)(3)【例8】不等式32x −<≤的所有整数解为2−、1−、0、1、2，故所有整数解的和为0．【例9】A 【例10】 ⑴1x ≥； 1⑵，2，3. 【例11】 ⑴3x >．⑵解：去括号，得51286x x −−≤．移项，得58612x x −−+≤．合并，得36x −≤．系数化为1，得2x −≥．⑶4x −≥ ⑷2x ≤；正整数解1，2.【例12】根据题意，列不等式得：2315x x −−−≤，解得：4x ≥．【例13】解方程得625m x −=，根据题意：得0x ≥，∴6205m−≥，解得3m ≤．满足题意的正整数m 的值是1，2，3．【例14】⑴ D ⑵ C【例15】 ⑴14x −<≤； ⑵23x −<<； ⑶542x <≤； ⑷21x −<−≤ ⑸5x >【例16】依题意列不等式组，3800x x >−>，解得2080x <<．例题答案|初一预科班·第7讲·教师版| 5演练1 ⑴C ； ⑵30%(5)2x +−≤．演练2 让学生说明每一步的依据． ⑴<； ⑵<； ⑶>； ⑷>．演练3 选择C ，正确应为22ac bc ≥．演练4 选择D ．演练5 ⑴ 3x <；⑵ C ；⑶ 3演练6 ⑴7x >−，图略； ⑵265x <，教师可再问学生，此不等式的非负整数解为？其非负整数解为0，1，2，3，4，5．图略．演练7 解不等式组得2912x ≤，所以其非负整数解为0，1，2．演练8 由题意可列不等式为：5(1)2(2)(2)x x x −−−>−+，解得14x >−．演练9 由0abcd >得a 、b 、c 、d 中负数的个数为0个、2个或4个，又0a b c d +++>，所以最多有2个负数，选择B ．演练10 ⑴ 13x −<≤；⑵12x −<≤，图略．演练11 不等式组的解集为：13x <<，整数解为2；演练12 0x ≥；演练13 设八戒买了x 个西瓜，则35845x ×+≤，解得154x ≤，故八戒至多买3个西瓜．挑战1 ⑴列出方程组2743x y m x y m +=+⎧⎨−=−⎩得325x m y m=+⎧⎨=−⎩，由题意得253m −<<．⑵253m −<<，320m +>，50m −<，∴32532543m m m m m +−−=++−=−．挑战2 设需要B 型车x 辆，由题意得20515300x ×+≥，解得1133x ≥．由于x 是车的数量，应为正整数，所以x 的最小值为14．答：至少需要14台B 型车．大比拼答案演练答案|初一预科班·第7讲·教师版| 6【教师备选1】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（）A ．a b −>−B ．11a b< C ．2a b b +> D ．||||a b < 【解析】选择C ．【教师备选2】当x 为何值时，代数式2113x +−的值不小于354x+的值？【解析】依题意，得2135134x x ++−≥，解得177x −≤．【教师备选3】 2(20)203(34)2521623x x x x x −+−+⎧⎪−+⎨<⎪⎩≥ 【解析】2x ≤．【教师备选4】已知方程组35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩的解x 与y 的和是负数，求k 的取值范围．【解析】解方程组，得264x k y k =−⎧⎨=−⎩，∵0x y +<，∴2640k k −+−<，解得2k <．【教师备选5】（2007北京市第二中学分校期中质量检测第29题5分）若方程组3223x y ky x +=⎧⎨−=⎩的解满足1x <且1y >，求k 的整数解．【解析】 512k −<<；012k =，，【教师备选6】已知关于x 的不等式(2)50a b x a b −+−>的解集是107x <，解不等式350ax b +>．【解析】 ∵(2)5a b x b a −>−的解集为107x <，可得20a b −<，且52b a x a b −<−，∴51027b a a b −=−，解得35b a =，∴3722055a a b a a −=−=<，即0a <．∴不等式350ax b +>的解集为513b x a <−=−．。

七年级新生数学预科班培训资料第04讲有理数的减法和加减混合运算

第四讲有理数的减法和加减混合运算一、目标1，理解加减法混合运算统一为加法运算的意义，学会把加减法统一成加法．2，能较为熟练地进行有理数减法的运算；3，会正确熟练地进行有理数加减混合运算，发展学生的运算能力．4，能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．本节的重点是能把加、减法统一成加法运算，二、重点、难点教学重点：1，掌握有理数减法的法则；2，把加、减混合运算统一成加法运算，并用加法运算律合理地进行运算知识难点：有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数。

三、知识要点1、温故知新1、有理数的加法法则：2、有理数的加法的交换律、结合律（用数学语言表示）3、计算：（1）16+（－25）十24＋（－35）；（2）（－2.48）＋（＋4.33）＋（－7.52）＋（－4.33）．4、小明同学前段时间就碰到过这样一个问题：某地一天的气温是一3～4℃，求这天的温差，可是他不会算，同学们能帮助他解决吗？2、教材解读1、先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4。

即X+（－3）=4，因为7+（－3）=4，所以4－（－3）=74＋（＋3)=7与4－（－3)=72、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母把法则表示为[a －b =a ＋（－b ）]3、例世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？4、计算：（－20）＋（＋3）－（－5）一（＋7）5，归纳明确“减法可以转化为加法”．加减混合运算可以统一为加法运算，如：a ＋b －c =a ＋b ＋（－C ）．5、省略加号．式子(－20)＋（＋3）十（＋5）＋（一7）是－20,+3，＋5,－7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为－20+3+5－7，读作：“负20正3正5负7的和”，或读作“负20加3加5减7"，鼓励学生使用第一种读法；并让学生体会两种读法的区别．6、例计算：（1）（－7）－（＋5）＋（－4）－（－10）；（2）3712()()14263-+----3、综合运用1. 某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。

初一预科数学第七讲

有理数具有相反意义的量一、知识概述为了表示具有相反意义的量，例如―5，―2，―237，―0.7等数。

像这样的一些新数，叫做负数。

过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数。

正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。

零既不是正数，也不是负数。

数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，885，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

“0”也是自然数。

二、例题解答1、―10表示支出10元，那么+50表示；如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔米（即低于海平面11034米）。

比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨；2、下面说法正确的是（）A ．正数都带有“+”号B ．不带“+”号的数都是负数C ．小学数学中学过的数都可以看作是正数D ．0既不是正数也不是负数 3、下列说法中，具有相反意义的量是（）A 、体重减少5千克与身高增加2厘米B 、气温降低2度又降低4度C 、向东行走2千米与向南行走3千米D 、浪费10度电与节约3度电4、一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位mm ），表示这种零件的标准尺寸是10mm ，加工要求最大不超过标准尺寸，最小不超过标准尺寸。

5、将下列各数填入相应的大括号里。

－9，21，0，－281，2000，＋61，103，－10.8 正数集合{}；负数集合{}6、有理数的分类①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分。

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：7、把下列各数填入相应集合的括号内：29，―5.5，2002，76，―1，90%，3.14，0，―231，―0.01，―2，1 （1）整数集合：{ …} （2）分数集合：{ …}（3）正数集合：{ …} （4）负数集合：{ …} （5）正整数集合：{ …} （6）负整数集合：{ …} （7）正分数集合：{ …} （8）负分数集合：{ …} （9）正有理数集合：{ …} （10）负有理数集合：{ …} 三、练习巩固1、数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作。

七年级新生数学预科班培训资料第12讲列方程解应用题

第十二讲列方程解应用题一、目标通过本节课的学习，巩固一元一次方程的解法，掌握一元一次方程解应用题的步骤，探索问题情景中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程.二、重点、难点教学重点：1、从不同的角度来找等量关系，列方程2、列一元一次方程解应用题的步骤；教学难点：1、通过分析题意，寻找等量关系，列方程2、商品进价、商品售价、商品利润、商品利润率的关系进行学习.三、知识要点1、温故知新1、什么叫做同类项？合并同类项的方法是什么？2、解一元一次方程的一般步骤是什么？（1）、161514331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x （2）、02.005.01.023.025.0x x -=--2、教材解读1、已知1212006)(20052-+y y x 与互为相反数，计算20062005y x +的值2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价为多少？3、小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔可以跑3圈。

一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇。

求两人的速度。

第二天小王打算和叔叔同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇。

你能先给小王预测一下吗？3、综合运用1、一只轮船在相距80千米的两码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，那么水流速度是每小时________千米.2、某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是________.3、有含盐8%的盐水40千克，加x千克盐变为含盐20%的盐水，所列方程为_________.4、方程2(x－3)(x+4)=0的根是_________.5、一年级有学生a人，已知男生比女生多b人（a﹥b），则男生有_____人,女生有______人.6、哥哥对弟弟说“我是你现在的年龄时，你才只有5岁，而现在我已经31岁了”，问现在弟弟的年龄是________.7、某产品现在的成本是每件51元，比原来的成本降低了25%，原来的成本是________元.8、有甲、乙两种学生用写字本，甲种写字本的单价是0.25元，乙种写字本的单价是0.28元.两种写字本共卖了100本，卖了26.65元，问两种写字本各卖出多少？9、杨洋的妈妈在家附近超市（不用坐车）买了10瓶酸奶，但她在“家乐福”食品超市内发现同样的酸奶，在这里买比家附近超市买每瓶便宜0.2元，于是她又用同样多的钱买了一些酸奶，正好比在家附近多买2瓶，问：（1）杨洋妈妈每次买酸奶用的钱是多少？两家超市每瓶酸奶的价格分别是多少？（2）若她只买10瓶酸奶，去掉公交费往返2元钱，在哪家超市购买合算？10、某服装个体户在进一批服装时，进价按原标价打七五折，他打算对该批服装标一新价格写在价目卡上，并注明降价20%销售，这样仍可获得25%的纯利，问这个个体户给这批服装定的新标价和原标价之间的关系？11、如图为一块在电脑屏幕上出现的色块图，由6个颜色不同的正方形拼成的长方形，如果中间最小的正方形边长为1，求所拼成的长方形的面积。

七年级新生数学预科班培训资料第05讲有理数的乘法

第五讲有理数的乘法一、目标教学目标1能运用法则进行有理数乘法运算. 2、能用乘法运算律简化运算.3、探索多个有理数相乘时，积的符号的确定方法.二、重点、难点知识重点：正确进行多个有理数的乘法运算多个有理数相乘时积的符号的确定方法正确运用运算律，使运算简化教学难点：1会利用法则进行有理数乘法运算 2、正确进行多个有理数的乘法运算三、知识要点 1温故知新1、有理数的加法法则：2、有理数的减法法则3、用数学符号表示加法的交换律和结合律: 2、教材解读(一)、一只蜗牛沿直线 L 爬行，我们规定向左为负，向右为正它现在的位置恰在 L上的点O.(在数轴上表示，然后列式，找出规律，最后总结出乘法法则)总结乘法法则：两_______ .任何数同0相乘，都得0.注意：运用乘法法则的方法：一、看两数是同号还是异号；二、确定积的符号；三、再把(1) 如果蜗牛一直以每分 (2) 如果蜗牛一直以每分 (3) 如果蜗牛一直以每分 (4) 如果蜗牛一直以每分列式为： (1) (3) 2厘米的速度向右爬行, 2厘米的速度向左爬行, 2厘米的速度向右爬行, 2厘米的速度向左爬行,_____________(2) _______________(4) 3分后它在什么位置? 3分后它在什么位置? 3分前它在什么位置? 3分前它在什么位置?绝对值相乘例题讲解：计算：⑴ 5 (疋 3)(2) (- 4)為(二) 、倒数的定义：乘积是 1的两个数互为倒数.举例说明：一3,--的倒数分别是3 _负倒数的定义：乘积是一1的两个数互为负倒数.举例说明一3,--的负倒数分3另寸是 _____(三) 观察：下列各式的积是正的还是负的？2X 3X 4 X( - 5), 2 X 3X( — 4) X( - 5),2X(X 3) X (X 4) X(- 5),(- 2) X (-3) X (- 4) X(- 5).思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？总结：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数.例题讲解：5 8 12 (-5) X 8X ( -7) X( -0.25)( ) ( ) 7.8X (-8.1) X O X (- 19.6)12 15 2 3(四) 、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加• 分别把上述运算律用数学符号表示： _______________ __________________ _________________ .例题讲解：(一85)X( - 25)X( -4)(3) ( -7) X( - 9) (4) 0.5 X 0.7、—\ (_60)<10 15 丿1b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则（a + b ） 20 — （ cd ） 20 = _8、用正、负数表示：小商店每天亏损 20元，一周的利润是 __________ 元.9、 _______________________________________________________ 规定 a * b=5a+2b — 1，则（一4） * 6 的值为 _____________________________________________ 。

第4讲.初一预科班.教师版

|初一预科班·第4讲·教师版| 1一、整式Ⅰ：代数式代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． Ⅱ：单项式单项式：像2a −，2r π，213x y −，abc −，237x yz ，……，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母．单独的一个字母或数也叫做单项式，例如：a 、3−．单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式212ab c −，它的指数为1214++=，是四次单项式．单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零，叫做零次单项式．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．例如：我们把47叫做单项式247x y的系数．易错点：①单项式的系数包括单项式前面的符号；②π是一个数，不要将它当作字母．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． Ⅲ：多项式多项式：几个单项式的和叫做多项式．例如：27319x x −+是多项式．多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．整式：单项式和多项式统称为整式．二、整式运算合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变．知识点睛第四讲整式概念及加减法|初一预科班·第4讲·教师版| 2【例1【例2】 ⑴6； ⑵B ； ⑶2；⑷ 2x y −等； B ⑸； B ⑹；⑺ 1或3；⑻ D ；⑼ 322πx y 【例3】 ⑴六，335x y −； C ⑵【例4】 ⑴六，四，4232310.10.013x y x y x y xy −−+−，0.01−，313xy −； 2⑵，12−【例5】D【例6】 ⑴24x −； ⑵10.80.2n n x x ++【例7】 ⑴26911x x −+−； ⑵2312x −+； 5⑶； ⑷42242b a b a −+ 算一算：26 【例8】C【例9】化简为()()222242374x x x x x =−+−−−2824x x =−−−181454=−×+−=−【例10】原式22461261x y xy xy x y =−+−++ 2565x y xy =+−15465212⎛⎞=××−−−=−⎜⎟⎝⎠【例11】 ⑴2a =−，14b =，原式224148a b ab =−+=；⑵原式()()()()22119542a b a b a b a b =−−−−−+−()()211416444162044a b a b =−−−−=−×−×=−−=−【例12】8 【例13】A演练1 223xy ，a −，572t ，233a b c −，πx−是单项式．演练答案例题答案|初一预科班·第4讲·教师版| 3223xy 的系数是23，次数是3；a −的系数是1−，次数是1；572t 的系数是52（注意有些学校要求写成32），次数是7；233a b c −的系数是3−，次数是6；πx −的系数为1π−，次数为1．演练2 ⑴ C ；⑵ A ；⑶ 6m =，1n =；⑷ 1m =，2n =，()2009121−=−； ⑸3x =±，2y =±； ⑹4m =，14n =−演练3 ⑴C ； B ⑵； ⑶六，四，428x y −； ⑷9−，3，三，三； ⑸213m −=，24m =，2m =± 演练4 ⑴322187213x y x y xy y −−−+，四次四项式，318x y −； ⑵3225321x y x y xy y −−−+−，四次五项式，25x y −演练5 A 演练6 221132x xy y −− 演练7 A演练8 C演练9 ⑴()()32323322951782A B a b b a b b +=−−+−++32323318102782a b b a b b =−−−++ 322331872a b a b b =−−⑵ ()()2333233782951a b b a b b −++−−−23332321246951a b b a b b =−++−++ 23323219297a b a b b =−−++演练10 43642x x −+ 演练11 1010a b +演练12 7−演练13 原式29453944x y =−+=+=演练14 332x a a b =−−+223a b =+− ()23a b =+−3=−()222y c d d c =+−+−2= 原式116=−演练15 4挑战1 ()223347333A B x y xy x x y xy x −=++−−+−22347399x y xy x x y xy x =++−−−+ 5107xy x =−+− 因为3A B −与x 无关，大比拼答案|初一预科班·第4讲·教师版| 4所以5100xy x −+= 2y =37A B −=−挑战2 有道理，()22222222222233223A B C a b c a b c c a b a −+=+−−−−++−= 因为1a =所以1A B C −+=。

初中数学预科教案模板人教版

初中数学预科课程二、授课年级：八年级三、授课内容：人教版初中数学预科课程四、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握初中数学的基本概念、基本运算、基本图形和基本方法，为正式学习初中数学打下坚实的基础。

2. 过程与方法：通过预科课程的学习，培养学生观察、分析、推理、解决问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，树立自信，培养严谨、求实的科学态度。

五、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）初中数学的基本概念、基本运算、基本图形和基本方法；（2）培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。

2. 教学难点：（1）对初中数学概念的理解和应用；（2）解决复杂问题的策略和方法。

六、教学准备：1. 教学课件、教材、教学辅助工具；2. 教师备课，准备教学案例和练习题；3. 学生预习，复习小学阶段数学知识。

第一课时1. 导入新课（1）回顾小学阶段数学知识，引导学生进入初中数学学习；（2）介绍初中数学的特点和重要性。

2. 教学新课（1）讲解初中数学的基本概念，如实数、数轴、绝对值等；（2）讲解初中数学的基本运算，如加减乘除、开方等；（3）讲解初中数学的基本图形，如直线、线段、角等；（4）讲解初中数学的基本方法，如数形结合、分类讨论等。

3. 练习巩固（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）教师巡视指导，解答学生疑问。

4. 总结回顾（1）总结本节课所学内容；（2）布置课后作业，让学生预习下一节课。

第二课时1. 复习导入（1）复习上一节课所学内容；（2）引导学生提出问题，激发学习兴趣。

2. 教学新课（1）讲解初中数学的几何知识，如三角形、四边形、圆等；（2）讲解初中数学的代数知识，如方程、不等式等；（3）讲解初中数学的应用题，如行程问题、工程问题等。

3. 练习巩固（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）教师巡视指导，解答学生疑问。

4. 总结回顾（1）总结本节课所学内容；（2）布置课后作业，让学生预习下一节课。

新初一数学预科班讲义

第一章有理数及其运算 §1.1 数怎么不够用了【知识梳理】一、有理数的分类有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数或有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数二、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.三、求一个相反数的方法要求一个数的相反数，只要在这个数前面添上“-”，新的数就表示原数的相反数。

四、相反数的性质1、互为相反数的两个数的和为零，即如果b a 、互为相反数，则有0=+b a ；反之，如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数，即若0=+b a ，则b a 、互为相反数2、相反数是本身的数只有一个，是03、1和-1互为相反数，也是互为负倒数。

4、互为相反数的两个数绝对值相等，但绝对值相等的两个数并不一定互为相反数〖经典例题〗例1.将下列具有相反意义的量用线连接起来向南走6米失球2个进球5个亏损500元高于海平面960米运出200吨粮食盈利1000元向北走30米运进500吨粮食低于海平面300米例2.把下列各数分别填在相应的大括号内.2.4,413,8.0,0,722,6,2,13,21-+-- 正数{ }负数{ } 正整数{ } 正分数{ } 负分数{ }例3.三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，下表是工作人员连续5天的水位记录（如果规定蓄水位为135米）情况，记录如下：（单位：米）6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日-5 +2 -1 +3 +2 问：（1）这5天中每天的水位各是多少米？（2）总的来说，水位是高了，还是低了？若高，高了多少？若低，低了多少？例4.如图，数轴上点A 、B 、C 、D 、E 各表示什么数？例5.下列说法中正确的是（）2332和互为相反数 B.125.0-81和互为相反数 C.a -的相反数是正数 D.两个表示相反意义的量互为相反数例6.比较大小（1）0 -3 (2) 21--2 (3)7 -10 〖变式练习〗1.指出下列语句的实际意义（1）温度下降了-9℃；（2）收入了-4000元2.将下列各数分别填入相应的集合里 431,01.14,0,07.0,7.5,2,21,1---正数集合{ }负分数集合{ } 整数集合{ }3.体育课上老师对九年级男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的个数用正数来表示，不足的个数用负数来表示，其中8名男生的成绩如下： 2，-1, 0, 3，-2，-3, 1, 0 这8男生有百分之几达到标准？他们共做了多少个引体向上？4.在数轴上画出表示下列各数的点 3， -1， 0，-221，3.5，-55.说出下列各数的相反数：5，-10，-3.9，.0,20042003,53-6.如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 表示的数分别为-1.5，-3,2,3.5.回答下列问题：将A 、B 、C 、D 表示的数按从小到大的顺序用“<”连接。

第1讲.初一预科班.教师版

|初一预科班·第1讲·教师版| 1【建议：老师要先把基本概念讲透后再进行例题讲解与练习，根据本班的具体情况选讲例题即可，实战演练即作业．】一、有理数六大基本概念Ⅰ：正数、负数及有理数概念随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6℃和零下4℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1−、 3.12−、175−、2008−等在正数前加上“−”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数. 一个数字前面的“+”，“−”号叫做它的符号.正数前面的“+”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km −.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数第一讲有理数之六大必考概念知识点睛|初一预科班·第1讲·教师版| 2()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式,是有理数小数无限循环小数无限不限循环小数---不可化成分数形式,不是有理数Ⅱ：数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：|初一预科班·第1讲·教师版| 3有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.Ⅲ：相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．例如5+和5−互为相反数，或者说5+是5−的相反数，5−是5+ 的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如3+与3−互为相反数，而3+与2−虽然符号不同，但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“−”号即可．一般地，数a 的相反数是a −；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a −不一定是负数．当0a >时，0a −<；当0a =时，0a −=；当0a <时，0a −>.⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“−”号，也可以把“−”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“−”号，则化简后只保留一个“−”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“−”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.Ⅳ：绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5−符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：|初一预科班·第1讲·教师版| 4①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩ ②(0)(0)a a a a a ⎧=⎨−<⎩≥ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨−⎩≤ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =Ⅴ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. a ，b 互为倒数，则1a b ⋅=；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可(正整数可以看作分母为1的分数) 负倒数：乘积为1−的两个数互为负倒数.a ，b 互为负倒数，则1a b ⋅=−.反之亦然.二、有理数大小的比较数轴上的数，右边的数总大于左边的数．正数大于0，负数小于0，正数大于负数两个负数，绝对值大的反而小两数比较大小，可按符号情况分类：0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0注☆“0”的9种说法：（1）既不是正数也不是负数的数．（2）最大的非正数．（3）最小的非负数．（4）与其相反数相等的数．（5）最小的非负整数．（6）最大的非正整数．（7）最小的自然数．（8）绝对值最小的有理数．（9）没有倒数的数．【建议】更多的说法教师可自行补充．|初一预科班·第1讲·教师版| 5【例1】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶3−，0；⑷ D ；⑸ “()60030mL ±”表示每瓶饮料容量最小可以是()60030mL −，最大可以是()60030mL −，抽出的5瓶容量均在()60030mL −与()60030mL +之间，因此合格．【例2】【例3】 10【例4】 ⑴ √；⑵×；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×．先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的数大，故 113.510 2.54522−<−<<<<<+ 【例5-例10】C ； 3±1− 1−，0，1，2 选D 7−【例11】 C 【例12】 ⑴ ()a a −+=−，正数；⑵()a a −−=，负数；⑶ ()a a −+−=⎡⎤⎣⎦；⑷ a −，正数；⑸ (){}a a −+−−−⎡⎤⎣⎦【例13】 ⑴ 37−，12a ；⑵ 2−，4b −−；⑶ 4−；⑷ 5，a b −−，7bc −+−【例14】选A 6 【例15】 ⑴ 1.5−；⑵ 0，1±，2±，3±【例16】 5m n +=，1m =，4n =，有()14，，()14−，，()14−，，()14−，；若2m =，3n =，有()23，，()23−，，()23−，，()23−−，；若3m =，2n =有()32−，，()32，，()32−，，()32−−，；若4m =，1n =有()41，，()41−，，()41−−，，()41−，，所以16组．【例17】 ∵20x −≥，30y −≥，要使230x y −+−=，当且仅当20x −=且30y −=，有2x =，3y =则6xy =；变型70x y +−=，根据绝对值的非负性，有0x =，7y =，∴0xy =例题答案-11 2.510432543210|初一预科班·第1讲·教师版| 6【例18】数轴上右边的数总比左边的数大，0a c −>，0a b +<，0b c +<，原式()0a c a b b c =−+−−++= 【例19】 ⑴ x ，原点，=；⑵ 1；⑶ x ，3，2x =或4；⑷ x ，2−，0x =或4− 【例20】 A 【例21】 D 【例22】 > 【例23】 4−，3− 【例24】经分析a ，b ，a −，b −在数轴上表示如图所示：数轴上右边的数总比左边的数大，所以a b b a <−<<−，选C ．演练1-5 C C D C B演练6 属于负数的有： 4.5−，12−，0.313− ，11−；属于非负有理数：6，0，2.4 ，3.14 演练7 B 演练8 3−演练9 4−或2−演练10 小虫前6s 共爬行12个单位长度；B 点到A 点的距离为3个单位长度；B 点对应折数是2．BA131演练11 a −演练12 他们的相反数分别是：3，2，3−，0，1−， 2.5−．如图：-0323 演练13 C 演练14 B 演练15 A 演练16 D 演练17 B 演练18 D演练19 D演练20 3.5，3.5，27−演练21 ⑴ A ；⑵ 3−，2−，1−，0，1；⑶ >，>挑战1 ②⑤挑战2⑴-百货大楼⑵ ()4 4.58.5−−=（千米）⑶ 4 1.510 4.520+++−+−=（千米）200.051×=(升)大比拼答案演练答案b -ab a 0。

初一数学预科第二讲

定义新运算定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。

（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。

它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。

（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

一、例题解析1.定义新运算“*”，对于任何数a 和b ，a*b=a b a +；当a=2，b=3时，2*3=232+=2.5 （1）计算1996*1998，1998*1996；（2）计算1997*7*1，1997*（7*1）；2.定义一种运算“∧”，对于任何两个正数a 和b ，a ∧b=ba ab +；计算，2∧4∧8∧16∧16，计算，16∧2∧8∧16∧4。

3、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：2 4＝8，5 3＝13，3 5＝11，97＝25，求7 3＝？4.规定a △b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b -1)（a 、b 均为自然数，b >a ）如果x △10=65；那么x=?二、巩固练习1、a *b 表示a 的3倍减去b 的1/2 ，例如：1*2=1 ×3-2×21=2；根据以上的规定，计算：①10*6 ②7*（2*1）2、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：2132= 63，5497 =4511，6571=426。

求11354 的值。

3、定义两种运算“”、，对于任意两个整数a 、b ，a b= a+b-1,a b=a ×b-1。

①计算4[(68) (35)的值；②若x (x 4)=30，求x 的值。

4、对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y =2ymx 6xy （其中m 是一个确定的整数），如果1△2＝2，则2△9＝？5、x 和y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x△y=kxy，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值。

新初一预科数学讲义

目录第一讲数系的第一次扩充有理数概念 (4)有理数的表示----数轴 (9)第二讲相反数与绝对值相反数 (14)绝对值 (16)第三讲有理数的加减有理数的加法 (21)有理数的减法及加减混合运算 (25)第四讲有理数的乘除有理数的乘法 (30)有理数的除法 (32)第五讲有理数的乘方 (34)第六讲有理数的混合运算 (38)第七讲整式的概念及加减运算代数式及其运算 (41)单项式 (45)多项式 (47)第八讲整式的加减运算同类项及加减运算 (50)第九讲一元一次方程（一） (55)第十讲一元一次方程（二） (60)七年级数学单元检测题 (63)第十一讲丰富的图形世界 (67)第十二讲平面图形及其位置关系 (78)第一讲数系的第一次扩充学习目标1.认识负数，理解有理数的定义、分类2.通过反复对比练习掌握正数，负数，数轴的概念，并能解决实际问题。

学习重点1.与有理数有关概念的区分认识。

2.数轴的认识与应用。

知识框架图（你会画吗？）专题一有理数概念1、相关知识链接小学学过的数：（1）整数（自然数）：0，1，2，3…………（2）分数：1131,,,1,2342……………（3）小数：，，…………整数、小数、分数和百分数、负数(比较熟练地进行整数、小数、分数的四则运算，能进行整数、小数加减乘除的估算；会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算)提问：生活中具有相反意义的量怎么表示？下面的问题该如何解决？（1）温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2）海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3）生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？2、教材知识梳理负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数【知识点1】正数与负数的概念（一）正数：像5，，13....这样的数叫做正数。

为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

（二）负数：像-5，，-13等在正数前面加上“-”号的数叫做负数“—”不能省略。