东南大学数值分析上机解剖

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东南大学数值分析上机报告完整版

数值分析上机实验报告目录1.chapter1舍入误差及有效数 (1)2.chapter2Newton迭代法 (3)3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法 (7)4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法 (8)5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近 (10)1.chapter1舍入误差及有效数1.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。

（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。

（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2编写相应的matlab 程序 clear;N=input('please input N:'); AValue=((3/2-1/N-1/(N+1))/2); sn1=single(0); sn2=single(0); for i=2:Nsn1=sn1+1/(i*i-1); %从大到小相加的通用程序% endep1=abs(sn1-AValue); for j=N:-1:2sn2=sn2+1/(j*j-1); %从小到大相加的通用程序% endep2=abs(sn2-AValue);fprintf('精确值为:%f\n',AValue);fprintf('从大到小的顺序累加得sn=%f\n',sn1); fprintf('从大到小相加的误差ep1=%f\n',ep1); fprintf('从小到大的顺序累加得sn=%f\n',sn2); fprintf('从小到大相加的误差ep2=%f\n',ep2); disp('================================='); 1.3matlab 运行程序结果 >> chaper1please input N:100 精确值为:0.740050从大到小的顺序累加得sn=0.740049 从大到小相加的误差ep1=0.000001 从小到大的顺序累加得sn=0.740050 从小到大相加的误差ep2=0.000000 >> chaper1please input N:10000 精确值为:0.749900从大到小的顺序累加得sn=0.749852 从大到小相加的误差ep1=0.000048 从小到大的顺序累加得sn=0.749900 从小到大相加的误差ep2=0.000000please input N:1000000精确值为:0.749999从大到小的顺序累加得sn=0.749852 从大到小相加的误差ep1=0.000147 从小到大的顺序累加得sn=0.749999 从小到大相加的误差ep2=0.0000001.4结果分析以及感悟按照从大到小顺序相加的有效位数为：5,4,3。

东南大学计算方法上机报告实验报告完整版

实习题11. 用两种不同的顺序计算644834.11000012≈∑=-n n，试分析其误差的变化解：从n=1开始累加，n 逐步增大，直到n=10000；从n=10000开始累加，n 逐步减小，直至1。

算法1的C 语言程序如下： #include<stdio.h> #include<math.h> void main() { float n=0.0; int i; for(i=1;i<=10000;i++) { n=n+1.0/(i*i); } printf("%-100f",n); printf("\n"); float m=0.0; int j; for(j=10000;j>=1;j--) { m=m+1.0/(j*j); } printf("%-7f",m); printf("\n"); }运行后结果如下：结论： 4.设∑=-=Nj N j S 2211，已知其精确值为)11123(21+--N N 。

1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序； 2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序；3）按2种顺序分别计算30000100001000,,S S S ，并指出有效位数。

解：1）从大到小的C语言算法如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<iostream>using namespace std;void main(){float n=0.0;int i;int N;cout<<"Please input N"<<endl;cin>>N;for(i=N;i>1;i--){n=n+1.0/(i*i-1);N=N-1;}printf("%-100f",n);printf("\n");}执行后结果为：N=2时，运行结果为：N=3时，运行结果为：N=100时，运行结果为：N=4000时，运行结果为：2）从小到大的C语言算法如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<iostream>using namespace std;void main(){float n=0.0;int i;int N;cout<<"Please input N"<<endl;cin>>N;for(i=2;i<=N;i++){n=n+1.0/(i*i-1);}printf("%-100f",n);printf("\n");}执行后结果为：N=2时，运行结果为：N=3时，运行结果为：N=100时，运行结果为：N=4000时，运行结果为：结论：通过比较可知：N 的值较小时两种算法的运算结果相差不大，但随着N 的逐渐增大，两种算法的运行结果相差越来越大。

东南大学_数值分析_第七章_偏微分方程数值解法

第七章偏微分方程数值解法——Crank-Nicolson 格式****（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P346,10题。

一、算法原理本文研究下列定解问题(抛物型方程)22(,) (0,0)(,0)() (0)(0,)(), (1,)() (0)u ua f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ϕαβ⎧∂∂-=<<≤≤⎪∂∂⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎩(1)的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ϕαβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。

关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。

其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线(0)(0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤⎧⎨==≤≤⎩ 分割成矩形网格，其中,l Th M Nτ==分别为空间步长和时间步长。

将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。

其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。

Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2i k x t τ+处考虑式(1)，有22(,)(,)(,)222i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ∂∂+-+=+∂∂ (2)对偏导数(,)2i k u x t t τ∂+∂用中心差分展开 []2311+131(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u ux t u x t u x t x t t t t ττηητ++∂∂+=--<<∂∂ (3) 将22(,)2i k u x t x τ∂+∂在节点(,)i k x t 和1(,)i k x t +表示为222+122224+1221(,)=(,)+(,)22 (,) ()8i k i k i k k k i i k i k u u ux t x t x t x x x ux t t x tττηη⎡⎤∂∂∂+⎢⎥∂∂∂⎣⎦∂-<<∂∂ (4)对以上两个偏导数用二阶差分展开[]2112224i+141(,)(,)2(,)(,) (,) ()12i k i k i k i k kk i k i i u x t u x t u x t u x t x hh u t x x x ξξ+-∂=-+∂∂-<<∂ (5)[]211111122241i+141(,)(,)2(,)(,) (,) ()12i k i k i k i k k ki k i i u x t u x t u x t u x t x hh u t x x xξξ++++-++∂=-+∂∂-<<∂ (6)将式(4)(5)(6)分别代入式(3)，略去高阶小量，用k i u 代替(,)i k u x t 并化简得()()()2111111112122,22k k k k k k k k i i i i i i i i i k a u u u u u u u u f x t h ττ+++++-+-⎛⎫⎡⎤---++-+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ (7) 令2/r a h τ=，将式(7)联合式(1)初始条件和边界条件，用矩阵的形式表示为：11112212211111221122221122221122 k k k k k kM M k k M M r r r r u u r r r r r ru u r r r r u u r r u u r r r r +++--+--⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()112211,22,2 ,2,22k k k k M k M k k k r f x t t t f x t f x t r f x t t t ττααττττττββ+--+⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(8) Crank-Nicolson 格式的截断误差为22()R O h τ=+，具有较高的精度。

数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学

实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。

（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。

（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。

按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。

可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。

当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。

因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。

2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。

（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。

试确定尽可能大的δ。

○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。

算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。

运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。

东南大学数值分析上机实验题(下)

数值分析上机报告XX：学号：2013年12月22日第四章38.（上机题）3次样条插值函数（1）编制求第一型3次样条插值函数的通用程序;端点条件为'0y =0.8，'10y =0.2。

用所编制程序求车门的3次样条插值函数S(x),并打印出S(i+0.5)(i=0,1,…9)。

解：（1）#include <iostream.h> #include <math.h>floatx1[100],f1[100],f2[99],f3[98],m[100],a[100][101],x,d[100]; float c[99],e[99],h[99],u[99],w[99],y_0,y_n,arr ,s; int i,j,k,n,q;void selectprint(float y) {if ((y>0)&&(y!=1)) cout<<"+"<<y; else if (y==1) cout<<"+"; else if (y<0) cout<<y; }void printY(float y){ if (y!=0) cout<<y; }float calculation(float x){ for (j=1;j<=n;j++) if (x<=x1[j]) {s=(float)(f1[j-1]+c[j-1]*(x-x1[j-1])+m[j-1]/2.0*(x-x1[j-1])*(x-x1[j-1])+e[j-1]*(x-x1[j-1])*(x-x1[j-1])*(x-x1[j-1])); break; }return s; }void main() {do{cout<<"请输入n值:";cin>>n;if ((n>100)||(n<1)) cout<<"请重新输入整数(1..100):"<<endl;}while ((n>100)||(n<1));cout<<"请输入Xi(i=0,1,...,"<<n<<"):";for (i=0;i<=n;i++) cin>>x1[i];cout<<endl;cout<<"请输入Yi(i=0,1,...,"<<n<<"n):";for (i=0;i<=n;i++) cin>>f1[i];cout<<endl;cout<<"请输入第一型边界条件Y'0，Y'n:";cin>>y_0>>y_n;cout<<endl;for (i=0;i<n;i++) h[i]=x1[i+1]-x1[i];for (i=1;i<n;i++) u[i]=(float) (h[i-1]/(h[i-1]+h[i]));for (i=1;i<n;i++) w[i]=(float) (1.0-u[i]);for (i=0;i<n;i++) f2[i]=(f1[i+1]-f1[i])/h[i]; //一阶差商for (i=0;i<n-1;i++) f3[i]=(f2[i+1]-f2[i])/(x1[i+2]-x1[i]); //二阶差商for (i=1;i<n;i++) d[i]=6*f3[i-1]; //求出所有的d[i]d[0]=6*(f2[0]-y_0)/h[0];d[n]=6*(y_n-f2[n-1])/h[n-1];for (i=0;i<=n;i++)for (j=0;j<=n;j++)if (i==j) a[i][j]=2;else a[i][j]=0;a[0][1]=1;a[n][n-1]=1;for (i=1;i<n;i++){a[i][i-1]=u[i];a[i][i+1]=w[i];}for (i=0;i<=n;i++) a[i][n+1]=d[i];for (i=1;i<=n;i++) //用追赶法解方程,得M[i]{arr=a[i][i-1];for (j=0;j<=n+1;j++)a[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]*arr/a[i-1][i-1];}m[n]=a[n][n+1]/a[n][n];for (i=n-1;i>=0;i--) m[i]=(a[i][n+1]-a[i][i+1]*m[i+1])/a[i][i];for (i=0;i<n;i++) //计算S（x）的表达式c[i]=(float) (f2[i]-(1.0/3.0*m[i]+1.0/6.0*m[i+1])*h[i]);for (i=0;i<n;i++)e[i]=(m[i+1]-m[i])/(6*h[i]);for (i=0;i<n;i++){cout<<"X属于区间["<<x1[i]<<","<<x1[i+1]<<"]时"<<endl<<endl;cout<<"S(x)=";printY(f1[i]);if (c[i]!=0){selectprint(c[i]);cout<<"(x";printY(-x1[i]);cout<<")";}if (m[i]!=0){selectprint((float)(m[i]/2.0));for (q=0;q<2;q++){cout<<"(x";printY(-x1[i]);cout<<")";}}if (e[i]!=0){selectprint(e[i]);for (q=0;q<3;q++){cout<<"(x";printY(-x1[i]);cout<<")";}}cout<<endl<<endl;}cout<<"针对本题，计算S(i+0.5)(i=0,1,...,9):"<<endl;for (i=0;i<10;i++){if ((i+0.5<=x1[n])&&(i+0.5>=x1[0])){calculation((float)(i+0.5));cout<<"S("<<i+0.5<<")="<<s<<endl;}else cout<<i+0.5<<"超出定义域"<<endl;};cout<<endl;}（2）编制的程序求车门的3次样条插值函数S(x)：x属于区间[0,1]时；S(x)=2.51+0.8(x)-0.0014861(x)(x)-0.00851395(x)(x)(x)x属于区间[1,2]时；S(x)=3.3+0.771486(x-1)-0.027028(x-1)(x-1)-0.00445799(x-1)(x-1)(x-1) x属于区间[2,3]时；S(x)=4.04+0.704056(x-2)-0.0404019(x-2)(x-2)-0.0036543(x-2)(x-2)(x-2)x属于区间[3,4]时；S(x)=4.7+0.612289(x-3)-0.0513648(x-3)(x-3)-0.0409245(x-3)(x-3)(x-3) x属于区间[4,5]时；S(x)=5.22+0.386786(x-4)-0.174138(x-4)(x-4)+0.107352(x-4)(x-4)(x-4) x属于区间[5,6]时；S(x)=5.54+0.360567(x-5)+0.147919(x-5)(x-5)-0.268485(x-5)(x-5)(x-5) x属于区间[6,7]时；S(x)=5.78-0.149051(x-6)-0.657537(x-6)(x-6)+0.426588(x-6)(x-6)(x-6) x属于区间[7,8]时；S(x)=5.4-0.184361(x-7)+0.622227(x-7)(x-7)-0.267865(x-7)(x-7)(x-7) x属于区间[8,9]时；S(x)=5.57+0.256496(x-8)-0.181369(x-8)(x-8)+0.0548728(x-8)(x-8)(x-8) x属于区间[9,10]时；S(x)=5.7+0.058376(x-9)-0.0167508(x-9)(x-9)+0.0583752(x-9)(x-9)(x-9)S(0.5)=2.90856 S(1.5)=3.67843 S (2.5)=4.38147 S(3.5)=4.98819 S(4.5)=5.38328 S(5.5)=5.7237S(6.5)=5.59441 S(7.5)=5.42989 S(8.5)=5.65976 S(9.5)=5.7323第六章21．（上机题）常微分方程初值问题数值解（1）编制RK4方法的通用程序；（2）编制AB4方法的通用程序（由RK4提供初值）；（3）编制AB4-AM4预测校正方法的通用程序（由RK4提供初值）；（4）编制带改进的AB4-AM4预测校正方法的通用程序（由RK4提供初值）;（5）对于初值问题h=,应用（1）~（4）中的四种方法进行计算，并将计算结果和精确解取步长0.13=+作比较；y x x()3/(1)（6）通过本上机题，你能得到哪些结论？解：#include<iostream.h>#include<fstream.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>ofstream outfile("data.txt");//此处定义函数f(x,y)的表达式//用户可以自己设定所需要求得函数表达式double f1(double x,double y){double f1;f1=(-1)*x*x*y*y;return f1;}//此处定义求函数精确解的函数表达式double f2(double x){double f2;f2=3/(1+x*x*x);return f2;}//此处为精确求函数解的通用程序void accurate(double a,double b,double h){double x[100],accurate[100];x[0]=a;int i=0;outfile<<"输出函数准确值的程序结果:\n";do{x[i]=x[0]+i*h;accurate[i]=f2(x[i]);outfile<<"accurate["<<i<<"]="<<accurate[i]<<'\n';i++;}while(i<(b-a)/h+1);}//此处为经典Runge-Kutta公式的通用程序void RK4(double a,double b,double h,double c) {int i=0;double k1,k2,k3,k4;double x[100],y[100];y[0]=c;x[0]=a;outfile<<"输出经典Runge-Kutta公式的程序结果:\n"; do{x[i]=x[0]+i*h;k1=f1(x[i],y[i]);k2=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k1/2));k3=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k2/2));k4=f1((x[i]+h),(y[i]+h*k3));y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;outfile<<"y"<<"["<<i<<"]="<<y[i]<<'\n';i++;}while(i<(b-a)/h+1);}//此处为4阶Adams显式方法的通用程序void AB4(double a,double b,double h,double c) {double x[100],y[100],y1[100];double k1,k2,k3,k4;y[0]=c;x[0]=a;outfile<<"输出4阶Adams显式方法的程序结果:\n";for(int i=0;i<=2;i++){x[i]=x[0]+i*h;k1=f1(x[i],y[i]);k2=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k1/2));k3=f1((x[i]+h/2),(y[i]+h*k2/2));k4=f1((x[i]+h),(y[i]+h*k3));y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;}int j=3;y1[0]=y[0];y1[1]=y[1];y1[2]=y[2];y1[3]=y[3];do{x[j]=x[0]+j*h;y1[j+1]=y1[j]+(55*f1(x[j],y1[j])-59*f1(x[j-1],y1[j-1])+37*f1(x[j-2],y1[j-2])-9*f1(x[j-3],y1[ j-3]))*h/24;outfile<<"y1"<<"["<<j<<"]="<<y1[j]<<'\n';j++;}while(j<(b-a)/h+1);}//主函数void main(void){double a,b,h,c;cout<<"输入上下区间、步长和初始值:\n";cin>>a>>b>>h>>c;accurate(a,b,h);RK4(a,b,h,c);AB4(a,b,h,c);}float si(int u,int v){float sum=0; int q;for(q=0;q<k;q++)sum+=a[u][q]*a[q][v];sum=a[u][v]-sum;return sum;}void exchange(int g){int t; float temp;for(t=0;t<n;t++){temp=a[k][t];a[k][t]=a[g][t];a[g][t]=temp;}}void analyze(){int t;float si(int u,int v);for(t=k;t<n;t++)a[k][t]=si(k,t);for(t=(k+1);t<m;t++)a[t][k]=(float)(si(t,k)/a[k][k]);}void ret(){int t,z;float sum;x[m-1]=(float)a[m-1][m]/a[m-1][m-1];for(t=(m-2);t>-1;t--){sum=0;for(z=(t+1);z<m;z++)sum+=a[t][z]*x[z];x[t]=(float)(a[t][m]-sum)/a[t][t];}}（5）由经典Runge-Kutta公式得出的结果列在下面的表格中，以及精确值y(x i)和精确值和数值解的误差：由AB4方法得出的结果为：Y1[0]=3 y1[1]=2.997 y1[2]=2.97619 y1[3]=2.92113 y1[4]=2.81839 y1[5]=2.66467 y1[6]=2.4652 y1[7]=2.23308 y1[8]=1.98495 y1[9]=1.73704 y1[10]=1.50219 y1[11]=1.28876 y1[12]=1.10072 y1[13]=0.93871 y1[14]=0.801135y1[15]=0.685335（6）本次上机作业让我知道了在遇到复杂问题中，无法给出解析式的情况下，要学会灵活使用各种微分数值解法，并且能计算出不同方法的精度大小。

东南大学出版社第二版《数值分析》上机作业答案(前三章)

for (i=k+1;i<N;i++) // { lik=a[i][k]/a[k][k]; //实施消去过程，得到上三角系数增广矩阵 for (j=k;j<M;j++) // { a[i][j]=a[i][j]‐lik*a[k][j]; // } } } cout<<"经列主元高斯消去法得到的数组为:"<<endl; // for (b=0;b<N;b++) // { cout<<endl; //输出经过列主元消去法处理过的系数增广矩阵 for (c=0;c<M;c++) { cout<<setw(7)<<a[b][c]; // } } cout<<endl; double x[N]; // double s; int f,g; x[N‐1]=a[N‐1][M‐1]/a[N‐1][N‐1]; // for (f=N‐2;f>=0;f‐‐) // { s=0; for (g=f+1;g<N;g++) //由上三角形的系数增广矩阵求出方程组的解 { s=s+a[f][g]*x[g]; // } x[f]=(a[f][N]‐s)/a[f][f]; // } cout<<"方程组的解为:"<<endl; for (b=0;b<N;b++) //输出方程组的解 {
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当 n=10000 时，s3=0.7499 Press any key to continue （分析 S1 的 6 位数字中，有效位数为 4 位； S2 的所有数字都是有效数字。）当 n=1000000 时，s1=‐14.2546 当 n=1000000 时，s2=‐14.2551 当 n=1000000 时，s3=0.749999 Press any key to continue （分析： S1 的 6 位数字中，没有有效数字； S2 的 6 位数字中，没有有效数字。）由运行结果可知，当精度比较低时，按从大数开始累加到小数的计算结果的精度低于按从小数累加到大数的计算结果的精度。至于当 n=1000000 时，S1 和 S2 得出了负数结果，可能是由于循环次数过多，导致数据溢出，从而得出错误结果。习题 2 20．程序如下： //给定误差限为：0.5e‐6 //经过试算得当 delta 最大取道 0.7745966 时，迭代得到的根都收敛于 0 #include <iostream.h> #include <math.h> void main () { double x,u; int count=0; u=10.0; cout<<"请输入 x 的初值"<<endl; cin>>x; for (count=0;abs(u)>5;count++) { x=x‐(x*x*x‐3*x)/(3*(x*x‐1)); u=10000000*x; if(count>5000) { cout<<"迭代结果不收敛于 0！"<<endl; break; } } cout<<"x="<<x<<endl<<endl;

数值分析上机题Matlab(东南大学)3

0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72
152 139 128 119 110 103 96 90 85 80 76 72 68 65 62 59 56 53 51 49 47 45 43 41 39 38
========================================================================================================================
======================================================================================================================================================================== 习题 3_36 ======================================================================================================================================================================== Omega n x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
-0.71279 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71280 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281 -0.71281

东南大学_数值分析_第六章_常微分方程数值解法

第六章常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P307,23题。

一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1)，采用离散化方法，就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。

记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距，称为步长。

求微分方程数值解的主要问题：(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计； (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想：通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率，并将其加权平均作为k *的近似值，以此构造更高精度的计算公式。

如果每步计算四次函数的值，完全类似的，可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4)：1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法，计算1+n y 时，只用到n y ，而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。

可以设想如果充分利用已知信息1-n y ，2-n y ，…来计算1+n y ，那么不但有可能提高精度，而且大大减少了计算量，这就是构造所谓线性多步法的基本思想。

东南大学_数值分析_第六章_常微分方程数值解法

第六章常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P307,23题。

记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距，称为步长。

东南大学数值分析上机报告完整版

数值分析上机实验报告目录1.chapter1舍入误差及有效数 (2)2.chapter2Newton迭代法 (3)3.chapter3线性代数方程组数值解法-列主元Gauss消去法 (7)4.chapter3线性代数方程组数值解法-逐次超松弛迭代法 (9)5.chapter4多项式插值与函数最佳逼近 (10)1.chapter1舍入误差及有效数1.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。

（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。

（编制程序时用单精度）（4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2编写相应的matlab 程序clear;N=input('please input N:');AValue=((3/2-1/N-1/(N+1))/2);sn1=single(0);sn2=single(0);for i=2:Nsn1=sn1+1/(i*i-1); %从大到小相加的通用程序%endep1=abs(sn1-AValue);for j=N:-1:2sn2=sn2+1/(j*j-1); %从小到大相加的通用程序%endep2=abs(sn2-AValue);fprintf('精确值为:%f\n',AValue);fprintf('从大到小的顺序累加得sn=%f\n',sn1);fprintf('从大到小相加的误差ep1=%f\n',ep1);fprintf('从小到大的顺序累加得sn=%f\n',sn2);fprintf('从小到大相加的误差ep2=%f\n',ep2);disp('=================================');1.3matlab 运行程序结果>> chaper1please input N:100精确值为:0.740050从大到小的顺序累加得sn=0.740049从大到小相加的误差ep1=0.000001从小到大的顺序累加得sn=0.740050从小到大相加的误差ep2=0.000000>> chaper1please input N:10000精确值为:0.749900从大到小的顺序累加得sn=0.749852从大到小相加的误差ep1=0.000048从小到大的顺序累加得sn=0.749900从小到大相加的误差ep2=0.000000>> chaper1please input N:1000000精确值为:0.749999从大到小的顺序累加得sn=0.749852从大到小相加的误差ep1=0.000147从小到大的顺序累加得sn=0.749999从小到大相加的误差ep2=0.0000001.4结果分析以及感悟按照从大到小顺序相加的有效位数为：5,4,3。

东南大学(有10试题)

东南大学建筑系规划设计1995——1996城市规划设计1999城市规划原理1995——1998，2002中外建筑史和城建史2003中、外建筑史1991——1999，2001外国建筑史1991，1995——2000，2002中国建筑史1995——2001建筑构造1996，2002建筑技术(构造、结构)1998——1999，2002建筑设计1995——2000建筑设计基础2004建筑设计原理1995——1996建筑物理1999，2002素描1995——1998素描色彩1999素描与色彩画2002色彩画1995——1998西方美术史1999中、西美术史1997——1998中西美术史1995——1996，1998中西美术史及其理论1999创作与设计1999无线电工程系专业基础综合（信号与系统、数字电路）2004——2006专业基础综合（含信号与系统、计算机结构与系统、线性电子线路）2003 通信原理1994，1999——2003（1999有答案）信号与系统1997——2002数字电路与微机基础1998——2002模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002电磁场理论2001，2003——2004微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）应用数学系高等代数1997——2005数学分析1995——2005概率论2003常微分方程2004物理系量子力学2001——2005普通物理2001——2005光学1997——1998，2000——2004热力学统计物理2001电磁场理论2001，2003——2004人文学院政治学原理2008法学理论2004法学综合（法理学）（含刑法学与刑事诉讼法学、宪法学、行政法学与行政诉讼法学）2004法学综合（民商法学）（含宪法学、法理学、行政法学与行政诉讼法学）2004 法学综合（宪法学与行政法学）（含刑法学与刑事诉讼法学、法理学、民商法学与民事诉讼法学）2004民商法学2004宪法和行政法学2004外语系二外日语1999——2004二外法语2000——2004（2003有答案）（注：2004年试卷共10页，缺第9页和第10页）二外德语2000——2002，2004二外俄语2000，2002基础英语1999——2002语言学1999——2002翻译与写作1999——2002基础英语与写作2003——2004（2003——2004有答案）语言学与翻译2003——2004英美文学与翻译2004（2004有答案）二外英语2004日语文学与翻译2004交通学院材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005结构力学1993——2006土力学及土质学1993——1997，1999——2005道路交通工程系统分析1994——2004（1994——1998，2003——2004有答案）电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003交通工程学基础1992——2001生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1995——1997流行病学2005卫生综合2004——2005内科学1995——1998建筑研究所中外建筑史和城建史2003中、外建筑史1991——1999，2001外国建筑史1991，1995——2000，2002中国建筑史1995——2001建筑构造1996，2002建筑技术(构造、结构)1998——1999，2002建筑设计1995——2000建筑设计基础2004建筑设计原理1995——1996建筑物理1999，2002学习科学研究中心（无此试卷）远程教育学院计算机软件基础（含数据结构、操作系统、软件工程、编译原理、离散数学）2003 计算机专业基础2002，2004——2005计算机结构与逻辑设计2001年本科生期末考试试题离散数学考研试题集（含97——00年）10元编译原理1993——2001编译原理与操作系统2002操作系统1994——2001数据结构1992——2002机械工程系机械原理1993——2005机械设计2002——2004电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003制冷原理2003——2004制冷原理与设备2000——2002材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005结构力学1993——2006材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005土力学及土质学1993——1997，1999——2005工程结构设计原理2005工程经济2003——2005工程流体力学1998——2005工程热力学2000——2004工程施工与管理2002工程力学2003——2005工程力学2002（样题）钢结构1997——1999环境微生物学2005水污染控制工程1997——2002流行病学2005普通化学1997——1998，2000——2005有机化学2004——2005卫生综合2004——2005管理原理1998——2005，2010（2010为回忆版）（注：2004年试卷共2页，缺第2页）自动控制系自动控制理论1997——2002自动控制原理2004高等代数1997——2005生物科学与医学工程系生物信号处理1999——2003现代生物学2003经济管理学院西方经济学1999——2003，2005，2010（2002——2003有答案）（注：2005、2010年试卷为回忆版）金融学基础2002——2005，2005答案管理原理1998——2005，2010（2010为回忆版）（注：2004年试卷共2页，缺第2页）管理学2000——2002，2005，2007（2000——2002有答案）现代管理学2003——2004，2010（2003有答案）（2010为回忆版）市场营销学1999，2000——2001高等代数1997——2005自动控制理论1997——2002自动控制原理2004运筹学2001体育系（无此试卷）仪器科学与工程系电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003自动控制理论1997——2002自动控制原理2004电磁场理论2001，2003——2004微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）公共卫生学院西方经济学1999——2003，2005，2010（2002——2003有答案）（注：2005、2010年试卷为回忆版）卫生综合2004——2005有机化学2004——2005分析化学1992——2005（1992——2005有答案）物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1996流行病学2005高等教育研究所（无此试卷）软件学院（无此试卷）集成电路学院模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）电磁场理论2001，2003——2004动力工程系结构力学1993——2006土力学及土质学1993——1997，1999——2005工程经济2003——2005工程流体力学1998——2005工程热力学2000——2004工程施工与管理2002热工自动调节原理2001——2004制冷原理2003——2004制冷原理与设备2000——2002电路分析基础1996——2004电路分析与自控原理2003传热学2000——2004普通化学1997——1998，2000——2005电子工程系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002半导体物理1996——2005，2010（2010为回忆版）模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002电子线路基础2001——2004电磁场理论2001，2003——2004高等代数1997——2005微机系统与接口技术2001——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）计算机科学与工程系计算机软件基础（含数据结构、操作系统、软件工程、编译原理、离散数学）2003 计算机专业基础2002，2004——2005计算机结构与逻辑设计2001年本科生期末考试试题离散数学考研试题集（含97——00年）10元编译原理1993——2001编译原理与操作系统2002操作系统1994——2001数据结构1992——2002材料科学与工程系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002材料力学2003——2005材料力学（结）1995——2000材料力学（岩）2005钢结构1997——1999金属学2003——2004金属学及热处理1999——2002，2005卫生综合2004——2005电气工程系电工基础2000——2006模拟电子技术2000模拟电子线路1999——2002微机原理与应用1996——2000，2002（2002有答案）电磁场理论2001，2003——2004化学化工系物理化学2004——2005物理化学（化）1998——2005物理化学（金材）2000，2002艺术学系素描1995——1998素描色彩1999素描与色彩画2002色彩画1995——1998西方美术史1999中、西美术史1997——1998中西美术史1995——1996，1998中西美术史及其理论1999创作与设计1999临床医学院生物信号处理1999——2003局部解剖学1996生理学1995——1997流行病学2005卫生综合2004——2005内科学1995——1998情报科学技术研究所（无此试卷）职业技术教育学院（无此试卷）英语（单考）1999——2000。

东南大学_数值分析_第七章_偏微分方程数值解法-推荐下载

1 h2
1 2
2u
2 8
x
2
( xi , tk
4u x 2t 2
u( xi1, tk
h2 12
4u x4
表示为
(ik
)
)+
2u x2
( xi ,ik )
, tk
2u( xi , tk
)
u( xi1, tk1) 2u( xi , tk1) u( xi1, tk1)
h2 12
4u x4
将式(4)(5)(6)分别代入式(3)，略去高阶小量，用 uik 代替 u(xi , tk ) 并化简得
r 2
r 1 r 2
r 2
r 2
1 r
u1k u2k
uMk 12
k 1
uM 1
1 1
MERGEFORMAT (8) Crank-Nicolson 格式的截断误差为 R O( 2 h2 ) ，具有较高的精度。
Crank_Nicolson格式完整代码
function U=Crank_Nicolson(f,a,x0,xn,dx,t0,tm,dt,g,s0,sn)
A=inv(A); B=r/2*[zeros(1,N-1);eye(N-2,N-2),zeros(N-2,1)]+r/2* ...
r 2
f
f
r 2
1 r
x1
,
xM 1, tk
tk
f
r 2
r 2
2
f
2
1 r
r 2
x2, tk
xM 2 , tk
r 2
r 2
tk
2
1
r 2
2
tk
r

东南大学_数值分析_第二章_牛顿迭代法

第二章非线性方程的解法——牛顿迭代法****（学号） ****（姓名）算法与程序题目见教材P56 上机题目20。

一、算法原理根据题目的要求，是关于用牛顿迭代法法求解方程()0f x =的通用算法。

该法是一种通过斜率迭代的算法，其速度比二分法和简单迭代法都要快。

其简单原理如下：设2[,],[,],f C a b p a b ∈∈且存在数满足()0()0,f p f p '=≠。

如果则存在一个数00,[,],p p p δδδ>∈-+对任意初始值使得由如下定义的迭代序列0{}k k p ∞=收敛到p ： 1111()(),1,2,()k k k k k f p p g p p k f p ----==-=' 其中 (1) 对于函数3()/3=0f x x x =-，则其递推规则是 31212,1,2,3-3k k k p p k p --== 其中 (2)定义序列0{}k k p ∞=，则序列0{}k k p ∞=收敛到x *，也可表示为lim k x p x *→∞=。

现简要证明：对于3'2()/3()-1f x x x f x x =-=，得，写出牛顿迭代公式 32()/3()()-1f x x x g x x x f x x -=-=-' (3) 该公式可化简为 322()33x g x x =- (4)二、流程图题目要求于用牛顿迭代法法求解方程()0f x =的通用算法。

其计算过程主要用到迭代()()()f xg x xf x=-'，图流程图1所示。

图1 题1关于牛顿迭代法的算法流程图三、计算代码核心代码1)p1=……;2)if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon),break;3)if k<maxN ,go to 1完整代码程序1：Newton.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Description : 牛顿迭代法% Author : panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [p0, err, k, y]=Newton(p0, delta, epsilon, maxN)% input - p0 is the initial approximation to a zero of f% - delta is the tolerance for p0% - epsilon is the tolerance for the function values y% - maxN is the maxium number of iterations%output - p0 is the Newton approximation to a zero% - err is the error estimate for p0% - k is the number of iterations% - y is the function value f(p0)for k=1:maxN%%递归p1=2*p0^3/(3*p0^2-3);%%计算误差err=abs(p1-p0);relerr=2*err/(abs(p1)+delta);p0=p1;%%当前求出的根的函数值y=p0^3/3-p0;%%判断if (err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<epsilon)break;endend程序2：Newton_Step.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Description : 寻找题目中关于牛顿迭代法收敛的尽可能大的delta % 搜索步进为step=10^(-6),即精确到小数点后六位% Author : panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% format longstep=10^(-6);delta=10^-8;epsilon=10^-8;maxN=1000;ps=0.6;[p0, err, k, y]=Newton(ps, delta, epsilon, maxN);while((abs(p0)<=epsilon)&(p0~=NaN))ps=ps+step;[p0, err, k, y]=Newton(ps, delta, epsilon, maxN);endps-step四、计算结果及分析a)运行程序Newton_Step.m，获得Newton局部收敛于2=0x*的初始值的范围δ= 0.774596，六位有效数字。

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