23.1-图形的旋转教学内容

随堂练习
1. 钟表的分针匀速旋转一周需要60分。 （１）指出它的旋转中心； （２）经过20分，分针旋转了多少度？
2. 本图案可以看做是一个菱形通过几次旋 转得到的？每次旋转了多少度？
5次。 60°, 120°, 180°, 240°, 300°
也可以看做是二个相邻菱 形通过几次旋转得到的？ 每次旋转了多少度？
新课导入
动感的旋转世界
扇叶
车轮
水轮
使用扳手拧螺丝
指南针
齿轮
翘翘板 单杠
花——美丽的图形变换
紫荆花会徽
o
车标
雪花
这些图案有什么共同特征？
教学目标
【知识与能力】
➢了解生活中旋转现象的存在； ➢ 了解图形旋转的概念； ➢ 理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、 对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念； ➢ 理解图形的旋转变换是由旋转中心和旋转角 所决定的。
A/ A
C/
O
B
C
17. 两个边长为1的正方形，如图所示， 让一 个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难 知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固 定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转 过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？ 说明理由。
解：（1）连结OA （2）以O点为圆心，OA长为半径
旋转45°，得A。 （3）依此类推画出旋转角分别为
90°、135°、180°、225°、270°、 315°的A、A、A、A、A、A。
（4）按菊花一叶图案画出各菊花 一叶。
那么所画的图案就是绕O点旋转后 的图形。
9. 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的 点O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原 来的菊花吗？
B
对应点 点A 对应边 线段AB 对应角 ∠ABC
B´
C A´
O
C´
点A´
线段A´B´
∠A´ B´ C´
观察
△ABO绕点O旋转得到△CDO，则:
点B的对应点是___点__D___; 线段OB的对应线段是_线__段__O__D_; 线段CD的对应线段是_线__段__A_B__; ∠AOB的对应角是_∠__C_O__D__; ∠B的对应角是___∠__D___; 旋转中心是___点__O___; 旋转角是___∠__A_O__C_、_∠__B__O_D__;
∠ODD′=∠OEE′=90°
∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE
OD=OD
∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD ′=S△OEE ′
1
∴S四边形OE ′BD ′=S正方形OEBD=
4
12. 如何作出该图案绕O点按逆时针旋 转90°的图形。
解：（1）连结OA，过O点沿OA逆 时针作∠AOA′=90°，在射线OA′ 上截取OA′=OA。（2）用同样的方 法分别求出B、C、D、E、F、G、 H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、 H′。（3）作出对应线段A′B′、B′C′、 C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、 G′D′、D′H′、H′A′（4）所作出的图 案就是所求的图案。
A
O
BB′
A′
O 秋千的固定点
45°
把小孩看作
B
A一个质点来
分析问题
点A绕_Ｏ__点沿_顺__时__针__方向，转动了_4_5_度到点 B。
旋转的三要素
• 旋转中心 • 旋转方向 • 旋转角度
B′
B A A′ 35°60° O
B′ A
1C00°
A′
B
O
C′
观察
A
点A、线段AB、∠ABC 分别旋转到了什么位置？
B
OC上截取OA′=OA 。
3. 连接OB 。
4. 作∠BOD=100°，
在OD上截OB′=OB 。
D B′
O
A
5. 连接A′B′，则
△OA′B′即为所求作。
注：作旋转后的图形可以转化为作旋转后的对应点。
例题
四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE= 1 ，
△ABF是△ADE的旋转图形。
4
（1）旋转中心是哪一点？点A 。
2次 120° , 240°
还可以看做是几个菱形通 过几次旋转得到的？每次 旋转了多少度？
33个个 11次次 16800°°
3. 图中是否存在这样的两个三角形，其中 一个是通过另一个旋转得到的？
4. 四边形AOBC 绕O点旋转得到四边形DOEF. 在这 个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么? 旋转中心是O （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
AAS ∠CAB=∠C′A′B′
证三角形全等的方法
例题
将A点绕O沿顺时针方向旋转60˚。
点的旋转作法
B
A
O
作法： 1. 以O为圆心，OA长为半 径画圆; 2. 连接OA，用量角器或三 角板（限特殊角）作出∠AOB， 与圆周交于B点； 3. B点即为所求作。
例题 将线段AB绕O沿顺时针方向旋转60˚。
∵ AF 是AE 的对应边
∴ AF = AE = 1 7 （对应边相等）
4
（4）∵ ∠EAF=90°（与旋转角相等） 且 AF=AE（对应边相等） ∴△EAF是等腰直角三角形。
旋转的基本性质之一
• 图形的旋转是由旋转中心和旋转角度决定。
观察
旋转中心不变，改变旋转角。
这两幅图分别经历 怎样的旋转？有什么不
∴BK=DM
14. P是等边ABC内的一点，把ABP按不同的方 向通过旋转得到BQC和ACR，
（1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？ （2） ACR是否可以直接通过把BQC旋转得到？
A
R
P
B
C
Q
15. 画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转 120°后的对应的三角形。
M
D
B N
E
A
C
到△A1/6B./将C 等边△ABC绕着B/点O按某个方向旋转90°后得
（2）旋转了多少度？
（3）AF的长度是多少？
（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
答：（2）∵ △ABF是由△ADE旋转而得的，
∴ B是D的对应点。 ∴ ∠DAB是旋转角， ∴ ∠DAB = 90°，即旋转了90°。
？
1
（3）∵AD=1，DE= 4
∴ AE
12
12 4
17 （勾股定理）
4
13. K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正 方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM， 试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系。
解：∵四边形ABCD、四边形 AKLM是正方形
∴AB=AD，AK=AM，且 ∠BAD=∠KAM为旋转角且为 90°
∴△ADM是以A为旋转中心， ∠BAD为旋转角由△ABK旋转 而成的
显然，画出后的图 案不是菊花，而是另外 的一种花了．
10. 如图所示的方格纸中，将△ABC向右平 移8格，再以O为旋转中心逆时针旋转90°，画 出旋转后的三角形。
C
O
B A
11. 将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转 900，画出旋转后的图形。
O·
解：面积不变。
理由：设任转一角度，如图所示。
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
能。看做是一条边（如 线段AB）绕O点，按照同 一方法连续旋转60°、 120°、180°、240°、 300°形成的。
6. △ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为 点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转 后的三角形。
解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE， 使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取
归纳
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中， 哪些发生了变化？
• 各点的位置发生变化。
点A
点A′
点B
点B′
点C
点C′
• 从而，各线段、各角的位置发生变化。
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中， 哪些没有改变？
• 边的相等关系：
AB=A′B′
BC=B′C′
对应边相等
CA=C′A′
OA=OA′
OB=OB′
O
（1）基本图案：
还有其它旋 转方法吗？
正方形ABCD 顺时针旋转45°得到EFGH 。
（2）旋转中心为O，如图所示。 旋转角如图所示。
（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是
点E、 点F、点G、点H。
抢答
B
A
C
O
F
D
E
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转
中心是___O___，旋转角是_∠__A__O_B___，旋转角等于
知识要点
P
对
应
旋转角 点
O 120
旋转中心
P′
把一个图形绕着某点O沿某个方向转动 一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）。
例题
如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长 为1的正方形。
（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通 过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角。
（3）指出经过旋转，点A、B、C、D分别移到 什么位置？
_6_0__度，其中的对应点有__A_与__B__、 __B_与__C__、 _C__与__D__、 _D__与__E__、 __E_与__F__、 __F_与__A__ 。
杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心就 __O__，旋转角是__∠_A__O_A_′___或__∠__B_O_B__′ _____。
奔驰旋车转汽的车摩标天志楼
自己动手画一包 含旋转的图案
课堂小结
1. 旋转的定义：
把一个图形绕着某点 O 沿某个方向转动一 个角度的图形变换叫做旋转。
这个定点 O 称为旋转中心。 转动的角称为旋转角。
2. 旋转的基本性质
• 对应点到旋转中心的距离相等。 • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 • 旋转前、后的图形全等。 • 图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定。 • 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置。
CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点。 （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点 旋转后的图形。
7. 如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定 的角度得到,请你找出这旋转中心。
C
A
D B
E
O
F
旋转中心在对应点连 线的垂直平分线上。
8. 如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为 旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、 270°、315°的菊花图案。
OC=OC′
• 角的相等关系：
∠ABC=∠A′B′C′
对 应
∠BCA=∠B′C′A′
角
相
∠CAB=∠C′A′B′
等
∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′
= 旋转角
注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同 样大小的角度。
知识要点
旋转的基本性质
• 对应点到旋转中心的距离相等。
• 对应点与旋转中心所连线段的Hale Waihona Puke Baidu有角哪等些于证旋明转角。
• 旋转前、后的图形全等。
方法？
• 图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定。
• 图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置。
证明：△ABC≌ △A′B′C′。
三角形中的边角相等关系
AB=A′B′
BC=B′C′
SSS SAS ASA
CA=C′A′ ∠ABC=∠A′B′C′ ∠BCA=∠B′C′A′
线段的旋转作法
C
A
O
D
B
作法： 1. 将点A绕点O顺时针旋 转60˚，得点aC; 2. 将点B绕点O顺时针旋 转60 ˚，得点D ； 3. 连接CD, 则线段CD即 为所求作.
例题 已知△OAB，画出△OAB绕点O逆时针旋转
100°后的图形。
作法：
C 图形的旋转作法
1. 连接OA。
A′
2. 作∠AOC=100°，在
【过程与方法】
➢ 经历探索图形在旋转变换中的变化情况的过 程，体会旋转变换对研究图形变化的重要性。
【情感态度与价值观】
➢ 经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践 操作，使学生感知数学美，培养学生学习数学 的兴趣和热爱生活的情感。
教学重难点
➢ 探索图形旋转的特征，能准确找出旋转前 后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋 转中心、旋转角。 ➢ 学会按一定的角度有规律的旋转。
点D和点E的位置 （3）旋转角是什么？∠AOD和∠BOE都是 （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
AO=DO，BO=EO （5）∠AOD与∠BOE有 什么大小关系？
∠AOD=∠BOE
5. 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正 六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转 若干次所形成的图形？
观察
这种图怎时形样以，变来绕时钟换定着把针表？义中时转的心针动指固当了针定成_在1_点一2_不0_转个°_停_动图地度一形转。定，动角那，度么从。它12可时到4
观察
把叶片当成一个图形， 那么它可风以车绕风着轮中的心每固个定点 转动叶一片定在角风度的。吹动下转
动到新的位置。
怎样来定义 这种图形变换？
同？
30°
60°
图1
四边形ABCD绕点O 顺时针旋转30°。
图2
四边形ABCD绕点O 顺时针旋转60°。
旋转角不变怎，样的这改旋两变转幅旋？图有分转什别中么经心不历。
同？
30°
30°
图3
四边形ABCD绕点 O1 顺时针旋转30°。
图4
四边形ABCD绕点 O2 逆时针旋转30°。
归纳
因此，选择不同的旋转角， 不同的旋转中心，会出现不同的 效果，我们可以经过旋转，设计 出美丽的图案。