(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

将军饮马”系列最值问题

1. 两点之间，线段最短．

2. 点到直线的距离，垂线段最短．

3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．

4. A 、B 分别为同一圆心 O 半径不等的两个圆上的一

点，

当且仅当 A 、B 、O 三点共线时能取等号

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．

有一天， 有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，将军从 A 出发到河边 饮马，然后再到 B 地军营视察， 显然有许多走法． 问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索， 便 作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．

下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．

若 A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB ， AB 与 l 的交点即为所求．

知识回顾

R r AB R

若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质：

把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合， 形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线 称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图， ABC 与 A' B' C '关于直线 l 对称， l 叫做对称轴． A 和A'，B 和B'，C 和C'是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：

① 关于某条直线对称的两个图形是全等形； ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

③

两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

那么这个图形就叫做轴对称图 （或轴）对称．如等腰 ABC 是轴对

那么就是说这两个图形关于这条

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、 角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况， 对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、

标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

题考查。

PA PB ⋯BC

常见模型：

1) PA PB 最小

通常考虑作轴 菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐 考察知识点： 两点之间线段最短” ，“垂线段最短” ，“点关于线对称” ，“线段的平移” 。 解题总思路： 找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问

构建“对称模型” 实现转化

P

M

B

C

M

P

A

C

A B

C

A

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同

侧

异侧

2）① PA PB 最小

同

侧

异

侧

② PA

同

侧

l

A

PB 最大

异

侧

A

变形】异侧时，也可以问：在直

线

l 上是否存在一

点

P 使的直线l

为

APB 的角平分

线

3）周长最短

类型一类型类型三

B

A

C

A'

4）“过河”最短距

离

类型一

类型

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B

E APE= BPE

B' B M

N

B

A

l

N

M

M

A' A

B

'

E

E

l2

l2

A

A

F

F

B

A

A'

A'

A

A

E

B

B

P A'

A'

5）线段和最

小

6）在直角坐标系里的运

用

B l1

M

N

l1

B

F

B'

同步练习

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题【例1】尺规作图，作线段AB 的垂直平分线，作COD 的角平分线．

解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．

变式练习】已知：如图，ABC及两点M 、N ．求作：点P，使得PM PN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．

解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．

因为是两边所在的直线，所以有两个答案：

ABC 内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点P1；

ABC 外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点P2．

例2】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l

上运动时，点P与A、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．