3.3柯西积分定理
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
复变函数第三章(2)柯西积分公式
f ( z0 )
zz 2i
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区 域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎 样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。
定理dz定理dz解析所围成的闭区域上处处在曲线外部在曲线解析所围成的闭区域上处处在曲线34解析函数的导数一个解析函数不仅有一阶导数而且有各高阶导数它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示
3.3 柯西积分公式
分析: 设 z 0 D , 若 f ( z ) 在简单正向闭曲线
C 及其所围成的 区域 D 内解析，则 f (z) dz 闭路变形定理 z z0
e
z
0 r 1
C
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
C
( z 1 )( z 2 ) z
dz
2 i
e
( z 1 )( z 2 )
i
z0
-1
0
2
1 r 2
C
e
z
z
z ( z 1 )( z 2 )
dz
定理 3 .2
C1
e
e
z
z ( z 1 )( z 2 )
e 在区域 D 边界处取得极值
（指数函数为单调函数）
调和函数 u ( x , y ) 在区域 D 边界处取得极值
(2)代数学基本定理
在复数范围内， 至少有一个根。 n 次多项式 p ( z ) a 0 z a 1 z
3.3柯西积分公式
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | | 右边 左边 | 1 ds , 2π Γ | z z0 |
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
d
证明 (略) 理解 如图，函数 f ( z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
D
z0 G
d
z0
G
d
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f ( z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
a T (t ) dt .
(返回)
b
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
T (tk ) .
T (t )
1 t ba , 记 t , 即 n ba n
1 ~ 平均气温 T lim n n
k 0
T (tk )
1 T (tk ) t b a k 0
n
n
a t0
t k t k 1
tn
b
【完整版】柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（2012 届）本科毕业论文（设计）题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（师范）班级：数学082学号：姓名：指导教师：完成日期：教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用王莉莉（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas ofthe Origin and its ApplicationWanglili（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem目录1 绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.1.1 复变函数概况 (1)1.1.2 复积分的定义 (2)1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)1.2 本文的研究工作 (4)1.3 本文的未来工作 (4)2 柯西积分定理 (5)2.1 柯西积分定理 (5)2.2 柯西积分定理的证明 (5)2.3 柯西积分定理的推广 (6)2.4 柯西积分定理的应用 (9)3 柯西积分公式 (12)3.1 柯西积分公式 (12)3.2 柯西积分公式的证明 (12)3.3 柯西积分公式的推广 (13)3.4 柯西积分公式的应用 (14)4 复变函数积分之间的关系 (18)4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
3.3柯西积分公式
ie d ie cos i sin d
π π
π
e i
π
2i e
0
π
cos
cos(sin )d e cos sin(sin )d
π
π
ez 因为 dz 2π i , z z 1
π cos π cos ez dz 2i e cos(sin )d e sin(sin )d 0 π z z 1
注意到f ( )在以L为边界的闭圆盘上解析,
于是由上式及引理3.3.1知,
f ( ) L z d 2 if ( z).
证毕.
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在L内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
1 f ( ) f ( z h) d , L 2 i z h
f ( z h) f ( z ) 1 f ( ) d 2 h 2 i L ( z )
1 1 f ( ) 1 f ( ) h f ( ) d d d 2 h 2 i L z h 2 i L z 2 i L ( z )
2. 解析函数的任意阶导数 定理3.3.2 设D是有界区域, 其边界L由有限条
简单闭曲线组成, f ( z )在区域D内解析,在D及L 所组成的闭区域 D上连续，则对任意z D, f ( z )在D内有任意阶导数 n! f ( ) (n) f ( z) d , (n 1, 2, ). n 1 L 2 i ( z )
3z 1 2 i 2 i. z 3 z 1
柯西积分定理
第三章教学课题：第二节 柯西积分定理教学目的：1、充分掌握柯西积分定理以及其等价形式；2、理解柯西积分定理的推广形式；3、理解复积分的不定积分与原函数概念并了解与实积分定理的区别；4、了解多连通区域内的变上限积分。
教学重点：柯西积分定理以及其等价形式； 教学难点：柯西积分定理以及其等价形式 教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。
但柯西积分定理是整个复变函数论的基础。
教学过程： 1、柯西积分定理：定理3.3 设f (z )是在单连通区域D 内的解析函数。
设C 是D 内的一个多角形的周界。
那么0d )(=⎰Cz z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的。
证明：先对C 是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。
（1）C 为三角形的周界∆设M z z f =⎰∆|d )(|，下面证明M=0。
等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，它们的周界分别是4321,,,∆∆∆∆，我们显然有：⎰⎰⎰⎰⎰∆∆∆∆∆+++=4321d )(d )(d )(d )(d )(zz f z z f z z f z z f zz f因此，沿周界4321,,,∆∆∆∆的积分中，至少有一个的模不小于M/4。
不妨假设这个周界为1∆：,4|d )(|1M z z f ≥⎰∆对于这个三角形周界为1∆，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界)2(∆满足：,4|d )(|2)2(M z z f ≥⎰∆把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：,...,...,,,)()2()1(1)0(n ∆∆∆=∆∆=∆一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：,...)2,1,0(,4|d )(|)(=≥⎰∆n Mz z f nn ， 用U 表示周界∆的长度，于是周界)(n ∆的长度是,...)2,1(2=n Un。
现在估计⎰∆)(d )(n zz f 的模。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
3.3柯西积分公式
C
2、关于柯西积分公式的说明: 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的又一特征 值表示 (这是解析函数的又一特征 这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具
2
z = −1
( 2)
∫
z −1 =
π sin z 4 dz = z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 π sin z z + 1 dz 4 = 2 πi; = 2πi ⋅ 2 1 z −1 z +1
2 z =1
π sin z 由复合闭路定理, ( 3) ∫ 2 4 dz 由复合闭路定理 得 z −1 z =2 π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
由复合闭路定理, 由复合闭路定理 得
ez ∫ z =3 z ( z 2 − 1) dz z ez ez e z ( z + 1) z ( z − 1) z 2 − 1 dz + =∫ 1 ∫ z −1 = 14 ( z − 1) dz + ∫ z +1 = 14 ( z + 1) dz z= z 4
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
1、定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围区域 D 内解析 , 、 上连续， z 在 D = D ∪ C 上连续， 0 为 D 内任一点 , 则
1 f (z) f (z0 ) = dz. ∫C 2πi z − z0
柯西积分公式课件
§3.3 柯西积分公式
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
或
C
f (z) z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
C f z dz 0
柯西积分定理ppt课件
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
10
定理3.2.2' 设简单闭曲线L是单连通区域D的边界, f (z)在闭区域D D L上解析，则
L f (z)dz＝0.
定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理) 设D是简单 闭曲线L所围成的区域. 若f (z)在D上解析，在 D D L上连续,则
第二节 柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
证 设L是光滑曲线z z(t)(a t b), z(a) , z(b) ,则
f (z)dz L
b F ' (z(t))z' (t)dt
a
F(z(t)) b a
F(z(b)) F(z(a)) F( ) F().
若L是分段光滑曲线，则可把积分分成几段计算，
再求和。
20
另证 由假设，根据推论3.2.1和定理3.2.6，
z
F(z) f ()d z0
是在D内确定的一个函数. 下证F ' (z) f (z),z D. 任意取定z1 D，令L0为D内连接z0与z1的一条简单曲线，
16
并取z D与z1充分接近，记L1 L0 z1z,则
柯西积分定理[内容充实]
![柯西积分定理[内容充实]](https://img.taocdn.com/s3/m/b8fe2aff7e21af45b207a855.png)
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
高等课件
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
2
Hale Waihona Puke dz.解因为 zez 在 z2 2
G :| z |
2内解析，
z | 1是 G 内的一条简单闭曲线,
根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有
I
|z|1
zez z2
2
dz＝0.
高等课件
8
例3
计算积分
1
zi
1
z(z2
dz. 1)
2
解
z(
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
z
G
L vdx udy＝ (ux vy )dxdy 0, G
根据定理3.1.1得，
L f (z)dz＝L udx vdy iL vdx udy＝0.
高等课件
5
注：定理3.2.1是Cauchy于1825年建立的积分定理. 在定理中,除假设f (z)在D内的解析函数外,还要 假设f ' (z)在D内连续.
L1是在D内连接z0及z两点的任一条简单曲线,则f (z)沿 L1从z0到z的积分的值由z0及z所决定，而不依赖于曲线 L1。这时积分也可记作
z
f ( )d. z0
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二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式
柯西积分公式
f (z)
f (ζ ζ−
z=) 关2π1于i ζ∫C在ζfD(−ζ上z)不dζ解. 析(柯, 西η积C分ζD平公ρ面式•Γz)C−ρ
ζ = z是它在D上的唯一奇点.
D
ξ
0
因区域D是开集，故∀z ∈ D, 可作z 的充分小领域 ζ − z < ρ ,
使其全落在D 内. 记Γρ : ζ − z =ρ，取逆时针方向，
C z − z0
∫ ∫ sin z
sin z
例. 求(1)
d z，(2)
d z.
z =2 z
z−2 =1 z
解. = (1)奇点 z 0在圆域 z < 2内，
f (z) = sin z处处解析，故由柯西积分公式得
∫ sin z d z= 2π i⋅
z =2 z
sin z z=0
= 0.
y z平面
C
0
f (z)dζ
z
.
(∗)
目标：证明
f
(z)
=
1
2π
i
∫C
f
ζ
(ζ )
−z
dζ
.
(柯西积分公式)
故∫C
f
ζ
(ζ ) dζ
−z
− 2π
i
f (z)
= ∫Γρ f (ζζ)
− −
f z
(z) dζ
. (∗)
η
ζ 平面
C
由于f (z)在 z 解析从而连续,
故对任给ε >0, 存在δ (ε) >0, 使得当
处相等. (这是解析函数和调和函数的一个重要特征)
公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出的是解析函数的一个积分表达式.
32柯西积分定理
3.2柯西积分定理
柯西积分定理是复分析中的一个重要定理，它提供了一个判断复函数是否可积的方法。
这个定理的名称来源于法国数学家柯西。
柯西积分定理：设函数f(z)在包含曲线C及其端点的区域内解析，且不取实值。
如果z_0在C的内部，且f(z_0)有限，则对于C上的任意点z，都有：f(z)=12πi∮Cf(z_0)z−z_0dz
其中，C是曲线C的参数形式，t为曲线C的弧长参数，z(t)为C上的点，z_0为C内部的点。
这个定理的证明可以从柯西积分公式出发，利用解析函数的唯一性和柯西积分公式进行证明。
这个定理表明，如果一个复函数在一条曲线上解析，且在这条曲线的内部取有限值，那么这个复函数在这条曲线上的积分等于零。
这个定理有许多重要的推论和应用。
例如，如果一个复函数在一条曲线上解析，且在这条曲线的内部取有限值，那么这个复函数在这条曲线上的积分等于零。
这个推论可以用来判断一个复函数是否可积。
此外，柯西积分定理还可以用来解决一些复分析中的问题，例如计算某些复函数的积分等。
在实际应用中，柯西积分定理可以应用于许多领域，例如物理学、工程学、金融学等。
例如，在物理学中，柯西积分定理可以用来解决一些电磁学和力学中的问题；在工程学中，柯西积分定理可以用来解决一些控制理论和信号处理中的问题；在金融学中，柯西积分定理可以用来解决一些期权定价和风险管理中的问题。
柯西积分定理是复分析中的一个重要定理，它提供了一个判断复函数是否可积的方法，并且可以应用于许多领域。
柯西定理证明过程完整
柯西定理证明过程完整摘要：一、柯西定理简介1.柯西定理的定义2.柯西定理在数学中的重要性二、柯西定理的证明过程1.证明前的准备工作2.证明过程概述3.详细证明步骤3.1 引理13.2 引理23.3 引理33.4 柯西定理的证明三、柯西定理的应用1.柯西定理在微积分中的应用2.柯西定理在复分析中的应用3.柯西定理在概率论中的应用正文：【柯西定理简介】柯西定理，又称柯西-施瓦茨定理，是复分析中的一条基本定理。
它指出，在复数域上，一个全纯函数的导数仍然是全纯的。
这个定理在数学的许多分支中都有着广泛的应用，例如微积分、复分析、概率论等。
【柯西定理的证明过程】在证明柯西定理之前，我们需要做一些准备工作。
首先，我们需要定义什么是全纯函数。
全纯函数是指在复数域上，满足复导数存在的函数。
然后，我们需要证明柯西定理的四个引理，这将为柯西定理的证明奠定基础。
接下来，我们将详细介绍柯西定理的证明过程。
首先，我们证明引理1。
引理1的证明过程略。
然后，我们证明引理2。
引理2的证明过程略。
接着，我们证明引理3。
引理3的证明过程略。
最后，我们利用引理1、引理2、引理3来证明柯西定理。
柯西定理的证明过程略。
【柯西定理的应用】柯西定理在许多数学分支中都有着广泛的应用。
首先，在微积分中，柯西定理可以用来证明泰勒定理，进而得到函数的解析表示。
其次，在复分析中，柯西定理是解析延拓的基础，可以用来研究复数域上的函数性质。
最后，在概率论中，柯西定理可以用来证明大数定律和中心极限定理，为概率论的理论基础提供了重要的保证。
第三章 复变函数的积分
连接.设想将D沿割线割破,于是D就被分成两个单连
通区域(图3.10是 n 2的情形),其边界各是一条围线, 分别记为1和 2 .而由定理3.9,我们有
1
f
zdz
0, 2
f
zdz
0,
将这两个等式相加,并注意到沿着 L0 , L1, , Ln 的积分, 各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相 抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到
下,我们称区域D的边界是一条复围线
C C0 C1 C2 Cn
它包括取正方向的C0 ,以及取负方向的 C1,C2 , ,Cn .换句话 说,假如观察者沿复围线C的正方向绕行时,区域D的点总 在它的左手边(图3.10是 n 2的情形).
D
C2
C1
C0
L2
D
L1
L0
C1
C2
C0
图3.10
定理3.10 设D是由复围线
适合 C. R. 条件 ，
由格林定理, C udx vdy 0, C vdx udy 0,
故得
f (z)dz 0.
C
由柯西积分定理，可以得到
定理3.4 设f (z) 在 z 平面上的单连通区域 D 内解析,C 为D
内任一闭曲线(不必是简单的),则
C f (z)dz 0.
证 因为D总可以看成区域 C 内有限多条围线衔接而
f (z) 1 za
只以z a 为奇点,即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解
析，但是积分
C
dz za
2i
0,
其中 C 表圆周 z a 0 ，即在此区域内积分与路径有关；
3.3柯西积分公式和推论
对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取 的，我们称它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
Cf( )ຫໍສະໝຸດ zd(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它
在区域内任一点所取的值可以用它在边界
上的值表示出来. 2. 柯西公式是解析函数的最基本的
它在圆即周函上数的f (值z)的在平圆均心值z0.的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
0， 0 ( r0 )，
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
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问题：考虑 C f (z)dz 的计算方法.
复变函数 f (z) 的积分与路径无关 f (z) 沿任意封闭曲线的积分等于 0. 积分与路径无关的条件？？ 被积函数的解析性、区域的连通性
2
分析： 设 f (z) u( x, y) iv( x, y)
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
那么 C f (z)dz 0.
(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在 B 内解析, 在边界 C 上连续, 那么定理的 结论仍成立.
5
举例:
例1
计算积分
C
2
1 z
3
dz,
其中C是正向圆周 z
1.
解 函数 1 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西积分定理, 有
1
C 2z 3 dz 0
与路径无关
与路径无关
设u, v 在单连通域 B内具有一阶连续偏导数，
C udx vdy 和 C vdx udy 在B内与路径无关
uy vx , vy ux 在 B内恒成立 f (z) 在 B 内解析
设G是一个单连通区域，函数P(x, y),Q(x, y)在G内具有一阶连续偏
导数，则曲线积分L Pdx+Qdy 在G内与路径无关的充分必要条件是
z
2
根据柯西积分定理得
7
P Q 在G内恒成立.
y x
3
如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析,
那么函数 f (z) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零: C f (z)dz 0.
此定理也称柯西－古萨基本
定理.
4
关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在
在以 C 为边界的闭区域 B B C 上解析,
6
例2 计算积分
1 dz, 其中C 是正向圆周 z 1 1 .
C z(z 1)
2
解
C
1 dz z(z 1)
=
( 1 1 )dz C z 1 z
1
=
C
z
dz 1
1
C z dz
2i
2 i
0
C
(z
1 z0
)n1
dz
2 i,
0,
n
n
0
0
C : 正向圆周 z z0 r.
因为 1 在 z 1 1 上解析,