第六章 整数规划

选必先选
130 80
260 180
OR3
10
求解0—1规划的隐枚举法
例4解：
0 当项目未被选中
建模：设xj= 1 当项目被选中
max Z=160x1+210x2+60x3+80x4+180x5
210x1+300x2+150x3+130x4+260x5 ≤ 600
X1+x2+x3=1
X3+x4=1
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13
x1.x2 ≥0且为整数 解此LP问题，得：X1=4.8，X2=0 显然不是可行解
OR3
3
整数规划图解法
x2
3
2
1
B
A
1 2 3 4 5 6 7 x1
OR3
4
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不 是IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的 最优解
3 3 4 4 -3 0 0 1 1 0 0 1
4 6 6 3 -3 1 3 3 0 1 3 2
-1
第二步 圈0——寻找不同行不同列的0元素，
圈之。 所在行和列其它0元素划掉
第三步 打——无的行打，打行上0列打
，打列上行打，打行上0列打 …
OR3
14
指派问题解法—匈牙利法（续）
第四步 划线——无行、打列划线
x5 ≤ x1
Xj=0或1 j=1，2,…,5
增加过滤条件：160x1+210x2+60x3+80x4+180x5 ≥ 240
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11
用隐枚举法解例4：
(x1,x2,x3,x4,x5）
（1，0，0，1，0） （1，1，1，1，1） （1，1，1，1，0） （1，1，1，0，1） （1，1，1，0，0） （1，1，0，1，1） （1，1，0，1，0） （1，1，0，0，1） （1，1，0，0，0） （1，0，1，1，1） （1，0，1，1，0）
第六章 整数规划
本章要求 理解整数规划的含义 掌握分枝定界法的思想和方法 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的算法 微机求解
OR3
1
6.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人数、 件数、机器台数、货物箱数……如何解 决？四舍五入不行，枚举法太慢
问题分类：纯整数规划、混合整数规划、 0-1整数规划
原问题分解为两个
maxZ=2000x1+1000x2
maxZ=2000x1+1000x2
5x1+4x2≤24
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13 ( IP1 ) 2x1+5x2 ≤13 (IP2)
x1 ≤4
x1 ≥5
x1.x2 ≥0且为整数
x1.x2 ≥0且为整数
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7
分枝定界法（续）
不考虑整数要求，解相应LP问题。
OR3
15
相关问题：
非标准型的转化
（1）maxZ= ΣΣcijxij minZ’= ΣΣ(-cij)xij minZ’’= ΣΣ(M-cij)xij = ΣΣbijxij
M是足够大的常数， 新问题的最优解 就是原问题的最优解 （2）整数规划的计算机求解
OR3
16
整数规划习题课
P222——6.11
第五步 造0——直线未覆盖的元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产
生新的0元素，Go to 2
0 6 2 1 -1 5 1 0 0 4 0
Cij= 0 5 3 1 -1 0 4 2 0 3 1 0
0001
1 0 1
2 0 2
1320
2 3 2 2 2 1
+1
Hale Waihona Puke Baidu
最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1 Z=15
（1，0，0，1，1）
………..
Z值
240
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
420
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6.4 指派问题
例8 甲乙丙丁四个人，A、B、D四项任 务，不同的人做不同的工作效率不同， 如何指派不同的人去做不同的工作使效 率最高？
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
5x1+4x2≤24
2x1+5x2 ≤13 x1.x2 ≥0且为整数 解：先不考虑整数要求，解相应的LP问题，得： x1=4.8 x2=0 Z=9600 不是可行解 Z=9600是IP问题的上界，记为：Z=9600
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6
分枝定界法（续）
X1=4.8不符合要求，切掉4—5之间的可行域， 可行域变成两块，即原有约束条件再分别附加 约束条件x1 ≤4和x1 ≥5
解IP1得：x1=4 ,x2=1 z=9000
解IP2得：无可行解
此时可以断定IP问题的下界为9000，记 为Z=9000
‫٭‬由于目前的分枝末梢最大值是9000，故
IP问题的上界便是9000。由于Z=Z，此 时已得IP问题的最优解，即
x1=4,x2=1,Z=9000
OR3
8
分枝定界法的解题步骤
1、不考虑整数约束，解相应LP问题
ABCBD
1
1
2
1
3
1
41
5
1
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17
纯整数规划的可行解就是可行域中的整 数点
非整数点不是可行解，对于求解没有意 义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化
IP问题的最优解不优于LP问题的最优解
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5
6.2 分枝定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。一次分枝 变成两个可行域，分别求最优解
例1. maxZ=2000x1+1000x2
专门方法：分枝定界法、割平面法、隐 枚举法、匈牙利法
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2
问题举例
某集装箱运输公司，箱型标准体积24m3，重量 13T,现有两种货物可以装运，甲货物体积5m3、 重量2T、每件利润2000元；乙货物体积4m3、 重量5T、每件利润1000元，如何装运获利最 多？
maxZ=2000x1+1000x2
继续分解，Go to 3
（例题2讲解）
OR3
9
6.3 0—1规划问题
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简 化为0或1，1代表选择，0代表不选择。
例4. 600万元投资5个项目，求利润最大的方案？
项目 投资额 项目收益 约束条件
210 160
中选1项
300 210
之中选1项
150 60
2、检查是否符合整数要求，是，则得最 优解，完毕。否则，转下步
3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个 新的约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别 加入到上一个LP问题，形成两个新的分 枝问题。
4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整
数解的Z值>所有分枝末梢的Z值，则得最
优解。否则， 取Z值最大的非整数解，
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
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指派问题解法—匈牙利法
解：类似运输问题的最小元素法
第一步 造0——各行各列减其最小元素
4 10 7 5 -4 0 6 3 1 6 2 1
Cij= 2 7 6 3 -2 0 5 4 1 0 5 3 1