制程能力分析

制程能力分析緒言在產品生產周期內統計技朮可用來協助制造前之開發活動、制程變異性之數量化、制程變性相對于產品規格之分析及協助降低制程內之變異性。

這些工作一般稱為制程能力分析(process capability analysis)。

制程能力是指制程之一致性，制程之變異性可用來衡量制程輸出之一致性。

我們一般是將產品品質特性之6個標准差范圍當做是制程能力之量測。

此范圍稱為自然允差界限(natural tolerance limits)或稱為制程能力界限(process capability limits)。

圖9-1顯示品質特性符合常態分配且平均值為μ，標准差為σ之制程。

制程之上、下自然允差界限為UNTL=μ+3σ上自然允差界限LNTL=μ-3σ下自然允差界限對于一常態分配，自然允差界限將包含99.73%之品質數據，或者可說是0.27%之制程輸出將落在自然允差界限外。

如果制程數據之分配不為常態，則落在μ±3σ外之機率將不為0.27%。

(例) 產品外徑之規格為5±0.015cm，由樣本資料得知X=4.99cm，σ=0.004cm，試計算制程之自然允差界限。

(解): UNTL=4.99+3(0.004)=5.002LNTL=4.99-3(0.004)=4.978制程能力分析可定議為估計制程能力之工程研究。

制程能力分析通常是量測產品之功能參數而非制程本身。

當分析者可直接觀察制程及控制制程數據之收集時，此種分析可視為一種真的制程能力分析。

因為經由數據收集之控制及了解數據之時間次序性，可推論制程之穩定性。

若當只有品質數據而無法直接觀測制程時，這種研究稱為產品特性分析(product characterization)。

產品特性分析只可估計產品品質特性之分布，或者是制程之輸出(不合格率)，對于制程之動態行為或者是制程是否在管制內則無法估計。

這種性形通常是發生在分析供應商提供之品質數據或者是進貨檢驗之品質資料。

制程能力分析緒言在整個品質改善計畫中，制程能力分析占一個很重要之部分，制程能力分析可有如下之應用：●預測制程是否能符合允差●協助產品設計人員選擇或更改制程●協助設立制程管制之抽樣區間●設立新生產設備之規格●在競爭供應商間做一選擇●降低制造過程中之變異性●在制程間數個公差有交互影響時協助規划生產之程序9.2制程能力指標(Process Capability Index)一個制程符合產品規格界限之程度，通常是以一個簡潔、數量化之指標來表示，此稱為制程能力指標。

本節以下介紹數種常用之制程能力指標。

9.2.1 Cp指標假設USL 、LSL 分別代表產品之上、下規格界限，規格界限之中心為m ，目標值為T ，則Cp 指標可定議為如果目標值為規格界限之中心值，則Cp 指標可簡化為( T = )制程能力指標-Cp如果我們是以X-R 管制圖之資料來進行制程能力分析，則制程標σ可由R/d 2來估計。

如果是采用 r -S 管制圖，則σ可由S / c 估計。

Cp 之值可視為制程之潛在能力(process potential)，亦即當制程平均值可調到規格之中心或目標值時，制程符合規格之能力。

實務上，Cp 一般要求在1.33以上。

表9-1為不同制程條件下，Cp 值之最低要求。

表9-2為不同Cp 值下，每一百萬件產品之不合格品數目。

此表中之數值只有在數據為常態分配時才為正確。

Cp 值之倒數被稱之為能力比(capability ratio)，能力比以百分比表示時，稱之為允差被制程所占用百分比(percent of specification used by the process)。

例如Cp=1.61時，能力比為1/1.61=0.62，代表制程用掉允差之62%。

表9-1 不同條件下Cp值之最低要求表9-2 Cp值和百萬件產品中落在規格界限外之件數(注：本表使用MATLAB計算)制程能力指標-Cpk9.2.2 Cpk指標Cp指標的一項缺點是其并未考慮制程平均值所在之位置。

由Cp指標之公式來看，只要制程標准差相同，不同平均值之制程，將有相同之Cp值。

Cpk指標與Cp指標類似，但將制程平均值納入考慮。

Cpk主要是用來衡量制程之實際成效(process performance)。

Cpk指標定義如下：Cpk=Cp(1-k)=min CPU，CPL其中若∣T –μ∣>(T-LSL)，則設CPL=0若∣T –μ∣>(USL-T)，則設CPU=0如果目標值(T)為規格界限之中心值(m)，則﹔﹔k= 0 ≦k ≦1，Cpk ≦Cp如同Cp指標，如果我們是以管制圖之資料來進行制程能力分析，則μ值可以由χ管制圖之中心值χ取代，而σ可由R / d2或S / c4來估計。

在上述公式中，CPU(CPL)可用在當產品只有上(下)規格界限時。

當制程平均值落在規格界限上時，k值等于1，亦即Cpk=0。

而當k值大于1時，表示制程平均值落在規格界限外，此造成Cpk小于0。

在上述之公式中，我們是將Cpk定義為非負值。

我們加入之條件為：(1)若CPU或CPL小于0，則設其為0;或(2)若k大于1，則設其為1。

制程能力指標-Cpk(例) 某電子零件之電容值為常態分配，其規格要求為25至40。

由25個樣本量測值得知樣本平均數為χ=30，標准差為S=3。

(a)計算Cpk指標。

(b)計算不合格率。

(c)若可將平均數調整至規格之中心，計算不合格率。

(解) (a)制程能力指標Cpk 為Cpk= min=min 1.111(0.555)=0.555(b)不合格率為 P X>USL 或X<LSL=1-Φ( Φ(=1-Φ(3.33)+ Φ(-1.67) =1-0.9996+0.0475 =0.048●若將平均數調整至32.5[(40+25)/2]，則不合格率為1-Φ( )+ Φ( =1-Φ(2.5)+ Φ(-2.5)=0.0062+0.0062=0.0124Cp指標之信賴區間除了制程能力指標之點估計值外，信賴區間也可提供一些有用之情報。

Cp這100(1-α)%信賴區間為a/2,n-11-a/2,n-1/2百分點。

(例) 假設產品之規格界限為USL=109，LSL=91。

從制程中抽取20個數據，樣本標准差等于2.5，試計算Cp之95%信賴區間。

(解)Cp= =1.2Cp指標之95%信賴區間為2 0.82≦Cp ≦1.58制程能力指標-CpmCpk 指標之設計主要是因為Cp 指標并未考慮制程平均值所在之位置。

但單獨使用Cpk 仍然無法正確量測制程平均值是否偏離規格之目標值。

圖9-2告訴我們兩個具有不同平均值之制程，仍然可能具有相同之Cpk 值。

如果要正確了解制程平均值與目標值之偏移程度，最好將Cpk 值與Cp 值比較。

如果Cp 值等于Cpk 值，則表示平均值落在目標值上。

在Cp>Cpk 之情況下，表示制程平均值偏離目標值。

在固定制程平均值下，Cpk 指標將隨著制程標准差之降低而增加。

因此，一個較大之Cpk 值并無法正確告訴我們制程平均值是否落在目標值上。

Cpm 指標可以用來解決Cp 或Cpk 指標所遭遇到之困難。

當目標值為規格界限之中心值時，Cpm 指標定義為其中τ2=E[(χ-T)2]≦ Cp ≦1.2=E[(χ-μ)2]+(μ-T)2=σ2+(μ-T)2Cpm 指標亦可表示為當產品只有USL(LSL)時，在上式中設LSL= - ∞(USL=∞)。

圖9-2 兩個具有相同Cpk 值之制程(Montgomery 1991)以管制圖進行制程能力分析9.2.5制程能力指標所遭遇到之一些問題對于制程能力指標之使用，Kane(1986)指出使用者可能會因欠缺統計方面之理解，而產生一些不良之后果。

●統計管制狀態在有些情況下，使用者可能會在制程未處于管制內閃，去估計制程能力。

如果制程存在可歸屬原因，則制程相關參數(平均值、標准差)將無法正確估計，制程能力指標將失去意義。

●抽樣計划用以估計制程標准差之R(或S)與抽樣計划有關。

如果加大樣本組內觀測值之抽樣間隔，則由于引進不同來源之變異，將使R增加。

R增加后將使管制界限變寬，也較容易達到統計管制狀態內。

但是較大之R將造成較低之制程能力。

相反地，連續抽樣將使R較小，其結果為較高之制程能力估計。

但較小之R將使管制界限變窄，不容易達到統計管制狀態。

若分別考慮管制狀態和制程能力指標，則無法正確評估制程能力。

●常態分配與制程能力在利用制程能力指標估計不合格率時，我們假設數據符合常態分配之要求，但如果數據不符合常態分配，則估計之不合格率將不可信。

假設產品只有上規格界限，設為USL=32。

制程平均值χ=10.44，標准差S=3.053。

由這些資料我們可得CPU=2.35，此代表不合格率小于百萬分之一。

但如果數據明顯地不符合常態分配，則不合格率之估計值將不正確。

一個解決上述問題之方法是將數據轉換。

在上述之例子中，如果采用倒數之方式轉換(χ*=1/χ)，則轉換后數據之平均值χ*=0.1025，標准差S*=0.0244，規格界限為1/32=0.03125。

由這些資料可得CPU=0.97，此意謂百萬件中有1350件為不合格品。

●刀具磨損(tool wear)在刀具磨損之狀況下，R通常是由相連產品之抽樣獲得。

在此種情況下，制程能力指標將會相當大。

另外，制程能力與刀具更換周期有關。

在刀具磨損存在下，并不適合使用Cpko以管制圖進行制程能力分析一般制程能力分析的方法有直方圖分析、繪制機率圖、管制圖分析及實驗設計法。

其中以管制圖為最主要之方法，而且計量值管制圖及計數值管制圖均可用于制程能力分析。

但因為計量值管制圖可提供有關制程之資訊，所以分析上還是以計量值管制圖為主。

(例) 表9-3為20組樣本大小為5之飲料瓶破裂強度(brusting strongth)的樣本數據。

假設強度要求至少為49.9，試計算制程能力指標。

(解) χ及R管制圖之管制界限計算如下：R 管制圖UCL=D 4R=(2.115)(0.0935)=0.1977中心線=R=0.0935LCL=D 3R=(0)(0.0935)=0χ管制圖UCL=χ+A 2R=49.998+(0.577)(0.0935)=50.0514中心線=χ=49.998LCL=χ-A 2R=49.998-(0.577)(0.0935)=49.9436 圖9-3顯示此20組樣本之χ及R 管制圖，此二圖顯示制程數據在統計管制內。

因此制程參數可估計為μ=χ=49.998σ= = 0.0935 / 2.326 = 0.0402 Cp 指標為Cp=(μ-LSL ) / (3σ) = ( 49.998 – 49 ) / (3 * 0.0402)=0.813此例顯示制程為統計管制內，但在不符合產品規格之情況下生產。