八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.doc
八年级数学上册知识点归纳第二章
八年级数学上册知识点归纳第二章八年级数学上册知识点归纳第二章1、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
|a|≥0。
0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
0没有倒数。
④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
⑤估算3、平方根、算数平方根和立方根①算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
性质：正数和零的`算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
②平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意√a的双重非负性：√a≥0 ; a≥0③立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四<五总分得分[1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分.一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=、D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a(3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2 C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a 4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=~B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数。
D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数（7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,<B．,,C．，，D．,, 9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<@D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－！11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米*C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b-14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）^A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间，C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ，227，0，3−4，5.⋅6，−2.5656656665⋯ （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：23.跟踪练习1. 下列各数：3.14159，−27，0，−π ，−17，其中有理数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0，227，−1，−π2，0.101001⋯ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小：52 33（填“> ”“=”或“< ”）.实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0> 负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a ，b ，①当a−b >0时，a >b ；②当a−b =0时，a =b ；③当a−b <0时，a <b ；（4）平方法：若要比较任意两个实数a ，b 的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a ，b 本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中，最小的数是（）.A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）.A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算：12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算：（1）232−18−12；（2）35+4135−75115;（3）128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是（）.A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是（）.A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是（）.A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是（）.A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中，正确的是（）.A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（）.A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运(a≠0)；特别地：算有括号和无括号的区别，公式：a0=1(a≠0)；a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算：|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2 =a(a≥0)；③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.13. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简，再求值：x (6−x )+(x +5)(x−5)，其中x =6−2.17. 已知a =13−2，b =13+2.（1） 求a +b 的值；解：a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.（2） 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1．C 2．B（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数，如：23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3．B4．D实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0>负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a，b，①当a−b>0时，a>b；②当a−b=0时，a=b；③当a−b<0时，a<b；（4）平方法：若要比较任意两个实数a，b的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a，b本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5．（1）解：232−18−12=82−32−22=922.（2）35+4135−75115=155+1215−515=36155.（3）128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解：原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1．B2．B3．±54．D5．B6．B7．A重难点二实数的混合运算8．解：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9．解：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10．解：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11．解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12．解：|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13．−a−2b14．解：根据数轴可得c<b<0<a，∴a−b>0，c−a<0，b+c<0，∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15．解：由数轴可知a<0，b>2，∴a−b<0，a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16．解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，当x=6−2时，原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17．（1）解：a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17．（1）a+b=3+2+3−2=23.（2）∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1，∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
人教版八年级上册数学实数知识点
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北师大版八年级数学上册第二章 实数期末复习练习题(含答案)
北师大版八年级数学上册第二章实数期末复习练习题(含答案)一．选择题1．在实数，，﹣，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（）A．3B．4C．5D．62．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．±16D．163．的平方根是（）A．±5B．5C．±D．4．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．95．如果a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣3）2＝0，则a+b﹣c的值为（）A．5B．5+C．5+5D．5﹣56．下列说法正确的是（）A．是2的平方根B．﹣1的立方根是1C．1的平方根是1D．﹣3没有立方根7．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．﹣B．C．﹣2D．28．若的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（）A．1B．C．3﹣3D．39．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a ﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．计算（）A．2B．C．D．3二．填空题11．已知某数的一个平方根是，那么它的另一个平方根是．12．已知：≈1.421267…，≈4.494441…，则（精确到0.1）≈．13．已知≈1.2639，≈2.7629，则≈．14．若x2＝（﹣5）2，＝﹣5，那么x+y的值是．15．①＝．②＝．③写出﹣和之间的所有整数．16．比较大小：24．17．若|x|＝，则实数x＝．18．如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为．19．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．20．已知a ≥﹣1，化简＝．三．解答题21．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数请用以上方法解决下列问题（1）把0.化为分数（2）把0.3化为分数．22．定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解⼀程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解⼀程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解⼀程：（3x﹣1）2﹣25＝0．23．已知2a﹣1的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．24．已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4，b﹣12的立方根为2．（1）求a，b的值．（2）求a+b的平方根．25．求出下列x 的值：（1）4x 2﹣16＝0； （2）3（x +1）3＝24．26．如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题： （1）比较大小：a ﹣1 0；b +1 0；c +1 0；（2）化简﹣|a ﹣1|+|b +1|+|c +1|．27．计算：（1）2﹣2+； （2）×﹣；（3）； （4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+．28．计算：（1）（+10）+（﹣11.5）+（﹣10）﹣4.5； （2）（﹣6）2×（﹣）﹣23；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）； （4）﹣+6÷（﹣）×．29．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②表示的点与数 表示的点重合；③若数轴上A 、B 两点之间距离为9（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．参考答案一．选择题1．【解答】解：＝2，，﹣，0.0都是有理数，而π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数，所以无理数的个数有3个，故选：A．2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．3．【解答】解：∵＝5，∴的平方根是±，故选：C．4．【解答】解：∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，∴（2a﹣5）+（﹣a+1）＝0，解得a＝4，∴2a﹣5＝3，∴这个正数为32＝9，故选：D．5．【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，解得a＝，b＝5，c＝，则a+b﹣c＝2+5﹣＝5﹣．故选：A．6．【解答】解：A、是2的平方根，正确；B、﹣1的立方根是﹣1，故本选项错误；C、1的平方根是±1，故本选项错误；D、﹣3的立方根是﹣，故本选项错误；故选：A．7．【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为＝，因为是无理数，所以输出，故选：A．8．【解答】解：∵1，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，故选：A．9．【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．10．【解答】解：原式＝1+（2×）2016×2＝1+2＝3．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是．故答案为：．12．【解答】解：∵≈4.494，∴≈44.9（精确到0.1），故答案为：44.9．13．【解答】解：∵≈1.2639，∴＝＝×＝﹣×≈﹣0.12639．故答案为：﹣0.12639．14．【解答】解：根据题意得：x＝﹣5或5，y＝﹣5，当x＝﹣5时，x+y＝﹣5﹣5＝﹣10；当x＝5时，x+y＝5﹣5＝0．故答案为：﹣10或0．15．【解答】解：①因为＞2，所以|2﹣|＝﹣2；故答案为：﹣2；②×＝＝＝2；故答案为：2；③因为﹣3＜﹣、＜4，所以﹣和之间的所有整数：﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：2，﹣1，0，1，2，3．16．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜．17．【解答】解：∵，则实数x＝，故答案为：．18．【解答】解；∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝，∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，∴AP＝AC＝，∴OP＝AP﹣OA＝﹣2，∴点P表示的数是2﹣，故答案为：2﹣．19．【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．20．【解答】解：∵a≥﹣1，∴a+1≥0，则原式＝＝|a+1|＝a+1，故答案为：a+1．三．解答题21．【解答】解（1）∵0.×100＝17.∴0.×100﹣0.＝17.﹣0.0.×（100﹣1）＝17，0.＝，（2）∵0.3×10＝3.①0.3×1000＝313.•②∴由②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10＝313.﹣3.，0.3（1000﹣10）＝310，0.3＝．22．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2＝﹣．故答案为：﹣2，0．23．【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝17，3a+b﹣1＝62，解得a＝9，b＝10，所以，a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∵（±7）2＝49，∴a+4b的平方根是±7．24．【解答】解：（1）由题意得，a﹣4＝1，b﹣12＝8，所以a＝5，b＝20；（2）由（1）得，a+b＝25，所以．25．【解答】解：（1）4x2﹣16＝0，4x2＝16，x2＝4，x＝±2；（2）3（x+1）3＝24，（x+1）3＝8，x+1＝2，x＝1．26．【解答】解：（1）从数轴可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，所以a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）由（1）可知：a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，所以﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|＝a﹣1﹣b﹣1+c+1＝a﹣b+c﹣1．27．【解答】解：（1）2﹣2+＝2×3﹣2×+＝6﹣+＝6；（2）×﹣＝﹣＝6﹣7＝﹣1；（3）＝3+4﹣4﹣＝7﹣4﹣1＝6﹣4；（4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+＝1﹣3+2﹣2＝﹣4+2．28．【解答】解：（1）原式＝﹣11.5﹣4.5+（10﹣10）＝﹣16+0＝16；（2）（﹣6）2×（﹣）﹣23＝36×﹣36×﹣8＝12﹣18﹣8＝﹣14；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）＝×（﹣270+21.5+8）＝×（﹣240）＝﹣60；（4）﹣+6÷（﹣）×＝﹣6﹣9×（﹣2）＝﹣6+18＝12．29．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2，故答案为2；（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1，①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3，②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣，③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5；3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．答：a的值为2或﹣2．30．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；（2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）＝＝＝2+1，则＝＝＝＝﹣1．。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习（附答案） 一．平方根1．已知一个数的平方根是2a +5与﹣3a +25，求这个数．2．（1）若5a +1和a ﹣19是数m 的两个不同的平方根，求m 的值． （2）如果y ＝+3，试求2x +y 的值．二．算术平方根3．已知实数a ，b ，c 满足：b ＝+4，c 的平方根等于它本身．求的值．4．若一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， 是5的算术平方根，求x +5y 的平方根．三．非负数的性质：算术平方根 5．已知：（x +2）2与互为相反数，求（x +y ）2018的平方根．6．若+（1﹣y ）2＝0．（1）求x ，y 的值； （2）求+++…+()()202220221++y x 的值．四．立方根 7．已知M ＝是m +3的算术平方根，N ＝是n ﹣2的立方根，求：M ﹣N 的值的平方根． 五．计算器—数的开方8．（1）观察下表，你能得到什么规律？n 0.008 8 8000 80000000.2220200（2）请你用计算器求出精确到0.001的近似值，并利用这个近似值根据上述规律，求出和的近似值．六．无理数9．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个七．实数10．把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，负整数集合：（…）；负分数集合：（…）；无理数集合：（…）．八．实数的性质11．若|a|＝，则﹣的相反数是．12．已知|x﹣1|＝，求实数x的值．九．实数与数轴13．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P 在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）AB＝；t＝1时，点Q表示的数是；当t＝时，P、Q两点相遇；（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为；点T表示的数为；MT＝．（用含t的代数式填空）十．实数大小比较14．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．十一．估算无理数的大小15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．请解答下列问题：（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝，b＝；（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝，d＝；（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．十二．实数的运算16．（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2．17．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8十三．二次根式的定义18．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是．十四．二次根式有意义的条件19．使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．十六．最简二次根式21．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有个．十七．二次根式的乘除法22．化简：（b＜0）．十八．化简分母中的二次根式23．计算：＝．24．阅读下面计算过程：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．求：（1）的值．（2）（n为正整数）的值．（3）+++…+的值．十九．可以合并的二次根式25．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为．26．若最简二次根式和是可以合并的二次根式．（1）求x，y的值；（2）求的值．二十．二次根式的加减法27．计算：+的结果为．28．化简．29．化简：（）2﹣＝．二十二．二次根式的化简求值30．若x，y是实数，且y＝++，求（x+）﹣（+）的值．参考答案一．平方根1．解：∵一个数的平方根是2a+5与﹣3a+25，∴2a+5+（﹣3a+25）＝0，解得a＝30，∴2a+5＝2×30+5＝65，∴这个数是：652＝4225．2．解：（1）∵5a+1和a﹣19是数m的两个不同的平方根，∴5a+1+a﹣19＝0，解得a＝3，所以，5a+1＝3×5+1＝16，m＝162＝256；（2）由题意得，x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，所以，x2≥4且x2≤4，所以，x2＝4，解得x＝±2，又∵x+2≠0，∴x≠﹣2，所以，x＝2，y＝3，所以，2x+y＝2×2+3＝7．二．算术平方根3．解：∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3把a代入b＝+4得：∴b＝4∵c的平方根等于它本身，∴c＝0∴＝．4．解：∵一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， ∴2a ﹣1﹣a +2＝0，解得：a ＝﹣1． ∴2a ﹣1＝﹣3， ∴x ＝（﹣3）2＝9． ∵是5的算术平方根，∴3×9﹣2y ﹣9＝2，解得：y ＝8． ∴x +5y ＝49．∴x +5y 的平方根是±7． 三．非负数的性质：算术平方根 5．解：因为：（x +2）2与互为相反数，所以：（x +2）2+＝0，又因为：（x +2）2≥0，≥0， 所以 x +2＝0，x +2y ＝0， 所以x ＝﹣2，y ＝1， 所以（x +y ）2018＝1，所以（x +y ）2018的平方根是±1． 6．解：（1）根据题意得，解得；（2）原式＝+++…+202320241＝1﹣+﹣+﹣+…+20231﹣20241＝1﹣20241＝20242023． 四．立方根 7．解：∵M ＝是m +3的算术平方根，∴m ﹣4＝2，解得m＝6，∴M＝＝3；∵N＝是n﹣2的立方根，∴2m﹣4n+3＝3，即12﹣4n+3＝3，解得n＝3，∴N＝＝1，∴M﹣N＝3﹣1＝2，∴M﹣N的值的平方根是±．五．计算器—数的开方8．解：（1）被开方数的小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点向相同的方向移动1位；（2）∵，∴，．六．无理数9．解：3.14159，＝4，0，是有理数，1.010010001…，﹣，是无理数，共有3个，故选：C．七．实数10．解：在﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，中，负整数集合是：（﹣（﹣2）2，﹣|﹣2|，…）；负分数集合是：（﹣0.101001，﹣0.，…）；无理数集合是：（0.202002…，，…）．八．实数的性质11．解：∵|a|＝，∴a2＝6，∴﹣＝﹣＝﹣2，﹣2的相反数是2．故本题的答案是2．12．解：∵|x﹣1|＝，∴x﹣1＝±．解得：x＝+1或x＝﹣+1．∴x的值为1﹣或1+．九．实数与数轴13．解：（1）AB＝9﹣（﹣6）＝15，t＝1时，BQ＝3，OQ＝6，设t秒后相遇，由题意（2+3）t＝15，t＝3，故答案为15，6，3（2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP＝AP，NP＝BP，∴MN＝MP+NP＝（AP+BP）＝AB＝7.5．（3）则点M表示的数为t﹣6；点T表示的数为9﹣t；MT＝15﹣t；故答案为t﹣6，9﹣t，15﹣t；十．实数大小比较14．解：（1）x＝0.1，y＝10；（2）①根据题意得：≈31.6；②根据题意得：b＝10000m；（3）当a＝0或1时，＝a；当0＜a＜1时，＞a；当a＞1时，＜a，故答案为：（1）0.1；10；（2）①31.6；②10000m十一．估算无理数的大小15．解：（1）∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，2＜＜3，∴a＝2，b＝﹣2；（2）∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，2＜＜3，﹣3＜﹣＜﹣2，∴c＝﹣3，d＝3﹣；（3）∵2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴m＝4，n＝﹣2，则|m﹣n|＝|4﹣+2|＝6﹣．故答案为：2，﹣2；﹣3，3﹣，6﹣．十二．实数的运算16．解：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6+．17．解：（1）原式＝5﹣4+2＝3；（2）开立方得：x﹣5＝﹣2，解得：x＝3．十三．二次根式的定义18．解：∵8＝22×2，∴n的最小值是2．故答案为：2．十四．二次根式有意义的条件19．解：由题意，得3﹣x≥0，且x≠0，解得x≤3且x≠0，故答案为：x≤3且x≠0．十五．二次根式的性质与化简20．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式＝|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c＝3a+b﹣c．十六．最简二次根式21．解：，是最简二次根式，故答案为：2．十七．二次根式的乘除法22．解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式＝•（﹣b）•（a）÷3＝﹣3a2b÷3＝﹣3a2b×（﹣）＝a2b2×＝ab．十八．化简分母中二次根式23．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．24．解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝﹣；（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．十九．可以合并的二次根式25．解：∵最简二次根式与是可以合并的二次根式，∴2a﹣3＝5，解得：a＝4．故答案为：4．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．二十．二次根式的加减法27．解：原式＝+＝+2＝．故答案为：．28．解：＝﹣＝﹣＝﹣＝+4﹣﹣1＝3．二十一．二次根式的混合运算29．解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．二十二．二次根式的化简求值30．解：∵x，y是实数，且y＝++，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝，∴（x+）﹣（+）的值．＝2x+2﹣x﹣5＝x﹣3＝﹣3＝﹣．。
北师大版八年级数学上册第二章实数第4节估算课后练习
第二章实数第4节估算课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、单选题1．估计51+的值介于下列哪两个整数之间（ ）A ．1，2B ．2，3C ．3，4D ．4，52．面积为6的正方形边长为α，下列判断中错误的是（ ）A ．α2=6B ．α>2C ．α-3<0D ．α是分数 3．数轴上的点A 表示的数是a ，当点A 在数轴上向左平移了17个单位长度后得到点B ，若点A 和点B 表示的数恰好互为相反数，则数a 的大小在（ ）A ．0与1之间B ．1与2之间C ．2与3之间D ．3与4之间 4．设4+5的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 和b 的值为（ ）A ．4，5B ．6，5﹣2C ．4，5﹣2D ．6，5 5．体积为80的正方体的棱长在（ ） A ．3到4之间 B ．4到5之间 C ．5到6之间 D ．6到7之间 6．下列整数中，与917-最接近的是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．比值为512－的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．我们国家的国旗宽与长之比接近这个比例，估计512－介于 （ ） A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间 D ．0.7与0.8之间 8．如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．109．已知a，b为两个连续的整数，且5a b<<，则a b=（）A．1B．2C．6D．910．a满足以下说法：①a是无理数；①23a<<；①2a是整数，那么a可能是（）A．6B．10C．3D．π评卷人得分二、填空题11．比较大小：5_____________________2.（填“>”“=”或“<”）12．设a、b是两个连续的整数，已知8是一个无理数，若8a b<<，则2b=________．13．a、b是两个连续整数，316a b<-<，那么2a-3b=________14．比较大小：32______23.15．已知a是5的整数部分，b是5的小数部分，则()25a b-=_______．16．若35+的小数部分是,35a-的小数部分是,b则ab=________________．17．估计512-与0.5的大小关系是：512-______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）18．已知a是10的整数部分，b是它的小数部分，则()()323a b-++=________．19．求实数2018个位上的数字是_________评卷人得分三、解答题20．把下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序，用“＜”号连接．﹣2，0，﹣1.8，2π，．21．比较大小：613-与212+.22．若15的整数部分为a ，小数部分为b ．（1）求a ，b 的值．（2）求215a b +-的值．23．阅读下面的文字，解答问题，例如：479<<,即273<<,7∴的整数部分是2，小数部分是72-； （1）试解答：17的整数部分是____________，小数部分是________（2）已知917-小数部分是m ，917+小数部分是n ，且()21x m n +=+，请求出满足条件的x 的值．24．已知 a 是17的整数部分，b 是17的小数部分，那么22 4()b a +-的值是__．25．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出2的近似值，得出1.4＜2＜1.5．利用“逐步逼近“法，请回答下列问题：（1）17介于连续的两个整数a 和b 之间，且a ＜b ，那么a ＝ ，b＝ ．（2）x 是17+2的小数部分，y 是17﹣1的整数部分，求x ＝ ，y＝ ．（3）（17﹣x ）y 的平方根．参考答案：1．C【解析】【分析】根据题意，估算出253<<，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①253<<，①3514<+<，故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出5的范围是解此题的关键．2．D【解析】【分析】先求出正方形的边长，再估算出边长6的范围，即可得出选项．【详解】解：①正方形的面积是6，①正方形的边长6α，①2＜6＜3，α＜0，α是无理数，不是分数，①2α=6，α＞2，3故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能求出6的范围是解此题的关键．3．C【解析】【分析】根据题意得出a-17=b，a=-b，求解即可．【详解】解：设B点表示的数是b，根据题意得：17a ba b==-⎧-⎪⎨⎪⎩，解得：a=172，b=-172，①4<17<5，①2<172<2.5，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，解题关键是能根据题意得出方程a-17=b，a=-b．4．B【解析】【分析】估算无理数的大小方法得出整数部分a，小数部分b，进而解答即可．【详解】解：①4＜5＜9，①2＜5＜3，①6＜45+＜7，①45+的整数部分是6，小数部分是45652+-=-，即a＝6，b＝52-，故选：B．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键．5．B【解析】【分析】体积为80的正方体的棱长为380，可根据64＜80＜125，不等式每项同时开三次方进行估算即可得出答案．【详解】解：体积为80的正方体的棱长为380，①64＜80＜125∴4＜380＜5故选：B．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．6．B【解析】【分析】先对17进行估算，判断出更接近于整数4，再对917-进行估算即可．【详解】解：①161725<<①4175<<且更接近于4①49175<-<且最接近5．故选：B．【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．7．C【解析】【分析】先估算5的范围，进一步估算512－即可求解．【详解】①2.22=4.84,2.32=5.29①2.2＜5＜2.3①2.212-=0.6，2.312-=0.65 ①0.6＜512－＜0.65 ①512－介于0.6与0.7之间 故选C ．【点睛】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的大小．8．C【解析】【分析】根据题意可得2＜N ＜3，即4＜N ＜9，在选项中选出符合条件的即可．【详解】解：①N 在2和3之间，①2＜N ＜3，①4＜N ＜9，①24<，34<，109>，①排除A ，B ，D 选项，①479<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查无理数的估算，在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．9．D【解析】【分析】根据题意直接利用5的取值范围得出a ，b 的值，进行分析即可得出答案．【详解】解：①a ，b 为两个连续的整数，且5a b <<，①a=2，b=3，①239a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，正确得出a ，b 的值是解题的关键．10．A【解析】【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，来判断四个选项的数是否满足① 利用无理数估算大小的方法，对四个选项的数进行估算即可确定是否满足①将四个选项的数分别平方，判断是否是整数，是否满足①【详解】A ．6，①6是无理数；①因为469<<，所以263<<；①2(6)6=是整数，同时满足①①①①，故A 符合题意B ．10，因为10>9，所以10>3，不满足①，故B 不符合题意C ．3，因为3<4，所以3<2，不满足①，故C 不符合题意D ．π， 因为π≈3.14，所以π>3， 不满足①， 故D 不符合题意故选：A【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数大小估算．11．>【解析】【分析】一个无理数和一个整数比较大小，可以采取把两个数先分别平方，再来比较平方后的两个数的大小，进而得到答案.【详解】解：①25=5（），22 = 4,①5＞4①5＞4.故填＞.【点睛】本题主要考查了无理数比较大小的方法, 对比较大小的数同时进行平方运算后, 化为我们熟悉的整数再比较大小.12．9【解析】【分析】先估算出8的取值范围结合题目条件即可得出a、b的值，代入得出结果．【详解】解：①283<<，①b=3，①b2=9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小是解题的关键．13．0【解析】【分析】估算316-大小，在-3和-2之间，求出a，b，代入计算即可．【详解】解：①3<-<-，-3162①a=-3，b=-2，①2a-3b=2×（-3）-3×（-2）=0．故答案为：0【点睛】本题考查了无理数大小的估算，求代数式的值．能正确估计316-的取值范围是解题关键．14．＞【解析】【详解】解：①3218=，2312=，①3223>．故答案为＞．15．8【解析】【分析】先估算无理数5的大小，得出253<<，即整数部分是2，a=2，b=5-2，代入()25a b -即可求解．【详解】①4<5<9①253<<①5的小数部分为2，即a=2①b=5-2①()()22255228a b a b -=-=⨯=故答案为：8【点睛】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．16．5511-【解析】【分析】只需首先对5估算出大小，从而求出其3+5的小数部分与3-5的小数部分，得出a ，b 的值后代入所求式子计算即可．【详解】解：①22253<<，①253<<，①3+5的小数部分是a ，3-5的小数部分是b ，①a=52-，b=3-5，①ab=(52)(35)-⨯-=5511-．故答案为：5511-．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．17．＞【解析】【分析】【详解】解：①512--0.5=51152=222---， ①52-＞0，①522-＞0． 故答案为：＞18．-17【解析】【详解】①3<10<4，①10的整数部分=3，小数部分为10−3，则(−a ) ³ +(b +3) ²=(−3) ³+(10−3+3) ²=−27+10=−17，故答案为−17.点睛:此题主要考查了无理数的估算和代数式求值,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.19．4【解析】【分析】根据无理数的估算，即可得到答案．【详解】解：①2441936=，2452025=，又193620182025<<，①44201845<<；故实数2018个位上的数字是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算，正确得到44201845<<．20．﹣1.8＜﹣2＜0＜12＜2π．【解析】【详解】试题分析：先取得﹣、2π的近似值，然后再在数轴上表示各数，最后再比较大小即可．试题解析：解：﹣2≈﹣1.41，2π≈1.57．把它们表示在数轴上如图所示：故﹣1.8＜﹣2＜0＜12＜2π．点睛：本题主要考查的是数轴、比较实数的大小，明确数轴上右边的数大于左边的数是解题的关键．21．612132-+<【解析】【分析】通分后，用作差法比较即可.【详解】解：因为6126236--=，2132326++=， 6121263250326-+---=<， 所以612132-+<. 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握作差法是解答本题的关键，作差法是比较代数式大小常用的方法，要熟练掌握.22．（1）3a =，153b =-；（2）6.【解析】【分析】（1）利用无理数的估值方法找到15的取值范围，即可得到a 、b 的值；（2）将a 、b 代入求值.【详解】（1）①3154<<，①3a =，153b =-．（2）215a b +-2315315=+-- 93=-6=【点睛】本题考查无理数的整数部分与小数部分问题，掌握无理数的估值方法是关键.23．（1）4，174-；（2）122,0x x =-=【解析】【分析】（1）根据夹逼法可求17的整数部分和小数部分；（2）首先估算出m ，n 的值，进而得出m +n 的值，可求满足条件的x 的值．【详解】（1）①161725<<，即4175<<，①17的整数部分是4，小数部分是174-，故答案是：4；174-；（2）①4175<<，①5174-<-<-，①9591794-<-<-，①917-的整数部分是4，小数部分是9174517m =--=-，①4175<<，①9491795+<+<+，①917+的整数部分是13，小数部分是91713174n =+-=-，①2(1)5171741x m n +=+=-+-=所以11x +=±解得：122,0x x =-=．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的整数部分及小数部分的确定方法：设无理数为m ，m 的整数部分a 为不大于m 的最大整数，小数部分b 为数m 减去其整数部分，即b=m-a ；理解概念是解题的关键．24．1．【解析】【分析】直接利用17的取值范围，得出a b ，的值，进而求出答案．【详解】4175<<，4a ∴=，174b ∴=-，222222(4)(1744)4(17)41b a ∴+-=-+-=-=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a ，b 的值是解题关键．25．（1）4；5；（2）174-；3；（3）±8．【解析】【分析】（1）首先估算出17的取值范围，即可得出结论；（2）根据 (1)的结论4175<<，得到61727<+<，即可求得答案；（3）根据(2)的结论代入计算即可求得答案.【详解】解：（1）①16＜17＜25，①4175<<，①a ＝4，b ＝5．故答案为：4；5（2）①4175<<，①61727<+<，由此：172+的整数部分为6，小数部分为174-，①174x =-，3y =．故答案为：174-；3（3）当174x =-，3y =时，代入， ()33(17)17174464y x ⎡⎤=--==⎣⎦﹣．①64的平方根为：8 ．【点睛】本题考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确计算是解题的关键，注意平方根是一对互为相反数的两个数.。
北师大版八年级上册数学第二章 实数含答案(必刷题)
北师大版八年级上册数学第二章实数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、实数界于哪两个相邻的整数之间( )A.3和4B.5和6C.7和8D.9和102、的算术平方根的平方根是（）A. B. C. D.3、下列计算正确的是（）A. ＝－9B. ＝±5C. ＝－1D.(－) 2＝44、下列说法中正确的是（）A. 的平方根是±6B. 的平方根是±2C.|﹣8|的立方根是﹣2D. 的算术平方根是45、估算在（）A.5与6之间B.6与7之间C.7与8之间D.8与9之间6、下列各数：、3.1415926、﹣、0、π0、0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）、3 、﹣中无理数有（）个．A.1B.2C.3D.47、下列叙述中,不正确的是( )A.绝对值最小的实数是零B.算术平方根最小的实数是零C.平方最小的实数是零D.立方根最小的实数是零8、的平方根是（）A. B.- C. D.9、设x=，则x的值满足（）A.1＜x＜2B.2＜x＜3C.3＜x＜4D.4＜x＜510、下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是=±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11、下列运算正确的是（）A. =2B.|﹣3|=﹣3C. =±2D. =312、下列说法正确的是（）A.负数没有立方根B.不带根号的数一定是有理数C.无理数都是无限小数 D.数轴上的每一个点都有一个有理数于它对应13、下列说法中，正确的是( )① ② 一定是正数③无理数一定是无限小数④16.8万精确到十分位⑤（﹣4）2的算术平方根是4．A.①②③B.④⑤C.②④D.③⑤14、下列命题是真命题的是（）A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是015、(-5)2的平方根是（）A.-5B.5C.±5 D.25二、填空题(共10题，共计30分)16、若一个正数x的平方根是2a＋1和4a－13，则a＝________，x＝________.17、有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数.其中正确的有________个.18、计算: =________.19、已知，，则的值为________.20、计算：（π﹣2015）0﹣（﹣1）2015﹣|﹣3|=________．21、如果a与b互为倒数，c与d互为相反数，那么的值是________．22、新定义运算“*”，规定x*y=x2+y，若﹣1*2=k，则k能否使得一元二次方程x2﹣2kx+9=0有两个相等的实数解________（填“能”或‘否’）．23、若5+ 的整数部分是a，则a＝________．24、平方等于的数是________，－64的立方根是________25、计算－8的立方根与9的平方根的积是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示，化简：|c|- -|a-b|.28、把下列各数分别填在相应的括号内：，，，，，，，，，，，，，0.1010010001整数；分数；正数；负数；有理数；无理数；29、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+9的立方根是3，求2（a+b）的平方根．30、已知3既是（x-1）的算术平方根，又是（x-2y+1）的立方根，求x2-y2的平方根．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、C4、B5、D6、D7、D8、C9、C10、D11、A12、C13、D14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
北师版初中八年级上册数学精品授课课件 第二章 实数 本章归纳总结
18.一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多
少厘米?（结果精确到0.01 cm)
【教材P51 复习题 第18题】
解：设正方形的边长为x cm， 则x2 = 12·π ， 所以x ≈ 1.77， 即正方形的边长约为1.77 cm.
19.一个正方体形状的木箱容积是4m3，求此木箱的棱长
2
2
23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其
计（算单公位式:m为)，Tπ取2π3.1g4l ，，g其=中9.T8表m示/s2周.假期如（一单台位座:钟s）的，摆l表长示为摆长
0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 min内， 该座钟大约发出了多少次滴答声?
【教材P52 复习题 第23题】
R
P 1500
1500
所以15Ω < R < 19.27Ω，即甲满足要求.
答：该用电器是甲.
26．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50 cm） 堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ （结果精确到0.1 cm）
【教材P52 复习题 第26题】
解：如图，由勾股定理可得，
遮雨棚的高 4d 2 2d 2 d 223.（2 cm）
②无4 限循环小数不能认为是无理数.如
,
它是分数，是分数而不是无理数. 0.3 1 3
3.二次根式的运算.
①化简后只有被开方数相同，才能将它们进行合并.
如
，因为它们本身就是最简二次根式，
并且2被开方3数 也5不相同，不能直接合并.
②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律. 如：
6 （ 2 3） 6 2 6 3；
25．用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：
第二章实数全章热门考点整合应用+同步练习+2024-2025学年北师大版八年级数学上册
第二章 实数全章热门考点整合应用核心考点整合考点 1 算术平方根、平方根、立方根的概念和意义1下列说法正确的是 ( )A.负数的平方根是负数B.100的平方根是10C.--16 的平方根是-4D.0的算术平方根是02.若 x =√−273,则 x (x −5)−x²的值为( )A.15B.5C. -5D.--153.若( (a −2)2+√b +3=0,则 ab 的值为 ( )A. -6B.-5C. -1D.14.若一个正数 m 的平方根分别为x+1和5+2x,则m 的值为 .5.已知 √1−2a 3与 √3a −53互为相反数，求a 的平方根.考点2 无理数及其估算6.对 √2₂，下列说法错误的 ( )A.是有理数B.是无理数C.是实数D.是无限小数7.已知 m <√22<n,且m ，n 是两个连续的整数，则m+n 的算术平方根是 ( )A.3B.±3C.4D.±4考点3 实数的有关概念8.下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的；②负数没有立方根；③16的平方根是±4，用式子表示是 √16=±4;④若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0.其中错误的有( )A.0个B.1 个C.2个D.3 个9. 将下列各数填在相应的集合里.√5123,,π,3.141 592 6,-0.456,3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)，0 5111₁,河 √(−7)2,√0.1. 有理数集合:{ …};无理数集合:{ …};正实数集合:{ …};整数集合:{ …}.考点4 二次根式的有关概念及性质10.要使代数式 √x −9有意义，则x 的取值范围是 .11.若 a =−3,b =√(−3)2,则a ，b 的大小关系为 ( )A. a>bB. a=bC. a<bD.无法判断12. 下列各式化成最简二次根式正确的是 ( )A.√710=√0.7B.√2425=√245 C.√0.1=√1010 D.√23=3√6 考点 5 二次根式的运算13. 如图，是添加了便签的台历示意图，正方形 ABFE 为 日 历 区，正方 形EGHD 为备忘录区，长方形 G FCH 为便签区，已知日历区的面积为270 cm²，备忘录区的 面 积 为 80 cm²,则便 签 区 的 面 积 为 cm².14. 计算(1)√24÷√3−√12×√18+√32;(2)(√5+1)2−√2×√10.考点6 二次根式的化简求值15.已知△ABC的三边之长分别为2,5,m,则√(m−3)2−√m2−14m+49等于( )A.2m--10B.10-2mC.10D.416.已知x=3−2√3,则x²−6x+1的值为( )A. -4B.4C.2√3−3D.2√3−817.先化简，后求值：(a+√5)(a−√5)−a(a−√2),其中a= √22−1.思想方法整合思想1 数形结合思想18.如图,A,B,E是数轴上的三点,其中A,E位于原点O两侧，且到原点的距离相等，以AB为边作正方形ABCD.若点A 表示的数为1，正方形ABCD 的面积为7，则B，E两点之间的距离是( )A.√7+2B.√7−2C.√7+1D.√7∝1思想2 整体思想19.已知a+b=--8, ab=12,求b√ba +a√ab的值.思想3 从特殊到一般的思想20. 观察下列等式:第 1个等式： a 1=1+√2=√2−1; 第2个等式 a 2=√2+√3=√3−√2; 第 3个等式： a 3=√3+2=2−√3; 第 4个等式 a 4=2+√5=√5−2;… 按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n 个等式： aₙ=.(2)利用(1)的规律计算： a 1+a 2+a 3+⋯+a n .1. D 【点拨】A.负数没有平方根，故原说法错误；B.100的平方根是±10，故原说法错误；C.-16 没有平方根，故原说法错误；D.0的算术平方根是0，故原说法正确.2. A 【点拨】由题意得 x= --3,则 . x (x −5)−x²= −3×(−3−5)−(−3)²=24−9=15.3. A 【点拨】由题意得a-2=0,b+3=0,则a=2,b=-3,则 ab=-6.4.1 【点拨】由题意得x+1+5+2x=0,解得x=-2,则 m =(x +1)²=1.5.【解】因为 √1−2a 3与 √3a −53互为相反数，所以1-2a+3a-5=0,解得a=4.因为4 的平方根是±2，所以a的平方根是±2.6. A7. A 【点拨】因为√16<√22<√25,所以4<√22<5,因为m<√22<n,且m，n是两个连续的整数，所以m=4,n=5,所以m+n=9,因为9的算术平方根是3，所以m+n的算术平方根是3.8. C 【点拨】①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；②负数有立方根，原说法错误；③16 的平方根是±4，用式子表示是±√16=±4,，原说法错误；④某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0，原说法正确.所以错误的说法有2个.【解】有理数集合：{氵512,3.1415926,-0.456,0 11√(−7)2,⋯⟩.无理数集合:{π,3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)正实数集合：:{✔512,π,3.141 592 6,3.030 030 003…每两个3之间依次多1个0)，511,√93,√(−7)2,√0.1,⋯).整数集合：(10. x≥9 11 C 12. C|A.(60√6−80)【点拨】由题意得正方形ABFE 的边长EF=√270=3√30(cm),正方形EGHD 的边长EG= GH=√80=4√5(cm),所以便签区GFCH 的面积为4√5×(3√30−4√5)=4√5×3√30−4√5×4√5=(60√6−80)cm2.14.【解】(1)原式=√24÷3−√12×18+4√2=√8−√9+4√2=2√2−3+4√2=6√2−3.(2)原式=5+2√5+1−√20=6+2√5−2√5=6.15. A 【点拨】因为△ABC的三边之长分别为2,5,m,所以5-2<m<5+2,即3<m<7,所以m-3>0,m-7<0,所以√(m−3)2−√m2−14m+49=√(m−3)2−√(m−7)2=|m-3|--|m-7|=m-3+m-7=2m-10.16. B17.【解】原式=a2−5−(a2−√2α)=a2−5−a2+√2a=√2a−5.当a=√22−1时，原式=√2×(√22−1)−5=−4−√2.18. A19.【解】因为a+b=-8<0, ab=12>0,所以a<0,b<0,所以原式=−b√aba −a√abb=−(b2+a2)√abab=−(a+b)2−2abab√ab.当a+b=-8, ab=12时,原式=−64−2412√12=−20√33,20.【解】(1√n+√n+1=√n+1−√n(2)a1+a2+a3+⋯+a n=(√2−1)+(√3−√2)+(2−√3)+⋯+(√n+1−√n)=√n+1−1.。
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结
八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结数学课本中介绍了大量的数学专题知识,尤其是应用题部分,是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识.学生一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础.下面是小编为大家整理的有关八年级上册数学第二章知识点,希望对你们有帮助!八年级上册数学第二章知识点1一.实数的概念及分类1.实数的分类一是分类是:正数.负数.0;另一种分类是:有理数.无理数将两种分类进行组合:负有理数,负无理数,0,正有理数,正无理数2.无理数:无限不循环小数叫做无理数.在理解无理数时,要抓住〝无限不循环〞这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;(3)有特定结构的数,如0.1__1__…等;(4)某些三角函数值,如sin60o等二.实数的倒数.相反数和绝对值1.相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立.2.绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值.(|a|≥0).零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.3.倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数.4.数轴规定了原点.正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可).解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用.八年级上册数学第二章知识点2一.定义1.如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称.2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对应点.3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.5.三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二.重点1.把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.2.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.3.垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.4.垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.5.如何做对称轴:如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对再对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.6.轴对称图形的性质:对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状,大小完全相等.新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的对称点.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.7.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合[三线合一][等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(,底边上的高,顶角平分线)所在直线就是它的对称轴. 等腰三角形两腰上的高或中线相等.等腰三角形两底角平分线相等.等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离.等腰三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线到两腰的距离相等.]8.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等[等角对等边].[如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.]9.等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°._.等边三角形的判定:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形._.直角三角形的性质之一:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半._.在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.三.注意1.(_,y)关于原点对称(-_.-y).关于_轴对称(_,-y).关于y轴对称(-_,y)2.用坐标表示轴对称.八年级上册数学第二章知识点31 全等三角形的对应边.对应角相等2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边.直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合_ 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)_ 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边_ 等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线和底边上的高互相重合23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°24 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半29 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等30 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上35逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称36勾股定理直角三角形两直角边 a.b的平方和.等于斜边c的平方,即a +b =c37勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a.b.c有关系a +b =c ,那么这个三角形是直角三角形38定理四边形的内角和等于360°39四边形的外角和等于360°40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)__0°41推论任意多边的外角和等于360°42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等44推论夹在两条平行线间的平行线段相等45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角51矩形性质定理2 矩形的对角线相等52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 56菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a_b)÷257菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的八年级上册人教版数学第二章知识点归纳。
八年级数学上册第2章实数2平方根第2课时平方根新版北师大版
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20. 实践与探究.
(1)计算： ＝
(−) ＝
＝
1
2
； . ＝
3
0.5
−
＝
6 ；
；
；
0 .
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(2)根据(1)中的计算结果，回答下列问题：
① 一定等于 a 吗？为什么？你发现其中的规律了吗？
请用பைடு நூலகம்己的语言描述出来.
1
2
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10. 【 2024延安期中新视角·程序框图题】按照如图所示的
－2或－8
程序框图，若输出 y ＝6，则输入 x 的值为
1
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.
11. 【新考法 方程建模法】在半径为9 cm的圆形黏土片上裁
＝± .
解： ±
1
( . )2＝0.000 4.
4
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6
7
8
－ (−.) ＝－0.1.
9
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第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，女山2-托,3龙等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1 Z间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
女山2-兀是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。
如2兀，（5）开方开不尽的数，女n：V2,75,V9^；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如: 也等;无理数也不一定带根号，女U：兀）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一？、3⑦0. 3030003000003……（相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有_______ ；是无理数的有______o （填序号）（2）有五个数:0・125125・・・，0. 1010010001-,-^-,扬，迈其中无理数有（）个【算术平方根L1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为：“侖”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o特别规地，0的算术平方根是0,即70=（）,负数没有算术平方根2•算术平方根具有双重非负性：（1）若程有意义，则被开方数a是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
3•算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根屮正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：石；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土丽。
例:(1)下列说法正确的是( )A. 1的立方根是±1；B・V4=±2； (C)、屈的平方根是±3；( D)、0没有平方根；(2)下列各式正确的是( )A、V81 = ±9B、|3.14-刘=兀-3」4C、匸壬I = -9心D、75-^3=72(3)/孑的算术平方根是____________ 。
(4)若低+£有意义,则7771= ____________________ o(5)已知AABC的三边分别是a,b,c,且满足V^3+ (/?-4)2 =0,求c的取值范围。
(6)(提高题)如果x、y分别是4一萌的整数部分和小数部分。
求x — y的值.平方根：1・定义：如果一个数x的平方等于且，即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x 是a 的平方(也叫二次方根)，记做：x = ±4a(a>0)2•性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有平方根例(1)若仮的平方根是土2,则x二 ________ ；辰的平方根是________ (2)当x ______ 时，』3—2x 有意义。
(3)一个正数的平方根分别是ni和0)-4,则ni的值是多少？这个正数是多少？3.(石)&»())与Q的性质(1) (Va)2=a(a>0)$D^7)2 =7 (2) 4^ =\ a \中,a 可以取任意实数。
如存斗5|=5 A/G3)2 =| -31= 3 例：1.求下列各式的值(1)厅(2) QF (3) (-V49)22._______________________________________________ 已知Ja_i)2之-1，那么a的取值范围是 ______________________________________________________ o3.已知2 < x < 3,化简7(2-x)2 + |x-31= ________ o【立方根】1・定义：一般地，如果以个数x的立方等于a,即疋二a,那么这个数x就叫做3的立方根(也叫做三次方根)记为扬，读作，3次根号a。
如2=8,则2是8的立方根，0的立方根是0。
2•性质：止数的立方根的止数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0, 1, -1.例：(1) 64的立方根是 ______________________________ (2)若扬= 2.89,炕二28.9,则b等于______________________(3)下列说法中：①土3都是27的立方根，②疔二y,③阿的立方根是2,④佢疗=±4。
其中正确的有( ) A、1个B、2个C、3个D、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。
如3<師<4 方法二作差法。
如a>b则a-b>0.方法三：乘方法•如比较2拆与3巧的大小。
例：比较下列两数的大小(1)些与* ⑵5血与3腭【实数】定义：(1)有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。
(2)实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a的相反数是弋；实数a的倒数是丄(a^O)；实数a的绝对值|a|=?(a-0), a［一a(ci <0)它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范圉内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
(2)数轴上的每个点都表示已个实数。
例:(1)下列说法正确的是( )；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C 、1和2Z 间的无理数只有血； 【)、不带根号的数都是有理数。
(2) a, b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()abA 、Qa _b B> 4abC> Ja + bD 、Qb -a(3)比较大小(填 或 “<” )•3 J10,—V3 V20, 7A /66V7 ,V5-1 21 —92(4)数-^7,-2,-3的大小关系是( )A. -^7<-3<-2B ・ 一3<一"<一2C ・-2< -^<-3D ・ -3<-2<-77(5 ) 将下列 各数：2,8,A /3,—1 — V5,用“ <” 连接起来；(6)若问=3,丽=2, JI ab <0 ,贝 Q ： a-b- _____________ 。
【二次根式】定义：形如V^(67>0)的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“7"”，如蔚是二次根式，而V9=3,3显然就不 是二次根式。
(2)被开方数a 可以是数，也可以是代数式。
若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代 数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式性质1： ^b = ^4b(a>0.b>0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做(1) 口二次根式的性质:(2) 71-31(4)最简二次根式。
V 1_1273•已知：（—7）2 =121,© + 1）3 =-0.064,求代数式 V7刁-厶+10歹+前245丁 的值。
6. （提高题）观察下列等式：回答问题：①Z+A+需 4 ②』+£+*“+齐订rd（1） 根据上面三个等式的信息，请猜想卜暫可的结果；（2） 请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。
课后练习一、重点考查题型：1. —1的相反数的倒数是 __________2.已知I a+3|-H\/b+l =0,则实数（a+b ）的相反数3•数一3・14与一刀的大小关系是 _________ 4•和数轴上的点成一一对应关系的是 ____ 5. 和数轴上表示数一3的点A 距离等于2. 5的B 所表示的数是 _____________ 26. 在实数屮JI, —- , 0, y[3 , —3. 14,、月无理数有 __________ 个7. 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A ）非负数 （B ）非止数 （C ）负数 （D ）正数 8. 若 x<-3,贝U I x + 3 I = _______ o例：1・化简:(1) 712x15 (2) J27a 4戻 Q0)2.计算:VO. 125 -9.下列说法正确是（）10. 实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小:⑴ c-b 和 d-aI I ■ I I(2) be 和 ad二、考点训练：*1・判断题：(1) 如果a 为实数，那么一3—定是负数；() (2) 对于任何实数a 与b, |a —b| = |b —a|fn 成立；() (3) 两个无理数之和一定是无理数；() (4) 两个无理数之积不一定是无理数；() (5) 任何有理数都有倒数；() (6) 最小的负数是一1；()(7) a 的相反数的绝对值是它本身；() (8) 若|韵二2, |b|二3 且 ab>0,则 a-b=-l ；() 2. 把下列各数分别填入相应的集合里22 ——31 , 21. 3, — 1. 234, ~~ ,0,负分数集合｛ 非负数集合｛*3.已知 l<x<2,贝I 」X —3 &(1 -X )' = ________ o4. 下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？—3, ^2 — 1,3,— 0. 3,31 -+^2 ,3§互为相反数： _____ 互为倒数： ______ 互为负倒数： ________*5.已知x 、y 是实数，且(X —^2 ) $和I y +2 |互为相反数，求x6. a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2,ctg45° , 1. 2121121112 .............. 中无理数集合{ } 整数集合{}} , (y/2 -y[3 )°, 3-2,} },y 的值三、解题指导:4.如果。