八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.doc

第二章：实数

【无理数】

1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，女山2-托,3龙等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1 Z间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。女山2-兀是无理数

（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2兀，

（5）开方开不尽的数，女n：V2,75,V9^；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如: 也等;无理数也不一定带根号，女U：兀）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一？、

3

⑦0. 3030003000003……（相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有_______ ；

是无理数的有______o （填序号）

（2）有五个数:0・125125・・・，0. 1010010001-,-^-,扬，迈其中无理数有（）个

【算术平方根L

1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为：“侖”，

读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o

特别规地，0的算术平方根是0,即70=（）,负数没有算术平方根

2•算术平方根具有双重非负性：（1）若程有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。

3•算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根屮正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：石；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土丽。

例:(1)下列说法正确的是( )

A. 1的立方根是±1；B・V4=±2； (C)、屈的平方根是±3；( D)、0没

有平方根；

(2)下列各式正确的是( )

A、V81 = ±9

B、|3.14-刘=兀-3」4

C、匸壬I = -9心

D、75-^3=72

(3)/孑的算术平方根是____________ 。(4)若低+£有意义,则7771= ____________________ o

(5)已知AABC的三边分别是a,b,c,且满足V^3+ (/?-4)2 =0,求c的取值范围。

(6)(提高题)如果x、y分别是4一萌的整数部分和小数部分。求x — y的值.

平方根：

1・定义：如果一个数x的平方等于且，即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x 是a 的平方(也叫二次方根)，记做：x = ±4a(a>0)

2•性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

(2) 0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有平方根

例(1)若仮的平方根是土2,则x二 ________ ；辰的平方根是________ (2)当x ______ 时，』3—2x 有意义。

(3)一个正数的平方根分别是ni和0)-4,则ni的值是多少？这个正数是多少？

3.(石)&»())与Q的性质

(1) (Va)2=a(a>0)$D^7)2 =7 (2) 4^ =\ a \中,a 可以取任意实数。如存斗5|=5 A/G3)2 =| -31= 3 例：1.求下列各式的值

(1)厅(2) QF (3) (-V49)2

2._______________________________________________ 已知Ja_i)2之-1，那么a的取值范围是 ______________________________________________________ o

3.已知2 < x < 3,化简

7(2-x)2 + |x-31= ________ o

【立方根】

1・定义：一般地，如果以个数x的立方等于a,即疋二a,那么这个数x就叫做3的立方根(也叫做三次方根)记为扬，读作，3次根号a。如2=8,则2是8的立方根，0的立方根是0。

2•性质：止数的立方根的止数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0, 1, -1.

例：(1) 64的立方根是 ______________________________ (2)若扬= 2.89,炕二28.9,则b等

于______________________

(3)下列说法中：①土3都是27的立方根，②疔二y,③阿的立方根是2,④佢

疗=±4。其中正确的有( ) A、1个B、2个C、3个D、4个

比较两个数的大小：

方法一：估算法。如3<師<4 方法二作差法。如a>b则a-b>0.

方法三：乘方法•如比较2拆与3巧的大小。

例：比较下列两数的大小

(1)些与* ⑵5血与3腭

【实数】

定义：(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。

(2)实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a的相反数是弋；实数a的倒数是丄(a^O)；实数a的绝对值|a|=?(a-0), a［一a(ci <

0)

它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范圉内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的

(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

(2)数轴上的每个点都表示已个实数。

例:(1)下列说法正确的是( )；

A、任何有理数均可用分数形式表示；

B、数轴上的点与有理数一一对应；