抽象代数期末考试试卷及答案教学提纲

抽象代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶

B、3 阶

C、4 阶

D、 6 阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个

B、5个

C、6个

D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数

B、奇数

C、4的倍数

D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,≤）

B、（Z,≥）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））

D、 (P(A),⊆)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)

B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)

D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则

()

[]=

-a

f

f1----------。

3、区间[1，2]上的运算}

,

{min b

a

b

a=

ο的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z

8

的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果e

a n=，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？

3、设有置换)1245)(1345(=σ，

6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；

2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题三 参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C ；

2、C ；

3、D ；

4、D ；

5、A ；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；

2、a ；

3、2；

4、24；

5、

；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：

因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，

因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定

义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b

这就是说μ=R ，证毕。

2、证 必要性：将b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，

ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，

所以b=a-1。

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一．判断题(每小题2分,共20分)

1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）

2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子

群. （ ）

3. 循环群一定是交换群. （ ）

4. 素数阶循环群是单群. （ ）

5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）

6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）

7. 交换群的子群是正规子群. （ ）

8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||

G G H H =. （ ） 9. 有限域的特征是合数. （ ）

10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）

二．选择题(每小题3分,共15分)

11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.

A. G 为整数集合，*为加法；

B. G 为偶数集合，*为加法；

C. G 为有理数集合，*为加法；

D. G 为整数集合，*为乘法.

12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G 的阶G =（ ）

A. 6；

B.24；

C.10；

D.12.