抽象代数期末考试试卷及答案教学提纲
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
抽象代数(B06Z02)
一、 单选题
二、 判断题
1.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、不能确定
答案： A
2.设A 、B 、C 为集合，下列关系式中不正确的是：（ ）
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D
3.指出下列那些运算是代数运算（ ）
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D 4.
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D 1.
A 、正确
B 、错误
答案： 错误
2.集合X 到Y 的一个映射，如果既是单射又是满射，则称该映射为X 到Y 的一个双射。
三、 填空题
四
、 证明题
A 、正确
B 、错误
答案： 正确
3.若群中元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，则当ab=ba 时，有丨ab 丨=mn 。
A 、正确
B 、错误
答案： 错误
4.环是对规定的加法作成群，对规定的乘法作成半群的代数系统.。
A 、正确
B 、错误
答案： 错误
5.
A 、正确
B 、错误
答案： 正确
1.
答案：
2.
答案：
3.
答案： -4
4.
答案：
5.
答案： abx+ac+c
1.
2.试证：群G的两个子群H，N的交也是G的子群。
答案： <p><br></p>。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。
第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。
解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。
要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。
我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。
第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。
解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。
例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。
第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。
解答：首先证明K[x]是整环。
然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。
再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。
通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。
希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。
14-15抽象代数试卷A
东华大学2014~ 2015学年第一学期期末试题A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 抽象代数 使用专业 数学2012级 姓名__________学号_________一、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1.设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。
2.设(G ，·)是一个群，那么，对于∀a ，b ∈G ，则(ab)－1＝___________。
3.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的置换之积)。
4.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。
5.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个正规子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。
6.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________。
7.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是___________。
8.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x)＝________________________。
9.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是______________________。
10. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝ 。
二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）。
A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等2、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
《抽象代数02009》试卷及标准答案
《抽象代数02009》试卷及标准答案
四、简答题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
26、A,{1,2,3}，B,{a,b}写出AXB及BXA的所有元素。
27、找出模5剩余类环的所有可逆元，并指出其逆元。
Z5
28、假定一个环R对加法来说作成一个循环群，证明:R是交换环。
29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。
30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。
31、群G中元a,b,若a,b的阶均有限，问ab的阶是否有限,
32、假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群。
五、证明题(本大题共3小题，第33、34小题各7分，第35小题6分，共20分) 233、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元a?e，使(e是群G的单位元)。
a,e
34、设R是偶数环，证明:(4)是R的最大理想，但R/(4)不是一个域。
35、假定[a]是整数模n的一个剩余类，证明:若a同n互素，那么所有[a]中的数都同n 互素。
贵师大抽象代数考试卷
贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。
注：本试题共三个大题，16个小题。
满分100 分。
一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。
每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是( )。
(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是( ) 。
(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G关于H的所有右陪集；(D) H的所有共轭g(1Hg。
3、设是环同态, 则同态的核( ) 。
(A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}；(B) Ker(()={a(R: ((a)=a}；(C) Ker(()={a(R: ((a)=1}；(D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。
4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是( ) 。
(A) ；(B) ；(C) (2；(D) 。
5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是( ) 。
(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3;商环R/I一定是特征为3的域。
二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。
三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。
抽象代数期末考试题及答案
抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 恒等元答案：C2. 以下哪个不是环的基本性质？A. 加法和乘法的封闭性B. 加法的结合律C. 加法和乘法的交换律D. 乘法对加法的分配律答案：C3. 向量空间的基具有什么性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 可以是任何一组向量D. 包含向量空间中所有向量答案：A4. 以下哪个不是群同态的性质？A. 保持群的运算B. 保持群的恒等元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D5. 有限群的拉格朗日定理表述了什么？A. 群的阶数等于其任意子群的阶数B. 群的任意子群的阶数能整除群的阶数C. 群的任意子群的阶数等于群的阶数D. 群的阶数能整除其任意子群的阶数答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个群G的元素a的阶是最小的正整数n，使得______。
答案：a^n = e2. 如果环R中任意两个元素a和b满足ab=ba，则称R为______。
答案：交换环3. 向量空间V的一个子集W，如果W非空且对向量加法和数乘封闭，则称W为V的一个______。
答案：子空间4. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，都有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)且T(cv) = cT(v)，则称T为______。
答案：线性的5. 一个群G的所有子群构成的集合，在包含关系下构成一个______。
答案：格三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群的同态和同构的定义。
答案：群的同态是指两个群之间的函数，它保持群的运算。
具体来说，如果有两个群(G, *)和(H, ·)，函数f: G → H是一个同态，当且仅当对于所有a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) · f(b)。
同构是指一个双射同态，即同态f既是单射也是满射，这意味着G和H在结构上是相同的。
北航2012抽象代数试卷与答案
班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。
(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。
(√) 3、任何群都与一个变换群同构。
(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。
(√) 5、素数阶群必为循环群。
(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。
(√) 7、环的理想构成其子环。
(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。
(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。
(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。
二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。
2、设〈G，*〉为群且a∈G。
若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。
4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。
对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。
三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。
解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。
解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。
抽象代数B
曲阜师范大学成人教育二0一一级数学专业（本科）2011年下半年第二学期《抽象代数》 (B 卷)注意事项：1、本试卷共6页，满分100分，考试时间为120分钟。
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。
1、群中元素的阶2、不变子群3、零因子《抽象代数》试卷 第1页（共6页）4、整环5、理想1、循环群的子群亦是循环群。
（ ）2、一个无限群一定不含有有限阶元。
（ ）3、两个含有单位元的环之间的同态一定保持单位元。
（ ）4、环同态的核一定是第一个环的理想。
（ ）5、在无零因子环中左右消去率成立。
（ ） 1、将12345673245761⎛⎫⎪⎝⎭表示成互不相交的轮换是_______________。
2、是一含单位元的交换环，设a R ∈，则主理想a 〈〉<中元素的形式为__________。
3、一个有限集合的一一变换叫做一个____________________。
4、n 次交错群中元素的个数为_____________________。
5、环5Z 的特征为_______________________。
《抽象代数》试卷 第2页（共6页）一、叙述定义或定理（每小题3分，共15分）二、判断题（凡论述正确的，在题干后的括号内划“√”；凡论述错误的，在题干后的括号内划“×”。
每小题2分，共10分）三、填空题（每小题3分，共15分）证明阶为素数的群一定是循环群。
《抽象代数》试卷 第3页（共6页）叙述并证明群的凯莱（Cayley ）定理。
《抽象代数》试卷 第4页（共6页）四、（10分） 五、（15分）叙述并证明环同态基本定理。
在一个没有零因子的环中左右消去律成立。
《抽象代数》试卷 第5页（共6页）如果一个环按照加法做成循环群，证明此环为交换环。
《抽象代数》试卷 第6页（共6页）六、（20分）七、（8分）八、（7分）。
运城学院 抽象代数试题+答案
运城学院 抽象代数试题+答案一、填空题（每空3分，共30分）1、在群G 中元素a 和b 满足条件1）对任意的x ∈G ，有ax=xa=x ；2）存在y ∈G ，使b=yy -1。
则a 、b 的关系为 a=b 。
2、设σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则σ的逆为 (6 3 7 4 1) 。
3、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a n =e ，那么m 与n 间的关系为 n m 。
4、已知群G 中的元素a 的阶等于30，则a 9的阶等于 10 。
5、一个阶大于1，有单位元，无零因子的 交换环 称为整环。
6、规定实数集R 上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。
7、实数集G 关于乘法·：a · b = a + b + 4是群，那么G 中的单位元是 –4 。
8、H 是群G 的正规子群，商群H G 的单位元为 H 。
9、6阶循环环R={0,e,2e,3e,4e,5e}(e 2=e)的单位群是 {e,5e} 。
10、设a 、b 、c 和x 都是群G 中的元素，且x 2a = bxc -1，acx = xac ，那么x = bc -1a -1 。
二、简答题（每小题10分，共40分）11、设G 是一个群，若对任意的a, b ∈G ，皆有(ab)2 = a 2b 2，证明G 是交换群。
证明：对任意的a, b ∈G ，由(ab)2 = a 2b 2得abab = aabb ，两边同时左乘a -1，右乘b -1得a -1ababb -1 = a -1aabbb -1，即ba = ab ，所以G 是交换群。
......10分12、证明群G 是交换群当且仅当映射1:-→→x x GG ϕ是G 的自同构。
证明：(=>)对任意x ∈G ，有x -1∈G ，且φ(x -1) = (x -1)-1 = x ，所以φ是满射，......2分对任意的x, y ∈G ，若φ(x) = φ(y)，即x -1 = y -1，则x = y ，所以φ是单射，......2分又对任意的x, y ∈G ，φ(xy) = (xy)-1 = y -1x -1 = φ(y)φ(x) = φ(x)φ(y)，所以φ是自同构。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案第一题：考虑以下四个集合及其关系：- A = {1, 2, 3, 4}- B = {2, 4, 6}- C = {3, 6, 9, 12}- D = {4, 8, 12, 16}试判断以下命题是否成立，并给出理由：1. A ⊂ B2. B ⊂ C3. C ⊂ D4. D ⊂ A解答：1. 命题1不成立，因为集合A中元素1不属于集合B。
2. 命题2不成立，因为集合C中的元素9不属于集合B。
3. 命题3成立，因为集合C中的元素都属于集合D。
4. 命题4不成立，因为集合D中的元素8不属于集合A。
第二题：设G为一个群，H为G的一个子群。
证明以下性质：1. H的恒等元是G的恒等元。
2. H中任意元素在G中也是元素。
3. G中任意元素的逆元在H中也是元素。
解答：1. 由于H为G的子群，H中的恒等元存在且唯一，记为e_H。
而G 中的恒等元存在且唯一，记为e_G。
由于H是G的子群，H的恒等元必须满足群的恒等元的性质，即对于任意的元素h∈H，有h·e_G = h。
因此，H的恒等元e_H也必须满足上述性质，即e_H = e_G。
2. 由于H是G的子群，H中的任意元素在G中也是元素，即对于任意的元素h∈H，有h∈G。
3. 对于任意的元素g∈G，其逆元记为g⁻¹。
由于H是G的子群，g∈G，所以g⁻¹∈G。
因此，g的逆元在H中也是元素。
通过以上证明可以得出结论，子群H的恒等元是群G的恒等元，H 中任意元素在G中也是元素，G中任意元素的逆元在H中也是元素。
第三题：考虑以下线性变换：T: ℝ^n -> ℝ^m其中，n和m是正整数且n < m。
证明T是一个满射但不是一个单射。
解答：首先，我们来证明T是一个满射。
满射意味着对于任意的向量b∈ℝ^m，存在向量a∈ℝ^n，使得T(a) = b。
由于n < m，说明向量a的维度低于向量b的维度。
根据线性变换的定义，T将n维的向量a映射为m维的向量b。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数期末考试试卷及答案近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈∙=1b b这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1。
——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）3. 循环群一定是交换群. （ ）4. 素数阶循环群是单群. （ ）5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群. （ ）8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||G G HH =. （ ）9. 有限域的特征是合数. （ ）10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）二．选择题(每小题3分,共15分)11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.A. G 为整数集合，*为加法；B. G 为偶数集合，*为加法；C. G 为有理数集合，*为加法；D. G 为整数集合，*为乘法.12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G 的阶G =（ ）A. 6；B.24；C.10；D.12.13. 设()()()()()(){}31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数是A. 1；B. 2；C. 3；D.4.14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ） A. G=（a ）与G 的子群； B. 整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C. 变换群与置换群；D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.15. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
抽象代数的基本概念测试题
抽象代数的基本概念测试题一、选择题：选择正确答案，并将其字母编号写在括号内。
1. 下列哪个不是群的必要条件？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 存在逆元素2. 以下哪种运算不满足交换律？(A) 加法 (B) 减法 (C) 乘法 (D) 除法3. 设G为群，e为其单位元素，则对于任意x∈G，下列哪个成立？(A) x·e = x (B) x−1 = e (C) x·x−1 = e (D) e·e = x4. 设G为群，n为正整数，下列哪个命题成立？(A) (xy)n = xn · yn (B) (xy)n = xn + yn (C) (xy)n = xn · yn−1 (D) (xy)n = xn + yn−15. 下列哪个是环的性质？(A) 封闭性 (B) 结合性 (C) 幂等性 (D) 可逆性二、填空题：根据题意填写正确的答案。
1. 设H为群G的子群，若H=G，则称H为________。
2. 若a为群G中元素x的逆元素，则a满足________关系。
3. 设f: G → H是群G到群H的同态映射，若f是双射，则称f为________。
4. 设G为有限群，其元素个数记为|G|，则对于任意x∈G，有________。
5. 若G为交换群，设a,b∈G，则(a·b)n = ________。
三、简答题：1. 请简述群的定义和群的四个基本性质。
2. 什么是子群？请举例说明。
3. 什么是同态映射？请说明同态映射的基本性质。
4. 请简述环的定义和环的基本性质。
5. 什么是有限群和无限群？请举例说明。
6. 请简述交换群的定义以及交换群与群的区别。
四、证明题：证明：设G为非空集合，定义二元运算·，若对于任意a,b∈G，有a·b=b·a，则G构成一个交换群。
（证明略）五、计算题：计算以下运算，并给出结果。
1. 设集合G = {1, 2, 3, 4, 5}，运算为模6的加法，即a + b ≡ (a + b) mod 6，计算3 · 4。
抽象代数 历届试题
2005-2006抽代期末1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．5.(20分)(1)证明2次扩张一定是正规的．(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规扩张．6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．(1)求f(x)的分裂域Ｅ．(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．2008年冯荣权1.来自杨的 P139 182题2.证明存在非唯一分解因子整环3.p为素数，求Z(p^n) [x]中的可逆元，零因子，幂等元4.杨的 P542 7485.体中的华罗庚恒等式6.2年前考试题最后一题，把2改成3.2008-2009冯荣权一、判断正误，并证明或举反例。
（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。
（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张二、G是奇次交换群。
α为自同构。
α^2为恒同映射。
G1={g|α(g)=g,g属于G}。
G2={g|α(g)=g逆,g属于G}求证G1，G2为子群，且G=G1×G2三、丘维声《抽象代数基础》75页推论8和例1四、构造27阶有限域并找出生成元。
五、忘了……六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。
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抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=ο的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。
近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1。
——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）3. 循环群一定是交换群. （ ）4. 素数阶循环群是单群. （ ）5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群. （ ）8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||G G H H =. （ ） 9. 有限域的特征是合数. （ ）10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）二．选择题(每小题3分,共15分)11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.A. G 为整数集合，*为加法；B. G 为偶数集合，*为加法；C. G 为有理数集合，*为加法；D. G 为整数集合，*为乘法.12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G 的阶G =（ ）A. 6；B.24；C.10；D.12.13. 设()()()()()(){}31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数是A. 1；B. 2；C. 3；D.4. 14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）A. G=（a ）与G 的子群；B. 整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C. 变换群与置换群；D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.15. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
A.1个B.2个C.4个D.无限个三．填空题(每小题3分,共15分)16. 如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 .17. n 次对称群n S 的阶是____________.18. 整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 .19. 设N 是G 的正规子群，商群N G 中的单位元是 。
20. 若R 是交换环, a R ∈则主理想()a =____________.四．计算题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21. 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123456654321ρ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=465132654321σ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=453126654321τ，计算1,ρσσ-.22. 设)}132(),123(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说明H 是否是3S 的正规子群.五．证明题(每题10分,共30分)23. 设G 是群，H 是G 的子群，证明：a G ∈，则1aHa -也是子群24. 设G 是群，H 是G 的正规子群. G 关于H 的陪集的集合为 {|}G gH g G H =∈，证明：/G H 对于陪集的乘法成为一个群，称为G 对H 的商群.25. 证明：域F 上全体n n ⨯矩阵的集合()n M F 在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分,共20分)1-10 ××√√√ √√√×√二．选择题(每小题3分,共15分)11. D ；12. B ；13. C ；14. B ；15. B.三．填空题(每小题3分,共15分)16. 1； 17. !n ；18. (){},1,,1nZ nZ nZ n ++-L ；19. N ；20. aR .四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分)21. 解：123456546213ρσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，L L L L L L L L L L L L L L L 4分1123456312645σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. L L L L L L L L L L L L L L L L L L 8分 22. 解：H 的所有左陪集为)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =；L L L L L L L L L L L L L L L 4分H 的所有右陪集为)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =.对3S σ∀∈，有H H σσ=，即H 是正规子群. L L L L L L L L L 12分五．证明题(每题10分,共30分)23. 证明：因为H 是G 的子群，对任意,x y H ∈，有1xy H -∈. L L L 4分由题意，对任意,x y H ∈，有1111,axa ay a aHa ----∈，从而()()111111axa ay a axy a aHa ------=∈，即1aHa -也是子群. L L L L L L 10分24. 证明：首先G H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律. L L L 3分 陪集H eH =是它的单位元，,eHgH egH gH g H ==∀∈. L L L 7分 又任意gH ，有11g HgH eH gHg H --==，即1g H -是gH 的逆元. L L L 10分25. 证明：()n M F 关于加法是封闭的，且满足结合律， L L L L L L 3分零元是0n n ⨯，对任意()n n n A M F ⨯∈，有()0n n n n n n A A ⨯⨯⨯+-=，即n n A ⨯的负元是n n A ⨯-. ()n M F 关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是n n E ⨯.L L L L L L 8分 乘法关于加法的分配律成立. L L L L L L L L L L L L L L L 10分。