应力状态分析与强度理论 ppt课件
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第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版
σα = σxcos2α σ ysin2α τxysin2α
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形.ppt
2. 求应力：
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
应力分析和强度理论PPT精品文档52页
2
2
整理得:
x 2 y x 2 yco 2 sxs y i2 n ---（1）
x 2ysi2 n x y co2s
y
其中: , ---任意斜截面应力
x
t
n
---斜截面法向n与
x轴正向夹角
x,y,xy ---正截面应力
xy dA x
yx
y
1.主应力与主平面: 正应力的极值（极大、极小）
纯剪应力状态 ( Pure Shear Stress State)
定义：在一个单元体上，仅有 一个主应力不为0，则称该单 元体所代表的点处于单向应力 状态。
定义：在一个单元体上，仅有 剪应力，而无正应力。则称该 单元体所代表的点处于纯剪应 力状态。
三 向 应 力 状 特例 态
平 面 应 力 状 特例 态
§7-1 应力状态的概念
■ 问题的提出
P
P
弯曲: M y 扭转 : T
Iz
Ip
cos2
sin 2
2
应力随点的位置变化 应力随截面的方位变化
•地震荷载作用下的墙体破坏
说明:
破坏面与受力 方向可能不一致。
推论:
对同一点:一 个方向上满足强度 要求,并不能说明已 经安全。
应力状态的初步概念：
右视图
M
M
M
T
T Wt
T Wt
弯曲梁上一点的单元体，剪力和弯矩都不为0，在横截面 上，既有剪应力也有正应力
dx
பைடு நூலகம்
弯曲梁上四个点的单元体。四个点在横截面上，既有 剪应力也有正应力
P
P
z
P z
max
Q.SZmax IZb
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
应力状态分析强度理论组合变形资料课件
弯曲与扭转组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的内力和变形。
拉伸与压缩组合变形的计算公式
根据材料力学的基本理论，通过建立力和位移的 关系式，求解出结构的应力和应变。
3
剪切与弯曲组合变形的计算公式
根据材料力学和弹性力学的基本理论，通过建立 力和位移的关系式，求解出结构的应力和变形。
根据应力方向和大小的不同，可以将应力状态分为 单向应力状态、双向应力状态和三向应力状态。
应力状态对材料强度的影响
01
02
03
04
Hale Waihona Puke 屈服强度在单向应力状态下，材料开始 发生屈服时的应力值。
抗拉强度
在双向应力状态下，材料在拉 力作用下所能承受的最大应力 值。
抗压强度
在三向应力状态下，材料在压 力作用下所能承受的最大应力 值。
剪切强度
在剪切应力状态下，材料能够 承受的最大剪切应力值。
02
强度理论
第一强度理论
最大拉应力理论
第一强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应力是其强度极限，而实际应 用中，材料可能因最大拉应力的作用而发生断裂。
第二强度理论
最大伸长应变理论
第二强度理论认为，材料在单向拉伸时达到的极限应变是其强度极限，而实际应用中，材料可能因最大伸长应变的积累而发 生断裂。
组合变形的分析方法
解析法
通过数学公式和定理，对组合 变形进行理论分析和计算。
有限元法
利用离散化的思想，将复杂的 结构分解为若干个小的单元， 通过求解每个单元的平衡方程 来得到整体结构的应力分布。
实验法
通过实验测试，对实际结构进 行加载和测量，获取结构的应 力分布和变形情况。
材料力学课件第十一章应力状态分析和强度理论
n
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
第十一章
"
p
应力状态和强度理论
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
2
3 1
1
3 2
第十一章
4.主平面 切应力为零的截面 5.主应力
应力状态和强度理论
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
F k
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
11.2
二向和三向应力状态的实例
m n
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
z
y
D
p
m
l
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F
k
F
k n
p cos cos
2
F
沿截面切线方向的切应力
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
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2 sin cos sin 2
并注意到 t yx t xy 化简得
1 1 s (s x s y ) (s x s y ) cos 2 t xy sin 2 2 2 1 t (s x s y ) sin 2 t xy cos 2 2
19
8-2 解析法分析二向应力状态
应力状态分析就是研究一点处沿各个不 同方位的截面上的应力及其变化规律。
11
应力状态的研究方法
dx dy dz 0
dz
dy
dx
12
13
8-1 应力状态的概念
sz
z
t zy t yz
t zx
x
sx
s3
sy
t xz
s2
t xyt yx
y
s1
s1 s 2 s 3
14
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 s 1 , s 2 , s 3 表示，并且 该单元体称为主应力单元。
22
8-2 解析法分析二向应力状态
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
s x 60MPa， t xy 30MPa, s y 40MPa, 30。
sy
所以，最大和最小正应力分别为：
s max
s min
s x s y
2
1 2
1 2
s
s
x
2 s y 4t xy 2
s x s y
2
x
2 s y 4t xy 2
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
21
8-2 解析法分析二向应力状态
4. 切应力极值和方向
第八章 应力状态分析与强度理论
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
应力状态的概念 平面应力状态分析-解析法 平面应力状态分析-应力圆法 三向应力状态 广义胡可定律 三向应力状态下的变形能 梁的主应力与主应力迹线 强度理论
1
拉
（压） A
扭
转 A T
拉应力为正
sx
压应力为负
sx
n
x
t
tx
ty
切 应 力
使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。
17
t
8-2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
sx α
ta
n
F
n
0
t xy
sa
dA
s dA t xy (dAcos ) sin s x (dAcos ) cos t yx (dAsin ) cos s y (dAsin ) sin 0
(σ x σ y) 2 sin2α 0 0 τ x ycos2α 0 2τ α 0 2
即α＝α0 时，切应力为零
20
8-2 解析法分析二向应力状态
tan 2 0 2t xy
s x s y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
s3
s2
s1
15
8-2 解析法分析二向应力状态
1.斜截面上的应力
y
sx
α
t yx
t xy
sx α
ta
n
t xy
sa
dA
x
sy
t yx
sy
t
t
F
Байду номын сангаас
n
0
F 0
16
sy
正应力
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
确定切应力极值 1 t (s x s y ) sin 2 t xy cos 2
2
dt (s x s y ) cos 2 2t xy sin 2 0 d (σ σy ) tan 2t x 2t x y
σx σy 2 σ 2 1 σ 2 t m a xm ) t x y ,i n ( 2t x y 2
7
结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在 应力；不仅要研究横截面上的应力，而且 也要研究斜截面上的应力。
8
t
s
tx
ty
t
s
sy
单元体平衡分析结果表明：即使同一点 不同方向面上的应力也是各不相同的
9
哪一个面上 哪一点？
应 力
指明
哪一点 哪个方向面？
10
过一点不同方向 面上应力的集合， 称之为这一点的应 力状态。
EI
2
拉 强 度 条 件 刚 度 条 件
（压）
扭
转
平 面 弯 曲
s max [s ]
t max [t ]
| T |max Wn [t ] T |max Wn [t ]
s max [s ] t max [t ]
M max Wz [s ] M max Wz [s ]
| ymax | y L L
N max Amin [s ] N max A[s ]
q max [q ]
q max [q ]
3
8－1 应力状态的概念
4
N
Mz
Q
横截面上正应力分析和切应力分析的结果 表明：同一面上不同点的应力各不相同
5
铸
铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
6
低碳钢
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？
t yx
sy
t
F 0
t
t dA t xy (dAcos ) cos s x (dAcos ) sin t yx (dAsin ) sin s y (dAsin ) cos 0
18
8-2 解析法分析二向应力状态
利用三角函数公式
{
1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 1 2 sin (1 cos 2 ) 2
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 1 s (s x s y ) (s x s y ) cos 2 t xy sin 2 2 2 ds (s x s y ) sin 2 2t xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
(s x s y ) sin 2 0 2t xy cos 2 0 0
平 面 弯 曲
A Q
内 力
N
N>
0
T>0
M M>0 Q>0
x
应 力
F s N A
tr
O
t (r )
Tr Ip
s
s
t
My s x Iz
x
QS yt z y bI z
变 形
L
A
AB
B
Tl GI p
n
f
q
x
Nl L EA
n f M ( x) f ( x) q f´