相似三角形的特殊模型--一线三等角
数学人教版九年级下册三角形相似——一线三等角模型
教学设计
教学过程二、新课讲解
1、学生先观看一段关于一线三等角模型的视频
2、对所看视频有所总结提升
3、如图，已知A、D、E在一条直线上，∠BAC=90°，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E,你能得出哪些结论？
三、例题讲解
例1、如图，四边形ABCD是正方形，且AB=4,E为BC上一点，F为CD上一点，且∠AEF=90°
（1）求证：ΔABE∽ΔECF （2）当BE=1,求CF的长度自主学习，认真思考
学生抢答
例题学生首先思考，然后由老师讲解并板书
练习巩固：1、如图，在等
边ΔABC中，边长为6，D是BC上的动点，∠ADE=60°（1）求证：ΔABD∽ΔDCE；（2）若BD=x,CE=y，求y与x之间的函数表达式；
联系中考：1、如图，正△ABC的边长为4 ，点P为BC 边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD 交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）学生思考并完成来练习巩固，并随机抽一名学生上黑板展示并对此题进行讲解，学生做完练习巩固后将中考原来抛给学生，让学生思考并完成
能力提升：例2、如图，在平面直角坐标系中，A （0,1），B（2,0），第一象限内的点C满足AC⊥AB，且AC=3，求点C的坐标. 学生作答，并统计学生的答题情况
课堂小结模型的简单归纳：
小结。
全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
全等与相似模型-一线三等角(K字)模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角(K型图)模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”)钝角一线三等角条件：∠A=∠CED=∠B+CE=DE证明思路：∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≅△ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：∠FAC=∠ABD=∠CED+任意一边相等证明思路：∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≅△ACE1(2021·山东日照·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为时，△ABP与△PCQ全等．2(2022·黑龙江·九年级期末)(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．3(2022·广东·汕头市潮阳区一模)(1)模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB= CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；(2)模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．4(2023·湖南岳阳·统考一模)如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠AED=°；(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．5(2022·浙江杭州·一模)老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形(已知)所以∠B =90°且AD =AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE (已知)即∠DFA =90°(垂直的意义)所以∠DFA =∠B (等量代换)又AD ∥BC 所以∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)在△ADF 和△EAB 中∠DFA =∠B∠1=∠2AD =AB所以△ADF ≌△EAB (AAS )小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．6(2022·山东·九年级课时练习)(1)课本习题回放：“如图①，∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，AD =2.5cm ，DE =1.7cm ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为．(2)探索证明：如图②，点B ，C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，AB =AC ，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，且∠BED =∠CFD =∠BAC ．求证：ΔABE ≌ΔCAF ．(3)拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB =AC ，AB >BC ．点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠BED =∠CFD =∠BAC ．若ΔABC 的面积为15，则ΔACF 与ΔBDE 的面积之和为．(直接填写结果，不需要写解答过程)7(2023·贵州遵义·八年级统考期末)过正方形ABCD (四边都相等，四个角都是直角)的顶点A 作一条直线MN ．(1)当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 作DF ⊥MN 于点F 如图(1)，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．(2)若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图(2)，其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图(3)，其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型(相似模型)【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1)一线三等角模型(同侧型)(锐角型)(直角型)(钝角型)条件：如图，∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED.2)一线三等角模型(异侧型)条件：如图，∠1=∠2=∠3，结论：△ADE∽△BEC.3)一线三等角模型(变异型)图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C 为AB 的中点，结论：△ACE ∽△BED ∽△ECD .②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD =∠AFE =∠BDE =90°.结论：△ABC ∽△BDE ∽△BFC ∽△AFB .③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD =∠ACE =∠BDE =90°.结论：△ABM ∽△NDE ∽△NCM .1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，∠ADE =60°，若BD =4DC ，DE =2.4，则AD 的长为()A.1.8B.2.4C.3D.3.22(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕MN ，如图②．根据以上的操作，若AB =8，AD =12，则线段BM 的长是()A.3B.5C.2D.13(2022·河南新乡·九年级期中)某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB AC =k ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线I ，CE 上直线l ，垂足分别为D 、E ．求证：BD AE=k ．(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将(1)中的条件做以下修改：在△ABC 中，AB AC=k ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在△ABC 中，沿△ABC 的边AB 、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG ，AB AE =AC AG=12，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系：．4(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BE CE 的值．5(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB 和射线BA ，∠2的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt △APC 中，∠A =90°，AC >AP ，延长AP 至点B ，使AB =AC ，作∠A 的等联角∠CPD 和∠PBD ．将△APC 沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到△MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．①确定△PCF 的形状，并说明理由；②若AP :PB =1:2，BF =2k ，求等联线AB 和线段PE 的长(用含k 的式子表示)．6(2022·山西晋中·一模)阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y=12x与直线CD交于点M2,1，且两直线夹角为α，且tanα=32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上-个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．7(2023·江苏南京·校考三模)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则DECF的值为；(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则CEBD的值为；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E为AB上一点，连接DE，过C作DE的垂线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD；【拓展延伸】(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=15，将△ABD沿BD翻折，A落在C处，得到△CBD ，F 为线段AD 上一动点，连接CF ，作DE ⊥CF ，交AB 于E ，垂足为G ，连接AG ．若DE CF=53，则AG 的最小值为．课后专项训练1(2022·湖南·长沙市二模)如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为(-2，5)，则线段DE 的长为()A.4B.6C.6.5D.72(2022·贵州·凯里一模)如图，在平面直角坐标系中A 0,4 、C 6,0 ，BC ⊥x 轴，存在第一象限的一点P a ,2a -5 使得△PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标( )．A.3,1 或3,3B.5,5C.3,1 或5,5D.3,33(2023·河南郑州·统考二模)如图，已知矩形ABCD 的顶点B 、A 分别落在x 轴y 轴上，OB =43,OA =4，AB =2BC 则点C 的坐标是()A.9,3B.9,23C.4+23,23D.43+2,234(2023·湖南长沙·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD 中，BC =6，AB =2，Rt △BEF 的顶点E 在边CD 或延长线上运动，且∠BEF =90°，EF =13BE ，DF =10，则BE =．5(2021·浙江台州·中考真题)如图，点E ，F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，AD 上，AF ⊥EG ．若AB =5，AE =DG =1，则BF =．6(2023·浙江九年级专题练习)如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，BD =3，将△ADE 沿直线DE 翻折得到△FDE ，当点F 落在边BC 上，且BF =4CF 时，DE ⋅AF 的值为．7(2022·安徽·九年级专题练习)如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，在点E 从A 到D 的运动过程中，点G 的运动路径=，△CEF 面积的最小值是．8(2023·浙江·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，AB =AC =10，点D 是边BC 上一动点(不与B 、C 重合)，∠ADE =∠B =α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α=45，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD =6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或258；④0<CE ≤6.4．其中正确的结论是．(把你认为正确结论的序号都填上)9(2022·河北保定·模拟预测)如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)若DE=10，AD=7，求BE的长．10(2023·浙江·九年级期末)如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB=∠CED=Rt∠，AC=CE，AB⊥CD于点F．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)若点B是EC的中点，DE=10cm，求AE的长．11(2022·江苏·九年级专题练习)【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，AE =BD ，则△AED ≌；②如图2，△ABC 为正三角形，BD =CF ,∠EDF =60°，则△BDE ≌；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE ⊥l 于E ，CF ⊥l 于F ．若AE =1，CF =2，则EF 的长为．【模型应用】(2)如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为1,3 ，则点C 的坐标为．【模型变式】(3)如图5所示，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，DE =4cm ，AD =6cm ，求BE 的长．12(2022·江苏镇江·二模)模型构建：如图1，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若∠APB =90°，求证：AM +BN =MN ．数学应用：如图2，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC =AD =BD ，∠CAD =90°，AB =8，求△ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及AB两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA =QB ，QA ⊥QB ，AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧(不计路宽，下同)．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13(2022·黑龙江·桦南县九年级期中)如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)由图1，证明：DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系(不必说明理由)．14(2022·黑龙江佳木斯·三模)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为直线AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，交AC于点F，在直线AB上截取AM=BD，连接FM．(1)当点D，M都在线段AB上时，如图①，求证：BF+MF=CD；(2)当点D在线段AB的延长线上，点M在线段BA的延长线上时，如图②；当点D在线段BA的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，如图③，直接写出线段BF，MF，CD之间的数量关系，不需要证明．15(2022·安徽·合肥二模)(1)如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，线段ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA．(2)如图2，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为0,4，点，点C的坐标为-3,0B是平面直角坐标系中的一点，若△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点B的坐标；(3)如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，在等腰直角△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=4，点M在线段OB上从O向B运动(运动到点B停止)，以点M为直角顶点向右上方做等腰直角△AMN，求点N移动的距离．16(2022·河南新乡·二模)如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC=6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN=，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为(请直接写出结果)(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．17(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．18(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，在△ABC 中AB =AC =6cm ，BC =8cm ，点E 是线段BC 边上的一动点(不含B 、C 两端点)，连接AE ，作∠AED =∠B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：△BDE ∽△CEA (2)设BE =x ，AD =y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，△ADE 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19(2023·浙江·九年级专题练习)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，OA =2，△AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB的解析式．(2)如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y=kx-2k(k<0)，AD⊥y轴，将BC绕点B顺时针旋转90°，交AD于点D，求点D的坐标．(用含k的式子表示)(3)如图3，在(2)的条件下，连接OD，交直线BC于点E，若3∠ABC-∠BDO=45°，求点E的坐标．20(2022·湖南郴州·中考真题)如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段AD上的动点(点E不与点A，D重合)，连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．。
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
初三相似三角形几何模型-一线三等角
相似三角形几何模型——一线三等角【模型讲解】模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD模型二：一线三等角图三 图四 ;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACEα∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD（3）当C 为BD 中点时，∽∽【典型例题】1.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△EDF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC 的长为_______．2．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求∠PBE的度数；（2）若△PFD∽△BFP，求APAB的值.4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，CE=4，则DE的长为______．5.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连结DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 于点Q ．（1）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； （2）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）6．如图，在ABC △中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE △是等腰三角形，求此时BD 的长．。
培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版
A．-9
B．-12
C．-15
D．-18
【答案】A
【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出 OA 与 OB 的比，设出点 B 的坐标，再根据相似三角形的
性质，求出点 A 的坐标，可得 ab 的值，进而求出 m 的值．
【详解】解：过 A、B 分别作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M、N，
3a 3b ∴B（-a，b），A（ 3 ， 3 ），
3 ∵点 A 在反比例函数 y＝ x 上，
33 ab
则 3 × 3 =3， ∴ab=9，
m ∵点 B 在反比例函数 y＝ x 上， ∴-a×b=m=-9， 故选 A.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键． 3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形 ABCD 边长为 4，边 B过点 A，则矩形 EDFG 的面积是（ ）
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题
3. 由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “K 型图”常和“A 字图”或“8 字图”类的平行相似结合在一起求长度
“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂 线。 如图：
∵四边形 EDFG 为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
AD DF
4 DF
∴ DE DC ，即 DE 4 ，
16
∴DF＝ DE ，
相似三角形的基本模型一线三等角
模型中的相似三角形（2）【基本模型】1. 如图1，BDE EDF CB ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角） 如图2，ABD ADEC B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【巩固提高】1. 已知ABC ∆中,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点AC E ,延长线上有一点F ，使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ，则=CF 427 提示：,120,6︒=∠==B A C AC AB ，D 是BC 的中点 ∴33==CD BD由B D E ∆∽CFD ∆ ∴CF DB DC BE =, 427=CF 2. 如图，等边ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，且3:1:=DC BD ，把ABC ∆折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处．那么ANAM 的值为 75 ． 提示：由翻折可得：A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM∵BDM ∆∽CND ∆， ∴753414=++===∆∆CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折，点B 落在边AD 上的E 点处，若AM AE 2=，那么EN 的长等于 提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN∵MAE ∆∽EFN ∆,∴EFAM FN AE = ∵AM AE 2=∴53,321===EN FN EF 4. 在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ，那么=DE提示：作过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、CD 于M 、N 。
相似三角形模型讲解-一线三等角问题
相似三角形模型讲解-一线三等角问题第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OEOA OC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABCDEB ∠=∠．求证：（1）DADE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC 于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EG2．=EFBE⋅相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FC2．=FD⋅FB2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=︒GBM90GMFEHDC A5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CEAB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABCD E（第25题图）2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB 边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
相似三角形的基本模型一线三等角资料全
模型中的相似三角形（2）【基本模型】CBBC C BAAA1. 如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【巩固提高】1. 已知ABC ∆中,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点AC E ,延长线上有一点F ，使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ，则=CF427提示：,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点∴33==CD BD 由BDE ∆∽CFD ∆∴CF DB DC BE =, 427=CF2. 如图，等边ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，且3:1:=DC BD ，把ABC ∆折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处．那么ANAM 的值为 75．ABC提示：由翻折可得：A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ∆∽CND ∆，∴753414=++===∆∆CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折，点B 落在边AD 上的E 点处，若AM AE 2=，那么EN 的长等于FE提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ∆∽EFN ∆,∴EFAMFN AE = ∵AM AE 2=∴53,321===EN FN EF4. 在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ，那么=DEN M GGAABEBE提示：作过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、CD 于M 、N 。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
一线三等角相似模型
在物理学中，可以利用一线三等角 相似模型来研究物理现象和规律， 如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证 明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的 方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后， 通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和 推理技巧，以及能够灵活运用已知条 件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析 法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及 灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后 推导出矛盾，从而证明结论成立的方 法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据 已知条件和反证法的原理，推导出与 已知条件相矛盾的结论；最后，根据 矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线 段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛 的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例 的多边形。
相似三角形中的 “一线三等角”模型-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
重难点专项突破：相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==， AD = 10，求AED ∆的面积．【答案】24．【解析】90ABC ∠=，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=．在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．例2.已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝60°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）如果AB ＝3，EC ＝，求DC 的长．【分析】（1）△ABC 是等边三角形，得到∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，推出∠BAD ＝∠CDE ，得到△ABD∽△A B C DEDCE ；（2）由△ABD ∽△DCE ，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，∵∠B+∠BAD ＝∠ADE+∠CDE ，∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE∴△ABD ∽△DCE ；（2）解：由（1）证得△ABD ∽△DCE ，∴＝，设CD ＝x ，则BD ＝3﹣x ，∴＝，∴x ＝1或x ＝2，∴DC ＝1或DC ＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 例3.已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠， 分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【答案】46．【解析】EDC B BED ∠=∠+∠，而EDC EDF FDC ∠=∠+∠，∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠． 又EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．AB C D EFAB AC=，∴B C∠=∠．EDB DCF∴∆∆∽．BE BDDC CF∴=．106104BDDC−∴=−，24DC BD∴=．又12CD DB BC==，BC∴=【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．例4.已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC，∴∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CE = AB = 3．∵AD // BC，∴∠A +∠ABC = 180°．即得∠A = 90°．又∵∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC，∴∠ADP =∠DCE．又由∠A =∠DEC = 90°，得△APD∽△DCE．∴AD APCE DE=．于是，由AP = AD = 2，得DE = CE = 3．…………………………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得PD=，CD=1分）AB CDPAB CD（备用图）于是，在Rt △PDC 中，得 PC = （1分）（2）在Rt △APD 中，由 AD = 2，AP = x ，得 PD 1分）∵ △APD ∽△DCE ，∴AD PD CE CD =．∴ 32CD PD ==1分）在Rt △PCD 中，22113332224PCD S PD CD x ∆=⋅⋅=⨯=+．∴ 所求函数解析式为2334y x =+．…………………………………（2分） 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）（3）当△APD ∽△DPC 时，即得 △APD ∽△DPC ∽△DCE ．…………（1分）根据题意，当△APD ∽△DPC 时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P 与点B 不重合时，可知 ∠APD =∠DPC ．由 △APD ∽△DCE ，得 AP PD DE DC =．即得AP DE PD CD =． 由 △APD ∽△DPC ，得AP AD PD DC =． ∴AD DE CD CD =．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4．易证得四边形ABCE 是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）（ⅱ）当点P 与点B 重合时，可知 ∠ABD =∠DBC ．在Rt △ABD 中，由 AD = 2，AB = 3，得 BD =．由 △ABD ∽△DBC ，得AD BD BD BC =．即得 =． 解得 132BC =．………………………………………………………（2分）∴ △APD ∽△DPC 时，线段BC 的长分别为4或132．方法总结本题重点在于：过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．(构造一线三角，出现相似三角形，进行求解) 例5.在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，︒=∠===90,2,1A BC AB AD .（如图1）(1)试求C ∠的度数；(2)若E 、F 分别为边AD 、CD 上的两个动点(不与端点A 、D 、C 重合),且始终保持︒=∠45EBF ,BD 与EF交于点P .（如图2）①求证:BDE ∆∽BCF ∆；②试判断BEF ∆的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；③设y DP x AE ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.答案：（1）作BC DH ⊥，垂足为H ，在四边形ABHD 中，AD ∥BC ，︒=∠==90,1A AB AD ，则四边形ABHD 为正方形又在CDH ∆中，1,1,90=−====∠︒BH BC CH AB DH DHC ， ∴︒︒=∠−=∠452180DHC C .（2）①∵四边形ABHD 为正方形，∴︒=∠45CBD ,︒=∠45ADB ，又∵︒=∠45EBF ，∴CBF DBE ∠=∠又∵︒=∠=∠45C BDE ,∴BDE ∆∽BCF ∆.②BEF ∆是等腰直角三角形，∵BDE ∆∽BCF ∆， ∴CB FB BD BE =,又∵︒=∠=∠45DBC EBF ,∴EBF ∆∽DBC ∆，又在DBC ∆中，︒=∠=∠45C DBC ,为等腰直角三角形，∴BEF ∆是等腰直角三角形. ③x x x x x x y +−=+−⨯=1221222，（0<x <1）.方法总结 第三问方法提示：过点P 作AD 的垂线于点H ，构造一线三直角相似，进行求解，很简单。
从特殊走向一般——相似三角形“一线三等角”模型问题探究
二 ：利 用 外 角 ，由ＡＤＰＢ为 ＡＡＰＤ的外 角可 证
得／２＝／＿３，问题得 以解决。 同样 的两个三 角形
相 似 ，解 题 的思 路 并 未 改 变 ，只是 将 特 殊 的
“９０。角”改 变为一般 的“０角”，体现 了从特殊 到
一 般 的数学思想 。
问题 ３：如 图 ４，在 ＡＡＢＤ 中 ，ＡＢ＝６，ＡＤ＝
二、问题 成 串 问题 １：如 图 ２，在 四边 形ＡＢＣＤ中，点Ｐ ４／３上 一 点 ，ＬＤＰＣ＝ＺＡ＝ＺＢ＝９０。 求证 ：ＡＤ·ＢＣ＝ＡＰ·日Ｐ
ｒ
图 ｌ
其 中证明 ＺＤ＝ＬＣＢＥ是 关键 ，有两 种方法
叮做参考。方法一：互余的思路，由已知条件
叮证 Ｄ＋厶４ Ｄ＝９０。，结 合ＬＣＢＥ＋ＬＡＢＤ＝９０。，
Ｃ
Ｐ
Ｂ
图 ３
【解析】与问题 １相比较，可用同样的思路
证 明 ＡＡＰＤ，－￣ＡＢＣＰ，问题 的 关键 是证明 ３＝
／２，坦 在 证 法 上略 有 变 化 。方 法 一 ：利 用互
补 ，由平 角得 ： ｌ＋ ＋ ２＝ｌ８０。，由 ＡＡＰＤ内
角和 得 １＋ ＋／３＝１８０。，所 以 ／２＝／＿３；方 法
ＢＤ＝５，点 Ｐ以每 秒 １个 单位长 度的 速度 ，由点
Ａ 出发 ．沿 边 ＡＢ向 点 运 动 ．且 满 足 ／ＣＰＤ＝
。 设 点 Ｐ的 运 动 时 间 为 ｔ（秒 ），当 以 Ｄ为 圆
心 ，ＤＣ为半径的 圆与ＡＢ相切 时 ，求ｔ的值。
Ｄ
Ａ Ｐ Ｅ Ｐ Ｂ
图 ５
【题后反思】从 问题 １设计的特殊情形出 发 ，将 不变 的结论逐 步过渡到 问题 ２中的一 般 情形 ，并进 行证 明 ，最 后对 证明 的结论 通过 问 题 ３的设计 进行 应用 ，有效 考查了 同学们对 知 识 的理解运 用 和对解 题方法 的迁 移能 力 。从 问题 １到 问题 ３，将 “一线 三等 角 ”相似模 型 隐 藏 “题 中”，且 问题设 计层 层深入 ，体现 了很 好 的梯 度 。若 将 ３个 问题 串在 一 起作 为一 个 完 整 的考题 ，同学们在 “拾阶 而上”的过程 中充 分 发挥 自己的潜能 ，便会有昕收获 。
相似三角形几何模型一线三等角(知识讲解)学年九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.37 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD模型二：一线三等角图三 图四;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACE α∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD（3）当C 为BD 中点时，特别说明：一线三等角相似三角形往往以等腰三角形或等边三角形为背景，如下图五。
图五特别说明：一线三直角相似三角形往往以矩形或正方形背景，如下图六。
图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，90B =∠，7CD =，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥，若12BC =，:1:2BE EC =，求AB 的长．【答案】327【分析】由题意易知AB 和CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解：∵AB 平行CD ，90B =∠，∵180B C ∠+∠=， ∵90B =∠，∵90B C ∠=∠=，90BEA BAE ∠+∠=， ∵AE ED ⊥，∵90AEB DEC ∠+∠=， ∵BAE DEC ∠=∠， ∵ABE ECD ∆∆∽， ∵AB BEEC DC=， ∵12BC =，12BE EC =， ∵48BE EC ==，， ∵7DC =， ∵432877BE AB EC DC =⋅=⨯=． 【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，AB=8，BC=10．（1）求证：∵AEF∵∵DFC ；（2）求线段EF的长度．EF=．【答案】（1）证明见分析；（2）5【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∵A=∵D=∵B=90°，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，推出∵AEF=∵DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到6D F，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵∵A=∵D=∵B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，∵∵AFE+∵AEF=∵AFE+∵DFC=90°，∵∵AEF=∵DFC，∵∵AEF∵∵DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∵6D F=，∵AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∵EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，EF=．解得：5【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．【变式2】如图1，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F处．~；（1）求证：ABF FCEAD=，求EC的长；（2）若AB=6+（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P，Q分别是AE，AD上的动点，求PD PQ 的最小值．【答案】（1）见分析；（2）EC =；（3）PD PQ +的最小值为 【分析】（1）选证得AFB CEF ∠=∠，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在Rt △ABF 中，求得BF 的长，设CE =x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理构建关于x 的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，证明四边形QFCD 是矩形，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∵90B C D ∠=∠=∠=︒， ∵90CEF EFC ∠+∠=︒， ∵AEF 由ADE 翻折得到， ∵90AFE D ∠=∠=︒， ∵90AFB EFC ∠+∠=︒，∵AFB CEF ∠=∠，90ABF FCE ∠=∠=︒， ∵ABF FCE ~；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB CD ==6AD BC ==.设CE x =，则DE x =，在Rt ABF 中，3BF ==， ∵633CF BC BF =-=-=，在Rt CEF 中，222EF CE CF =+，即222)3x x =+，解得x =EC =（3）如图，根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵C =∵ADC =90︒，又FQ ∵AD ， ∵四边形QFCD 是矩形，∵FQ =CD =AB∵PD PQ +的最小值为【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．类型二、一线三等角模型2．如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∵B ＝∵ADE＝∵C ．（1）证明：∵BDA ∵∵CED ；（2）若∵B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且∵ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见分析；（2）6-或3． 【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∵AD =AE ，∵AD =DE ，∵AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形 ∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC ∵当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒ ∴90DAE ∠=︒ ∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意．∵当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ BDA CED ≌∴AB =DC =∴6BD =-∵当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒ ∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥ ∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-3．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．举一反三【变式1】如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：∽AMF BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）见分析；（2）AME MFE △∽△，DMG DBM ∽△△． 【分析】（1）根据三角形内角和证AFM BMG ∠=∠即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可． （1）证明：∵DME A ∠=∠，180AMF BMG DME ∠+∠+∠=︒，180A AMF AFM ∠+∠+∠=︒，∵AFM BMG ∠=∠， ∵A B ∠=∠，∵∽AMF BGM ；（2）∵DME A ∠=∠，∵E=∵E ，∵AME MFE △∽△，同理，DMG DBM ∽△△． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．【变式2】∵ABC 中，AB =AC ，∵BAC =90°，P 为BC 上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P ，三角板可绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：∵BPE ∵∵CFP ； （2）将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．∵BPE 与∵CFP 还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF ，∵BPE 与∵PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动到什么位置时，∵BPE 与∵PFE 相似？说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2）∵BPE ∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，理由见分析．【分析】（1）找出∵BPE 与∵CFP 的对应角，其中∵BPE+∵BEP=135°，∵BPE+∵CPF=135°，得出∵BEP=∵CPF ，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：∵BPE∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，同（1），可证∵BPE∵∵CFP ，得 CP ：BE=PF ：PE ，而CP=BP ，因此 PB ：BE=PF ：PE ，进而求出，∵BPE 与∵PFE 相似．（1）证明：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°，∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（2）∵BPE ∵∵CFP ；理由：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°， ∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，证明：同（1），可证∵BPE ∵∵CFP ， 得CP ：BE =PF ：PE ， 而CP =BP ，因此PB ：BE =PF ：PE ． 又因为∵EBP =∵EPF ， 所以∵BPE ∵∵PFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．类型三、一线三等角综合3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∵1=∵D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ∵DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．【答案】(1)21522CD x x =-+(2)3(3)()3,1或()1,3-(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∵A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠， ∵A CPD ∠=∠， 又∵ABP PDC ∠=∠， ∵ABP △∵PDC △， ∵AB BP PD CD =， 即25x CD x=-， ∵21522CD x x =-+．(2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠， ∵ACD △∵ADE ， ∵90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∵点D 为BC 的中点， ∵116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∵90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ， ∵132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∵3CD =．(3)解：分两种情况：∵如图6所示，过A 作AC ∵y 轴于D ，过B 作BE ∵x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∵C ＝90°，∵四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∵AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∵OBA ＝90°，∵∵OBE +∵ABC ＝90°，∵∵ABC +∵BAC ＝90°，∵∵BAC ＝∵OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABC ∵∵BOE （AAS ），∵AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∵AC ＝BE ＝x －2，∵CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∵x ＝3，x －2＝1，∵点B 的坐标是（3，1）；∵如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．∵求证：ABP PCD △△∽；∵当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）∵见分析；∵3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∵根据等腰三角形的性质得到∵B=∵C，根据三角形的外角性质得到∵BAP=∵CPD，即可求证；∵根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．解：感知：（1）∵∵ABC∵∵DAE，∵BC AC AE DE=，∵BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）∵∵∵APC=∵B+∵BAP，∵APC=∵APD+∵CPD，∵APD=∵B，∵∵BAP=∵CPD，∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵∵ABP∵∵PCD；∵BC=12，点P为BC中点，∵BP=PC=6，·∵∵ABP∵∵PCD，∵AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当P A=PD时，∵ABP∵∵PCD，∵PC=AB=10，∵BP=BC-PC=12-10=2；当AP =AD 时，∵ADP =∵APD ，∵∵APD =∵B =∵C ，∵∵ADP =∵C ，不合题意，∵AP ≠AD ；当DA =DP 时，∵DAP =∵APD =∵B ，∵∵C =∵C ，∵∵BCA ∵∵ACP ， ∵BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∵25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：∵如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ∵如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________； ∵如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ∵CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】∵∵BDF ；∵∵CFD ；∵3；（2）(（3）2cm 【分析】∵根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得∵AED ∵∵BDF ；∵根据等边三角形的性质及和角关系，可得∵BDE ∵∵CFD ；∵根据正方形的性质及和角关系，可得∵ABE ∵∵BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得∵COE ∵∵OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明∵BCE ∵∵CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．解：∵∵∵ABC 是等腰直角三角形，∵C =90゜∵∵A =∵B =45゜∵∵BDF +∵BFD =180゜−∵B =135゜∵∵EDF =45゜∵∵ADE +∵BDF =180゜−∵EDF =135゜∵∵ADE =∵BFD在∵AED 和∵BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AED ∵∵BDF (AAS )故答案为：∵BDF ；∵∵∵ABC 是等边三角形∵∵B =∵C =60゜∵∵BDE +∵BED =180゜−∵B =120゜∵∵EDF =60゜∵∵BDE +∵CDF =180゜−∵EDF =120゜∵∵BED =∵CDFB C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE ∵∵CFD (AAS )故答案为：∵CFD ；∵∵四边形ABCD 是正方形∵∵ABC =90゜，AB =BC∵∵ABE +∵CBF =180゜−∵ABC =90゜∵AE ∵l ，CF ∵l∵∵AEB =∵CFB =90゜∵∵ABE +∵EAB =90゜∵∵EAB =∵CBF在∵ABE 和∵BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABE ∵∵BCF (AAS )∵AE =BF =1，BE =CF =2∵EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∵∵AOC =90゜，AO =OC∵∵COE +∵AOD =180゜−∵ACO =90゜∵AD ∵x 轴，CE ∵x 轴∵∵CEO =∵ADO =90゜∵∵ECO +∵COE =90゜∵∵ECO =∵AODCEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵COE ∵∵OAD (AAS )∵CE =OD ，OE =AD∵A∵OD =1，AD =∵CE =1，OE =∵点C 在第二象限∵点C的坐标为(故答案为：(； （3）∵∵ACB =90゜∵∵BCE +∵ACD =90゜∵BE ∵CE ，AD ∵CE∵∵CEB =∵ADC =90゜∵∵BCE +∵CBE =90゜∵∵CBE =∵ACD在∵BCE 和∵CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BCE ∵∵CAD (AAS )∵BE =CD ，CE =AD =6cm∵BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．。
【公开课教案】相似三角形专题复习—“一线三等角”型
相似三角形专题复习————“一线三等角”型【教学目标】1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
【难点】“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用【教学方法】合作探究、分析讲授【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】一．基本图形回顾：设计意图一、复习回顾,揭示目标情景，引入课题：三个基本图形呈现提供不同类型的相似三角形，让学生说出每一个图形中相似形的对应关系，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。
从模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫引入课题：二、抽象模型，揭示实质：二、抽象模型，揭示实质抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为后续的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
三．运用新知，看图作三．运用新知，看图作答：四：从特殊到一般：答通过前面的学习，为了让学生学以致用，设置一个练习及变式训练注意：这里要求学生提炼“一线三等角的基本图形，说出两个相似三角形，要求对应的顶点写在对应的位置，并利用相似的性质求解四、从特殊到一般：从特殊的直角改变成一般的角，并让学生证明，明白从特殊到一般的原理，同时展示三种常见形态五、典例解析，综合运用：五、典例解析，综合运用六、深入探究：七、小结收获交流归纳（1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到识开始在具体题目中的实际运用，设计上承接了前面的图形，能结合动点问题，勾股定理等知识并运用“一线三等角”相似型解决问题。
学生重点分析解题方法和数学思想的渗透，提高学生综合应用能力。
六、深入探究：相似三角形，熟悉这类题经常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。
第七讲一线三等角型相似三角形
第七讲一线三等角型相似三角形在前几讲我们已经学习了相似三角形的概念和判定方法，本讲我们将继续学习一线三等角型相似三角形。
一线三等角型相似三角形是指两个三角形的对应角均相等，并且有一对对应边成比例。
下面我们将详细讨论这一概念。
一线三等角型相似三角形可以分为三种情况：一线三等角型全等三角形、一线三等角型相似背边相等三角形和一线三等角型相似底角相等三角形。
下面我们分别介绍这三种情况。
一、一线三等角型全等三角形当两个三角形的对应角全部相等，并且对应边成比例时，这两个三角形就是一线三等角型全等三角形。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=k（k为常数），则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
这是由于全等三角形的定义所决定的。
全等三角形的定义是：对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的三个对应角全部相等，且对应边成比例，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
因此，根据已知条件，我们可以判定三角形ABC和三角形DEF是一线三等角型全等三角形。
二、一线三等角型相似背边相等三角形当两个三角形的对应角全部相等，并且其中一对对应边成比例时，这两个三角形就是一线三等角型相似背边相等三角形。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=k（k为常数），则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF，并且AB/DE=k。
这是由于相似三角形的定义所决定的。
相似三角形的定义是：对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的三个对应角全部相等，并且其中一对对应边成比例，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF，并且对应边成比例。
因此，根据已知条件，我们可以判定三角形ABC和三角形DEF是一线三等角型相似背边相等三角形。
三、一线三等角型相似底角相等三角形当两个三角形的对应角全部相等，并且底边成比例时，这两个三角形就是一线三等角型相似底角相等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形的特殊模型―――“一线三等角”模型的综合题
（图1）
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ；
（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ；
(3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 .
二、例题解析
例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=
3
1
,求CF 的长. 练习
1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长
2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2
3
，FC =1时，求BE .
例2.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o
是AB 上的一点，且
5
2
=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ .
练习
在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o
是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当
m DB
AD
=，求DF DE 的值.
例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.
练习
在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF. (1)已知BE=1,DF=2.求DE 的值； (2)求∠BED=∠DEF.
例4. 如图，已知边长为3的等边三角形ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，直线EG 与FG 分别交直线AC 于点M 、N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x,MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 练习
如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，
且C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
三、巩固提高
1.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，
4
3
=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设
BE x =，BED ∆的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.
2.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
3.如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以 点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；
（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求
BE 的长；
（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．
A B
C D E F A B C D （备用图）
C
4.如图，在ΔABC 中， AB ＝AC=4，BC ＝6，∠ B ＝∠ADE ，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 与B 、C 不重合），设BD ＝x ，AE ＝y ，AD=z ,ADE S S ∆=． （1）求cosB ；
（2）求证：△AB D ∽△DCE ；
（3）求y 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；
（4）求z 与x 之间的函数关系式及S 与x 之间的函数关系式，
（5）当点D 在BC 上移动时，△A DE 是否有可能是一个直角三角形？若有可能请求出BD 的长；若不能请说明理由；
（6）当点D 在BC 上移动时，△A DE 是否有可能是一个等腰三角形？若有可能请求出BD 的长；若不能请说明理由；
（7）当点D 在BC 上移动时，是否存在以D 为圆心、DB 为半径的圆与半径为1的圆A 相切，若存在，
求出DB 的值，若不存在，请说明理由； （8）当点D 在BC 上移动时，是否存在以E 为圆心、EC 为半径的圆与直线AD 相切，若存在，求出DB 的值，若不存在，请说明理由.。