相似三角形的特殊模型--一线三等角

相似三角形的特殊模型―――“一线三等角”模型的综合题

（图1）

（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ；

（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ；

(3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 .

二、例题解析

例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=

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,求CF 的长. 练习

1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长

2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2

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，FC =1时，求BE .

例2.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o

是AB 上的一点，且

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2

=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ .

练习

在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o

是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当

m DB

AD

=，求DF DE 的值.

例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.

练习

在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF. (1)已知BE=1,DF=2.求DE 的值； (2)求∠BED=∠DEF.

例4. 如图，已知边长为3的等边三角形ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，直线EG 与FG 分别交直线AC 于点M 、N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BE=x,MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 练习

如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，

且C ADE ∠=∠．

(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．

三、巩固提高

1.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，

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3

=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设

BE x =，BED ∆的面积为y ．

（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.

2.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．

（1）求证：△DBE ∽△ECF ；

（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；

（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

3.如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以 点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求

BE 的长；

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

A B

C D E F A B C D （备用图）

C

4.如图，在ΔABC 中， AB ＝AC=4，BC ＝6，∠ B ＝∠ADE ，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 与B 、C 不重合），设BD ＝x ，AE ＝y ，AD=z ,ADE S S ∆=． （1）求cosB ；

（2）求证：△AB D ∽△DCE ；

（3）求y 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；

（4）求z 与x 之间的函数关系式及S 与x 之间的函数关系式，

（5）当点D 在BC 上移动时，△A DE 是否有可能是一个直角三角形？若有可能请求出BD 的长；若不能请说明理由；

（6）当点D 在BC 上移动时，△A DE 是否有可能是一个等腰三角形？若有可能请求出BD 的长；若不能请说明理由；

（7）当点D 在BC 上移动时，是否存在以D 为圆心、DB 为半径的圆与半径为1的圆A 相切，若存在，

求出DB 的值，若不存在，请说明理由； （8）当点D 在BC 上移动时，是否存在以E 为圆心、EC 为半径的圆与直线AD 相切，若存在，求出DB 的值，若不存在，请说明理由.