相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

B

（不平行）

（二）8字型、反8字型

B

C

B

C

（蝴蝶型）（平行）

（不平行）

（三）母子型

B

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展

C

B E

D

A

共 享 性

G

A

B

C

E

F

一线三等角的变形

一线三直角的

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，

DE交AC于点E．下列结论：

①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；

④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．

其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）

3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．

求证：（1）DB2=DE•DA；

（2）∠DCE=∠DAC．

4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．

5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．

8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．

（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；

（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．

9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：

（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．

10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．

11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．

①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；

②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．

13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；

②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．

（1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

（3）若EF⊥CD，求BE的长．

15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当时，求BP的长．

16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，

（1）写出图中与△BEF相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；

（4）若AE=1，试求△GMN的面积．

17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P 作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值围；

（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；

（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE

交射线AC于点F．

（1）求AC和BC的长；

（2）当EF∥BC时，求BE的长；

（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．

（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；

（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；

（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，

①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．