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相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

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第13讲 “一线三等角型相似”问题

第13讲 “一线三等角型相似”问题

第13讲 “一线三等角相似”问题二、方法剖析与提炼例1.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF ＝60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD ＝1，FC ＝3时，求BE【解析】主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到∠BED=∠FDC 是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．【解答】（1）要证明△BDE 与△CFD 相似，已知条件是∠B ＝∠C ，还缺少一个角或一组对应边成比例；（2）△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝60°∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°，∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠B ＋∠BED ，∠BED ＝∠FDC 。

充分利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和这一性质；（3）根据∠BED ＝∠FDC ，∠B ＝∠C ；容易得出△BDE ∽△CFD ； （4）因为△BDE ∽△CFD ，可以得出BE CDBD FCBD ＝1，FC ＝3，CD ＝5 所以BE ＝35【说明】（1）本题属于典型的一线三等角相似，由题意可得∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°再用外角可证∠BED ＝∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似，根据相似比便可求得线段BE 的长度（2）根据一线三等角的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

例2. （2015•泰安）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ． （1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．【解答】（1）根据题意可证得∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，所以△ABP ∽△PCD 。

相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件

相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C

专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)

专题 相似三角形一线三等角模型(老师版)

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

初三相似三角形几何模型-一线三等角

初三相似三角形几何模型-一线三等角

相似三角形几何模型——一线三等角【模型讲解】模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD模型二：一线三等角图三 图四 ;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACEα∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD（3）当C 为BD 中点时，∽∽【典型例题】1.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△EDF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC 的长为_______．2．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求∠PBE的度数；（2）若△PFD∽△BFP，求APAB的值.4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，CE=4，则DE的长为______．5.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连结DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 于点Q ．（1）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； （2）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）6．如图，在ABC △中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE △是等腰三角形，求此时BD 的长．。

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（平行） （三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（平行） （不平行）（蝴蝶型）（不平行）A BB（五）一线三直角型:（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型实用文案DA, ' ' /B c C■一线三直角的1 .如图，梯形ABCD中，AD //BC,对角线AC、BD交于点0 , BE//CD交CA延长线于E.求证：OC2=OA2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16，点D 是边BC 上（不与B，C 重合）一动点，/ ADE= ZB= a, DE交AC于点E.下列结论：① AD 2=AE ?AB :② 3.6 W AE V 10 ;③当AD=2 Ji」.时，△ABD ^/DCE ;④ADCE为直角三角形时，BD为8或12.5 .其中正确的结论是________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3 .已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD上，/DEB= /ABC . 求证：(1 ) DB2=DE ?DA ;(2)/ DCE= ZDAC .4 .已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD丄BC于D , CG//AB , BG分别交AD、AC于E、F.求证:5 .如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FB 7FC.6 .已知：如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90 °,BC=2 , AC=4 , P 是斜边AB 上的一个动点， PD 丄AB ,交边 AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD= Z A .设A 、P 两点的距离为 x , △BEP 的面积为y .(1 )求证：AE=2PE ;(2 )求y 关于x 的函数解析式, ,BD 、CE 分别是 AC 与AB 边上的高，求证： BC=2DE .8 .如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D 、B 、C 、E 在同一条直线上，且/ DAE=120并写出它的定义域;求厶BEP 的面积.7 .如图，在△ ABC 中，/ A=60(1 )图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9 .（已知：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，/DAE=45 ° .求证:10 .如图，在等边厶ABC中，边长为6, D是BC边上的动点，/ EDF=60（1 ）求证：△ BDEs/CFD ;求BE的长.11 . （1 ）在A ABC中，AB=AC=5 , BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持/ APQ= Z ABC .①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x , CQ=y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持/APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13 .已知梯形ABCD 中，AD //BC,且AD V BC, AD=5 , AB=DC=2 .(1 )如图，P为AD上的一点，满足/ BPC= Z A，求AP的长；(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE= ZA , PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q .①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x , CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长.(不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，AD //BC, AB=CD=BC=6 , AD=3 .点M 为边BC的中点，以M 为顶点作Z EMF= ZB，射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F，连接EF.(1 )求证：△ MEF s/BEM ;(2 )若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD , 求BE的长.15 .已知在梯形 ABCD 中，AD //BC , AD V BC ,且 BC=6 , AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点.(1 )如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：△ BEPs/CPD ;(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF= ZC , PF 交直线CD 于点F ，同时 交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=x , DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；16 .如图所示，已知边长为 3的等边△ ABC ，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段 EF 为边向右侧作等边△ EFG ，直线EG , FG 交直线AC 于点M , N ,(1 )写出图中与△ BEF 相似的三角形; (2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE=x , MN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量17 .如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2 , AD=3，点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点P作PE 丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x , AE=y ,(1) 写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2) 如果△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍，求CE 的长；(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.x 的取值范围;的面积.18 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AB=5，-丁讦二上，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点,4丄DE 交射线AC 于点F . (1 )求AC 和BC 的长； (2)当EF//BC 时，求BE 的长；19 .如图，在 Rt △KBC 中，/ C=90 °,AC=BC , D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 C 不重合)，DF 丄DE , DF 与射线BC 相交于点F .(1 )如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE=DF ; (2) 如果 AD : DB=m ，求 DE : DF 的值；(3) 如果 AC=BC=6 , AD : DB=1 : 2，设 AE=x , BF=y , ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；② 以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时x 的值；若不可能，请说明理由.DF(3)连接EF ,当厶DEF 和△ABC 相似时，求 BE 的长.20 .如图，在△ ABC中，/ C=90 °,AC=6 , X^b-~，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作/4DEF=90 °,EF交射线BC于点F.设BE=x , ABED的面积为y(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△ BED相似，求△ BED的面积.421 .如图，在梯形ABCD 中，AB //CD, AB=2 , AD=4 , tanC=「，/ADC= ZDAB=90 °,P 是腰BC 上一个动点(不含点B、C),作PQ丄AP交CD于点Q.(图1)(1 )求BC的长与梯形ABCD的面积；(2 )当PQ=DQ 时，求BP的长；(图2)•••ZCDE=90 °■//B= a且,•• Z AD=90a=AB=10 ,/-cosB=AB 4LJ." '■,25—.故④正确.••AE=AC - CE=10 - x ,「36 <AE v 10 .故②正确.③作AG丄BC于G,4••AB=AC=10 , Z ADE= Z B= a, COS a=—,5••BC=16 ,「.AG=6 ,••AD=2 | J... H,ADG=2 ,「.CD=8 ,：AB=CD , •△ABD 与△DCE 全等；故③正确;④当Z AED=90。

培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版

培优专题25相似三角形的一线三等角模型-解析版

A．-9
B．-12
C．-15
D．-18
【答案】A
【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出 OA 与 OB 的比，设出点 B 的坐标，再根据相似三角形的
性质，求出点 A 的坐标，可得 ab 的值，进而求出 m 的值．
【详解】解：过 A、B 分别作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足为 M、N，
3a 3b ∴B（-a，b），A（ 3 ， 3 ），
3 ∵点 A 在反比例函数 y＝ x 上，
33 ab
则 3 × 3 =3， ∴ab=9，
m ∵点 B 在反比例函数 y＝ x 上， ∴-a×b=m=-9， 故选 A.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出 反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键． 3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形 ABCD 边长为 4，边 B过点 A，则矩形 EDFG 的面积是（ ）
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题
3. 由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “K 型图”常和“A 字图”或“8 字图”类的平行相似结合在一起求长度
“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂 线。 如图：
∵四边形 EDFG 为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
AD DF
4 DF
∴ DE DC ，即 DE 4 ，
16
∴DF＝ DE ，

部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案

部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案

专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm的等边ABCD中，D为BC上一点，且3BD cm=，E在AC上，60ADEÐ=°，则AE的长为( )cm．A．B．C．7D．6【解答】解：ABCDQ是等边三角形，9AB BC AC cm\===，60B CÐ=Ð=°，180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°，60ADEÐ=°Q，180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°，BAD EDC\Ð=Ð，ABD DCE\D D∽，\AB BD DC CE=，\9393CE=-，2CE\=，7()AE AC CE cm\===，故选：C．2．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若2BF cm=，则小正方形的面积等于2　．【解答】解：Q正方形ABCD的边长为8cm，2BF cm=，6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°，90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为：2254cm ．三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC D ，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF D D ∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽；（2）2CD BD=Q \设1BD =，则2CD =，Q 翻折，\设ED AE x ==，DF AF y==3AB BC AC \===，3BE x =-，3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得：31x y x =+①由32x x y -=得：23x y x=-②由①②解得：75x =，74y =\45x y =\45ED DF =．4．如图有一块三角尺，Rt ABC D ，90C Ð=°，30A Ð=°，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C Ð=°Q ，30A Ð=°，6BC =，212AB BC \==，AC \=，Q 四边形AFED 是正方形，90F E \Ð=Ð=°，AF FE =，90FAC FCA \Ð+Ð=°，90C Ð=°Q ，90FCA BCE \Ð+Ð=°，FAC BCE \Ð=Ð，AFC CEB \D D ∽，\AFACCE CB =，\AFCE =，设AF x =，则CE x =，FC \=，222AF AC Q ，222)x x \+=，2268237x \=+，答：这个正方形的面积为：226837．5．已知：如图，ABC D 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE Ð=°．（1）求证：ABD DCE D D ∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC D Q 是等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，AB AC =，B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ，60B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE D D ∽，\BD CE AB DC=，设CD x =，则3BD x =-，\2333x x-=，1x \=或2x =，1DC \=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ^，交CD 于点E ．（1）判断ABP D 与PCE D 是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP D 与PCE D 相似，理由如下：Q 四边形ABCD 是矩形，90B C \Ð=Ð=°，90BAP BPA \Ð+Ð=°，PE AP ^Q ，90CPE BPA \Ð+Ð=°，BAP CPE \Ð=Ð，ABP PCE \D D ∽；（2）连接BD，如图所示：由（1）知ABP PCE D D ∽，\AB BP PC CE =，\AB PC BP CE=，//PE BD Q ，\CP CE CB CD =，\PC CB CE CD =，\AB CB BP CD=，Q 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB \==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ×\==．7．如图1，在ABC D 中，AB AC ==，cos B =，点D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B Ð=Ð，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE D D ∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，又ADE B Ð=ÐQ ，ADE B C \Ð=Ð=Ð，180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ，180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°，BED ADC \Ð=Ð，ACD DBE \D D ∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ^交AC 于点H ，AD CD =Q，AB AC ==，12CH AH AC \===，cos B =Q ，B C Ð=Ð，cos CH B CD\=，6cos CH CD B \===，6AD =，AF AD ^Q ，90FAD \Ð=°，ADE B Ð=ÐQ，6cos ADE DF \Ð==，DF \=，由（1）得ACD DBE D D ∽，\DE BD AD AC =，\6DE DE \=，过点A 作AM BC ^于点M ，cos BM B AB\=，\4BM \=，28BC BM \==，862BD BC CD \=-=-=，DE \==，EF DF DE \=-==，6AD \=，EF =（3）解：F Q 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上，F \点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF Ð=°，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF Ð=°，12F F 为F 点的运动路径，12F AF CAB \Ð=Ð，AC =Q，cos B =，ABC C Ð=Ð，1cos AC C CF \===，112CF \=，在1Rt ACF D中，1AF ==，ADF B Ð=ÐQ，2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==，=，212BF \=，2AF ==，21AF AF \=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB Ð=ÐQ ，△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形，\△12AF F ACB D ∽，\121F F AF BC AC =，由（2）得8BC =，\128F F，12F F \=\点F运动的路径长为．8．在ABC D 中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC =，120A EDF Ð=Ð=°（1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC Ð，求证：2CD CF CB =×；②若213CFBF =，则ADCD =（2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，ABDFm AC DE ==，37BEEF =，求m 的值．【解答】解：（1）①Q 1ABm AC ==，AB AC \=，BD Q 平分ABC Ð，ABD DBF \Ð=Ð，BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且120A BDF Ð=Ð=°，ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð，且C C Ð=Ð，CDF CBD \D D ∽，\CD CF BC CD=，2CD BC CF \=×；②如图1，过A 作AG BC ^于G ，过F 作FH BC ^，交AC 于H ，30C Ð=°Q ，2CH FH \=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，Q 213CF BF =，BC \=，CG =Q ，152AG a \=，15AC a =，11AH a \=，120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ，18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，ABD FDH \Ð=Ð，ABD HDF \D D ∽，\AB AD HD FH =，即152a AD DH a=，设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x \=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ^于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =Q ，37BE EF =，\37CF EF =，//FG ED Q ，\37CF CG EF DG ==，\设3CG a =，7DG a =，Q AB DF m AC DE==，120A EDF Ð=Ð=°，ABC DFE \D D ∽，DEC C \Ð=Ð，10DE DC a \==，//FG DE Q ，GFC DEF C \Ð=Ð=Ð，3FG CG a \==，同理由（1）得：EHD DFG D D ∽，\ED DH DG FG =，即1073a DH a a=，307a DH =，Rt DHM D 中，60DHM Ð=°，30HDM \Ð=°，11527a HM DH \==，DM =，657EM a \===，651550777EH a a a \=-=，5017302107a AB EH m AC CH a a \====+．9．已知：在EFG D 中，90EFG Ð=°，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG =（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN Ð=Ð；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =×．【解答】（1）解：90EFG Ð=°Q ，90AFE DFG \Ð+Ð=°，90AEF AFE Ð+Ð=°Q ，AEF DFG \Ð=Ð，又90A D Ð=Ð=°Q ，EF FG =，()AEF DFG AAS \D @D ，2AE FD \==，FG \==EG \==，；（2）证明：延长EA、NF 交于点M ，Q点F为AD的中点，\=，AF DFQ，AM CD//Ð=Ð，\Ð=Ð，MAD DM DNF\D@D，MAF NDF AAS()\=，MF FN^Q，EF MG\=，ME GE\Ð=Ð；MEF FEN（3）证明：如图，过点G作GP AD^交AD的延长线于P，\Ð=°，P90D@D，AEF PFG AAS同（1）同理得，()=，\=，PF AEAF PGQ，=AE AD\=，PF AD\=，AF PD\=，PG PDQ，Ð=°P9045PDG \Ð=°，45MDG \Ð=°，在Rt EFG D 中，EF FG =，45FGE \Ð=°，FGE GDM \Ð=Ð，GMN DMG Ð=ÐQ ，MGN MDG \D D ∽，\MG MN DM MG=，2MG MN MD \=×．10．在ABC D 中，BA BC =，(0180)ABC a a Ð=°<<°，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60a =°时，如图1，直接判断BP CQ 的大小；（2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90a =°，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ D 面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =Q ，60ABC a Ð==°，ABC \D 是等边三角形，60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°，Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，60APQ ACQ \Ð=Ð=°，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB \Ð=Ð=°，APQ \D 是等边三角形，AP AQ \=，60PAQ Ð=°，BAC PAQ \Ð=Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，()BAP CAQ SAS \D @D ，BP CQ \=，\1BP CQ=；（2）BP k CQ =，理由如下：如图2，连接AQ ，BA BC =Q ，ABC a Ð=，1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=，QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，APQ ACQ a \Ð=Ð=，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=，1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ，ABP ACQ \D D ∽，\AB BC BP k AC AC CQ===；（3）17AC AP =<=Q ，\点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，7CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，23CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；综上所述：PCQ D 面积为1052或3452．11．如图，在ABC D 中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF D @D ，将DEF D 与ABC D 重合在一起，ABC D 不动，DEF D 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM D D ∽；（2）当DE BC ^时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF D 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，AEF B \Ð=Ð，AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，CEM BAE \Ð=Ð，ABE ECM \D D ∽；（2）①当DE BC ^时，AB AC =Q ，BAE EAM \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，B DEF \Ð=Ð，ABE AEM \D D ∽，\AB AE AE AM=，90AME AEB Ð=Ð=°，5AB AC ==Q ，DE BC ^，6BC =，132BE EC BC \===，在Rt ABE D 中，4AE ===，\544AM=，165AM \=，169555CM AC AM \=-=-=；②在Rt AEM D 中，125EM ===，11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=，\重叠部分的面积为9625；（3）①当AE EM =时，ABE ECM D @D ，5CE AB ==Q ，651BE BC EC \=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA Ð=Ð，MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð，即CAB CEA Ð=Ð，C C Ð=ÐQ ，CAE CBA \D D ∽，\CE AC AC CB=，\2256AC CE CB ==，\2511666BE BC EC =-=-=；③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形；1BE \=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO Ð的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC Ð=°时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =．即点D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．\1OD BO ==．\tan DO ABO BOÐ==．60ABO \Ð=°．（2）过点A 作AE x ^轴，垂足为E ，如图所示．设点A 坐标为：(m ．且0m >．OE m \=，AE =//DO AE Q ．BDO BAE \D D ∽．\BO DOBE AE=．即：11m =+1m \=或2m =-（舍)．\A ．\4AB ==．即：4AB =．（3）过C 作60CFO Ð=°，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ^于H 点，如图所示．设(C a，0a >．\OH \4CF a ==．\2HF a =．\2OF a a=+．AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ，且AOF Ð是ABO D 一内角的外角．BAO COF \Ð=Ð．ABO OFC \D D ∽．\AB BOOF CF =即：4124a a a=+．\a=．Q．a>\a\C．^交BC 13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE∽．（不需要证明）于点F．易证：AED BFED D^交BC于点【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DEF．D D∽．（1）求证：AED BFE（2）若10AD=，E为AB的中点，求BF的长．AB=，6AB=．E为AB边上一点（点E不与【应用】如图③，在ABCACB=，4D中，90Ð=°，AC BC点A、B重合），连结CE，过点E作45D为等腰三角形时，BECEFÐ=°交BC于点F．当CEF的长为　【解答】【探究】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，90A B\Ð+Ð=°，ADE AED90^Q，DE EF\Ð=°，DEF90\Ð+Ð=°，BEF AED90\Ð=Ð，ADE BEFQ，又A BÐ=Ð\D D∽；AED BFEQ为AB的中点，（2）解：E\==，AE BE5∽，由（1）知AED BFED D\AD AEBE BF =，即655BF=，256BF \=；【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE Ð=Ð=°，90ECF Ð=°，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意，②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°，EFC ÐQ 为BEF D 的外角，EFC B BEF \Ð=Ð+Ð，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，45A B \Ð=Ð=°，67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°，ACF BEF \Ð=Ð，又A B Ð=ÐQ ，CE EF =，()AEC BFE AAS \D @D ，BE AC \=，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，4AB =，AC \==，BE \=；如果CF EF =，则45CEF ECF Ð=Ð=°，90CFE \Ð=°，在BEC D 中，45B BCE Ð=Ð=°，90BEC \Ð=°，CE AB \^，又AC BC =Q ，\点E 为AB 的中点，122BE AB \==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接FC ，观察并猜测tan FCN Ð的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN Ð的值．【解答】解：（1）tan 1FCN Ð=，理由是：如图1，作FH MN ^于H ，90AEF ABE Ð=Ð=°Q ，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90FEH AEB Ð+Ð=°，FEH BAE \Ð=Ð，在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EHF ABE AAS \D @D ，FH BE \=，EH AB BC ==，CH BE FH \==，90FHC Ð=°Q ，tan 1FHFCH CH\Ð==；（2）如图（2）作FH MN ^于H ．由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°，结合（1）易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð，又G Q 在射线CD 上，90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°，在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EFH AGD AAS \D @D ，BAE FEH Ð=ÐQ ，ABE FHE Ð=Ð，EFH AEB \D D ∽，EH AD BC n \===，CH BE \=，\EH FH FHAB BE CH==，\在Rt FEH D 中，tan FH EH nFCN CH AB mÐ===，\当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN mÐ=．15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ^，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x ……　；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；x¼2345678¼y¼22183m32182¼（3）结合图象，指出M 、N 在运动过程中，当CN 达到最大值时，BM 的值是 ；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，908B C AB CD \Ð=Ð=°==，90BAM AMB \Ð+Ð=°，AM MN ^Q ，90AMN \Ð=°，90AMB CMN \Ð+Ð=°，BAM CMN \Ð=Ð，ABM MCN \D D ∽，\AB MCBM CN=，\810x x y-=，21584y x x \=-+，10BC =Q ，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x \……，故答案为：010x ……；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-´+´=，故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+Q ，2215125(5)8488y x x x \=-+=--+，108a =-<Q ，\当5x =时，y 最大258=，\当CN 达到最大值时，BM 的值是5；Q2525284´=，\在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254，故答案为：5，254．16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ^，BD l ^，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA D D ∽．【尝试应用】（2）如图2，在ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD Ð=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED Ð=°，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90BCD ACE \Ð+Ð=°，AE CE ^Q ，90AEC \Ð=°，90ACE CAE \+Ð=°．BCD CAE \Ð=Ð．BD DE ^Q ，90BDC \Ð=°，BDC AEC \Ð=Ð．BDC CEA \D D ∽．（2）解：过点E 作EF BC ^于点F ．由（1）得EDF DACD D∽．\DE DF DA AC=．AD DE^Q，4tan5BADÐ=，20AC=，\4520DF =，16 DF\=．BE DE=Q，BF DF\=．232BD DF\==．（3）解：过点A作AM BC^于点M，过点D作DN BC^的延长线于点N．90AMB DNC\Ð=Ð=°．Q四边形ABCD是平行四边形，//AB CD\，AB CD=．B DCN\Ð=Ð．()ABM DCN AAS\D@D．BM CN\=，AM DN=．AB AE=Q，AM BC^，BM ME\=，Q43 BEEC=，设AM b=，4BE a=，3EC a=．2BM ME CN a\===，5EN a=．90AEDÐ=°Q，由（1）得AEM EDN D D ∽．\AM ENME DN =，\25b aa b=，\b =，Q CD =22(2)14a b \+=，1a \=，b =．\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°，由12180BAD Ð+Ð+Ð=°，2180D AED Ð+Ð+Ð=°，可得1D Ð=Ð；又因为90ACB AED Ð=Ð=°，可得ABC DAE D D ∽，进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC D 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B Ð=Ð．①求证：ABP PCD D D ∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD D 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE D D Q ∽，\BC ACAE DE =，\BC AEAC DE=，故答案为：AEDE；（2）①证明：AB AC=Q，B C\Ð=Ð，APC B BAPÐ=Ð+ÐQ，APC APD CPDÐ=Ð+Ð，APD BÐ=Ð，BAP CPD\Ð=Ð，B CÐ=ÐQ，ABP PCD\D D∽；②解：12BC=Q，点P为BC中点，6BP PC\==，ABP PCDD DQ∽，\AB BPPC CD=，即1066CD=，解得： 3.6CD=；（3）解：当PA PD=时，ABP PCDD@D，10PC AB\==，12102BP BC PC\=-=-=；当AP AD=时，ADP APDÐ=Ð，ADP B CÐ=Ð=ÐQ，ADP C\Ð=Ð，不合题意，AP AD\¹；当DA DP=时，DAP APD BÐ=Ð=Ð，C CÐ=ÐQ，BCA ACP\D D∽，\BC ACAC CP=，即121010CP=，解得：253CP=，25111233BP BC CP\=-=-=，综上所述：当APDD为等腰三角形时，BP的长为2或113．。

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）AA DEDECCBB（不平行）（平行）字型8字型、反8（二）ABA BJODCDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型A A D D BC C（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC相似三角形判定的变化模型8字型拓展旋转型：字型旋转得到。

由A AA EFG DE BC BC性享共一线三等角的变形一线三直角的2．E．求证：?1．如图，梯形中，∥，对角线、交于点O，∥交延长线于2．如图，在△中，10，16，点D是边上（不与B，C重合）一动点，∠∠α，交于点E．下列结论：22时，△≌当△；?；②3.6≤＜10；③①④△为直角三角形时，为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△中，点E在中线上，∠∠．2求证：（1）?；（2）∠∠．2．．求证：?D，∥，分别交、于E、F4．已知：如图，等腰△中，，⊥于25．如图，已知为△的角平分线，为的垂直平分线．求证：?．6．已知：如图，在△中，∠90°，2，4，P是斜边上的一个动点，⊥，交边于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线上一点，且∠∠A．设A、P两点的距离为x，△的面积为y．（1）求证：2；的函数解析式，并写出它的定义域；x关于y）求2（．（3）当△与△相似时，求△的面积．2．°，、分别是与边上的高，求证：△7．如图，在中，∠608．如图，已知△是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若2，6，求的长．°．求证：△中，，∠459．（已知：如图，在2．=2?）△∽△；（21（）10．如图，在等边△中，边长为6，D是边上的动点，∠60°．（1）求证：△∽△；时，求的长．3，1）当2（．，且保持∠∠．B重合）CQ分别在射线、上（点P不与点、点（1）在△中，5，8，点P、．11 ，求线段的长；，且6①若点P在线段上（如图）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；与x②若，，求y 度．当，且保持∠90C、点B重合）P5（如图），点、Q分别在直线、上（点P不与点（2）正方形的边长为时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．1．5，213．已知梯形中，∥，且＜，，求的长；P为上的一点，满足∠∠A（1）如图，Q．，同时交直线于点，且满足∠∠A，交直线于点EA（2）如果点P在边上移动（点P与点、D不重合）x的取值范围；关于x的函数关系式，并写出自变量，求①当点Q在线段的延长线上时，设，y （不必写解答过程）当1时，写出的长．②，射线交腰于点E，射线交腰于点M为顶点作∠∠B为边的中点，以，14．如图，在梯形中，∥，63．点M ，连接．F △；）求证：（1△∽△是以为腰的等腰三角形，求的长；）若（2 ）若⊥，求的长．3（．15．已知在梯形中，∥，＜，且6，4，点E是的中点．（1）如图，P为上的一点，且2．求证：△∽△；（2）如果点P在边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠∠C，交直线于点F，同时交直线于点M，那么①当点F在线段的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求的长．②16．如图所示，已知边长为3的等边△，点F在边上，1，点E是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边△，直线，交直线于点M，N，（1）写出图中与△相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1，试求△的面积．17．如图所示，已知矩形中，2，3，点P是上的一个动点（与A、D不重合），过点P作⊥交直线于点E，设，，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△的面积是△面积的4倍，求的长；落在上？证明你的结论．A沿翻折后，点△，使P）是否存在点3（．F．，点D是的中点，点．如图，在△中，∠90°，5E，是边上的动点，⊥交射线于点18 1）求和的长；（2）当∥时，求的长；（相似时，求的长．和3）连接，当△△（，⊥，与射线相交、C不重合）D°，，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点A19．如图，在△中，∠90 于点F．是边的中点，求证：；2（1）如图，如果点D ）如果：，求：的值；（2 ，：，1：2，设，（3）如果6 的函数关系式，并写出定义域；关于x①求y x的值；若不可能，请说明理由．②以为直径的圆与直线是否可相切？若可能，求出此时，D是边的中点，E为边上的一个动点，作∠90°，交射线于点F．设，°．如图，在20△中，∠90，6，△的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆相切，求线段的长；的面积．△相似，求△为顶点的三角形与F、E、B）如果以3（．，，∠∠90°，P是腰上一个动点（不含点B、C），作⊥交于点Q．．如图，在梯形中，∥，212，4（图1）（1）求的长与梯形的面积；（2）当时，求的长；（图2）（3）设，，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：2．，即?证明：∵∥，∴=，又∥，∴=，∴=解：①∵，∴∠∠C解2. ，答：2，?，∴C又∵∠∠B∴∠∠，∴△∽△，∴= ①正确，故，16，∵△∽△易证得②．2 10x，﹣1664=64﹣，∴设，=，∴=，整理得：y2即（y﹣8）=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵﹣10﹣x，∴3.6≤＜10．故②正确．③作⊥于G，∵10，∠∠α，α=，∵16，∴6，∵2，∴2，∴8，∴，∴△与△全等；故③正确；④当∠90°时，由①可知：△∽△，∴∠∠，∵∠90°，∴∠90°，即⊥，∵，∴，∴∠∠α且α=，10，8．当∠90°时，易△∽△，∵∠90°，∴∠90°，∵∠α且α=．10，∴，∴．故④正确．故答案为：①②④．中和△证明：解（1）在△3. 答：∵∠∠，∠∠，∴△∽△，2?．∴，∴2（2）∵是中线，∴，∴?，∴，又∠∠，∴△∽△，∴∠∠．解证明：连接，如右图所示，4.答：∵，⊥，∴是∠的角平分线，∴，∴∠∠，又∵∠∠，∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，又∵∥，∴∠∠，∴∠∠，：，又∠∠，∴△∽△，∴：22．即?，又，∴?证明：连接，5. 解∵是角平分线，∴∠∠，答：又为的垂直平分线，∴，∠∠，∴∠∠∠∠，B，∴∠∠22．?，即?，∴=∵∠∠，∴△∽△，即．解：（1）∵∠∠90°6. 解，∠∠A，答：∴△∽△，∴，．∴2．∵∠∠A，∠∠，∴△∽△．∴（2）由△∽△，得，24，，∴∴2 H，作⊥，垂足为点．∴．∵，∴，∵∥，∴2．，即﹣x2，（2x）?x﹣又∵定义域是0 ＜x＜．另解：由，△∽△，得∴2．∴，24．∴×∴S×x×，∴=2，即=，△2∴﹣x．定义域是0＜x＜．．（3）由△∽△，得=，∴?当△与△相似时，只有两种情形：∠∠90°或∠∠90°．（i）当∠90°时，=，∴=．解得．x××5+．×=∴﹣（）当∠90，．°时，同理可得证明：∵、分别是与边上的高，∴∠∠，解7.∴B、C、D、E四点共圆，∴∠∠，而∠∠A，答：∴△∽△，∴；，°30，∴∠°60∵⊥，且∠．2，∴．∽△．解：（1）有△∽△8. 解°．°，∠∠60∵△是等边三角形∴∠∠∠答：60°．∴∠∠60 °．∴∠∠，∠∠．°，∴∠∠60∵∠120 E，∴△∽△∽△．∵∠∠D，∠∠：．（2）∵△∽△，∴：2，∴?12∵，2，6．0，∴2∵＞中，1）在△解9. 证明：（答：∵，∴∠∠45°．．45∵∠∠∠，∠45°，∴∠∠°，45°而∠∠∠∠∴∠∠．∴△∽△．．∴??．△（2）由∽△，得222222而，，∴=2．∴=2?．10. 解（1）证明：∵△为等边三角形，∴∠∠60°，答：∵∠60°，∴∠∠∠∠120°，∴∠∠，∴△∽△；（2）解：由（1）知△∽△，∴=，=，解得．5∵6，1，∴﹣，∴11. 解解：（1）①∵∠∠∠∠，∠∠，∴∠∠．答：又∵，∴∠∠C．∴△∽△．∴．，∴6=2﹣8，6，8，5∵．，②若点P在线段上，由（1）知，，8﹣x∵，8，∴﹣．5，∴，即又∵，，（0＜x ＜8）．故所求的函数关系式为若点P在线段的延长线上，如图．∵∠∠∠，∠∠∠，∠∠，∴∠∠．又∵∠180°﹣∠，∠180°﹣∠，∠∠，．∴∠∠．∴△∽△．∴，，∵，8，5．（，即x≥8）∴在线段上，当点P（2）①，90°∵∠90°，∴∠∠，∴∠∠，90°∵∠∠：，90∵∠∠°，∴△∽△，∴：，或，﹣）：1，解得：即5：（5②当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上，同理可得：△∽△，∴：：，∴5：（﹣5）：1，解得：，③当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上，同理可得：△∽△，∴：：，∴5：（5）：1，解得：．13.解）∵是梯形，∥，．∴∠∠D 解：（1答：°180，∠∠∠180°，∠∠A ∵∠∠∠4．1 ∴∠∠，∴△∽△∴，即：解得：或（2）①由（1）可知：△∽△．）4＜x＜1（，∴，即：∴时∵△∽△，∴，或，（舍去）或．∵，解得：21）在梯形中，解证明：（14.，∵∥，，∴∠∠C答：∵∠∠∠∠∠，又∵∠∠B，∴∠∠，∴△∽△，∴，，又∵∠∠B，∴△∽△；∵，∴（2）解：若△是以为腰的等腰三角形，则有两种情况：①，那么根据△∽△，∴=，∴=，即根据第（1）问中已证△∽△，∴=，即，∴∠∠C，又∵∠∠C，∴∠∠B，∴∥延长和相交于点G，又点M是的中点，∴是△的中位线，∴，又∵∥，∴△∽△，∴，∴=1，即6，∴12，∴6②3，∴点E是的中点，又△∽△，∴1，即，∴是梯形的中位线，∴（）=（3+6）=；（3）∵⊥，∴∠90°，△∽△，∠∠∠45°，解一：过点E作⊥，则可得△等腰直角三角形，故，设，则，，，∴﹣2解二：过点M作⊥，3，．，由△．∽△有，即，得15. 解（1）证明：∵在梯形中，∥，，∴∠∠C．答：2，2，4，4．∴．∴△∽△．（2）解：①∵∠∠∠∴180﹣∠180﹣∠∠∠∠∠∴∠∠，∴△∽△，∴．∴．．）4＜x＜2（∴当在线段的延长线上时∵∠∠，∠∠∠，∴△∽△∵，∴．2，∴x﹣38=0，∵△＜0．∴此方程无实数根．；故当点F在线段的延长线上时，不存在点P使当点F在线段上时，同理△∽△，∵，∴．．∴．．∴∵△∽△，∴2∴x﹣98=0，解得x=1，x=8．由于x=8不合题意舍去．∴1，即1．212∴当时，的长为1．△；∽△∽△∽△（16. 解解：1）答：中，△与△（证明：2）在，12060°，∴∠∠°∵∠∠，∴∠∠，∴△∽△；°120，∴∠∠°60∵∠．N在线段上时，如图，在线段上，点M、3解：（）（i）当点E ：，∵△∽△，∴：，△；∴：：，同理可证﹣x），∴△∽即：x：2：（3：，∴，即：x：1=2）；∵，∴3，∴（1≤x≤3（）当点E在线段上，点G在△内时，如备用图一，同上可得：，，﹣y，∴﹣（0＜x∵﹣，∴3≤1）；，，（）当点E在线段的延长线上时，如备用图二，∵﹣，∴3﹣，∴（x＞3）；（0＜x≤1），或∴（综上所述：﹣x≥1）；（4）（i）当1时，△是边长为1等边三角形，∴S×1×=；（1分）△（）当1时，△是有一个角为30°的△，∵4，∴，﹣4×﹣1×=，=×．∴S×△解17. （1）解：∵⊥，∴可得：，∴，△∽△答：3＜；x，∴﹣，设，，又∵23，∴0，＜（2）解：当△的面积是△面积的4倍，，，∴1：2则：相似比为∵2，∴1，2，∴，2，∴．3）不存在．（F，连接作⊥，交于O，于，，∵⊥，⊥∴，=，∵△∽△∴= ，若223x﹣64=0 △=6﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．90°）在△中，∠18. 解解：（1答：；3，∴，4，4k，∴55，∴1∵，∴设3k ．E 作⊥，垂足为H（2）过点；4k，5k△∽△设3k，易得∵∥∴∠∠22 4k）9k+4=2（4﹣∵∠∠90°∴△∽△∴∴?，即24=0 化简，得﹣9k+8k；解得（负值舍去），∴（3）过点E作⊥，垂足为H．易得△∽△设3k，5k∵∠∠90°∠∠90°∴∠∠∵∠∠90°∴△∽△∴，和△相似时，有两种情况：△当°，∴，1即，∴解得，即，∴2°．解得，∴综合1°、2°．，当△和△相似时，的长为或19. 解（1）证明：如图2，连接．答：∵∠90°，，∴∠∠45°，∵点D是中点，∴∠∠45°，，∴∠∠45°．∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，∴△≌△（），∴；．P，Q，作⊥，⊥，垂足分别为点1）解：如图2（∵∠，∠9，∴△∽△∴∵∠9，9，∴9∵⊥，∴9，∴∠∠∵∠9，∴△∽△∴，∴）解如备用，作⊥，⊥，垂足分别为在△中，∠90°，6，∴，∵：1：2，∴，．由∠∠90°，∠∠45°，可得，，，，易证△∽△，∴，∴，∴8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取的中点O，作⊥于M．可得6﹣x，，．，若以为直径的圆与直线相切，则解得，时，以为直径的圆与直线相切．∴当解20. 10，，6，∴8，1解：（）∵在△中，∠90°，答：∴4．过点．则可求得．E作⊥于H．105＜4∴××（0x≤或＜x≤）（2）取的中点O，过点O作⊥于G，连接．，）x﹣10（﹣4，﹣）10（=×则．∴．22，∴（）=4若两圆外切，则可得，222]解得．）﹣x）（10=4[∴（8+10若两圆内切，得﹣，22222]）（10）∴（﹣）=4，∴（8﹣10=4[．解得﹣（舍去），所以两圆内切不存在．所以，线段的长为（3）由题意知∠≠90°，故可以分两种情况．①当∠为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△相似，又知∠∠，∠＜∠，所以∠∠．过点D作⊥于M，过E作⊥于H．根据等角的余角相等，可证得∠∠，∴．又﹣﹣x，，∴2．∴×2=．由（1）知：，∴②，当∠为钝角时，同理可求得x ﹣∴8或．．∴×8=．所以，△的面积是，则四边形为矩形；）作⊥，垂足为H解21. 解：（124，答：∴；，中，△（1分），∴在又5，；∴S梯形（2）连接，由，可知△≌△，4；作⊥交的延长线于点E，（1分）．4k，3k，令中，△在．22中则△222即4=（2+3k）+（4k），解得：；∴；（3）作⊥交于点F，由∠∠∠90°，可得：△∽△；∴，即，化简得：；又，；∴定义域为（0＜x＜5）．。

相似三角形的基本模型(一线三等角)讲课稿

相似三角形的基本模型(一线三等角)讲课稿

模型中的相似三角形（2）2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。

【巩固提高】提示：AB AC 6, BAC120 , , D 是BC 的中点••• BD CD3.3由 BDE sCFD• BE DB,CF27 DC CF41.如图1 , BC EDF BDE s CFD （一线三等角）如图2 , BCADE ABD s DCE （一线三直角）如图3，特别地， 当D 是BC中点时： BDE sDFE s CFDED 平分1. 已知 ABC 中 AB AC 6, BAC 120 ,，D 是BC 的中点， AB 边上有一点E, AC 延长线上有一点F ，使 EDF C.已知BE 4，贝U CF27 4【基本模型BAD 图3CBEF , FD 平分 EFC 。

BD C2.如图，等边ABC中，D是边BC上的一点，且BD:DC 1:3，把ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处•那么A M的值为AN提示：由翻折可得：AM DM , AN DN , MDNBDM s CND ,AM DM C BDM 4 1 5AN DN C CND 4 3 7提示：作NF AD于F，则FN AB 6 •/ MAE s EFN ,AE AMFN EF•/ AE 2AM••• EF訓3，EN3、5设：BD 1,DC 3,则BM DM 4,CN DN 43.在矩形ABCD 中，AB 6, AD 8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AEA2AM，那么EN的长等于 3 54.在矩形ABCD中，AD 15，点E在边DC上，联结AE , △ ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG AD，垂足为点G ,如果DG : AD 1:3，那么DE _3 .. 5 _.提示：作过点 F 作MN // BC，分别交AB、CD 于M、N 。

•/ AD 15, DG : AD 1 : 3• AG MF 10, DG NF 5设DE X ,由翻折可得：AF AD 15, DE EF X••• AMF s FNEAF MF AM 15 10 AM-,即EF EN FN x EN 5EN2x, AM75 75， (X)x, x 3 \ 53 X X 3DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30得到线段DF , 要使点F恰好落在BC上，则AE的长是___________ 3 4 3 _______A EB A' E B提示：构造“一线三等角”A FDE G 30• △ ADE GFDf-• FG AD 6, CF 2 3 , CG1—4.3••• AE DC CG 3 4、35.已知△ ABC , AC BC , C 120 ,边长AC 9，点D在AC上，且AD 6 ,点E是AB上一动点，联结6. 如图，已知AM // BN , A B 90 , AB 4，点D 是射线 AM 上的一个动 点(点D 与点A 不重合)，点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合)， 联结DE ，过点E 作DE 的垂线，交射线 BN 于点C ，联结DC •设AE x ,BC y •(1 )当AD 1时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；(2)在(1)的条件下，取线段 DC 的中点F ，联结EF ，若EF 2.5，求AE 的长；(3)如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件 AD DE AB ，那么请探究：△ BCE 的周长是否随着动点 D 、E 的运动而发生变化？请说明理由.解:⑴••• A B DEC 90 •••△ ADE ^△BEC.AD AE_ BE BC2二 y 4x x (0 x 4)(2)过D 作DH BC ，垂足为H•/ F 是线段DC 的中点， DEC 90 , AD 1 • DH 4, CD 5, HC 3 , BC 4• 4x x 24 , AE x 22 2 2又 DE AD x又厶ADE BEC•C △ BCE 4 X** 24 x 16 x 8(3)v AD DE AB 4AD16 x 2 8 C△BCEBE C △ADEADC△BCE 87.如图，已知 ABC中， C 90 ,AC BC 2,0是AB 的中点，将45角的顶点置于点0 ,并绕点0旋转，使角的两边分别交边 AC 、BC 于点D 、E ,连接DE .解：(1 )••• C 90 ,ACBC 2 • AB 2._2, A B 45•/ DOE 45• BOE 135 AODADO• AOD s BEO• ADOD BOEO•/ OA OB 2 ADOD AD AO，即AOOEOD OEA DOE 45 AOD s OED(2) 作 OF AC 于 F , OH DE 于 H ,OG BC 于 G•/ A45 ,OA 、2,OF AC••• AF 1 同理：BG 1 AOD s BEO• ADBOOA BE•/ ADx , OA OB 、2• BE2 xAOD s OED⑴求证 AOD s 0ED ;(2)设AD x ，试用关于x 的式子表示DE 。

专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略(解析版)

专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略(解析版)

专题06全等三角形之一线三等角模型全攻略目录【知识点归纳】 (1)【例题精讲】 (2)【课后练习】 (13)【知识点归纳】“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。

基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠，CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE⇒ ≌异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠，任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE ⇒ ≌【例题精讲】例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，且∠DBA ＋∠BAD ＝180°−α，可得∠DBA ＝∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）①∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD 、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GN GHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）∴EI=GI∴I 是EG 的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．例2．（异侧一线三直角）如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．OA OB ⊥，OC OD ⊥90AOB COD ∴∠=∠=︒，AOB AOC AOC ∠+∠=∠ AOD BOC ∴∠=∠，又 OA OB =，OC OD =AOD BOC ∴ ≌()SAS ，（3）如图，过点,C D ，分别作90CFO OGD ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒ ，90COF GOD ∴∠=︒-∠=∠又CO DO = ，()AAS CFO OGD ∴ ≌，FO GD ∴=，AOC 的面积为1S ，BOD 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ，求证：ABD CAF V V ≌；（2）如图2，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E 、F 都在MAN ∠内部的射线AD 上，已知AB AC =，且12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌；（3）如图3，已知ABC 的面积为15，且AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ACF △与BDE △的面积之和是6，求:CD BC 的值．∵12∠=∠，∴AFC BEA ∠=∠，∵34BAC ∠+∠=∠，1∠∴4ABE ∠=∠，∵AB AC =，∴()AAS ABE CAF △≌△∵12BAC ∠=∠=∠，∴3ACF ∠=∠，BEA ∠∵AB AC =，∴(AAS ABE CAF △≌△∴ABE CAF S S = ，∵ACF △与BDE △的面积之和是∴ABD ABE BDE S S S =+ △△∵ACD 与ABC 等高，∴底边之比3：5，∴:3:5CD BC =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等的判定方法，是解题的关键．例4．（坐标系中的K 字模型）A B y 轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为5，求点B 的坐标；（2）如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求CD AM的值；（3）如图③，若点A 的坐标为()4,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限中作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE ，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变求PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．例．（）已知等腰ABE 和，连接，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC ∠=；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC ∠=∠=︒==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ⊥交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC 的面积．如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD ∠=∠=︒==∴BAD EAC ∠=∠，（2）作BM AF ⊥于M ，CN AF ⊥于N ，∵AF D E ⊥，∴90BMA AFE ∠=∠=︒，∵90,BAE AB AE ∠=︒=，∴90BAM FAE ∠+∠=︒，E FAE ∠+∠=∴BAF E ∠=∠，∴BAM AEF ≌，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【课后练习】1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE △≌△．进而得到AC =___________，BC =___________．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,6，点B 为平面内任一点．若AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【答案】(1)DE ；AE(2)①证明见解析；②()4,2或()2,4-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM △≌△，ACF EAN △≌△，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG △≌△，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，过点B '作B H x '⊥轴于点H ，B H '交DE 于点G ，利用（1）的结论即可解答．【详解】（1）解：∵12290D ∠+∠=∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABC 和DAE 中，1D ACB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DAE △≌△，∴AC DE =，BC AE =．故答案为：DE ；AE ．（2）①证明：如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，90BAD ∠=︒，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，12190B ∠+∠=∠+∠=︒∴2B ∠=∠，在ABF △和DAM △中，2BFA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAM △≌△，∴AF DM =，∵BC AF ⊥，90CAE ∠=︒，∴90CFA ANE ∠=∠=︒，90FAC NAE FAC C ∠+∠=∠+∠=︒∴C NAE =∠∠，在ACF △和EAN 中，CFA ANE C NAE AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．【答案】(1)9(2)=-PE CP AE ；理由见解析(3)10【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）由ABM BCN ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到2AM BN ==，7BM CN ==，即可得到MN ；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到ABE BCP ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到AE BP =，BE CP =，由BE BP PE =+中，即可得到三者的数量关系；（3）延长FE ，过点C 作CP FE ⊥于P ，由两个三角形全等的判定定理得到ABE BCP ≌△△，从而1PC BE ==，5PB AE ==，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥于F ，由平行线间的平行线段相等可得4CF PE ==，代入面积公式得ACE S ，即可得到答案．【详解】（1）解：ABM BCN ≌，2AM =，7CN =，2AM BN ∴==，7BM CN ==，9MN BM BN ∴=+=；故答案为：9．（2）解：=-PE CP AE理由：90ABC ∠=︒ ，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，CP BE ⊥ ，90CPB ∴∠=︒，90BCP CBP ∴∠+∠=︒ABE BCP ∴∠=∠，90AEB ∠=︒ ，90AEB CPB ∴∠=∠=︒，AB BC = ，ABE BCP ∴V V ≌，AE BP ∴=，BE CP=BE BP PE =+ ，PE BE BP PC AE ∴=-=-；90ABE EBC ∠+∠=︒ ，ABE ∠EBC BAE ∴∠=∠，90AEB CPB ∠=∠=︒Q ，AB ABE BCP ∴V V ≌，1PC BE ∴==，5PB AE ==514PE PB BE ∴=-=-=，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥AF PE ⊥Q ，CP PE ⊥，AF CP ∴∥，AF PE ⊥Q ，CF AF ⊥，PE CF ∴∥，由平行线间的平行线段相等可得115422ACE S AE CF =⨯⨯=⨯⨯V 故答案为：10．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，ACF ECG ECG ∴∠+∠=∠+∠ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．4．综合与实践：在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 在直线l 上，点A 、B 在直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D ．(1)问题情境：如图1，在直线l 上取点E ，使BE l ⊥．则BE 与CD 的数量关系是_________________，此时AD BE DE 、、之间的数量关系是_________________．(2)探究证明：如图2，在直线l 上取点F ，使BF BC =，猜想CF 与AD 的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在直线l 上任取一点P ，连接BP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形BPM ，作MN l ⊥于点N ，请直接写出在图3、图4中MN AD CP 、、之间的数量关系．【答案】(1),BE CD AD BE DE =+=；(2)2CF AD =，理由见解析(3),MN AD CP MN AD CP+=-=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．（1）根据AAS 证明ACD CBE ≌，得BE CD =，CE AD =，进而可证AD BE DE +=；（2）过点B 作BH l ⊥于点H ，根据AAS 证明DAC HCB ≌，得AD CH =，由三线合一得2CF CH =，进而可得；2CF AD=（3）如图3，作BH l ⊥于点H ，作PF l ⊥，作BF PF ⊥于点F ，作ME PF ⊥于点E ，可证四边形MEPN 和四边形PFBH 都是矩形，从而BF BH =，MN PE =．结合ACD CBH △≌△，可证MN AD CP +=；如图4，作BH l ⊥于点H ，由ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，得MN PH =，AD CH =，进而可证MN AD CP -=．【详解】（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90CAD ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠．∵AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌，∴BE CD =，CE AD =，∵CE CD DE +=，∴AD BE DE +=．故答案为：BE CD =，AD BE DE +=；（2）2CF AD=理由如下：过点B 作BH l ⊥于点H ，如图，则90BHC ∠=︒，∴四边形MEPN 和四边形PFBH 都是长方形，∴BF BH =，MN PE =．由（1）知，ACD CBH △≌△， ∴AD CH PE BF ==，，∴PH MN =，∵CH PH CP +=，∴MN AD CP +=；由（1）知，ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，∴MN PH AD CH ==，，∵PH CH CP -=，∴MN AD CP -=．5．如图1所示，已知AB 为直线a 上两点，点C 为直线a 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作△ACD 和△BCE ，且90DAC CBE ∠=∠=︒，AD AC =，BC BE =，过点D 作1DD a ⊥于点1D ，过点E 作1EE a ⊥于点1E ．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．他的方法是：作直线CH AB ⊥于点H ，可以先证明1ADD CAH ≌△△和1BEE ≌△________，于是可得：________和________，所以得到线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，试探究三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，小华同学测得线段11D E m =，AB n =，请用含有m 、n 的代数式表示△ABC 的面积为________．三角形面积公式求出答案.【详解】解：（1）∵1DD a ⊥，CH AB ⊥，∴∠1DD A =∠CHA=90DAC ∠=︒，∴∠1D DA+∠1D AD=90°，∠1D AD+∠CAH=90°，∴∠1D DA=∠CAH ，∵AD=AC ，∴△1D DA ≌△HAC ，同理1BEE ≌△△CBH ，∴D 1D =AH ，1EE =BH ，∴11AB DD EE =+故答案为：△CBH ，1DD AH =，1EE BH =，11AB DD EE =+；（2）11AB DD EE =-．理由：如图，过点C 作CG a ⊥于点G ，∵1DD a ⊥，CG a ⊥，1EE a ⊥，∴1DD A AGC ∠=∠，1CGB BE E ∠=∠，∴1190DAD ADD ︒∠+∠=，90∠+∠=︒CBG BCG ，∵90DAC CBE ∠=∠=︒，∴190DAD CAG ︒∠+∠=，190CBG E BE ︒∠+∠=，∴1ADD CAG ∠=∠，1BCG EBE ∠=∠，在1ADD 和CAG 中，11,,,ADD CAG DD A AGC AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴1ADD ≌CAG ，∴1DD AG =，同理可得：1BCG EBE ≅△△，∴1BG EE =，由图可得：AB AG BG =-，∴11AB DD EE =-；侧作AE AD ⊥，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EF AC ⊥于F ，求证：ACD EFA △≌△；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线AC 于点M ．试探究BM 与EM 的数量关系，并说明理由．(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于点M ，若4AC CM =，求ADB AEMS S △△的值．=90DAE ∠︒，F ACD MCB ∴∠=∠=∠，90FAE CDA ∠=∠=在FAE 和CDA 中，F ACD FAE CDA AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FAE CDA ∴ ≌，EF AC BC ∴==，MCB F ∠=∠⎧90FAE D DAC ∴∠=∠=︒-∠，在AFE △和DCA △中，F ACD FAE D AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFE DCA ∴ ≌，AF DC ∴=，EF AC BC ==，AF AC DC BC ∴-=-，CF DB ∴=，18090BCM ACB ∠=︒-∠=︒ ，4AC n ∴=，3AM n ∴=，11222ADB S DB AC n AC n AC ∴=⋅=⨯⋅=⋅ ，12AEM S AM EF =⋅ ∴2332ADB AEM S n AC S n AC ⋅==⋅ ，综上所述，ADB AEM S S △△的值为25或23．。

一线三等角模型讲课稿

一线三等角模型讲课稿
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
中点型“一线三等角”模型
中点型：
至少有三
对相似三
β
角形
2024/2/25
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式；
方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 45
32
26 1
5
3 45
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3
3 x3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2024/2/25
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2024/2/25
谢谢大家聆听！！！
18
3 3
样？
改t为an BAO
1 2
，解法是否一
2024/2/25

完整版相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

完整版相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（六）双垂型: A（平行）（不平行）△B（平行） （三）母子型（蝴蝶型）相似三角形判定的变化模型一线三直角的2AB=AC ADL BC 于 D, CG// AB BG 分别交 AD AC 于 E 、F .求证：BE=EF? EG2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 BC=16点D 是边BC 上（不与 B, C 重合）一动点，/ ADE=Z B=a, DE 交 AC 于点E .下列结论：①AD 2=AE? A B ② 3.6 W AE V 10;③当 AD=2 i 时，△ ABD^A DCE ④厶DCE 为直角三角形时， BD 为8或12.5 . 其中正确的结论是 _____________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3.已知：如图，△ ABC 中，点 E 在中线 AD 上，/ DEB=/ ABC 求证：(1) DB=DE? D A(2 )Z DCE=/ DACAD// BC,对角线 AG BD 交于点O, BE// CD 交CA 延长线于 E.求证:OC=OA?OE6.已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=2 AC=4 P 是斜边 AB 上的一个动点， PD 丄AB 交边 AC 于点 D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD=/ A.设A P 两点的距离为 x ,A BEP 的面积为 (1)求证：AE=2PE(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域;8.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D B C E 在同一条直线上，且/ DAE=120 (1) 图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9.(已知：如图，在 Rt △ ABC 中，AB=AC / DAE=45 .求证:BC=2DE10.如图，在等边厶 ABC 中，边长为 6, D 是BC 边上的动点，/ EDF=60 (1) 求证：△ BD 0A CFD②若BP=x CQ=y 求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 正方形ABCD 勺边长为5 (如图)，点P 、Q 分别在直线CB DC 上 (点P 不与点C 点B 重合)，且保持 / APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP 的长(不需要计算过程，请直接写出结果)13 .已知梯形 ABCD 中, AD// BC,且 AD< BC, AD=5, AB=DC=2 (1) 如图，P 为AD 上的一点，满足/ BPC=ZA ,求AP 的长；(2) 如果点P 在AD 边上移动(点 P 与点A D 不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE 交直线BC 于点E ,同时交直 线DC 于点Q.①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设 AP=x CQ=y 求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；求BE 的长.11. (1)在厶ABC 中，AB=AC=5 BC=8点P 、Q 分别在射线 CB AC 上(点P 不与点 C 点B 重合)，且保持 / APQ 2 ABC14.如图，在梯形ABCD中, AD// BC, AB=CD=BC=,6 AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作/ EMF M B, 射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：△ ME®A BEM(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD求BE的长.15 .已知在梯形ABCD中, AD// BC AD< BC 且BC=6 AB=DC=4 点E 是AB 的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：△ BEP^A CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x, DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；16.如图所示，已知边长为3的等边△ ABC点F在边BC上, CF=1,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边厶EFG直线EG FG交直线AC于点M, N,(1)写出图中与△ BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=x , MN=y求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)若AE=1，试求△ GMN勺面积.丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x AE=y,(1)写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果△ PCD 的面积是△ AEP 面积的4倍，求CE 的长;(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.18. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AB=5,工匸-=，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点, 交射线AC 于点F .(1 )求AC 和BC 的长；(2) 当 EF// BC 时，求 BE 的长；(3) 连接EF ,当厶DEF 和△ ABC 相似时，求 BE 的长.(备用图)19. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=BC D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 重合)，DF 丄DE DF 与射线BC 相交于点F .(1) 如图2,如果点 D 是边AB 的中点，求证：DE=DF (2) 如果 AD: DB=m 求DE DF 的值；17.如图所示，已知矩形 ABCD 中, CD=2 AD=3,点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点 P 作PEDF 丄DEA 、C 不(3)如果AC=BC=6 AD DB=1: 2,设AE=x BF=y,①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果以线段BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切，求线段 BE 的长;421. 如图，在梯形 ABCD 中, AB// CD AB=2 AD=4, tanC=^，/ ADC M DAB=90 , P 是腰 BC 上一个动点(不J含点B C ),作PQLAP 交CD 于点Q.(图1) (1 )求BC 的长与梯形 ABCD 勺面积；(2)当PQ=DQ 寸，求BP 的长；(图2)20. 如图，在厶ABC 中，/ C=90° EF 交射线BC 于点F .设BE=x , (1 )求y 关于x 的函数关系式, ,AC=6 •斗_彳,D 是BC 边的中点, △ BED 的面积为y .并写出自变量 x 的取值范围； E 为AB 边上的一个动点, 作/ DEF=90 ,②以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时 x 的值；若不可能，请说明理由.BED 相似，求△ BED 的面积.(2)••• AD 是中线,• CD=BD • C D=AD? DE,又/ ADC N CDE DEC^A DCA :丄 DCE N DAC证明：连接CE 如右图所示，•/ AB=AC AD L BC, • AD 是/ BAC 的角平分线，• BE=CE •••/ EBC=z ECB 又•••/ ABC=Z ACBABC- / EBC 2 ACB-Z ECB1. 解 答：2. 解 答： 证明：••• AD// BC4，又 BE// CD •••丄』，二二丄，即 OC=OA? OEOC OBOB OE OC OE解：①••• AB=ACB=Z C ,又•••/ ADE=Z B.••/ ADE N C ,「.A ADE^A ACD •••4 仝，.•• AE J =AE ? AB,AE AD故①正确，②易证得厶 CDE^A BAD T BC=16 设 BD=y, CE=x •••魁=—,•1° 工，整理得: CD CE 16-y x2即(y - 8) =64 - 10x , • O v x < 6.4 ,•/ AE=AC- CE=10- x , • 3.6 < AE< 10.故②正确. 2y - 16y+64=64 - 10x ,3.解 答： ③作AGL BC 于G •/ AB=AC=10 / ADE 玄 B=a ,COS a_4•/ BC=1Q • AG=6 •/ AD=2 I ，• DG=2 • CD=8 • AB=CD •△ ABD-与^ DCE 全等；故③正确; ④当/ AED=90 时，由①可知：△ ADE^A ACD •/ ADC=Z AED •••/ AED=90 , ADC=90 , 即 AD L BC, •/ AB=AC • BD=CD ADE 玄 B=a 且 COS a = , AB=10, BD=8/ B=a 且 COS a J. AB=10, ••• cosB=二 •• BD 」.故④正确5 BD 5 2当/ CDE=90 时，易厶 CDE^A BAD •••/ CDE=90 , BAD=90 ,故答案为：①②④.B U G C证明：（1）在厶BDE 和A DAB 中•••/ DEB=/ ABC / BDE=/ ADB BDE^A ADBD£__BD • BE J =AD ? DE4.解 答：.CD 二 AD'DE _CD实用文档即/ ABEK ACE又••• CGI AB,：/ ABEh CGF :丄 CGF 2 FCE 又/ FEC=/ CEGCEF^A GEC 二 CE EF=EG CE 即 C^=EF? EG 又 CE=BE ••• BU=EF? EG又 EF 为 AD 的垂直平分线,• AF=FD / DAF=/ ADF, DAC / CAF=/ B+/ BAD•••/ CAF=/ B ,•// AFC 玄 AFC •△ ACF^A BAF,即丄仝,• AF "=CF? BF ,即 F[J=CF? BF.AF B?ripr r>ri i •// EPD=/ A, /PED=/ AER EPD^A EAR •定义域是 0< x v 一-—5得 「二_二= 21寸PEAP 2 (2)由厶 EPD^A EAR6.解 答：PD BC 1AP AC 2• PE=2DE • AE=2PE=4DE 作EHL AB,垂足为点H,•/ AP=x •- PD 二x , •/ PD// HE2又AB=2 ■ , y =—•-上J 亠- 'PD AD 3.(2 _ "；- x)? —x ,即 y=-3^ • HE ：x .3X 2+二' 3x .另解：由厶EPD^A EAR 得DE PD 1 PE• PE=2DE • AE=2PE=4DE • AE --S AAB =—X y x ——X X 2=1 x , • ABx .定义域是 0< x < —'.厂丄• PE 二x? • HE AC ，当厶BEP-与^ ABC 相似时，只有两种情形：/(3)由厶 PEH ^A BAC 得x .32BEP=/ C=90° 或/ EBP=/ C=90°.• △ ADP ^A ABC • A=/ A ,X2 x,2SAABE 2 1…y= - — x2 37.解 答：8.解 答：证明：••• BD CE 分别是AC 与AB 边上的高，•/ BEC 2 BDC• B 、C D E 四点共圆，•/ AED=/ ACB 而/ A=Z A, • △ AED^A ACB •- -丄； BC AR•/ BD 丄AC,且/ A=60°,A Z ABD=30 , AD=迅，• BC=2DE•/△ ABC 是等边三角形•/ ABC=/ ACB 玄 BAC=60 . •/ D+Z DAB=60 , •••/ DAE=120，•/ DAB+Z EAC=60 . •/ D=Z CAE / E=Z DAB •••/ D=Z D,Z E=Z E ,「.A DAE^A DBA^A ACE(2)•••△ DBA^A ACE •- DB: AC=AB CE•/ AB=AC=BC DB=2 CE=6i BC ?=DB? CE=12 •/ BO0, • BC=2,/ £.Z E+Z CAE=60 .9.解证明：(1)在Rt △ ABC 中， 答： •/ AB=AC •/ B=Z C=45.•••/ BAE=/ BAD+Z DAE Z DAE=45，•/ BAE=/ BAD+45 . 而/ ADC Z BAD+Z B=Z BAD+45 , • Z BAE=/ CDA • △ ABE^A DCA(2)由厶 ABE^^ DCA 得翌• BE? CD=AB AC.AB CD2 2 2 2 2 2而 AB=AC BC=AB+AC ,「. BC=2AB . • BC=2BE? CD10.解(1)证明：•••△ ABC 为等边三角形，•/ B=Z C=60°, 答： vZ EDF=60，•/ BED+Z EDB 玄 EDB+Z FDC=120 ,• Z BED Z FDC •△ BD 0A CFD(2)解：由(1 )知厶 BDE^A CFDBE =BD CD =CF(i )当/ BEP=90时，旦县，•••罗》=丄.解得x 型迈.PB 起药厂V5 4• y=-二x X_X 5+''X …亠.31&3 4 16(ii )当/ EBP=90时，同理可得 x=邑匹,y=J .24•/ BC=6 BD=1,「. CD=B G BD=5, •••翌=丄，解得 BE 壬.5 3 3解解：(1)①•••/ APQ+Z CPQ 2 B+Z BAP, / APQ 2 ABC BAP=Z CQP又••• AB=AC •••/ B=Z C.• △ CPQ^A BAP若点P 在线段CB 的延长线上，如图.•••/ APQ M APB 亡 CPQ/ ABC 玄 APB+Z PAB /APQ M ABC •••/ CPQ MPAB又 T Z ABP=180 -Z ABC Z PCQ=180 -Z ACB Z ABC Z ACB • Z ABP=/ PCQ11. 答:BP AB•/ AB=AC=5 BC=8 BP=6 CP=8- 6=2 , • CQ CP•/ BP=x, BC=8,「. CP=BC- BP=8- x , ，即丁 _ 7 y5②若点P 在线段CB 上，由（1 ）知又••• CQ=y AB=5 •工E _ 1X 5故所求的函数关系式为CQ 2» 12 6 3CQ 飞CQ PC ■/ BP=x CP=BC+BP=8+, AB=5, CQ=y实用文档QCP^ PBA 里/:.实用文档圉①(2)①当点P 在线段BC 上,•••/ APQ=90，•/ APB+Z QPC=90 , •••/ PAB 亡 APB=90，•/ PAB=/ QPC•••/ B=/ C=90°.・.A ABP^A PCQ • AB: PC=BP CQ-J ： 或. | -②当点P 在线段BC 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ即 5: ( 5 - BP ) =BP 1,解得:2DC 的延长线上,••• 5: (BP- 5) =BP: 1，解得: BP=— ③当点P 在线段CB 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ • 5: (BP+5) =BP 1,解得：E _ . DC 的延长线上, A=Z D 13.解 解：(1)v ABCD 是梯形，AD// BC AB=DC 「./ •••/ ABP+/ APB+/ A=180°,Z APB-/ DPC / BPC=180 , / BPC 玄 A 解得：AP=1 或 AP=4.答: •••/ ABPK DPC ABN A DPC. AP 民即. AP 2 CD FD 2 ~5-AP 14. 答: (2)①由(1) •；」即:DQ~PD②当CE=1时，富二22fy~ 5-i•/△ PDQ^A ECQ • CE_CQPD~DQ ，:,解得：AP=2或(舍去).G怙 ■ 4. 『-t * -i;\Fi/i解证明：(1)在梯形ABCD 中,•/ AD// BC, AB=CD 「・/ B=/ C ,•••/ BMF / EMB / EMF / C+/ MFC又•••/ EMF=/ B, •/ EMB / MFC •△ EMB^A MFC •- _L "一EM ~MF ' •/ MC=M , • 一 UL關—和，又丄即匕B’iEi B EM(2)解：若△ BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，则有两种情况:① BM=ME 那么根据厶 ME &A BEM .•.二1="- ,•. £=也，即 EF=MFHE 01 ME EF根据第(1)问中已证厶BM 0A MFC ■ ■, 即 MF=FC •••/ FMC 2 C,HE FC又•••/ B=Z C,.Z FMC M B ,. MF// AB延长BA 和CD 相交于点 G 又点M 是BC 的中点， • MF >^ GBC 的中位线，• MF=GB2!又••• AD// BC,GAD^A GBC • 塑=型=丄4 ,•.塑=1, 即 AG=AB=6GB BC 6 2 AG• GB=12 • MF=EF=6② BM=BE=3 .•点E 是AB 的中点,又厶 MEF^A BEM.•.型=世=1,即MF=ME • EF 是梯形 ABCD 勺中位线，• EF 丄(AD+BC — ( 3+6)戈;Bg ME 2 2 2(3 )T EF ± CD• / BEP=/ FPC •△ BEP^A CPF , • ^^^-4 (2< x v 4)•②当点F 在线段CD 的延长线上时，•••/ FDM Z C=Z B, / BEP=/ FPCK FMD •△ BEP^A DMF DF 3 y.T , • x - 3x+8=0 , △< 0.•此方程无实数根..•尸gF - 3K +4 .2 ____________、,15. 答:• / EFC=90 , △ MEF^A BEM / MFE / MFC / BME=45 ,解一：过点E 作EH! BC,则可得△ EHM 等腰直角三角形， EH=MH 」 故 EH=MH 设 BE=x 贝U BH 丄•-, 4解二：过点M 作MN L DC MC=3由厶 MEF^A MFCt • T ,即 P 旳TCI 5 4NIC 』.M43弓&亏"解 (1)证明：•••在梯形 ABCD 中 , AD// BC, AB=DC=FN FC= i i ： - - 2BE —— 丨.• / B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 •••里=!!?.•••△ BEP^A CPDCP CD(2)解：①•••/ B=Z C=Z EPF• 180 —/ B=180-Z EPF=/ BEP+Z BPE=Z BPE+Z CPFHE 閏.•crP 2 si 6-iSZ1DJIF^43ABEP, … DF BP"3 y 八. △ BEP^A CPF , • EB BPl • 1 2 xCP '"cr£ - 工 4 _ y.、/9•当 £ADMF ^^ABEP，得 2故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点 P 使SADMF =-|SABEP ； 当点F 在线段 CD 上时，同理△ BEP^A DMF• x - 9x+8=0 ,解得X1=1 , X2=8.由于X2=8 不合题意舍去.• x=1 ,即BP=1. 时，BP的长为1.实用文档16.解解：（BE&A AM 0A CFW A GMN 答：证明：（2）在厶BEF 与厶AME 中,•••/ B=Z A=60°,「./ AEM 社 AME=120 ,•/△ BEF^A AME •- BE: AM=BF AE ,同理可证厶 BEF ^A CFN • BE: CF=BF CN即：x ： 1=2： CN •- CN 丄,即: x ： AM=2 （3- x ） , • AM=•••/ GEF=60 ,•••/ AEM # BEF=120BEF=Z AME :, △ BEF ^A AME备用图一备甲图二解：(3) (i )当点E 在线段AB 上，点M N 在线段AC 上时，如图,实用文档(ii )当点E 在线段AB 上，点6在厶ABC 内时，如备用图一，同上可得：AM= 丁 i ；, C N L ,2x•/ AC=AM+CN MN ••• 3= _ /+%+上—yy=— J %*民 一 4 ( o v x < 1 )；2 x2x(iii )当点E 在线段BA 的延长线上时，如备用图二，AM= -------- 二,CN=,2 £ •/ AC=MN+C Z AM • 3=y+Z - ' _ 刃，• y=J 一 彳&张—° ( x > 3);± 2 2x综上所述：y= -£-娄细竺( o v x < 1),或y=^-3,十6豪 -4( x > 1)； 2x 2x(4) (i )当AE=1时，△ GMN 是边长为1等边三角形，S MM =_X 1 X 二=丄；(1 分)::(ii )当 AE=1 时，△ GMN1 有一个角为 30° 的 Rt △, ••• x=4,. y= 「一，一丄,NG=FG FN=4X ；- 1 X ・；=；, 2X4 2 222• s =1X22 2 g17. 答: 解(1)解：T PEI CP,.可得：△ y 3 _ Xx" 2(2)解：当△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍, 则：相似比为2： 1 , •又••• CD=2 AD=3 设 PD=x, AE=y,.・.AF PAEAP^^ PDC ••亠-PD CD• y = — 1 2 卫 ，…y = - r ,0v x v 3;................... .AE AP_1'PD"CD"2，_•/ CD=2 • AP=1, PD=2 • PE= - , PC=2 :■: , • EC= 111. (3 )不存在.作AF 丄PE,交PE 于O, BC 于 F ,连接EFT AF 丄 PE, CP 丄 PE/. AF=CP= , •, PE=：：,-.',(3-7~2 •/△ CDP^A POA=£2 23x —6x+4=0,OA=PA PC (3- x)x =l 2△ =6 — 4 X 4 X 3= — 12 x 无解因此，不存在.实用文档y—， •••设 AC=3k, BC=4k, /• AB=5k=5,「. k=1,「. AC=3 BC=4 BC 4| (2)过点E 作EH! BC,垂足为 H.易得△ EHB^A ACB 设 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k ; •/ EF// BC ••/ EFD=/ FDC•••/ FDE 玄 C=90°A ^ EFD^^ FDC ・ —F D=EF? CD,即 9k 2+4=2 (4 -4k )化简，得 9k 2+8k - 4=0（负值舍去），•••二_■丨 ';19.解(1)证明：如图2,连接DC答： •••/ ACB=90 , AC=BC A=Z B=45° ,•••点 D 是 AB 中点，BCD 2 ACD=45 , CD=BD ACD=/ B=45°•/ ED ! DF , CD!AB,•••/ EDC 丄 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 , EDC M FDB•••△ CED^A BFD (ASA ) , • DE=DF(2) 解：如图1,作DP ! AC, DQL BC,垂足分别为点 Q, P.•••/ B=Z A , / APD=/ BQD=90 , ADP^A BDQ• DP DQ=AD DB=m•••/ CPD / CQD=90 , / C=90°, •/ QDP=90 , •/ DF 丄 DE, •/ EDF=90 , •/ QDF / PDE•••/ DQF / DPE=90 , DQF^A DPE• DE DF=DP DQ • DE DF=DP DQ=AD DB=m(3) 解：①如备用图1,作EGL AB, FH! AB,垂足分别为点 G H. 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=BC=6 •- AB= ■:,18. 答: E 作EH! BC,垂足为H.易得△ BE=5k(3)过点 设 EH=3k, •••/ HED 丄 HDE=90 / FDC+ZHDE=90EHB^A ACB•••/ EHD 2 C=90°•••△ EHD^A DCF•••/ HED=/FDC • I 方五，当厶DEF 和△ ABC 相似时，有两种情况:1°CD~4,即.解得••-丄,24 K 厲 DE BC 4 综合1°、2 ° , 2° 2，•呼5匸卫 • 即亠CD -3 2 "3 当厶DEF 和△ ABCt 目似时，BE 的长为上或丄 2 g 解得w ，—丄.FD _CD解 解：（1）在 Rt △ ABC 中，/C=90°实用文档20. 答:•/ AD DB=1: 2,：. AD三•：, DB= 「由/ AGE M BHF=90，/ A=Z B=45°可得AG=EG= 一.，BH=FH2 K 2易证△ DG0A FHD ：• DG GE匸」「，GD= —_ .,<2 V2----- 資 ----- V2 2rW2②如备用图2,取CE的中点0,作OM L AB于M.可得CE=6- x, A0=-十二,HD=：'7,0M=]：「_±,.AB相切，贝U —2 _ 2 2若以CE为直径的圆与直线解得.•:当八时，以，•: y=8 -2x,CE为直径的圆与直线AB相切.备冒图1 备用图』解解: (1)T在厶ABC中，/ C=90°, AC=6 t述斗，•：BC=8 AB=10,定义域是•: CD=DB=4过点E作EH! CB于H.则可求得EH丄x.54 x '■ x= x (0 V x <5 5-'或5V x w 10).(2)取AE OGL BC于G 连接OD则x10+y32 '(10+x), GD=C- CG=4-I (10-x)4 2-- T •251 2 2两圆外切，则可得*BC1；AE=OD：.( BC+AE =4OD,2 Q 2+——x ]25•: 0D=2：•( 8+10- x) =4[ (10+x)100若两圆内切，得|-；BC--；AEFOD,解得4实用文档•••( BC — AE ) 2=4OD ,.・.(8 - 10+x )2=4[— ( 10+x )100解得x=-二J (舍去)，所以两圆内切不存在•所以，线段7(3)由题意知/ BEF M 90°,故可以分两种情况. ①当/ BEF 为锐角时，由已知以 B E 、F 为顶点的三角形与△ BED 相似，又知/ EBF=Z DBE / BEF <Z BED 所以/ BEF=Z BDE过点D 作DM L BA 于M 过E 作EH L BC 于H. 根据等角的余角相等，可证得/ MDE N HDE • EM=EH21.解解：(1)作BHLCD ,垂足为H,则四边形 ABHD 为矩形；答： • BH=DA=4 DH=AB=2在 Rt △ BCH 中，上皿二寻• 6冷讣■=$，(1 分)BC 討E H '+CH~5； 又 CD=CH+DH=5 • S 梯形 ABCI ^ (血+CD) AD =14;2(2)连接AQ由 DQ=PQ 可知△ APQ AP=AD=4 作PE! AB 交AB 的延长线于点 E , (1分)在 Rt △ BPE 中，二工_；二上--口一-二,令 BE=3k PE=4k. 则在Rt △ APE 中, AF ^A W+P E ,2224A /21 - &即 4=(2+3k ) + (4k ),解得：2+—x 2]25BE 的长为二丄3又 EM=M — EB — - x ,5由(1)知：EH 士 x ,「亍冗兀②当/ BEF 为钝角时，同理可求得 x - ,• x=2.•16 =3x=8.「. y=§X 8=坐 5 512或 48 55x ,•所以，△ BED 的面积是实用文档•『'i ：■ - ' | ：厂-「- -(3)作PF丄CD交CD于点F,由/ AEF=/ EFD=/ APQ=90 , 可得：△ AEP^A PFQaQF _屮芹H• OF EPPF~AE，化简得：QF二一16 卫二"SO+ISX5 50+15X3010•….定义域为(0v x v 5).。

相似三角形几何模型一线三等角(知识讲解)学年九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

相似三角形几何模型一线三等角(知识讲解)学年九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题4.37 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD模型二：一线三等角图三 图四;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACE α∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD（3）当C 为BD 中点时，特别说明：一线三等角相似三角形往往以等腰三角形或等边三角形为背景，如下图五。

图五特别说明：一线三直角相似三角形往往以矩形或正方形背景，如下图六。

图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，90B =∠，7CD =，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥，若12BC =，:1:2BE EC =，求AB 的长．【答案】327【分析】由题意易知AB 和CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解：∵AB 平行CD ，90B =∠，∵180B C ∠+∠=， ∵90B =∠，∵90B C ∠=∠=，90BEA BAE ∠+∠=， ∵AE ED ⊥，∵90AEB DEC ∠+∠=， ∵BAE DEC ∠=∠， ∵ABE ECD ∆∆∽， ∵AB BEEC DC=， ∵12BC =，12BE EC =， ∵48BE EC ==，， ∵7DC =， ∵432877BE AB EC DC =⋅=⨯=． 【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，AB=8，BC=10．（1）求证：∵AEF∵∵DFC ；（2）求线段EF的长度．EF=．【答案】（1）证明见分析；（2）5【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∵A=∵D=∵B=90°，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，推出∵AEF=∵DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到6D F，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵∵A=∵D=∵B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，∵∵AFE+∵AEF=∵AFE+∵DFC=90°，∵∵AEF=∵DFC，∵∵AEF∵∵DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∵6D F=，∵AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∵EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，EF=．解得：5【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．【变式2】如图1，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F处．~；（1）求证：ABF FCEAD=，求EC的长；（2）若AB=6+（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P，Q分别是AE，AD上的动点，求PD PQ 的最小值．【答案】（1）见分析；（2）EC =；（3）PD PQ +的最小值为 【分析】（1）选证得AFB CEF ∠=∠，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在Rt △ABF 中，求得BF 的长，设CE =x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理构建关于x 的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，证明四边形QFCD 是矩形，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∵90B C D ∠=∠=∠=︒， ∵90CEF EFC ∠+∠=︒， ∵AEF 由ADE 翻折得到， ∵90AFE D ∠=∠=︒， ∵90AFB EFC ∠+∠=︒，∵AFB CEF ∠=∠，90ABF FCE ∠=∠=︒， ∵ABF FCE ~；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB CD ==6AD BC ==.设CE x =，则DE x =，在Rt ABF 中，3BF ==， ∵633CF BC BF =-=-=，在Rt CEF 中，222EF CE CF =+，即222)3x x =+，解得x =EC =（3）如图，根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵C =∵ADC =90︒，又FQ ∵AD ， ∵四边形QFCD 是矩形，∵FQ =CD =AB∵PD PQ +的最小值为【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．类型二、一线三等角模型2．如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∵B ＝∵ADE＝∵C ．（1）证明：∵BDA ∵∵CED ；（2）若∵B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且∵ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见分析；（2）6-或3． 【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∵AD =AE ，∵AD =DE ，∵AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形 ∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC ∵当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒ ∴90DAE ∠=︒ ∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意．∵当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ BDA CED ≌∴AB =DC =∴6BD =-∵当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒ ∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥ ∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-3．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．举一反三【变式1】如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：∽AMF BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）见分析；（2）AME MFE △∽△，DMG DBM ∽△△． 【分析】（1）根据三角形内角和证AFM BMG ∠=∠即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可． （1）证明：∵DME A ∠=∠，180AMF BMG DME ∠+∠+∠=︒，180A AMF AFM ∠+∠+∠=︒，∵AFM BMG ∠=∠， ∵A B ∠=∠，∵∽AMF BGM ；（2）∵DME A ∠=∠，∵E=∵E ，∵AME MFE △∽△，同理，DMG DBM ∽△△． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．【变式2】∵ABC 中，AB =AC ，∵BAC =90°，P 为BC 上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P ，三角板可绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：∵BPE ∵∵CFP ； （2）将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．∵BPE 与∵CFP 还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF ，∵BPE 与∵PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动到什么位置时，∵BPE 与∵PFE 相似？说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2）∵BPE ∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，理由见分析．【分析】（1）找出∵BPE 与∵CFP 的对应角，其中∵BPE+∵BEP=135°，∵BPE+∵CPF=135°，得出∵BEP=∵CPF ，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：∵BPE∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，同（1），可证∵BPE∵∵CFP ，得 CP ：BE=PF ：PE ，而CP=BP ，因此 PB ：BE=PF ：PE ，进而求出，∵BPE 与∵PFE 相似．（1）证明：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°，∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（2）∵BPE ∵∵CFP ；理由：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°， ∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，证明：同（1），可证∵BPE ∵∵CFP ， 得CP ：BE =PF ：PE ， 而CP =BP ，因此PB ：BE =PF ：PE ． 又因为∵EBP =∵EPF ， 所以∵BPE ∵∵PFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．类型三、一线三等角综合3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∵1=∵D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ∵DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．【答案】(1)21522CD x x =-+(2)3(3)()3,1或()1,3-(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∵A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠， ∵A CPD ∠=∠， 又∵ABP PDC ∠=∠， ∵ABP △∵PDC △， ∵AB BP PD CD =， 即25x CD x=-， ∵21522CD x x =-+．(2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠， ∵ACD △∵ADE ， ∵90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∵点D 为BC 的中点， ∵116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∵90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ， ∵132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∵3CD =．(3)解：分两种情况：∵如图6所示，过A 作AC ∵y 轴于D ，过B 作BE ∵x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∵C ＝90°，∵四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∵AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∵OBA ＝90°，∵∵OBE +∵ABC ＝90°，∵∵ABC +∵BAC ＝90°，∵∵BAC ＝∵OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABC ∵∵BOE （AAS ），∵AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∵AC ＝BE ＝x －2，∵CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∵x ＝3，x －2＝1，∵点B 的坐标是（3，1）；∵如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．∵求证：ABP PCD △△∽；∵当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）∵见分析；∵3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∵根据等腰三角形的性质得到∵B=∵C，根据三角形的外角性质得到∵BAP=∵CPD，即可求证；∵根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．解：感知：（1）∵∵ABC∵∵DAE，∵BC AC AE DE=，∵BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）∵∵∵APC=∵B+∵BAP，∵APC=∵APD+∵CPD，∵APD=∵B，∵∵BAP=∵CPD，∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵∵ABP∵∵PCD；∵BC=12，点P为BC中点，∵BP=PC=6，·∵∵ABP∵∵PCD，∵AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当P A=PD时，∵ABP∵∵PCD，∵PC=AB=10，∵BP=BC-PC=12-10=2；当AP =AD 时，∵ADP =∵APD ，∵∵APD =∵B =∵C ，∵∵ADP =∵C ，不合题意，∵AP ≠AD ；当DA =DP 时，∵DAP =∵APD =∵B ，∵∵C =∵C ，∵∵BCA ∵∵ACP ， ∵BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∵25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：∵如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ∵如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________； ∵如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ∵CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】∵∵BDF ；∵∵CFD ；∵3；（2）(（3）2cm 【分析】∵根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得∵AED ∵∵BDF ；∵根据等边三角形的性质及和角关系，可得∵BDE ∵∵CFD ；∵根据正方形的性质及和角关系，可得∵ABE ∵∵BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得∵COE ∵∵OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明∵BCE ∵∵CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．解：∵∵∵ABC 是等腰直角三角形，∵C =90゜∵∵A =∵B =45゜∵∵BDF +∵BFD =180゜−∵B =135゜∵∵EDF =45゜∵∵ADE +∵BDF =180゜−∵EDF =135゜∵∵ADE =∵BFD在∵AED 和∵BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AED ∵∵BDF (AAS )故答案为：∵BDF ；∵∵∵ABC 是等边三角形∵∵B =∵C =60゜∵∵BDE +∵BED =180゜−∵B =120゜∵∵EDF =60゜∵∵BDE +∵CDF =180゜−∵EDF =120゜∵∵BED =∵CDFB C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE ∵∵CFD (AAS )故答案为：∵CFD ；∵∵四边形ABCD 是正方形∵∵ABC =90゜，AB =BC∵∵ABE +∵CBF =180゜−∵ABC =90゜∵AE ∵l ，CF ∵l∵∵AEB =∵CFB =90゜∵∵ABE +∵EAB =90゜∵∵EAB =∵CBF在∵ABE 和∵BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABE ∵∵BCF (AAS )∵AE =BF =1，BE =CF =2∵EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∵∵AOC =90゜，AO =OC∵∵COE +∵AOD =180゜−∵ACO =90゜∵AD ∵x 轴，CE ∵x 轴∵∵CEO =∵ADO =90゜∵∵ECO +∵COE =90゜∵∵ECO =∵AODCEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵COE ∵∵OAD (AAS )∵CE =OD ，OE =AD∵A∵OD =1，AD =∵CE =1，OE =∵点C 在第二象限∵点C的坐标为(故答案为：(； （3）∵∵ACB =90゜∵∵BCE +∵ACD =90゜∵BE ∵CE ，AD ∵CE∵∵CEB =∵ADC =90゜∵∵BCE +∵CBE =90゜∵∵CBE =∵ACD在∵BCE 和∵CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BCE ∵∵CAD (AAS )∵BE =CD ，CE =AD =6cm∵BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。

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一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共 享 性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P 作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．1.解答：证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．2. 解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．3. 解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．5. 解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．6. 解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x，∴S△ABE=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x××5+×=．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，y=．7. 解答：证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABD=30°，AD=，∴BC=2DE．8. 解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．∵∠DAE=120°，∴∠DAB+∠EAC=60°．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：AC=AB：CE．∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB•CE=12，∵BC＞0，∴BC=2．9. 解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，∴∠BAE=∠CDA．∴△ABE∽△DCA．（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．∴BC2=2BE•CD．10. 解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）解：由（1）知△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．11. 解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．（2）①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．13.解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，或，∵，解得：AP=2或（舍去）．14. 解答：证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴，∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，∴=，∴=，即EF=MF根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2由△MEF∽△MFC有，即，得BE=．15. 解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C．BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．∴．∴△BEP∽△CPD．（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF∴180﹣∠B=180﹣∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴．∴（2＜x＜4）．②当点F在线段CD的延长线上时，∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，∴△BEP∽△DMF．∵，∴．∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，∵，∴．∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴．∴x2﹣9x+8=0，解得x1=1，x2=8．由于x2=8不合题意舍去．∴x=1，即BP=1．∴当时，BP的长为1．16. 解解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；答：证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．17. 解答：（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．（3）不存在．作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，∵△CDP∽△POA ∴=，OA=，若OA=AF =，3x2﹣6x+4=0 △=62﹣4×4×3=﹣12 x无解因此，不存在．18. 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC∵∠FDE=∠C=90°∴△EFD∽△FDC∴∴FD2=EF•CD，即9k2+4=2（4﹣4k）化简，得9k2+8k﹣4=0解得（负值舍去），∴；（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB设EH=3k，BE=5k∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°∴∠HED=∠FDC∵∠EHD=∠C=90°∴△EHD∽△DCF ∴，当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，∴，即解得，∴2°，∴，即解得，∴．综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．19. 解答：（1）证明：如图2，连接DC．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，∴∠ACD=∠B=45°．∵ED⊥DF，CD⊥AB，∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，∴△ADP∽△BDQ，∴DP：DQ=AD：DB=m．∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，∴∠QDP=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠QDF=∠PDE，∵∠DQF=∠DPE=90°，∴△DQF∽△DPE，∴DE：DF=DP：DQ，∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，∴AB=，∵AD：DB=1：2，∴AD=，DB=．由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易证△DGE∽△FHD，∴，∴，∴y=8﹣2x，定义域是0＜x≤4．②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M．可得CE=6﹣x，AO=，OM=．若以CE为直径的圆与直线AB相切，则，解得，∴当时，以CE为直径的圆与直线AB相切．20. 解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，∴BC=8，AB=10，∴CD=DB=4．过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH=x．∴y=×4×x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．则OG=OB=×=（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=．若两圆外切，则可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，∴（8+10﹣x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=．若两圆切，得|BC﹣AE|=OD，∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=﹣（舍去），所以两圆切不存在．所以，线段BE的长为．（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．①当∠BEF为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．又EM=MB﹣EB=﹣x，由（1）知：EH=x，∴，∴x=2．∴y=×2=．②当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣=x，∴x=8．∴y=×8=．所以，△BED的面积是或．21. 解答：解：（1）作BH⊥CD，垂足为H，则四边形ABHD为矩形；∴BH=DA=4，DH=AB=2在Rt△BCH中，，∴，（1分）；又CD=CH+DH=5，∴S梯形ABCD=；（2）连接AQ，由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；作PE⊥AB交AB的延长线于点E，（1分）在Rt△BPE中，，令BE=3k，PE=4k．则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即42=（2+3k）2+（4k）2，解得：；∴；（3）作PF⊥CD交CD于点F，由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，可得：△AEP∽△PFQ；∴，即，化简得：；又，∴；定义域为（0＜x＜5）．。

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