相似三角形的基本模型(一线三等角)

模型中的相似三角形（２）
【基本模型】
图3
C
B
B
C C B
A
A
A
1. 如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆(一线三等角）
如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆(一线三直角)
如图3，特别地,当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分
BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下，已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角
时，可构造“一线三等角”型相似。

【巩固提高】
1. 已知ABC ∆中,120,6︒=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点
AC E
,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF
4
27
提示：,120,6︒=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点
∴33==CD BD 由BDE ∆∽CFD ∆ ∴
CF DB DC BE =， 4
27
=CF
2. 如图,等边ABC ∆中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ，把ABC ∆折叠,使点
A 落在BC 边上的点D 处.那么
AN
AM 的值为 75
.
A
B
C
提示：由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,
设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ∆∽CND ∆,
∴
7
5
3414=++===∆∆CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ,8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边
AD 上的E 点处，若AM AE 2=,
那么EN 的长等于 F
E
提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ∆∽EFN ∆,
∴
EF
AM
FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32
1
===EN FN EF
4. 在矩形ABCD 中,15=AD ,点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折
后点D 落到点F ,过点F 作AD FG ⊥,垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ，那么
=DE
N M G
G
A
A
B
E
B
E
提示:作过点F 作MN ∥BC ，分别交AB 、CD 于M 、N 。

∵15=AD ，3:1:=AD DG
∴5,10====NF DG MF AG
设x DE =，由翻折可得:
x EF DE AD AF ====,15 ∵AMF ∆∽FNE ∆ ∴FN AM EN MF EF AF ==，即5
1015AM
EN x == ∴x AM x EN 75,32==,∴
53,3
2
75=+=x x x x
5. 已知△ABC ,BC AC =，︒=∠120C ，边长9=AC ，点D 在AC 上,且6=AD ,
点E 是AB 上一动点，联结DE ,将线段DE 绕点D 逆时针旋转︒
30得到线段DF ，
要使点F 恰好落在BC 上,则AE 的长是
3+
A
提示：构造“一线三等角”
︒=∠=∠=∠30G FDE A ∴△ADE ≌△GFD
∴6==AD FG ，32=CF ，34=CG ∴343+=+=CG DC AE
6. 如图，已知AM ∥BN ，︒=∠=∠90B A ，4=AB ，点D 是射线AM 上的一个动
点（点D 与点A 不重合)，点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合)，联结DE ,过点E 作DE 的垂线，交射线BN 于点C ,联结DC .设
x AE =,y BC =．
(1)当1=AD 时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域;
(2)在(1)的条件下,取线段DC 的中点F ，联结EF ，若5.2=EF ，求AE 的长； (３)如果动点D 、E 在运动时，始终满足条件AB DE AD =+，那么请探究：BCE △的周长是否随着动点D 、E 的运动而发生变化？请说明理由．
A E
E 解:(1)∵︒=∠=∠=∠90DEC B A ∴ADE △∽BEC △ ∴
BC
AE
BE AD = ∴2
4x x y -=（40<<x ）
(２）过D 作BC DH ⊥,垂足为H
∵F 是线段DC 的中点,︒=∠90DEC ,1=AD ∴4=DH , 5=CD ，3=HC ,4=BC
∴442
=-x x ,2==x AE
(３)∵4==+AB DE AD 又2
2
2
x AD DE =-
∴8
162
x AD -= 又ADE △∽BEC △
∴
AD BE C C ADE BCE =△△ ∴8
16442
x
x
x C BCE --=+△ ∴8=BCE C △
7. 如图，已知ABC ∆中,︒=∠90C ,2==BC AC ，O 是AB 的中点，将︒45角的顶
点置于点O , 并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ,连接DE . (1) 求证AOD ∆∽OED ∆;
(2) 设x AD =，试用关于x 的式子表示DE 。

C C A
B
B
A
解:（1）∵︒=∠90C ,2==BC AC
∴22=AB ,︒=∠=∠45B A ∵︒=∠45DOE
∴ADO AOD BOE ∠=∠-︒=∠135 ∴AOD ∆∽BEO ∆ ∴
EO
OD
BO AD = ∵2=
=OB OA
∴
OE OD AO AD =,即OE
AO
OD AD =, ∵︒=∠=∠45DOE A ∴AOD ∆∽OED ∆
(2)作AC OF ⊥于F ,DE OH ⊥于H ,BC OG ⊥于G
∵︒=∠45A ,2=OA ,AC OF ⊥
∴1=AF 同理：1=BG ∵AOD ∆∽BEO ∆ ∴
BE
OA
BO AD = ∵x AD =，2==OB OA
∴x
BE 2=
∵AOD ∆∽OED ∆
∴EDO ADF ∠=∠
∵AC OF ⊥于F ,DE OH ⊥于H ∴1-==x DF DH 同理：12-==x EG EH ∴22
-+=+=x
x HE DH DE。