相似三角形的基本模型(一线三等角)
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模型中的相似三角形(2)
【基本模型】
图3
C
B
B
C C B
A
A
A
1. 如图1,BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆(一线三等角)
如图2,ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆(一线三直角)
如图3,特别地,当D 是BC 中点时:BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分
BEF ∠,FD 平分EFC ∠。
2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下,已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角
时,可构造“一线三等角”型相似。
【巩固提高】
1. 已知ABC ∆中,120,6︒=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点,AB 边上有一点
AC E
,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF
4
27
提示:,120,6︒=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点
∴33==CD BD 由BDE ∆∽CFD ∆ ∴
CF DB DC BE =, 4
27
=CF
2. 如图,等边ABC ∆中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ,把ABC ∆折叠,使点
A 落在BC 边上的点D 处.那么
AN
AM 的值为 75
.
A
B
C
提示:由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,,
设:,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ∆∽CND ∆,
∴
7
5
3414=++===∆∆CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中,6=AB ,8=AD ,把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边
AD 上的E 点处,若AM AE 2=,
那么EN 的长等于 F
E
提示:作AD NF ⊥于F ,则6==AB FN ∵MAE ∆∽EFN ∆,
∴
EF
AM
FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32
1
===EN FN EF
4. 在矩形ABCD 中,15=AD ,点E 在边DC 上,联结AE ,△ADE 沿直线AE 翻折
后点D 落到点F ,过点F 作AD FG ⊥,垂足为点G ,如果3:1:=AD DG ,那么
=DE
N M G
G
A
A
B
E
B
E
提示:作过点F 作MN ∥BC ,分别交AB 、CD 于M 、N 。 ∵15=AD ,3:1:=AD DG
∴5,10====NF DG MF AG
设x DE =,由翻折可得:
x EF DE AD AF ====,15 ∵AMF ∆∽FNE ∆ ∴FN AM EN MF EF AF ==,即5
1015AM
EN x == ∴x AM x EN 75,32==,∴
53,3
2
75=+=x x x x
5. 已知△ABC ,BC AC =,︒=∠120C ,边长9=AC ,点D 在AC 上,且6=AD ,
点E 是AB 上一动点,联结DE ,将线段DE 绕点D 逆时针旋转︒
30得到线段DF ,
要使点F 恰好落在BC 上,则AE 的长是
3+
A
提示:构造“一线三等角”
︒=∠=∠=∠30G FDE A ∴△ADE ≌△GFD
∴6==AD FG ,32=CF ,34=CG ∴343+=+=CG DC AE
6. 如图,已知AM ∥BN ,︒=∠=∠90B A ,4=AB ,点D 是射线AM 上的一个动
点(点D 与点A 不重合),点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合),联结DE ,过点E 作DE 的垂线,交射线BN 于点C ,联结DC .设
x AE =,y BC =.
(1)当1=AD 时,求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域;
(2)在(1)的条件下,取线段DC 的中点F ,联结EF ,若5.2=EF ,求AE 的长; (3)如果动点D 、E 在运动时,始终满足条件AB DE AD =+,那么请探究:BCE △的周长是否随着动点D 、E 的运动而发生变化?请说明理由.
A E
E 解:(1)∵︒=∠=∠=∠90DEC B A ∴ADE △∽BEC △ ∴
BC
AE
BE AD = ∴2
4x x y -=(40< (2)过D 作BC DH ⊥,垂足为H ∵F 是线段DC 的中点,︒=∠90DEC ,1=AD ∴4=DH , 5=CD ,3=HC ,4=BC ∴442 =-x x ,2==x AE (3)∵4==+AB DE AD 又2 2 2 x AD DE =- ∴8 162 x AD -= 又ADE △∽BEC △ ∴ AD BE C C ADE BCE =△△ ∴8 16442 x x x C BCE --=+△ ∴8=BCE C △ 7. 如图,已知ABC ∆中,︒=∠90C ,2==BC AC ,O 是AB 的中点,将︒45角的顶 点置于点O , 并绕点O 旋转,使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ,连接DE . (1) 求证AOD ∆∽OED ∆; (2) 设x AD =,试用关于x 的式子表示DE 。 C C A B B A 解:(1)∵︒=∠90C ,2==BC AC ∴22=AB ,︒=∠=∠45B A ∵︒=∠45DOE ∴ADO AOD BOE ∠=∠-︒=∠135 ∴AOD ∆∽BEO ∆ ∴ EO OD BO AD = ∵2= =OB OA ∴ OE OD AO AD =,即OE AO OD AD =, ∵︒=∠=∠45DOE A ∴AOD ∆∽OED ∆ (2)作AC OF ⊥于F ,DE OH ⊥于H ,BC OG ⊥于G ∵︒=∠45A ,2=OA ,AC OF ⊥ ∴1=AF 同理:1=BG ∵AOD ∆∽BEO ∆ ∴ BE OA BO AD = ∵x AD =,2==OB OA ∴x BE 2= ∵AOD ∆∽OED ∆