相似三角形模型讲解-一线三等角问题讲义

个性化讲义编号：hy05

第一部分相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

B

（不平行）

（二）8字型、反8字型

B

C

B

C

（蝴蝶型）（平行）（不平行）

（三）母子型

B

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展

C

B E

D

A

共享性

G

A

B

E

F

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2

．

例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．

求证：（1）DA DE DB ⋅=2

； （2）DAC DCE ∠=∠．

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．

求证：EG EF BE ⋅=2

．

相关练习：

1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2

．

A

C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·

DB

4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC

⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中

点。

求证：∠=︒

GBM90

5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边

AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=

∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型A

B

P

D E

（第25题图）

G

M

F

E

H

D

C

A

1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB

上的高

求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C

共享型相似三角形

1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．

求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°

（1）求证：△BDE ∽△CFD

（2）当BD =1，FC =3时，求BE

例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；

②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.

例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．

（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

A

B

C

备用图

A

B

C D

A

B

C

D

A

B C

P

Q

A

B

C

备用图

A

B

C

D

C