随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
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随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
相关时间 0 小：随机过程随时间变化快 相关时间 0 大：随机过程随时间变化慢
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
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0 1
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两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
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第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
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2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
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两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
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2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
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第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
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2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
第二章随机过程的概念与基本讲解
例 6、设 { X i , i 1,2,} 是一独立随机变量序列，且有 相同的两点分布
X i -1 1
pi 1/2 1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i 。 i 1
试求：随机过程 {Y (n),n 0,1,2,} 的均值函数和相关 函数。
§ 2.3 复随机过程
定义 2.5 设 { X t , t T } ，{Yt , t T } 是取实数值的两
例 2 设随机过程
X (t) Y Zt, t 0
其中，Y,Z 是相互独立的 N(0,1)随机变量，求此随机过 程的一、二维概率密度族。
注:二维正态分布的密度函数:
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
第二章 随机过程的概念与基本类型
随机过程---随机信号 随机过程是与确定性过程相对立的一个概念.从信 息论的观点 ,对接收者来讲只有信号表现出某种不可预 测性才可能蕴涵信息.因为如果在信号收到以前接收者 已准确地预测它的一切,则这种信号是毫无用处的.类似 地,若接收者能从信号的过去正确地预测它的将来,将来 的部分信号即成多余。
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
例 3 设 X(t)是实随机过程，x 为任意实数，令
Y
(t)
1, 0,
X (t) X (t)
x, x,
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别为 X(t)的 一维和二维分布函数。
第二章随机过程基本概念
2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量.对随机过程的统计分析称为随机过程论,它是随机数学中的一个重要分支，产生于本世纪的初期.其研究对象是随机现象，而它特别研究的是随“时间”变化的“动态”的随机现象.一随机过程的定义1 定义设E为随机试验，S为其样本空间，如果（1）对于每个参数t∈T, X(e,t)为建立在S上的随机变量，（2）对每一个e∈S, X(e,t)为t的函数，那么称随机变量族{X(e,t), t∈T, e∈S}为一个随机过程，简记为{X(e,t), t∈T}或X(t)。
()()()()(){}{}[]()为随机序列。
时，通常称，取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式：参数一般表示时间或空间，或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数，或称随机的一般函数，通常称为为对于：上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意：t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321,,,,3,2,1,0,1,2,3,,3,2,1,0T ,.4,.3,,2,:,.1=---==ÎÎ×δ®´L L L为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币，例),()(cos )(},{1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì====p 2 随机过程举例îíì=====为随机变量的函数均为和解释：T e t He t t e X t t t T X t t H X 000cos ),(),(cos ),((p p 2121cos ),(000p t t t e X p 并且：例2：用X(t)表示电话交换台在(0，t)时间内接到的呼唤的次数,则(1)对于固定的时刻t, X(t)为随机变量,其样本空间为{0，1，2，…..},且对于不同的t,是不同的随机变量.(2)对于固定的样本点n, X(t)=n是一个t的函数.(即：在多长时间内来n个人?)所以{X(t),t>0}为一个随机过程.相位正弦波。
第2章_随机过程的基本概念
t1
100
150
200
接收机噪声
随时间变化的随机变量----随机变量的集合
随机过程的直观解释:
对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随
机试验，每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个
确定的函数，称为样本函数，所有这些样本函数的全体
构成了随机过程。
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产
例2. 设随机过程X(t)=tX，X为标准正态分布的随机变量。 试问X(t)是否平稳？
解：
所以X(t)是非平稳的。
2. 平稳随机过程自相关函数的性质 性质：
(5)若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周 期分量，
例3 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
求X(t)的均值和方差。 解:
连续型随机过程 连续
时刻
续
离散
离散
连续
离散随机序列
离散
离散
（2）按概率分布分类
高斯随机过程 瑞利随机过程
对数正态随机过程
（3）按统计特性分类
平稳随机过程
非平稳随机过程
§ 2.2 随机过程的统计描述
1.随机过程的概率分布 (1)一维概率分布 X(t)在任意时刻t是一个随机变量，这个随机变量的概率 分布和概率密度定义为随机过程的一维概率分布和概率 密度。
（3）掌握相关函数的性质；
（4）理解白噪声的定义和特点；
本章是本课程的基础和核心
§2.1随机过程的基本概念及定义
1.实际背景
例2.1 分析随机相位信号
X (n) A cos(0 n )
Φ~R（-π， +π）
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第二章随机过程的基本概念
若固定时间 t = ti ，仅随机因素 e 在变化，则 X (ti , e) 是一个随机变量，如随机相位信号，若固
定时刻 n=ni，则
X (ni , Φ) = Acos(ω0ni + Φ) 是随机变量 Φ 的函数，也是一个随机变量。
对于不同的时刻 t1, t2 ,", ti ," ，X(t)对应于不同的随机变量 X (t1 ) , X (t2 ) ,…, X (ti ) …, 通常 X (ti ) 称为随机过程 X (t) 在 t = ti 时刻的状态, 可见 X (t) 可以看作为一族随时间而变化的随机变
量。
若固定 e = ei ， t = t j ，则 X (t j , ei ) 表示第 i 次试验中的第 j 次测量，它是随机过程的某一特 定的值，通常记为 xi (t j ) 。
当 e 和 t 均变化时，这时才是随机过程完整的概念，从以上的分析可以看出，随机过程是一组
样本函数的集合，或者也可以看成是一组随机变量的集合。因此,我们可以从另一个角度来对随机 过程来下一个定义。
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t1 100
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图2.2 接收机噪声
另外，对应于某个时刻 t1 ， x1 (t1 ) , x2 (t1 ) ,…，取值各不相同，也就是说， X (t1 ) 的可能取值
是 x1 (t1 ) 、 x2 (t1 ) 、┄之一，在 t1 时刻究竟取哪个值是不能预知的，故 X (t1 ) 是一个随机变量。同 理，在 t = tk 时， X (tk ) 也是一个随机变量，可见 X (t) 是由许多随机变量构成的。
定时刻 n=ni，则
X (ni , Φ) = Acos(ω0ni + Φ) 是随机变量 Φ 的函数，也是一个随机变量。
对于不同的时刻 t1, t2 ,", ti ," ，X(t)对应于不同的随机变量 X (t1 ) , X (t2 ) ,…, X (ti ) …, 通常 X (ti ) 称为随机过程 X (t) 在 t = ti 时刻的状态, 可见 X (t) 可以看作为一族随时间而变化的随机变
量。
若固定 e = ei ， t = t j ，则 X (t j , ei ) 表示第 i 次试验中的第 j 次测量，它是随机过程的某一特 定的值，通常记为 xi (t j ) 。
当 e 和 t 均变化时，这时才是随机过程完整的概念，从以上的分析可以看出，随机过程是一组
样本函数的集合，或者也可以看成是一组随机变量的集合。因此,我们可以从另一个角度来对随机 过程来下一个定义。
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图2.2 接收机噪声
另外，对应于某个时刻 t1 ， x1 (t1 ) , x2 (t1 ) ,…，取值各不相同，也就是说， X (t1 ) 的可能取值
是 x1 (t1 ) 、 x2 (t1 ) 、┄之一，在 t1 时刻究竟取哪个值是不能预知的，故 X (t1 ) 是一个随机变量。同 理，在 t = tk 时， X (tk ) 也是一个随机变量，可见 X (t) 是由许多随机变量构成的。
第二章、随机过程的基本概念
{V (t),t 0}。 1、设已给概率空间(, F, P)及参数集T (,),则称
{X (,t), ,t T},
2020年5月6日星期三
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随机过程(西电版) 2.1 随机过程的定义
第2章 随机过程的基本概念
为该概率空间上的随机过程，简记为 {X (t),t T}。
随机过程(西电版)
2.4 复随机过程
第2章 随机过程的基本概念
设 {X (t),t T},{Y (t),t T}为两个实随机过程,则称
{Z(t) X (t) iY(t),t T}
为复随机过程.
1、复随机过程的数字特征 设复随机过程 {Z (t),t T} 称
(1)均值函数为 mZ (t) E[Z (t)] mX (t) imY (t);
x2
P
A
x1,
A 2
x2
PA x1, A 2x2
3•
x1 2x2
2•
P( P(
A A
x1), x1 2x2 ), x1
2
x2 2x2
1•
•
•
•
1 23
x1
0,
x1
2x2 ,
x1
1或x1
2x2 ,
x2
1 2
F
0,
3
;
x1,
x2
1 3
,
x1
2x2,1
x1
2或x1
2x2 ,
0,
3
;
x1,
x2
.
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随机过程2(西.电2版随) 机过程的有限维分布函数族第2章 随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
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150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
应用随机过程 第二章_基本概念和基本类型
1. Brown 运动
(X（t），Y（t）) .
2. 排队模型 (Queue Model)
顾客来服务站寻求服务，但由于服务员很忙， 因此顾客要排队等候.顾客的到来、每个顾客 所需的服务时间都是随机的，考虑N(t)表示t时 刻前来到的顾客数，X(t)表示t时刻的队长，Y(t) 表示t时刻到达的顾客所需要的等待时间.那么 {N(t)，t 0},{X(t)，t 0},{Y(t)，t 0}都是随 机过程.
d
作业：P31 （2.2 、2.3、2.5）
1. 对宽平稳过程，由于（ s,t） （0,t-s）, s,t R , 可记作（ t-s） . 2. 对所有的t R,有（ t ） = （-t） ,即为偶 函数. 3. （0）=var[X(t)],并且| （）| （0）. 4. （）具有非负定性. 5. 今后所涉及的平稳过程都是指宽平稳 过程.
2.1 基本概念
定义 2.1
随机过程是概率空间（，F ，P）上的 一族随机变量{X(t), t T},其中t是参数， 它属于某个指标集T，T称为参数集。
{X(t), t T}可以模拟某个随机系统. X(t)表示 系统在时刻t所处的状态. 所有可能状态构成 的集合为状态空间,记为S.
注释
1. t一般表示时间.
定义 2.3
设{X(t)，t T}与{Y(t)，t T}是两个二阶矩过程。 对 s，t T， 互协方差函数： XY (s, t) E{[X(s)- X (s)][Y(t)- Y (t)]}; 互相关函数： R XY ( s, t ) E[X(s)Y(t)]. 互不相关：如果 XY (s, t) 0.
2. 随机过程的基本概念和基本类型
第二章 随机过程
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果 对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定 一时间t的函数 (T是时间t的变化范 围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说， 就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为 随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个 函数称为该随机过程的样本函数。 注：随机过程是样本函数的集合 。
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质 (1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
• 研究随机过程的概率密度函数的统计特性是 很困难的； • 随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述 了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶 矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交 流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学期望和相关函数详 细描述。
1 定义 若随机过程
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
随机过程的基本概念
（3） 对随机过程的理解 随机过程 { X t , ω } 可看成是关于时间 t 和样本
点 的二元函数，
（1) 当固定 t T , X t X (t , ) 就是一个随机 变量。 （2）当固定 0 , { X t 0 X (t , 0 )}就是一
称
RXY ( s, t ) E[ X ( s )Y (t )]
为随机过程 XT X (t ), t T 和 YT Y (t ), t T
的互相关函数。
例 设随机过程
X ( t ) Acos( t )
其中β是正常数, 随机变量 A 与Θ相互独立, A～N(0,1),
{F t1 , t2 ,, tn ; x1 , x2 ,, xn : t1 ,, t n T , n 1}
恰好是随机过程 X T X ( t ), t T 的有限维分布
函数族。
说明：柯尔莫哥罗夫定理表明，一个随机过程 完全由其有限维分布函数族所确定。但是，在实际
2
E ( A ) E[cos( t )cos( s )]
1 2π cos ( t θ ) cos ( s θ ) d θ 2π 0
1 2π [ cos ( t s ) cos ( ( t s ) 2 θ ) d θ 4π 0
（假定其步长相同），以 X(t) 记他 t 时刻在路上
的位置，则 X(t) 是直线上的随机游动。此时 X(t)
是一个随机过程。
例2 （排队系统）顾客到火车站买票，当购票
窗口有其他顾客买票时，来到的顾客就需要排队等
候，用 X(t) 表示 t 时刻的排队长度， Y(t) 表示 t
时刻来到的顾客所需等待的时间，由于顾客的到来
第二章随机过程基本概念.
(1若有的一维密度函数。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。
随机过程的基本概念
1a2
0
f A(a)da
t1t2 3
可见X(t)不是平稳随机过程。
2.3.1平稳随机过程的定义
★ 平稳随机过程的例题（续）
[例2.12]设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，
－∞<t< ∞，其中X，Y为相互独立的随机变量，
并分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试证Z(t)为 广义平稳随机过程，而非狭义平稳随机过程。
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 广义平稳随机过程的定义
如果随机过程X(t)的数学期望为一常数，其相关函数仅与时
间间隔τ= t1 － t2有关，即有
E[X(t)]=mX RX(t1,t2)=RX(t1-t2)=RX(τ) 则称X(t)为广义平稳随机过程。 显然，狭义平稳平稳随机过程必定是广义平稳的，而广义 平稳的随机过程则未必是狭义平稳的。
2.3.1 平稳随机过程的定义
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 狭义平稳随机过程的定义（续）
由定义可知，狭义平稳随机过程的一维概率密度与时
间无关，即有fX(x, t)= fX(x, t+ △t) =fX(x, 0) =fX(x)
由此可以求得X(t)的数学期望和方差都是与时间无关
的常数，即有
E[X (t)] xfX (x,t)dx xfX (x)dx mX
3
3
3
3
RZ (t1, t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E[ X 2 cos t1 cos t2 + Y 2 sin t1 sin t2
在许多工程技术问题中，大都只研究广义平稳过程。以后 除特别声明外，凡是提到平稳性，都指的是广义平稳。
随机过程随机过程的基本概念
2.2 随机过程的分类和举例
随机过程可以根据参数集 T 和状态空间 S 是离散集还是
连续集分为四大类.
1、离散参数、离散状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定t ∈T， X(t)是离散型随机变量即其取值也是离散的。
例 2.2.1（贝努利过程）考虑抛掷一颗骰子的试验，设Xn
是第n(n≥1)次抛掷的点数,对于n=1,2,…的不同值， Xn是
，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多
个随机变量来描绘，这就是随机过程. 随机过程是概率论的继续和发展. 被认为是概率论的“动力学
”部分. 它的研究对象是随时间演变的随机现象.
事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t 的确定的函数 来加以描述. 对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t 的 函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所 得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果.
(3) 当 t
的分布函数为
1, x 0 F ( x) X( ) 0, x 0 2
第2章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的定义 2.2 随机过程的分类和举例 2.3 随机过程的有限维分布函数族 2.4 随机过程的数字特征 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2.6 复随机过程 2.7 几类重要的随机过程
“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量
才能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一次测量， 则得到的记录是不同的.
2.1 随机过程的定义
所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样
本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一
个变量，即还是另一参数集上的函数. 所以，随机过程 就是一族二元函数. 定义2.1.1 设(Ω, F , P)是一个概率空间，T 是一个实的参 数集，定义在Ω 和T 上的二元函数 X(ω,t)，如果对于任
随机过程第二章
X (t)
Y (t)
mX (t)
mY (t)
其中 X (随t)时间变化缓慢，这个过程在两个不同 时刻的状态之间有较强的相关性; 而 Y的(样t) 本函数变化激烈，波动性大，其不同时刻 的状态之间的联系不明显，且时刻间隔越大，联系越
弱.
因此，必须引入描述随机过程在不同时刻 之间相关程度的数字特征。
自相关函数（简称相关函数）就是用来描 述随机过程两个不同时刻，状态之间内在联 系的重要数字特征。
随机过程数字特征之间的关系：
(1)
2 X
(t)
RX
(t,t)
(2)
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t)
m2 X
(t)
(3)
BX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) mX (t1)mX (t2 )
从这些关系式看出，均值函数
mX (t)
和相关函数 RX (t1,t是2 ) 最基本的两个数字特征，其它
称为样本函数，对应于e的一个样本轨道或实现，
变动e ，则得到一族样本函数， 样本函数的全e为一个数， 即在t时刻系统所
处的某一个状态。
对接收机的输出噪声电压，作一次“长 时间的观察”，测量获得的噪声电压Xt是一 个样本函数
e 1, x1(t) e 2, x2 (t) e 3, x3(t) e k, xk (t)
随机变量， 当t连续变化时， 即得一族随机变量，
所以X t,0 t 是一个连续参数， 连续状态
的随机过程, 称为随机相位正弦波。 例. 某电话交换台在时间段[0,t)内接收到的呼叫
次数X (t)是与t有关的随机变量， 对于固定的t, X (t)是一个取非负整数的随机变量，
随机过程课件-第二章
例题2.8：
设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值
函数和相关函数。
14复Βιβλιοθήκη 机过程定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X t iYt
其中 i 1 ，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。 复随机过程的数字特征函数
Ft1,,tn (x1, x2 ,, xn ) P{X (t1) x1, X (tn ) xn}
这些分布函数的全体
F {Ft1,tn (x1, x2 , xn ),t1, t2 ,, tn T , n 1}
称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数。
10
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，EX(t)存在，则称函数
def
mx (t) EX (t), t T
为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。
若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称
def
BX (s,t) E[{X (s) mX (s)}{X (t) mX (t)}], s,t T
为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。
随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是一个二元函数。 对固定的t，X(t,e)是（Ω,F,P）上的随机变量； 对固定的e， X(t,e)是随机过程{X(t,e),t ∈T}的一个样本函数。
5
X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合 称为状态空间或相空间。
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程 的类型。
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第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[( X (t) m(t))2 ]
称为随机过程 X (t) 的方差函数
说明 均方差函数
D(t) 的平方根 (t) D(t)
它表示 X (t) 在各个时刻 t 对于m(t) 的偏离程度
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3．协方差函数
说明2 随机过程{ X (t) ，t T }是一个二元函数
因为 对于每一个固定的时刻t0 T ，
X (t0 ) 是一个随机变量， 并称作随机过程 X (t) 在t t0 时的一个状态，
它反映了 X (t) 的“随机”性；
对于每一个0 ，
X (t) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t) 的变化“过程”。
x1
et
x et
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二、随机过程的数字特征
1．均值函数 设随机过程{ X (t) ，t T }， 则 m(t) E[X (t)] ，t T ，
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
说明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
随机过程 X (t) 在t1,t2 T 的状态X (t1) 和X (t2 )
二阶中心混合矩
K(t1,t2 ) E[( X (t1) m(t1))( X (t2 ) m(t2 ))] 称为随机过程 X (t) 的自协方差函数
简称协方差函数
注
当t1 t2 t T ，有
D(t) K (t, t) E[( X (t) m(t)) 2 ]
参数 分类
离散参数 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态 连续状态
取值是离散的
X (t)
取值是连续的
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参数T 状态I 分类
T离散、I离散 T离散、I非离散（连续） T非离散（连续） 、I离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续）
函数 其分布函数为
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F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
一维 若存在二元非负函数 f (t1；x1 ) ，使
概率 密度
F (t1；x1)
x1
f (t1；y1)dy1
则称 f (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维概率密度
例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t=1，2，…
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例3 国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有 Y (t) C(t) I (t)
其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累
随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2．按过程的概率结构分类
概率 结构 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
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（1）独立随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
X (t1 ) ， X (t2 ) ，…， X (tn ) 是相互独立的
则称 X (t) 为具有独立随机变量的随机过程，
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5．相关函数
对任意t1, t2 T
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )] 称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称相关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) =K(t1,t2 )
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6．互相关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
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二、随机过程的定义
1．随机 设E是随机试验， {}是它的的样本
过程 空间，T是一个参数集，若对于每一个t T
都有随机变量 X (t,)，与之对应，
则称依赖于t的随机变量 X (t,) 为随机
过程，或称为随机函数，
通常记作
{ X (t) ，t T }或X (t) 。
说明1
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参数集T在实际问题中，常常指的是时 间参数，但有时也用其它物理量作为参 数集。
则称 X (t) 为马尔可夫过程
简称马氏过程。
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马氏过程的特点
当随机过程在时刻tn1 的状态已知的条件下， 它在时刻tn （tn tn1 ）所处的状态
仅与时刻tn1 的状态有关， 而与过程在时刻tn1 以前的状态无关
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程 为无后效过程。
简称独立随机过程。
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（2）独立增量随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn
X (t2 ) X (t1 ) ， X (t3 ) X (t2 ) ，…， X (tn ) X (tn1 )
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
则称随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
注 若若随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
则 RXY (t1,t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) 即 E[ X (t1)Y (t2 )] E[ X (t1)]E[Y (t2 )]
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例2 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量
每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
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设 P{ xn 1}= p （第 n 次抛掷出现正面的概率）
P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 xi 、xk (i k 时)是相互独立的随机变量。
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2．贝努利过程
设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1，2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注 如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，t2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1, x2 }是一个二维随机变量
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三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2 , ，X (tn ) xn}
n维 概率
若存在非负函数 f (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
密度
F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
= x1 x2
xn
f (t1, t2 , , tn；y1, y2 , , yn )dy1dy2 dyn
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4．互协方差函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1,t2 T ，则
K XY (t1,t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
称为随机过程 X (t) 与Y (t) 的互协方差函数
其中 mX (t1) E[ X (t1)] mY (t2 ) E[Y (t2 )]
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有限 一维，二维，…，n维分布函数的全体： 维分
布族 {F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn ), t1, t2 , ,tn T , n 1}
易知 它不仅刻划了每一时刻t1 T 随机过程X (t) 的状态 X (t1) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1,t2 , ,tn T 随机过程 X (t) 的状态
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
D(t) D[ X (t)] E[( X (t) m(t))2 ]
称为随机过程 X (t) 的方差函数
说明 均方差函数
D(t) 的平方根 (t) D(t)
它表示 X (t) 在各个时刻 t 对于m(t) 的偏离程度
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3．协方差函数
说明2 随机过程{ X (t) ，t T }是一个二元函数
因为 对于每一个固定的时刻t0 T ，
X (t0 ) 是一个随机变量， 并称作随机过程 X (t) 在t t0 时的一个状态，
它反映了 X (t) 的“随机”性；
对于每一个0 ，
X (t) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t) 的变化“过程”。
x1
et
x et
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二、随机过程的数字特征
1．均值函数 设随机过程{ X (t) ，t T }， 则 m(t) E[X (t)] ，t T ，
称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
说明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
随机过程 X (t) 在t1,t2 T 的状态X (t1) 和X (t2 )
二阶中心混合矩
K(t1,t2 ) E[( X (t1) m(t1))( X (t2 ) m(t2 ))] 称为随机过程 X (t) 的自协方差函数
简称协方差函数
注
当t1 t2 t T ，有
D(t) K (t, t) E[( X (t) m(t)) 2 ]
参数 分类
离散参数 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态 连续状态
取值是离散的
X (t)
取值是连续的
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参数T 状态I 分类
T离散、I离散 T离散、I非离散（连续） T非离散（连续） 、I离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续）
函数 其分布函数为
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F (t1；x1 ) P{X (t1 ) x1} ，t1 T
称 F (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维分布函数。
一维 若存在二元非负函数 f (t1；x1 ) ，使
概率 密度
F (t1；x1)
x1
f (t1；y1)dy1
则称 f (t1；x1 ) 为随机过程 X (t) 的一维概率密度
例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t=1，2，…
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例3 国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有 Y (t) C(t) I (t)
其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累
随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2．按过程的概率结构分类
概率 结构 分类
独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
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（1）独立随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
X (t1 ) ， X (t2 ) ，…， X (tn ) 是相互独立的
则称 X (t) 为具有独立随机变量的随机过程，
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5．相关函数
对任意t1, t2 T
X (t1) 和 X (t2 ) 的二阶原点混合矩
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )] 称为随机过程 X (t) 的自相关函数，
简称相关函数
注 当 m(t) 0 时，有
R(t1,t2 ) =K(t1,t2 )
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6．互相关函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1, t2 T 则
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二、随机过程的定义
1．随机 设E是随机试验， {}是它的的样本
过程 空间，T是一个参数集，若对于每一个t T
都有随机变量 X (t,)，与之对应，
则称依赖于t的随机变量 X (t,) 为随机
过程，或称为随机函数，
通常记作
{ X (t) ，t T }或X (t) 。
说明1
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参数集T在实际问题中，常常指的是时 间参数，但有时也用其它物理量作为参 数集。
则称 X (t) 为马尔可夫过程
简称马氏过程。
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马氏过程的特点
当随机过程在时刻tn1 的状态已知的条件下， 它在时刻tn （tn tn1 ）所处的状态
仅与时刻tn1 的状态有关， 而与过程在时刻tn1 以前的状态无关
称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。
马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程 为无后效过程。
简称独立随机过程。
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（2）独立增量随机过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn
X (t2 ) X (t1 ) ， X (t3 ) X (t2 ) ，…， X (tn ) X (tn1 )
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
则称随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
注 若若随机过程 X (t) 与Y (t) 互不相关
则 RXY (t1,t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) 即 E[ X (t1)Y (t2 )] E[ X (t1)]E[Y (t2 )]
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例2 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量
每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
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设 P{ xn 1}= p （第 n 次抛掷出现正面的概率）
P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 xi 、xk (i k 时)是相互独立的随机变量。
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2．贝努利过程
设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1，2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注 如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，t2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1, x2 }是一个二维随机变量
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三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2 , ，X (tn ) xn}
n维 概率
若存在非负函数 f (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
密度
F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
= x1 x2
xn
f (t1, t2 , , tn；y1, y2 , , yn )dy1dy2 dyn
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4．互协方差函数
设 X (t) 和Y (t) 是两个随机过程 对任意t1,t2 T ，则
K XY (t1,t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
称为随机过程 X (t) 与Y (t) 的互协方差函数
其中 mX (t1) E[ X (t1)] mY (t2 ) E[Y (t2 )]
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有限 一维，二维，…，n维分布函数的全体： 维分
布族 {F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn ), t1, t2 , ,tn T , n 1}
易知 它不仅刻划了每一时刻t1 T 随机过程X (t) 的状态 X (t1) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1,t2 , ,tn T 随机过程 X (t) 的状态