复变函数 柯西公式

第三章 复变函数的积分
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
§3.2 柯西公式
学习要点
熟练掌握柯西积分公式
熟练掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
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1. 问题的提出
设f ( z )在以圆C :| z z0 | r0 (0 r0 )为边界 的闭圆盘上解析，f ( z )沿C的积分为零。 考虑积分 f (z) I dz C z z 0
练习 计算下列积分
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cos z 1. dz . 2 z 4 z -2 1
2 i cos2
e 2. dz . 2 z( z 1) z 3
z
i (e e 1 2)
二、高阶导数公式
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sin z 1) dz 2 i z 4 z
1
z 1 2) z 1 2 z 3 dz . z 4
3)
zi
1 1 z( z 2 1) dz .
2
例2 计算积分

C
sin

4 dz , 其中 C : 2 z 1
z
1 1 1) z 1 ; 2) z 1 ; 3) z 2. 2 2
2、公式给出了解析函数的一个积分表达式. 1 f ( ) f (z) d 2 i C z 3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分 1 f (z) 的一种方法 f ( z0 ) dz 2 i C z z0
例1 求下列积分
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例3 设f ( z )在闭区域D内解析，D的边界C是
由光滑或分段光滑曲线所组成若f ( z )在 C上恒为常数，证明f ( z )在D上恒为常数.
例4
设f ( z )与g( z )在区域D内解析，C为D内的 任意一条简单闭曲线，它的内部全含于 D, 如果f ( z ) g( z )在C上所有点成立， 试证f ( z ) g( z )在C内所有点处成立。
z
2)
C
ez dz . 2 2 ( z 1)
e dz . (n 为整数 ) 例6 求积分 n z z 1
三、一些结论
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1. 柯西不等式
若函数f z 在以z0为圆心，为半径的圆周 C上及其内部解析，如果对z C，有 M ( ) max f ( z ) ，则
f
(n)
n! f ( ) (z) d n 1 2 i C ( z )
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若函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有 任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析 函数 所以函数在一个区域内的解析性是很强的条 件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异 注意区分解析函数的导数与实函数的导数的 不同
高阶导数公式提供了计算某些复变函数 沿闭路积分的一种方法.
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f ( ) f (z) C ( z )n1 dz 2 i n!
(n)
例5 计算下列积分 , 其中 C 为正向圆周 : z r 1.
1)
C
cos z dz; 5 ( z 1)
定理2 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数,
它的 n 阶导数为:
f
(n)
n! f ( ) (z) d n 1 2πi C ( z )
( n 1,2,)
其中 C为在函数 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z的任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内 部全含于 D.
练习 设 C 是不通过 z0 的简单闭曲线,
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z z 求 g ( z0 ) dz . 3 ( z z0 ) C
4 2
答案
z0 在 C 外, g( z0 ) 0;
z0 在C 内, g( z0 ) 2(6 z0 1)πi .
2
| z z0 |
柯西不等式
f
n
z0
n!

M ( )

n
n 1,2,3,
注：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关；
2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数.
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整函数：在整个复平面解析的函数 3. 莫勒拉定理
若f ( z )在区域D内连续，且对于D内的任一条 简单闭合曲线C , 有

C
f (z) dz 将接近于 z z0

C
f ( z0 ) dz . ( 缩小) z z0

C
1 f ( z0 ) dz 2 if ( z0 ). dz f ( z 0 ) C z z z z0 0
2. 柯西公式
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1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在； f (z) 2) 在上述闭圆盘上 不解析，I的值 z z0
不一定为0;
例如： f ( z ) 1时，I 2 i .
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现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。
作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 C : z z0 ,

C
f ( z )dz 0
那么f ( z )在D内解析 .
小结
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柯西积分公式是复积分理论中的重要公式 它表述了: 一个解析函数在区域内部的值 可以用它在边界上的值通过积分表示。 1 f ( ) f (z) d . 2 i C z 并且解析区域内每一点的所有的导数也可 通过积分公式计算。
定理1 (柯西公式)
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界 区域, 设f ( z )在D及C所组成的闭区域D上解析， 那么在D内任一点z，有
1 f ( ) f (z) d 2 i C z
C是D的正向边界，我们称它为柯西公式。
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注解 1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域 内任一点所取的值可以用它在边界上的值表 (这是解析函数的又一特征) 示出来。
根据闭路变形原理知, 得
f (z) f (z) C z z0 dz C z z0 dz
因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。
由 f ( z ) 的连续性,
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在C 上函数 f ( z ) 的值将随着 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,