复变函数教案7.3.2

第七章 共形映射
教学课题：第三节 黎曼存在定理
教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；
2、充分了解边界对应定理；
3、了解线性变换的不动点；
4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。

教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。

教学过程： 8、实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。

例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。

解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数
1
1
'-+=
z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。

由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。

平面-z O
)
1(-B )(i D -)
0(A C
平面-'w C
)1(-D )
1(B )0(A C
平面
-w
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1
1
'，
半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。

根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2
'arg π
π<
<w 。

最后作映射
2'w w =，
当w'在第三象限中变化时，arg w'在π2及π3之间变化。

因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。

因此，所求单叶函数为： 2
2
)1
1('-+==z z w w 。

例2、求作一个单叶函数，把z 平面上的带形π<<z Im 0保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。

解：函数
z e w ='，
把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。

取
w'
平面上
关于
实轴的对称点-i 及i ，那么函数
i
w i
w w +-='', O
i
-i
平面-'
w
把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。

因此，我们得到
i
e i e w z z +-=.
例3、求作一个单叶函数，把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。

解：容易验证，分式线性函数
1
1
'-+=
w w w ， 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成
w'平面上的负实轴，把扩充w
平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。

另一方面，分式线性函数
1
1-+=
z z ζ， 把圆|z |=1保形映射成
ζ平面上的 虚轴。

由于它把z=2映射成3=ζ，可见它
把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成
ζ平面上的右半平面。

显然
2'ζ=w ，
平面
-z O
平面
-ζC
平面
-w 1
-1
平面
-'w O
把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。

因此我们得到
2
1111⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-+z z w w
由此可得函数
)
1(21z
z w += 即为所求函数。

例4、求作一个单叶函数，把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映
射成w 平面上的上半平面，并且使得
0)0(,1)2/(=±=±f f π。

解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数
iz e w ='，
把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。

把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数
2
11'1'⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+=iw iw w ，
因此，我们得到把以给半带域保形映射成1w 平面的上半平面的单叶函数，不过
这时2/,0,2/ππ-=z 分别被映射成0,1,1-∞=w 。

作分式线性函数，
把0,1,1
-∞=w 映射成1,0,1+-=w ：
1
111-+-=w w w ，
最后得到所求的单叶函数：
z e e i
iw w iw iw iw iw w iz
iz sin )(21'21')1'()1'()1'()1'(22
222=-=-=--+-++-=-。

例5、在z 平面的上半平面上，沿虚轴作一长h 为的割线。

求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w 平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。

为此，用在上述区域内的单叶解析函数
2'z w =，
)
1(-A )
1(C )0(B 平面
-w
平面-z 平面
-'w )
(∞A )
0(C )1(-B 平面
-1w
把z 平面的第一及第二象限分别映射成w'平面的上半平面及下半平面。

这时射线AD 被映射成w'平面上正实轴的上沿，DC 被映射成从0到2h 的线段的上沿，CB 被映射成这条线段的下沿，BA 被映射成正实轴的下沿，于是z 平面上已给区域
被保形影射成w'平面除去射线2'Re ,0'Im h w w -≥=而得的区域。

显然，函数
21'h w w +=，
把w'平面的上述区域映射成1w 平面上除去正实轴所得的区域；而函数
1w w =，
又把这一区域映射成w 平面上的上半平面，其中1w 应理解为在正实轴的上沿
取正值的一个解析分支。

结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：
2221'h z h w w w +=+==。

x
y
O
平面
-z A
A
B
)(hi C D
平面
-'w )
(∞A )
(∞A )
0(D )
0(B )
(2h C -平面
-1w )
(∞A )
(∞A )
(2h D )
(2h B )
0(C 平面
-w )
(∞A )
(A )
(h B -)
(h D )0(C。