复变函数教案7.3.2

第七章 共形映射

教学课题：第三节 黎曼存在定理

教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义；

2、充分了解边界对应定理；

3、了解线性变换的不动点；

4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。

教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合

教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例：

在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数

1

1

'-+=

z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。

由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。

平面-z O

)

1(-B )(i D -)

0(A C

平面-'w C

)1(-D )

1(B )0(A C

平面

-w

显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1

1

'，

半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。

根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2

'arg π

π<

最后作映射

2'w w =，

当w'在第三象限中变化时，arg w'在π2及π3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。 因此，所求单叶函数为： 2

2

)1

1('-+==z z w w 。

例2、求作一个单叶函数，把z 平面上的带形π<

z e w ='，

把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。

取

w'

平面上

关于

实轴的对称点-i 及i ，那么函数

i

w i

w w +-='', O

i

-i

平面-'

w

把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。

因此，我们得到

i

e i e w z z +-=.

例3、求作一个单叶函数，把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。 解：容易验证，分式线性函数

1

1

'-+=

w w w ， 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成

w'平面上的负实轴，把扩充w

平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。

另一方面，分式线性函数

1

1-+=

z z ζ， 把圆|z |=1保形映射成

ζ平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3=ζ，可见它

把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成

ζ平面上的右半平面。显然

2'ζ=w ，

平面

-z O

平面

-ζC

平面

-w 1

-1

平面

-'w O

把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。

因此我们得到

2

1111⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=-+z z w w

由此可得函数

)

1(21z

z w += 即为所求函数。

例4、求作一个单叶函数，把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映

射成w 平面上的上半平面，并且使得

0)0(,1)2/(=±=±f f π。

解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数

iz e w ='，

把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。

把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数

2

11'1'⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+=iw iw w ，

因此，我们得到把以给半带域保形映射成1w 平面的上半平面的单叶函数，不过

这时2/,0,2/ππ-=z 分别被映射成0,1,1-∞=w 。作分式线性函数，

把0,1,1

-∞=w 映射成1,0,1+-=w ：

1

111-+-=w w w ，

最后得到所求的单叶函数：

z e e i

iw w iw iw iw iw w iz

iz sin )(21'21')1'()1'()1'()1'(22

222=-=-=--+-++-=-。 例5、在z 平面的上半平面上，沿虚轴作一长h 为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w 平面上的上半平面。

解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数

2'z w =，

)

1(-A )

1(C )0(B 平面

-w

平面-z 平面

-'w )

(∞A )

0(C )1(-B 平面

-1w