复变函数教案7.3.2
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第七章 共形映射
教学课题:第三节 黎曼存在定理
教学目的:1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义;
2、充分了解边界对应定理;
3、了解线性变换的不动点;
4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。
教学重点:线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点:线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合
教材分析:由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中,起着重要的作用。 教学过程: 8、实例:
在解决某些实际问题以及数学理论问题时,我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域,以便进行研究及计算,我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数,把半圆盘|z|<1,Im z >0保形映射成上半平面。 解:因为圆及实轴在-1及+1直交,所以作分式线性函数
1
1
'-+=
z z w , 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点,于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。
由于分式线性函数中的系数是实数,所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴;又由于z =0映射成w'=-1,半圆的直径AC 映射成w'平面上的负半实轴。
平面-z O
)
1(-B )(i D -)
0(A C
平面-'w C
)1(-D )
1(B )0(A C
平面
-w
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴;又由于z =i 映射成i i i w -=-+=1
1
',
半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系,已给半圆盘映射到w'平面上的的区域,应当在周界ABC 的左方,因此它是第三象限2
'arg π
π<
最后作映射 2'w w =, 当w'在第三象限中变化时,arg w'在π2及π3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。 因此,所求单叶函数为: 2 2 )1 1('-+==z z w w 。 例2、求作一个单叶函数,把z 平面上的带形π< z e w =', 把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。 取 w' 平面上 关于 实轴的对称点-i 及i ,那么函数 i w i w w +-='', O i -i 平面-' w 把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。 因此,我们得到 i e i e w z z +-=. 例3、求作一个单叶函数,把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。 解:容易验证,分式线性函数 1 1 '-+= w w w , 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成 w'平面上的负实轴,把扩充w 平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴(包括0)而得的区域。 另一方面,分式线性函数 1 1-+= z z ζ, 把圆|z |=1保形映射成 ζ平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3=ζ,可见它 把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成 ζ平面上的右半平面。显然 2'ζ=w , 平面 -z O 平面 -ζC 平面 -w 1 -1 平面 -'w O 把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。 因此我们得到 2 1111⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+=-+z z w w 由此可得函数 ) 1(21z z w += 即为所求函数。 例4、求作一个单叶函数,把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映 射成w 平面上的上半平面,并且使得 0)0(,1)2/(=±=±f f π。 解:把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用指数函数做映射,我们求得函数 iz e w =', 把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。 把坐标系按反时针方向旋转一个直角,并且应用例1中的映射,得到函数 2 11'1'⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-+=iw iw w , 因此,我们得到把以给半带域保形映射成1w 平面的上半平面的单叶函数,不过 这时2/,0,2/ππ-=z 分别被映射成0,1,1-∞=w 。作分式线性函数, 把0,1,1 -∞=w 映射成1,0,1+-=w : 1 111-+-=w w w , 最后得到所求的单叶函数: z e e i iw w iw iw iw iw w iz iz sin )(21'21')1'()1'()1'()1'(22 222=-=-=--+-++-=-。 例5、在z 平面的上半平面上,沿虚轴作一长h 为的割线。求作一个单叶函数,把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w 平面上的上半平面。 解:首先作映射,把割线去掉,使已给区域的全部边界都变到w'平面的实轴上。为此,用在上述区域内的单叶解析函数 2'z w =, ) 1(-A ) 1(C )0(B 平面 -w 平面-z 平面 -'w ) (∞A ) 0(C )1(-B 平面 -1w