线性代数—4.4 正定性

❖ 正定空间与正定指数 设 V 为 Rn 的一个子空间, 如果对V 中任一非零向量 x,
恒有 f (x)>0, 那么称 V 为 n 元二次型 f (x) 的一个正定空间.
对于二次型 f (x), 记 p( f ) = max{ f (x) 的正定空间的维数}
称 p( f ) 为 f 的正定指数. • 二次型 f (x) = xTAx 的正定空间和正定指数也称为对称阵 A 的正定空间和正定指数, 并记 p(A) = p( f ).
112
|
A1
|
=
1,
|
A2
|
=
1 1
1 2
=
1,
|
A3
|=|
A|=
1 2
2 3
3 =a5 a
所以当 a > 5 时, f (x) 为正定.
例1 当 a 取何值时, 二次型 f ( x) = x12 2x1x2 4x1x3 2x22 6x2 x3 ax32
为正定.
解2 用配方法确定 f (x) 的惯性指数. f ( x) = ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 (a 4)x32 = ( x1 x2 2x3 )2 ( x2 x3 )2 (a 5)x32
f ( y1a1 L
y pa p ) = k1 y12 L
k
p
y
2 p
(1)
f ( y p1a p1 L
ynan
)
=
(k p1
y
2 p1
L
kr yr2 ) 0
(2)
由(1)知 V1 为 f (x) 的一个正定空间, 因此 p( f ) p. (3) 对 f (x) 的任一正定空间 V, 由(2)知 V V2 为零空间, 于是
L
kr yr2
其中 ki (i = 1, , r) 全为正数, r 为 f (x) 的秩.
设 e1, , en 为 n 维单位坐标向量组, 记 ai = Cei ,
V1 = L(a1,L ,a p ), V2 = L(ap1,L ,an )
易知 dim V1 = p, dim V2 = n p, 且有
akk
其中 | Ak | 称为 A 的 k 阶顺序主子式.
• 充分性的证明
对于一阶矩阵, 充分性显然成立. 假定对 n 1 阶矩阵
充分性也成立, 则 An 1 为正定矩阵. 从而 Rn 1 为 An 1 的 正定空间. 令 Vn = { x Rn | xn = 0},对 x = ( x1,L , xn1,0)T, 记 y = ( x1,L , xn1)T , 由 xT Ax = yT An1 y, 可知 Vn 为 A 的 一个 n 1 维正定空间, 从而 p(A) n 1. 由 det A > 0, 可知
p源自文库A) n 1, 于是 p(A) = n, 即 A 为正定矩阵.
例1 当 a 取何值时, 二次型
f ( x) = x12 2x1x2 4x1x3 2x22 6x2 x3 ax32 为正定.
解1 二次型 f (x) 的矩阵为
1 1 2 A= 1 2 3
2 3 a
计算 A 的顺序主子式
dimV dimV2 = dim(V V2 ) n 即得 dim V p, 从而 p( f ) p, 结合(3)得 p = p( f ).
❖ 正定二次型与正定矩阵 设 f (x) = xTAx 为 n 元二次型, 若 x 0 时, 恒有 f (x)>0
那么称 f (x) 为正定二次型, 称 A 为正定矩阵. • n 元二次型 f (x) = xTAx 为正定的充分必要条件是
§4.4 正定性
二次型化为标准形的方法并不唯一, 标准形有无数个. 即使如此, 标准形还是有一些不变量, 如秩, 以及标准形中 正负系数项的个数等. ❖ 惯性定理
二次型的任何标准形中, 正(负)系数项的个数为定值. 称此定值为正(负)惯性指数. • 二次型的对称矩阵的所有正特征值的代数重数之和就是 正惯性指数. • 二次型的对称矩阵的所有负特征值的代数重数之和就是 负惯性指数. • 二次型的负惯性指数等于秩减去正惯性指数.
当且仅当 a > 5 时, f (x) 的正惯性指数等于变元个数 3, f (x) 为正定.
❖ 半正定二次型与半正定矩阵 设 f (x) = xTAx 为 n 元二次型, 若 x 0 时, 恒有 f (x) 0
那么称 f (x) 为半正定二次型, 称 A 为半正定矩阵.
❖ 负定二次型与负定矩阵 设 f (x) = xTAx 为 n 元二次型, 若 x 0 时, 恒有 f (x) < 0
a11 L
| Ak | = M ak1 L
a1k M > 0, (k = 1,L , n)
akk
其中 | Ak | 称为 A 的 k 阶顺序主子式.
• 必要性的证明
对任一非零
k
(k
<
n)
维向量
x,
令
n
维向量
y
=
x 0
,
则 y 为非零向量.
将 A 分块为
A
=
Ak C
B D
,
则
xT
Ak
x
=
(
xT
p(A) = p( f ) = n.
❖ 定理1 n 元二次型 f (x) = xTAx 为正定的充分必要条件是对称
阵 A 的特征值全为正数, 也即 f (x) 的正惯性指数等于 n .
推论 若对称阵 A 为正定, 则 | A | > 0.
❖ 霍尔维茨(Hurwitz)定理
n 阶对称阵 A = (aij) 为正定的充分必要条件是
,
0T
)
Ak C
B D
x 0
=
yT Ay
>
0
因此 Ak 为正定矩阵. 由定理1推论知, | Ak | > 0 (k = 1,L , n).
❖ 霍尔维茨(Hurwitz)定理
n 阶对称阵 A = (aij) 为正定的充分必要条件是
a11 L
| Ak | = M ak1 L
a1k M > 0, (k = 1,L , n)
❖ 惯性定理* 二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.
• 二次型的正惯性指数也即正定指数.
• 二次型的任何标准形中正系数项的个数等于正定指数.
证明 不妨设可逆线性变换 x = Cy, 使 f (x) 化为标准形
f (x) =
f (Cy) = k1 y12 L
kp
y
2 p
k
p1
y
2 p1
那么称 f (x) 为负定二次型, 称 A 为负定矩阵.
• 二次型 f (x) = xTAx 为负定, 也即对称阵 (A) 为正定矩阵, 也即 f (x) 的负惯性指数等于变元个数.