有限元作业

有限元作业答卷一、问题解答1、解：令221()()2()2dy p x q x y f x y dx ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦π则可以得到()()y q x y f x π=-，()y dy p x dx 'π=，()y d d dy p x dx dx dx '⎛⎫π= ⎪⎝⎭又有其Euler 方程公式为：0u u d dx'ππ-= 综上得到原泛函问题的Euler 方程及其边界条件为：()()(),[,](1().1.1),()a b d dy p x q x y f x x a b dx dx y a y y b y ⎧⎪⎨⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭==⎪⎩2、（1）解：引入Sobolev 空间0V H ()∞=Ω,任取V v ∈乘以方程两端积分： (((,))(,))(,)k x y u q x y u vdxdy f x y vdxdy ΩΩ-∇∙∇+=⎰⎰⎰⎰再利用格林公式得到：((,)(,))(,)(,)uk x y u v q x y uv dxdy k x y vds f x y vdxdy n ΩΓΩ∂∙∇∇+-=∂⎰⎰⎰⎰⎰ 由边界条件得到：(,)((,)(,))(,)(,)g x y k x y u v q x y uv dxdy f x y vdxdy k x y vds nΩΩΓ∂∙∇∇+=+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 令 A(,)((,)(,))(,)F()(,)(,)u v k x y u v q x y uv dxdy g x y v f x y vdxdy k x y vdsn ΩΩΓ⎧=∙∇∇+⎪⎪⎨∂⎪=+∂⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 得变分方程A(,)F(),(1.2.1)u v v v V=∈其解0u H ()∞∈Ω便为椭圆型方程第一边值问题的Galerkin 意义广义解。

（2）证：下面用Lax-Milgram 定理证明广义解的存在唯一性。

首先，由Hilbert 空间的Schwarz 不等式得到1(,)V f v f v f v v ≤≤∀∈又有1(,)()(,)g x y f v k x y v d s n Γ∂=∂⎰有界 于是11F(v)(,)(,)f v f f v f =+≤+，即F(v)在V 上是有界的。

其次，A (,)((,)(,))u v k x y u v q x y u v d x d y Ω=∙∇∇+⎰⎰中，A(,)u v 对称是显然的。

并且有：12((,)(,))(,)(,)K (,)Q (,)M ,V(),A ,k x y u v q x y uv dxdyk x y u vdxdy q x y uvdxdy u v u v uv u u v v ΩΩΩ∇∇+∇∇+≤∇∇=+≤≤∈⎰⎰⎰⎰⎰⎰说明A (,)u v 在V 上是有界的。

再证A (,)u v 正定，因为对于u V H ()∞∈=Ω， ()()()()222222222221((,)(,))(,)(,)(,)(,)(,)(,)A(,)x y x yk x y u q x y u dxdyk x y u dxdy q x y u dxdy k x y u u dxdy q x y uk x y u u q x y uu u u ΩΩΩΩ∇+=∇+=++=++≤α=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据Lax-Milgram 定理可知变分方程存在唯一解0u H ()∞∈Ω。

它是边值问题的Galerkin 广义解。

3、解：将第一边值条件齐次化，令b a u v x b ab aβ-αα-β=++--得,(,)(1.3.1)()()0d dv b a p q v x f x a b dx dx b a b a v a v b ⎧β-αα-β⎛⎫⎛⎫-+++=∈⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎨⎪==⎩取广义解空间}{120V H [,],,()()0T a b v v v L v a v b ==∈==，再进行变分求广义解。

任取V v ∈，用它乘以式（1.3.1）中第一式的两边，并在区间I=[a,b]上积分：V bb a a d du b a p q u x vdx fvdx v dx dx b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫⎛⎫-+++=∀∈ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰对左端分部积分，bb b a a a du du dv b a p v p q u x v dx fvdx dx dx dxb a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫-++++= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰⎰， 利用()()0v a v b ==，左端第一项为0，带入上式得()()()()V(1.3.2)bb a a b a pu x v x q u x x v x dx fvdx v b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫''+++=∀∈ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰⎰如前所述，满足（3.2）式的解V u ∈称为原两点边值问题Galerkin意义的广义解。

引入空间V 上的双线性泛函A(,)()()()()(1.3.3)ba b a u v pu x v x q u x x v x dx b a b a ⎡β-αα-β⎤⎛⎫''=+++ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎰和线性泛函()()()(1.3.baF v f x v x d x=⎰于是原问题的Galerkin 广义解V u ∈可以表示为：A(,)(),V(1.3.5)u v F v v =∀∈下面用等距节点线性元推导有限元方程。

从（1.3.3）式可以得出，A(,)u v 不对称，下面采用Galerkin 法建立有限元方程。

可以知道变分方程为（1.3.5）式，求V u ∈使得（1.3.5）式成立。

下面构造V 的有限维子空间V h12V {(),(),...,()}h n span x x x =ϕϕϕ使得子空间V h 的形成按以下步骤进行：1）剖分区间I =[a ,b ] 011......i i n a x x x x x b-=<<<<<<= 由于是等距节点剖分，则有单元长度1()/i i h x x b a n -=-=-，于是()/i x a i b a n =+-，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。

2）线性函数的构造 取1,()0,e 1,2,...,i i i x i x x x hn--⎧∈⎪ϕ=⎨=⎪⎩其它可以得到12V {(),(),...,()}V h n span x x x =ϕϕϕ⊂。

假设在i x 处()u x 的值i u （未知），则在V h 中V u ∈的近似解为：nh i i i 1u (x)u (x)(1.3.6)==ϕ∑从而得到近似变分方程：求()V h h u x ∈使得A(,)(),V (1.3.7)h h u v F v v =∀∈将（1.3.6）带入（1.3.7）并取(x ),1,2,...,j v j n=ϕ=得到： ()()()()()()()()()()()()()n i i j j i 1i j j 11j 12j 2j j 112111222212A u ,F(),j 1,2,...,n A ,F(),j 1,2,...,nA ,A ,...A ,F(),j 1,2,...,nA ,A ,...A ,A ,A ,...A ,............A ,A ,...A ,ni i n n n n n n n n u u u u ==⎛⎫ϕϕ=ϕ= ⎪⎝⎭⇒ϕϕ=ϕ=⇒ϕϕ+ϕϕ++ϕϕ=ϕ=⎡ϕϕϕϕϕϕ⎢ϕϕϕϕϕϕ⎢⇒⎢⎢ϕϕϕϕϕϕ⎣∑∑1122F()F()......F()n n u u u ϕ⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥ϕ⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥ϕ⎣⎦⎣⎦⎦(1.3.8)Ku F⇒=要求解此方程组，首先需要计算出系数矩阵K 和常数向量F ，而根据12(),(),...,()n x x x ϕϕϕ的结构可知，()i j (),()0,x x i j ϕϕ≡≠。

这时方程组（1.3.8）的系数矩阵：()()()1122A ,0...00A ,...............00...A ,n n K ⎡ϕϕ⎤⎢⎥ϕϕ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ϕϕ⎣⎦作仿射变换 1,i i x x x e h --ξ=∈可将11,,...,n e e e 变成标准单元[0,1]e =。

引入函数011,[0,1],[0,1]()()0,0,N x N x -ξξ∈ξξ∈⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其它其它111e (0),,(),i i i i x x x x x N hhx ---⎧∈⎪ϕ-ξξ===⎨⎪⎩其它由1i x x h -=+ξ得，()111111120A ,1()()()1,2,()()()()...,i i x i i i i i i x i i i dx x h x h N x h N d h b a p x q x x b a b a b a b b a np a i q ----⎡β-αα-β⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎡β-αα-β⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦''ϕϕ=ϕϕϕϕ=+ξ+ξξ+ξξξ=⎰⎰111()()(())bi i ai F f x x h N h f d dx-+ϕξξ==ξϕ⎰⎰带入（1.3.8）式得到相应方程组K u F= 则 ()(),u =A 1,2,...,(1.3.9,/)i i i i F i nϕ=ϕϕ这就是我们需要求的线性代数方程组——有限元方程。

4、解：取广义解空间}{120V H [0,1],,(0)0T v v v L v ==∈=，再进行变分求广义解。

任取V v ∈，用它乘以式4题中第一式的两边，并在区间I=[0,1]上积分：211200V d u u vdx vdx v dx ⎡⎤-+=∀∈⎢⎥⎣⎦⎰⎰对左端分部积分，111000du du dv v uv dx vdx dx dx dx ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰利用(0)0v =以及边界条件(0)0u '=，再加之4题中第一式可以推出，左端第一项为0，带入上式得：[]11()()()()()(1.4.1)u x v x u x v x dx v x dx''+=⎰⎰于是原问题的Galerkin 广义解V u ∈可以表示为：A(,)(),V(1.4.2)u v F v v =∀∈其中： []1A(,)()()()()(1.4.3)u v u x vx u x v x dx''=+⎰1()()(1.4.4)F v v x dx=⎰剖分区间I =[0,1] 0110 (1)i i n x x x x x -=<<<<<<= 单元长度11/i i i h x x n h -=-==，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。