平面有限元法作业

在单元的边界 x = ±a 及 y = ±b 上，位移是按线性变化的，而在公共边界上有两个节点相
连，这两个公共节点有共同的节点位移值，从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的 连续性。故四节点矩形单元满足位移连续性条件。#
{ } 3-7：求以下受力单元的等效节点载荷 R 。已知：lij、lim、lmj 、
⎢⎣ 0 0 0
0 0.5 0
0
0 − 0.5 − 0.5 0 0.5 ⎥⎦12×12
利用矩阵的运算关系
[ ] [ ] [k]T =
B]T [D][B]tA T
= [B]T [D]T
[B]T
T
tA
由于 [D]是对称矩阵， [D]T = [D]
所以 [k]T = [B]T [D] [B]tA = [k]，即 [k]为对称矩阵。#
3-5：图示平面等腰三角形单元，若 μ = 0.3 ，弹性模量为 E，厚度为 t，求形函数矩阵 [N ]、 应变矩阵 [B] 及单元刚度矩阵 [K ]。（补充题意：平面应力情况）
q、P，厚度 t，P 点作用在 jm 中点处，沿 x 方向，三角形分布 载荷垂直于 ij 边。
4
解：q 的单元 N/m2 ，设厚度为 t，如图示
Xi
=
−
1 3
qlij
t
cos
30°
=
−
3 6
qlij
t
Yi
=
−
1 3
qlij
t
sin
30°
=
−
1 6
qlij
t
等效节点载荷
X
j
=
−
1 6
qlijt cos30° +
第三章作业
3-1：试证明平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于 1。
证明 1：设单元发生 X 方向的刚体位移 u0 ，则单元内到处应有位移 u0 ，有 ui = u j = um = u0
( ) u = Niui + N ju j + Nmum = Ni + N j + Nm u0 = u0
Ni + N j + Nm = 1
三角形单元的刚度矩阵
3
⎡1
⎢
⎢0
⎢
( ) [k]e
=
BT
DBtA
=
2
Et 1− μ2
⎢ ⎢ ⎢
0 μ
⎢
⎢ −1
⎢
⎢⎢⎣− μ
1− μ 对 2
1− μ 1− μ
22 0 01 μ −1 μ −1 − μ 22 μ −1 μ −1 −1 22
称 3−μ
2 1+ μ
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
3
−
μ
⎥ ⎥
2 ⎥⎦ 6×6
μ −1
−μ
3−μ
⎥ ⎥
⎢ ⎢⎢⎣− μ
2 μ −1
2
2 μ −1
2
−1
2 1+ μ
2
3
−
μ
⎥ ⎥
2 ⎥⎦ 6×6
7
μ =0
总体刚度矩阵
⎡ 1 0 0 0 −1 0 ⎤
⎢ ⎢
0
0.5
0.5
0 − 0.5 − 0.5⎥⎥
[k ]e
=
Et 2
⎢ ⎢ ⎢
0 0
0.5 0
0.5 0
0 − 0.5 − 0.5⎥
a
⎥ ⎦ 2×6
求应变矩阵
[Bi
]
=
1 2A
⎡bi ⎢⎢0 ⎢⎣ci
0 ⎤ ⎡1
ci bi
⎥ ⎥ ⎥⎦
=
1 a
⎢⎢0 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡0 0⎤
⎡−1 0 ⎤
[ ]Bj
==
1 a
⎢⎢0 ⎢⎣1
1⎥⎥ 0⎥⎦
， [Bm ]
==
1 a
⎢ ⎢
0
⎢⎣− 1
− 1⎥⎥ − 1⎥⎦
则
应力矩阵
⎡1 0 0 0 −1 0 ⎤
00
0⎤ ⎥
[ ] [ ] [ ] k 1+3 23
k k 2
2+3
24
25
0
⎥
[ ] [ ] [ ] k33 0 1+3+4
k 3+4 35
k36 4
⎥ ⎥
0
[k44 ]2 [k45 ]2
0
⎥ ⎥
[ ] [ ] [ ] [ ] k k 3+4
2
53
54
k55
2+3+4
k56
4⎥ ⎥
[k63 ]4
[ ] [ ] 0 k65 4
形函数 形函数矩阵：
A = 1 a2 2
Ni
( x,
y)
=
1 2A
(ai
+
bi x
+
ci
y)
=
x a
N
j
( x,
y)
=
1 2A
(a
j
+
bj
x
+
cj
y)
=
y a
Nm
( x,
y)
=
1−
x a
−
y a
[N
]
=
⎡x / a
⎢ ⎣
0
0 x/a
y/a 0
0 y/a
1− x/a − y/a 0
0
⎤
1−
x/
a
−
y
/
1
0
−1
⎥ ⎥
⎢−1 − 0.5 − 0.5 0 1.5
⎢ ⎢⎣ 0
− 0.5 − 0.5 −1
0.5
0.5 ⎥ ⎥
1.5 ⎥⎦ 6×6
⎡ 0.5 0 − 0.5 − 0.5 0 0.5 0 0 0 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
⎥ ⎥
⎢− 0.5 0 3 0.5 − 2 − 0.5 − 0.5 − 0.5 0 0.5 0 0 ⎥
u = Niui + N ju j v = Nivi + N jv j
故三角形的三边上的点的形函数只与边上节点的坐标有关，而与第三点无关。#
3-3：证明三角形单元是常应变单元。
证明：
u = α1 + α2x + α3 y ， v = α4 +α5x +α6 y
εx
=
∂u ∂x
=α2
εy
=
∂v ∂y
= α6
y
x 解：对平面等腰直角三角形建立图示坐标系。
2
ai = x j ym − xm y j bi = y j − ym ci = −x j + xm
ai = 0, bi = a, ci = 0 ， a j = 0, b j = 0, c j = a ; am = a 2 , bm = −a, cm = a
[ [ ] ] [B]=
[Bi ]
Bj
[Bm
]
=
1 a
⎢⎢0 ⎢⎣0
0 1
0 1
1 0
0 −1
−1⎥⎥ − 1⎥⎦ 3×6
⎡ ⎢1 0
0
μ
−1
−μ
⎤ ⎥
[S
]
=
[[Si
][S
j
][Sm
]]=
E
a(1− μ
2
) ⎢⎢μ
⎢0
0 1− μ
0 1− μ
1 0
−μ μ −1
μ−−11⎥⎥⎥
⎣2 2
2
2 ⎦3×6
⎥
0⎥
0
⎥ ⎥
⎢ 0 0 − 0.5 −1 0 0 0.5 1.5 0 − 0.5 0 0 ⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0.5 −1 − 0.5 −1
0
3 0.5 −1 − 0.5⎥⎥
⎢ 0 0 0.5 0 − 0.5 − 2 − 0.5 − 0.5 0.5 3 0 − 0.5⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
01
0
⎥ ⎥
0
0 k356 0 k 5+6
56
k 5+6+9 66
0
0
0
k
4 47
k 4+7 57
0
k 4+7+8 77
0 0 0 0 k 6+7
58
k 6+9 68
k 7+8 78
k 6+7+8+9+10+11 88
称
0
0
0
0
0
k
9 69
0
k 9+10 89
k 9+10+12 99
0 0 0 0 0 0 k8
3-2：试证明三角形单元的任一边上的一点的三个形函数与第三个顶点的坐标无关。 证明 1：设 k 是三角形 ij 边上的任一点，点 k 面积坐标得
Nm = Lm = 0
#
证明 2：三角形单元是协调单元，必须在单元边界上保持连续性，所以在单元边界上的点的 位移只能由边上两个节点的形函数来贡献，否则就会撕裂和重叠，即（如在 ij 边上的点）
1
γ xy
=
∂u ∂y
+