高考专题复习数学数列求和精选课件
合集下载
高考数学第五章数列求和-教学课件
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
答案：(n－1)·2n＋1＋2
n C.n－1
n＋1 D. n
解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a，∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n， ∴f1n＝n2＋1 n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1， ∴Sn＝f11＋f12＋f13＋…＋fn－1 1＋f1n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得 a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝31n.
高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
高考数学一轮复习第四章第四讲数列求和课件
已知数列{an} 的首项 a1＝1，且________. (1)求{an} 的通项公式； (2)若 bn＝ana2n＋1，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：(1)选①(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)，an＞0， 由(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)， 可得 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2(n≥2)， 所以 {an} 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
则数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋ b4＋…＋b2n)
＝(1＋5＋…＋4n－3)＋4113－17＋17－111＋…＋4n1－1－4n1＋3 ＝12n(1＋4n－3)＋1413－4n1＋3 ＝2n2－n＋3(4nn＋3).
考点二 裂项相消法求和
[例 2](2022 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，Sann是公差为13的等差数列.
(2)由(1)及 bn＝laong，2ann为，偶n为数奇，数，
得 bn＝n2－ n-1，1，n为n为偶奇数数，， ∴T2n ＝ (0 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2n － 2) ＋ (2 ＋ 23 ＋ … ＋ 22n-1) ＝ 0＋22n－2×n＋2(11－－44n)＝23×4n＋n2－n－23＝13×22n+1＋n2－n－32.
【题后反思】
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或 等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝abnn， ，nn为 为偶奇数数，， 其中数列 {an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
解：(1)选①(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)，an＞0， 由(an＋1)2＝a2n－1 ＋4an＋2an－1＋1(n≥2)， 可得 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为 an＞0，所以 an－an－1＝2(n≥2)， 所以 {an} 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
则数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋ b4＋…＋b2n)
＝(1＋5＋…＋4n－3)＋4113－17＋17－111＋…＋4n1－1－4n1＋3 ＝12n(1＋4n－3)＋1413－4n1＋3 ＝2n2－n＋3(4nn＋3).
考点二 裂项相消法求和
[例 2](2022 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，Sann是公差为13的等差数列.
(2)由(1)及 bn＝laong，2ann为，偶n为数奇，数，
得 bn＝n2－ n-1，1，n为n为偶奇数数，， ∴T2n ＝ (0 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2n － 2) ＋ (2 ＋ 23 ＋ … ＋ 22n-1) ＝ 0＋22n－2×n＋2(11－－44n)＝23×4n＋n2－n－23＝13×22n+1＋n2－n－32.
【题后反思】
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或 等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为 cn＝abnn， ，nn为 为偶奇数数，， 其中数列 {an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
高考数列总复习数列求和省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
高考总复习
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法： （1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值 解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练 习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法： （1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值 解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练 习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
6.4数列求和课件高三数学一轮复习
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解 集为(1，2). (1)求数列{an}的通项公式； 解 设等差数列{an}的公差为d， 因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)， 所以Sa12＝1＋2＝3. 又S2＝2a1＋d，所以a1＝d， 易知a21＝2，所以 a1＝1，d＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝n.
即23Tn＝3111－－3131n－3nn＋1
＝121－31n－3nn＋1，
整理得 Tn＝34－24n×＋33n，
则 2Tn－Sn＝234－24n×＋33n －231－31n＝－3nn<0，故 Tn<S2n.
训练 3 在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a2n＋1＝anan＋2，S2＝ －3，a3＝－4 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答. 问题：已知单调数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足________. (1)求{an}的通项公式；
即aann＋－11＝4，
所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1； 由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，
同理可得，a2k＝－2×4k－1 ＝－22k－1(k∈N*). 综上，an＝－2n－1.
数列中的奇偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数 列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确奇偶项问题. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的 和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解 集为(1，2). (1)求数列{an}的通项公式； 解 设等差数列{an}的公差为d， 因为关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)， 所以Sa12＝1＋2＝3. 又S2＝2a1＋d，所以a1＝d， 易知a21＝2，所以 a1＝1，d＝1. 所以数列{an}的通项公式为an＝n.
即23Tn＝3111－－3131n－3nn＋1
＝121－31n－3nn＋1，
整理得 Tn＝34－24n×＋33n，
则 2Tn－Sn＝234－24n×＋33n －231－31n＝－3nn<0，故 Tn<S2n.
训练 3 在①Sn＝2an＋1；②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1；③a2n＋1＝anan＋2，S2＝ －3，a3＝－4 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答. 问题：已知单调数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足________. (1)求{an}的通项公式；
即aann＋－11＝4，
所以{a2k－1}(k∈N*)为等比数列，其中首项为a1＝－1，公比为4， 所以a2k－1＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1； 由a1＝－1，log2(a1a2)＝1，得a2＝－2，
同理可得，a2k＝－2×4k－1 ＝－22k－1(k∈N*). 综上，an＝－2n－1.
数列中的奇偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数 列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确奇偶项问题. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的 和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
数列求和课件高三数学一轮复习
-2n
1
9·4 -1
+
1
1
+…+
2
4
4
−
−
4 +1
3·4
4 +1
.②
− 4 +1 ,
1
3
1
3·4
4
9
3+4
.
9·4
= −
= −
−
4 +1
,
规律方法 错位相减求和法的方法步骤
设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公
所以当 k 为偶数时,(Sn)max= =
2
当 k 为奇数时,(Sn)max=+1 =
2
2
=25,解得
4
2 -1
=25,此时
4
k=10;
k 无整数解.
综上可得,k=10,Sn=-n2+10n.
当n=1时,a1=S1=9.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,
故数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2n.
(2)由(1)知 bn=log2a2n-1=2n-1,
1
所以
+1
所以
=
=
1
Tn=
1 2
1
1
(1-3
2
1
3
1
(2-1)(2+1)
+
1
2 3
1
5
第5章 第4讲数列求和-2022版高三数学(新高考)一轮复习课件_ppt(56张)
天气骤冷2，0红2旗0 冻结。这句诗形象的写出了色彩鲜明、红白映衬的景象，“掣”字用了拟人的修辞手法，生动形象的写出了塞外天气的恶劣，寒风的呼啸。但在这样的环境下，红
旗却被冻的不会翻动了，更加突出了雪之大、天气之寒冷。从“红”字能反衬出白雪皑皑的景象，而“不翻”则衬托出了天气的寒冷。 二是语言清新淡雅而又晶莹明丽，明白晓畅而又情韵悠长。
返回导航
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
返回导航
知识梳理 • 双基自测
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
返回导航
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
旗却被冻的不会翻动了，更加突出了雪之大、天气之寒冷。从“红”字能反衬出白雪皑皑的景象，而“不翻”则衬托出了天气的寒冷。 二是语言清新淡雅而又晶莹明丽，明白晓畅而又情韵悠长。
返回导航
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
返回导航
知识梳理 • 双基自测
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
返回导航
第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
新高考数学总复习专题七数列求和、数列的综合课件
考法一 错位相减法求和 1.当{an}是等差数列,{bn}是等比数列时,求数列{an·bn}的前n项和常采用错 位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: 1)要善于辨认题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. 2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,那么应用公 式Sn=na1.
3
9
9
考法二 裂项相消法求和 1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项 法”,分式型数列的求和多用此法. 2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后 一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整 前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.
例2 (202X届校际联考,18)已知数列{an}满足an+2=2an(n∈N*),a1=1,a2=2. (1)求数列{an}的前30项和S30;
(2)设bn=
log4a2n
1 log4a2n2
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由已知a1=1,a2=2,得a3=2,a4=4,a5=4,a6=8,……,
2.数列与不等式的综合问题 1)判断数列问题中的不等关系时,可以利用数列的单调性,或者借助数列 对应函数的单调性、作差或作商比较大小; 2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题时,可转化为数列的最值问题, 可利用数列单调性或数列对应函数的单调性; 3)解决与数列有关的不等式的证明问题时,可构造函数证明,或利用放缩 法证明.
是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般情势是 an1 =q(q为常数,且q≠0).
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
1 n
Sn
3
.
2
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
数列求和
一、公式法
1. 等差数列求和公式：
Sn
a1
2
an
n
ap
2
aq
n,
p
q
n
1
;
Sn
a1n
n n 1
2
d
d 2
n2
a1
d 2
n
2. 等比数列求和公式：
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq , q 1 1 q
(2）设数列
bn
前 n 项和为Tn
,且 bn
4 an an 1
,
若 Tn n 36 (1)n 对 n N 恒成立,
求实数 的取值范围.
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，
且对一切正整数 n 都有 Sn
n2
1 2
an
.
（1）求证： an1 an 4n 2 （ n N * ）；
且 a1 、 a2 5 、 a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值；
(Ⅱ)求数列an 的通项公式；
(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,
有 1 1 1 3.
a1 a2
an 2
已知 an
1 n2
．
（1）证明：
n k 1
ak
7 4
；
（2）证明：
n
ak
k 1
5． 3
n 1
n N
，
则在数列an 中 a1 a2 a8
已知等差数列an 的公差为 2 ，
前 n 项和为 Sn ，且 S1, S2 , S4 成等比数列
（1）求an 的通项公式；
（2）令 bn
1 n1 4n ， an1an
求数列的bn的前 n 项和Tn .
情窦初开的年华，一朵鲜花，谁采不是采，谁献不是献。也可以说、谁先采来谁先戴。但是、爱情还存有它诸多的要素与情感的诠释。 人到成熟自然而然就会寻求恋爱。恋爱会造就情侣的幸福与美满。爱情与年龄无关；有共同语言，相似情怀，类似的经历坦诚自然的交流，毫不做作的表现。只有深入了解，才有爱情的起因。爱情用真情来实现相互交流的过程。爱情是向往，是打造婚姻的基础。 爱情自由，婚姻自主。从古至今，在世俗面前往往是种摆设。门当户对，门第观念。才会有爱情悲剧故事的上演：《牛郎织女》《梁山伯与祝英台》《罗密欧与朱丽叶》等等。全面再现了封建世俗末世人性世态，揭示了弱势与强势的种种悲剧与无法调和的社会矛盾。 爱情的行为是柔，慢条斯理，不是急于求成。爱情是双方感情的因果，一个人的行为不叫爱情。爱情是有针对性的，千万别搞错，有的只是友情层面上对你好，那不是爱情。一个人来维持痴情那是很痛苦的一件事。没有物质的爱情是可悲的，他保证不了爱情的延续性。
数列 an 满足 an1 1n an 2n 1， 则an 的前 60 项和为（ ）
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
六、单调性、数列不等式
设数列an 的各项都为正数,
其前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn an2 2an .
(1）求 a1 及数列an 的通项公式；
a1b1
db1
q qn 1 q
anb1q n
qn ( n ) ．
已知 an 2n 1 2n ，设其前 n 项和为 Sn ，求 Sn
已知数列{an}和{bn} 满足， a1 2, b1 1, an1 2an (n N*),
11 b1 2 b2 3 b3
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
四、裂项相消法
• 等差型裂项 • 指数型裂项 • 根式型裂项 • 较复杂式子裂项 • 裂项求和与错位相减
数列 an 满足 a1 1 ，且 an1 an n 1 n N ，
则第 50 个括号内各数之和为
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软
件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1, 2，4，8，16， ，
其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ，21 ，在接下来的
（A） 2 (8n 1) 7
（C） 2 (8n3 1) 7
（B） 2 (8n1 1) 7
（D） 2 (8n4 1) 7
求 A 7 10 13 (3n 2) 和 B 19 17 15 (11 2n) 的值．
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
1 n
Sn
3
.
2
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
数列求和
一、公式法
1. 等差数列求和公式：
Sn
a1
2
an
n
ap
2
aq
n,
p
q
n
1
;
Sn
a1n
n n 1
2
d
d 2
n2
a1
d 2
n
2. 等比数列求和公式：
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq , q 1 1 q
(2）设数列
bn
前 n 项和为Tn
,且 bn
4 an an 1
,
若 Tn n 36 (1)n 对 n N 恒成立,
求实数 的取值范围.
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，
且对一切正整数 n 都有 Sn
n2
1 2
an
.
（1）求证： an1 an 4n 2 （ n N * ）；
且 a1 、 a2 5 、 a3 成等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值；
(Ⅱ)求数列an 的通项公式；
(Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,
有 1 1 1 3.
a1 a2
an 2
已知 an
1 n2
．
（1）证明：
n k 1
ak
7 4
；
（2）证明：
n
ak
k 1
5． 3
n 1
n N
，
则在数列an 中 a1 a2 a8
已知等差数列an 的公差为 2 ，
前 n 项和为 Sn ，且 S1, S2 , S4 成等比数列
（1）求an 的通项公式；
（2）令 bn
1 n1 4n ， an1an
求数列的bn的前 n 项和Tn .
情窦初开的年华，一朵鲜花，谁采不是采，谁献不是献。也可以说、谁先采来谁先戴。但是、爱情还存有它诸多的要素与情感的诠释。 人到成熟自然而然就会寻求恋爱。恋爱会造就情侣的幸福与美满。爱情与年龄无关；有共同语言，相似情怀，类似的经历坦诚自然的交流，毫不做作的表现。只有深入了解，才有爱情的起因。爱情用真情来实现相互交流的过程。爱情是向往，是打造婚姻的基础。 爱情自由，婚姻自主。从古至今，在世俗面前往往是种摆设。门当户对，门第观念。才会有爱情悲剧故事的上演：《牛郎织女》《梁山伯与祝英台》《罗密欧与朱丽叶》等等。全面再现了封建世俗末世人性世态，揭示了弱势与强势的种种悲剧与无法调和的社会矛盾。 爱情的行为是柔，慢条斯理，不是急于求成。爱情是双方感情的因果，一个人的行为不叫爱情。爱情是有针对性的，千万别搞错，有的只是友情层面上对你好，那不是爱情。一个人来维持痴情那是很痛苦的一件事。没有物质的爱情是可悲的，他保证不了爱情的延续性。
数列 an 满足 an1 1n an 2n 1， 则an 的前 60 项和为（ ）
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
六、单调性、数列不等式
设数列an 的各项都为正数,
其前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn an2 2an .
(1）求 a1 及数列an 的通项公式；
a1b1
db1
q qn 1 q
anb1q n
qn ( n ) ．
已知 an 2n 1 2n ，设其前 n 项和为 Sn ，求 Sn
已知数列{an}和{bn} 满足， a1 2, b1 1, an1 2an (n N*),
11 b1 2 b2 3 b3
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
四、裂项相消法
• 等差型裂项 • 指数型裂项 • 根式型裂项 • 较复杂式子裂项 • 裂项求和与错位相减
数列 an 满足 a1 1 ，且 an1 an n 1 n N ，
则第 50 个括号内各数之和为
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软
件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1, 2，4，8，16， ，
其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20 ，21 ，在接下来的
（A） 2 (8n 1) 7
（C） 2 (8n3 1) 7
（B） 2 (8n1 1) 7
（D） 2 (8n4 1) 7
求 A 7 10 13 (3n 2) 和 B 19 17 15 (11 2n) 的值．