河南省高一下学期数学期末考试试卷
河南省高一下学期期末数学试卷
河南省高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知△ABC和点M满足++=．若存在实数m使得+=m成立，则m=（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）已知等差数列前17项和，则（）A . 3B . 6C . 17D . 513. （2分）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）若，则是（）A . 等边三角形B . 有一内角是的三角形C . 等腰直角三角形D . 有一内角是的等腰三角形5. （2分）正项等比数列{an}中，lga3+lga8+lga13=6，则a1a15的值为（）A . 10000B . 1000C . 100D . 106. （2分） (2019高一下·湖州期末) 已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则（）A .B .C .D .7. （2分）在中，若，则这个三角形一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形8. （2分） (2016高二上·弋阳期中) 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A . ﹣3B . 0C . 1D . 39. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在直线为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，，，，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A . -1B .C .D . -12. （2分） (2020高二上·唐山月考) 已知，，且，则的最小值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）(2018·徐州模拟) 已知函数，函数，则不等式的解集为________．14. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n（n∈N*），则S2012=________15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 设的内角所对的边分别为，，，已知为钝角，且，若，则的面积的最大值为________．16. （1分）四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，则|+|=________17. （1分） (2020高二下·莲湖期末) 若不等式对恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共46分)18. （10分） (2015高一下·兰考期中) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），当k为何值时：（1） k + 与﹣3 垂直；（2） k + 与﹣3 平行，平行时它们是同向还是反向？19. （5分） (2017高一下·荔湾期末) 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距 km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？20. （1分） (2019高三上·丰城月考) 已知正项数列的前项和为，且定义数列：对于正整数，是使得不等式成立的的最小值，则的前10项和是________．21. （15分） (2019高二下·上海期末) 如图，在棱长为的正方体中，E，F，M分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若N为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若E、F分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点M，使平面 ?若能，试确定点M的位置，若不能，请说明理由.22. （5分）已知f（x）=ax2+bx+1．（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．23. （10分）(2019·晋城模拟) 已知等比数列的前项和为，其中， . （1）求数列的通项公式；（2）若为递增数列，求数列的前项和.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：略答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共46分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析
开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1i2i z +=+，则z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简得到31i 55z =+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-，所以z 的虚部为15.故选：B.2.在ABC 中，13BD BC = ，设,AB a AC b == ，则AD =（）A.2133a b +r rB.2133a b -+ C.4133a b -D.4133a b + 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案.【详解】由13BD BC =，可得，1()3AD AB AC AB -=-，整理可得，12133323a bAD AB AC +=+= .故选：A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“2枚硬币都是正面朝上”，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”，则下列A 与B 的关系中正确的个数为（）①A B ⊆②互斥③互为对立④相互独立A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，事件A =“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，事件B =“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，故A B ⊆，故①正确；②错误；事件A 的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；则()()121,442P A P B ===，()12P AB =，所以()()()P A P B P AB ≠，故④错误.故选：A .4.已知,m n 为空间中两条直线，,αβ为空间中两个平面，则下列说法正确的是（）A.若,m m n α⊥⊥，则n α∥B.若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m n ααββ⊥⊥∥，则m n ⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【解析】【分析】由选项A 的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A 选项；由选项B 的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B 选项；由选项C 的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C 选项；根据面面垂直的判定可以判断D 选项.【详解】对于A ，若,m m n α⊥⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；对于B ，若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥或,αβ相交，B 错；对于C ，若,,m n ααββ⊥⊥∥，则,m n 相交或//m n 或,m n 异面，C 错；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，当n ⊂α，又n β⊥，可得αβ⊥；当//n α时，如图，平面α内必然有一条直线设为l 与n 平行，由n β⊥，则l β⊥，由面面垂直的判定可得αβ⊥，所以D 正确．故选：D ．5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11，()()()()3,5,7,3,5,11,3,7,11,5,7,11，共10种，不能构成三角形的有()()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,3,5,11，()3,7,11共8种，故概率84105P ==.6.已知,O O '分别是圆柱O O '上､下底面圆的圆心，,A B 分别是上､下底面圆周上一点，若2O O O A '='，且直线O A '与OB 垂直，则直线AB 与O O '所成的角的正切值为（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，说明ABC ∠即为直线AB 与O O '所成的角的平面角，进而可得出答案.【详解】如图，过点B 作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点C ，连接,AC O C '，则BC ⊥平面AO C '，则//BC OO '，且BC OO '=，所以四边形BCO O '为平行四边形，所以//OB O C '，因为O A OB '⊥，所以O A O C ''⊥，设22O O O A a '=='，则2,,BC a OB O C a AC '====，因为BC ⊥平面AO C '，AC ⊂平面AO C '，所以BC AC ⊥，则tan 22AC ABC BC a ∠===，即直线AB 与O O '所成的角的正切值为2.故选：B.7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得3tan ,50m 4ACB CD ∠==，3cos ,cos 55BCD BDC ∠∠==，则塔高AB 为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求得BC ，再在直角ABC 中，利用正切函数的定义，求得AB 的长，即可求解．【详解】在BCD △中，350m,cos 5CD BCD BDC ∠∠===，所以4sin 55BCD BDC ∠∠==所以()34sin sin 55CBD BCD BDC ∠∠=+∠=+=，由正弦定理sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，可得4505BC ⨯==在直角ABC 中，因为3tan ,4ACB ∠=所以3tan 4AB BC ACB ∠=⋅==，即塔高为．故选：C ．8.如图，在平面四边形ABCD 中，90,2,A AB AD BCD ∠=== 为等边三角形，当点M 在对角线AC 上运动时，MC MD ⋅的最小值为（）A.-2B.32-C.-1D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用几何知识易得ABC ADC ≅△△，利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MD MC ⎛⋅=-- ⎝⎭，然后利用二次函数求解最值即可，【详解】由题意，2AB AD ==，4560105ABC ADC ∠=∠=+= ，22BC DC BD ===，所以ABC ADC ≅△△，所以ACB ACD ∠=∠，即AC 平分BCD ∠，由MD MC CD =+ 可得2()MC MD MC MC CD MC MC CD⋅=⋅+=+⋅22263cos150622MC MC CD MC MC MC ⎛=+⋅⋅=-=-- ⎝⎭，所以当62MC =时，MC MD ⋅ 有最小值为32-.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足i 1i z =+，则（）A.1iz =+B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.2z =D.2220z z -+=【答案】ABD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义即可判断A ；根据复数的几何意义即可判断B ；根据复数的模的公式即可判断C ；根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由i 1i z =+，得()21i i1i 1i i iz ++===-，则1i z =+，故A 正确；z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故B 正确；z ==，故C 错误；()()22221i 21i 22i 22i 20z z -+=---+=--++=，故D 正确.故选：ABD.10.某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中x 的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得x ，判断A ；计算出得分不小于90的频率，即可判断B ；计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较，从而判断C ；由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D .【详解】由频率分布直方图性质可得：()0.0100.0120.0280.030101x ++++⨯=，解得0.020x =，故A 正确；得分不小于90的频率为0.012100.12⨯=，故得分不小于90的人数估计为10000.12120⨯=人，故B 错误；得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.030100.680.75⨯+⨯+⨯=<，所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C 正确；该校高一学生竞赛得分的平均数估计为550.01010650.02810750.03010850.02010950.0121074.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD11.若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点，且处于平衡状态.已知124N,2N F F == ，1F 与2F的夹角为120 ，则下列说法正确的是（）A.3F =B.1F 与3F的夹角为90C.2F 与3F的夹角为90D.()1324F F F +⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的图形运算法则，结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示，设123,,F F F 分别为,,OA OB OC，将向量进行平移，OB平移至OB '，将OA反向延长至点D ，则120AOB ∠=︒，18060OAB DOB AOB '==︒-=︒∠∠∠，在OAB '△中，由余弦定理得，22212cos 60164242122OB AB OA AB OA '''=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=,所以OB '=，即3F =，故A 正确；显然，在OAB '△中，22212416OB AB OA ''+=+==，即90AB O '=︒∠，所以30COD AOB '==︒∠∠，所以1F 与3F的夹角180150AOC COD ∠=︒-∠=︒，故B 错误；2F 与3F的夹角603090BOC DOB COD =+=︒+︒=︒∠∠∠，故C 正确；()()()21324F F F OA OC OB OA B O OB B A OB OB ''+⋅=+⋅=+⋅=⋅=-=- ，故D 错误故选：AC12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，G 为面对角线1A D 上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（）A.三棱锥11B GBC -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ，使1A C ⊥平面1GBC C.当点G 与点1A 重合时，二面角11G BC B --的余弦值为63D.设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，则tan θ2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】对于A ，因为三棱锥11B GBC -的体积11111113B GBC G BB C BB C V V S DC --==⋅ ，易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，DC ⊥平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值DC ，又11BC S △B 为定值，所以三棱锥11B GBC -体积为定值，故A 正确．对于B ，如图所示，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()()1,1,0,0,0,0B D ,()0,1,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()10,1,1C ，设()101DG DA λλ=≤≤ ，所以(),0,G λλ，()11,1,1AC =--，设(),,n x y z =⊥ 平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()1,1,1C G λλ=--，则()11010n BC x z n C G x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，则1,21z y λ==-，则()1,21,1n λ=- ，要使1A C ⊥平面1GBC ，即1//AC n ，1AC n =-，此时[]=01,1λ∈-，故B正确.对于C ，当点G 与点1A 重合时，此时()1,0,1G ，设()111,,m x y z =⊥平面1GBC ，()11,0,1BC =- ，()0,1,1BG =- ，则1111100m BC x z m BG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，则111,1z y ==，则()1,1,1n = ，设()0,1,0p =⊥平面11BB C ，设二面角11G BC B --所成角为α，所以3cos cos ,3m p m p m p α⋅====⋅，因为α为锐二面角，[]0,πα∈，所以cos 3α=，故C 不正确；对于D ，(),0,G λλ，()()1,1,0,1,1,B BG λλ=--，设()0,1,0p =⊥平面11BCC B ，设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ，π0,2θ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以sin cos ,BG pBG p BG p θ⋅===⋅==，因为sin ,tan y x y x ==在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当sin θ取得最大值时，tan θ取得最大值，当1=2λ时，()max sin 3θ==，此时cos 3θ=，所以()max2tan 2θ=，所以D 正确故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，(1,)b λ=- ，若a b ⊥ ，则λ=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解：因为a b ⊥ ，(1,2)a = ，()1,b λ=- ，所以120a b λ⋅=-+=，解得12λ=.故答案为：12.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生09 之间的整数随机数，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##25【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为80.420=.故答案为：0.415.已知三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且21,22AC AB b ab c ⋅=-= ，则a b +的取值范围是__________.【答案】(]2,4【解析】【分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得224a b ab +-=，由基本不等式求解即可.【详解】21cos cos 2AC AB AC AB A bc A b ab ⋅=⋅==- ，由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc+-=，所以224cos 2b a bc A +-=，所以2224122b a b ab +-=-，所以224a b ab +-=，所以()()()()2222223143=44a b ab a b ab a b a b a b =+-=+-≥+-++，所以()216a b +≤，又因为2a b c +>=，所以24a b <+≤，所以a b +的取值范围是(]2,4.故答案为：(]2,416.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π，则正四面体ABCD 的棱长为______.【答案】4+4+【解析】【分析】设出棱长，先根据正四面体的性质求出外接球半径，再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，由正四面体的性质可知该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，即O 为正四面体ABCD 外接球的球心（内切球的球心），则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ，连接BE ，则,,B O E 三点共线，此时BE a =，由题意24π25πOE ⨯=，所以25OE =，所以52BO a OE a =-=-，如图：记M 为BCD △的中心，连接,BM AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为AB a =，所以233BM a ==，则3AM ==，因为2222()BO BM OM AM OM =+=-，即22223633BO a OM OM ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4BO a =，所以542a a =-，解得4a =+，即正四面体ABCD 的棱长为4+故答案为：4+【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离三者的关系222R r d =+求解，其中确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.（1）求抽取男生､女生的人数；（2）观测样本的指标值（单位：cm ），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】（1）30；20（2）方差为46，身高方差为46【解析】【分析】（1）根据分层抽样的概念及计算方法，即可求解；（2）记男生身高的均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高的均值记为y ，方差记为2y s ，得到总样本的均值为166z =，结合222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-，即可求解.【小问1详解】解：由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，所以抽取男生人数为60050301000⨯=，女生人数为40050201000⨯=.【小问2详解】解：记男生身高为1230,,,x x x ⋯，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生身高为1220,,,y y y ⋯，其均值记为y ，方差记为2y s ，把总样本数据的均值记为z ，方差记为2s ，所以总样本的均值为30203017020160166505050z x y ⨯+⨯=+==，总样本的方差为222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-221{30[14(170166)]20[34(160166)]}4650=⋅⨯+-+⨯+-=，所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为46.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB CD AD CD ⊥∥，122CD AD AA AB ====，点E 为1AA 的中点.（1）求证：1CD 平面BDE ；（2）设F 是直线1CD 上的动点，求三棱锥F BDE -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示，分别取1,DD CD 的中点,M N ，连接,,MN EM BN ，由题意得，EM AD 且EM AD =，BN AD ∥且BN AD =，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形EMNB 是平行四边形，所以EB MN ∥，又因为1∥MN CD ，所以1EB CD ∥，又因为1CD ⊄平面,BDE EB ⊂平面BDE ，所以1CD 平面BDE .【小问2详解】由（1）1CD 平面BDE ，所以1CD 上任意一点F 到平面BDE 的距离都相等，所以11F BDE D BDE B EDD V V V ---==，由题意1,DD CD AD CD ⊥⊥，又1= DD AD D ，1,DD AD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又AB CD ，所以AB ⊥平面11ADD A ，即AB ⊥平面1EDD ，因为111122222EDD S DD AD =⋅=⨯⨯= ，所以1111221333B EDD EDD V S AB -=⋅=⨯⨯= ，所以三棱锥F BDE -的体积为23.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成45 角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP p xe ye ==+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量,a b 在斜坐标系xOy中的坐标分别为((3,,.（1）求a b ⋅；（2）求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标.【答案】（1）3（2）3,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题可知：1212123,,2a eb e e e ==+⋅=，再利用数量积的运算律求解即可；（2）利用向量a 在向量b 上的投影向量为1223332cos 555||b a b a b b e b b θ⋅===+求解即可.【小问1详解】由题可知：1212123,,1122a eb e e e =-=+⋅=⨯⨯=，则()()22121211223323232a b e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=+-=.【小问2详解】b ==== 记a与b的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为()12233cos 555||b a b a b e b b θ⎛⎫⋅===+⎪⎝⎭，所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标为332,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.20.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p ，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后，甲先发球.（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715，求p 的值；（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】（1）p 的值为23（2）32225【解析】【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解；（2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，所对应的事件为A =“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以()()227115515P A p p ⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，解得23p =，即p 的值为23【小问2详解】由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，所对应的事件为B =“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，因为甲发球时甲得分的概率为23，乙得分的概率为21133-=，乙发球时甲得分的概率为25，乙得分的概率为23155-=，所以()23122232353535225P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 353,cos sin 412b A B A a C ⋅⋅==⋅.（1）求cos B ；（2）若ABCD 为AC 的中点，求线段BD 的长.【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出,b c的关系，再根据cos 12A =得出,a c 的关系，再利用余弦定理即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出,,a b c ，再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得22222sin sin 3sin 4b A B ab b a C ac c ⋅⋅===⋅，即32b c =，又因为222227534cos 212c a b c a A bc -+-===，得2a c =，所以222234cos 28c a c b B ac +-==；【小问2详解】由（1）可知cos 8B =，由()0,πB ∈，得46sin 8B ==，所以21sin 216ABC S ac B c === ，得4,c a b ===，又因为1(),cos 62BD BA BC BA BC BA BC ABC =+⋅=⋅⋅∠=，所以3BD === ，即线段BD 的长为3.22.三棱锥D ABC -中，底面ABC 为正三角形，CD ⊥平面ABC ，E 为棱BC 的中点，且CDACλ=（λ为正常数）.（1）若2λ=，求二面角C AE D --的大小；（2）记直线AC 和平面ADE 所成角为α，试用常数λ表示sin α的值，并求α的取值范围.【答案】（1）π3（2）sin α=；π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先证明⊥AE 平面BCD ，从而可得二面角C AE D --的平面角是CED ∠，求解即可；（2）在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，先证明CH ⊥平面ADE ，从而可得直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，进而可得sin α=，求得10sin 2α<<，从而可求解.【小问1详解】底面ABC 为正三角形，E 为棱BC 的中点，所以BC AE ⊥，因为CD ⊥平面,ABC AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥，又因为,BC CD ⊂平面,BCD BC CD C ⋂=，所以⊥AE 平面BCD 又DE ⊂平面BCD ，所以DE AE ⊥，所以二面角C AE D --的平面角是CED ∠，而tan 212CD CD CED CE AC ∠λ====π02CED ∠<<，所以π3CED ∠=.故二面角C AE D --的大小为π3.【小问2详解】在平面BCD 内作CH DE ⊥，连接AH ，由⊥AE 平面,BCD AE ⊂平面ADE ，所以平面BCD ⊥平面ADE ，又平面BCD 平面=ADE DE ，CH ⊂平面BCD ，所以CH ⊥平面ADE ，所以直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=，在DCE △中，根据等面积法可得CE CD CH DE⋅=，所以12sin AC AC CH CE CD AC AC DE λα⋅⋅===⋅因为0λ>，所以2144λ+>2>，所以102<<即10sin 2α<<，因为π02α<<，所以π06α<<，所以直线AC 和平面ADE 所成角α的取值范围为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年河南省天一大联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4D ．52．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5B ．7C ．7.5D ．83．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣24．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．811258．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112] C ．[3−2√3，3+2√3] D ．[3−√3，3+√3]二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知z 1，z 2为复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若z 1=z 2，则z 1=z 2B ．若z 1+z 2∈R ，则z 1与z 2的虚部相等C ．若z 1z 2＝0，则z 1＝0或z 2＝0D ．若z 12+z 22=0，则z 1＝z 2＝010．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中x ＝0.1B ．估计样本数据的第60百分位数约为85C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D ．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 ．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是 ．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 ．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ；（2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？22．（12分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：B餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足i •z ＝4﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．2√3 B ．2√5C ．4D ．5解：z =4−2ii=−2−4i ，所以|z|=√(−2)2+(−4)2=2√5． 故选：B ．2．一组数据a ，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A ．6.5 B ．7C ．7.5D ．8解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a ＝8，故这组数据的中位数为7+82=7.5．故选：C ．3．已知向量a →=(2，4)，b →=(2，λ)，若(a →+2b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2解：因为a →=(2，4)，b →=(2，λ)，所以a →+2b →=(6，2λ+4)，2a →+b →=(6，λ+8)，又(a →+2b →)∥(2a →+b →)，∴6×（λ+8）﹣（2λ+4）×6＝0，解得λ＝4． 故选：A ．4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列结论： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；②若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α；③若l ∥β，l ⊂α，则β∥α；④若α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行． 则下列说法正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若m ⊥β，α⊥β，则m ⊂α或m ∥α，所以②错误； 对于③，由l ∥β，得β∥α或β与α相交，故③错误；对于④，α∩β＝l ，m ∥l ，则m 至少与α，β中一个平行，故④正确． 故选：C ．5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ，i 为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知(√22+√22i)4=（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i解：由题意可知，(√22+√22i)4=(cos π4+isin π4)4=(e π4i )4=e πi =cosπ+isinπ=−1．故选：A ．6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ）A ．14√33π B ．26√33π C ．263π D ．523π解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ， 则2πr =12×2π×2，2πR =12×2π×6， 所以r ＝1，R ＝3，且圆台的母线长为6﹣2＝4， 则圆台的高为ℎ=√42−(3−1)2=2√3，所以圆台的体积为V =13(π⋅12+π⋅32+√π⋅12⋅π⋅32)×2√3=26√33π． 故选：B ．7．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）A ．727B ．925C ．36125D ．81125解：甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输； ③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝2，cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且P A ＝1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[3−2√3，3+2√3]D ．[3−√3，3+√3]解：∵A ，B ，C ∈（0，π），∴A ﹣B ∈（﹣π，π），B ﹣C ∈（﹣π，π），C ﹣A ∈（﹣π，π），可得cos （A ﹣B ）∈（﹣1，1]，cos （B ﹣C ）∈（﹣1，1]，cos （C ﹣A ）∈（﹣1，1]， 若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）＝1，则cos （A ﹣B ）＝1，cos （B ﹣C ）＝1，cos （C ﹣A ）＝1， 可得A ﹣B ＝0，B ﹣C ＝0，C ﹣A ＝0， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是等边三角形． 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB ＝2，∴B （2，0），C(1，√3)．由题意设P （cos θ，sin θ）（0≤θ＜2π），则PB →=(2−cosθ，−sinθ)，PC →=(1−cosθ，√3−sinθ)，∴PB →⋅PC →=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=3−2√3cos(θ−π6)． 因为cos(π6−θ)∈[−1，1]，所以3−2√3cos(θ−π6)∈[3−2√3，3+2√3]． 故选：C ．二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=z2，则z1=z2B．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若z12+z22=0，则z1＝z2＝0解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故A正确；对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．故选：AC．10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取10人解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10，D 正确． 故选：BCD ．11．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a →，b →满足AB →=2a →，BC →=b →−2a →，则（ ） A ．|b →|=2B ．a →⋅b →=2C ．a →在b →上的投影向量的模为√2D ．(b →−4a →)⊥b →解：对于A ，由已知可得b →=2a →+BC →=AB →+BC →=AC →， 在正方形ABCD 中可得|AC →|=2√2，故A 错误；对于B ，a →⋅b →=12AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|cos45°=12×2×2√2×√22=2，故B 正确；对于C ，a →在b →上的投影向量的模为|a →⋅b →||b →|=2√2=√22，故C 错误；对于D ，(b →−4a →)⋅b →=b →2−4a →⋅b →=0， 又b →−4a →与b →均不是零向量， 所以(b →−4a →)⊥b →，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知点P 在圆柱O 1O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，A 1A ，B 1B 为圆柱的两条母线，且A 1A ＝3，OA ＝1，∠BOP ＝60°，则（ ）A ．PB ⊥平面A 1APB ．直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√32C ．直线A 1P 与直线AB 所成的角的余弦值为√34D ．点A 到平面A 1BP 的距离为32解：对于A ，由已知得AA 1⊥平面ABP ，PB ⊂平面APB ，所以AA 1⊥PB ， 又因为AB 是底面圆的直径，P 在圆周上且异于A 、B 两点，所以BP ⊥AP ， 又A 1A ∩AP ＝A ，AA 1、AP ⊂平面A 1AP ，所以PB ⊥平面A 1AP ，故A 正确； 对于B ，因为AA 1⊥平面ABP ，所以直线A 1P 与平面ABP 所成的角为∠A 1P A ， 因为∠BOP ＝60°，则∠PAO =12∠BOP =12×60°=30°， 所以PB =12AB =12×2=1，PA =√AB 2−PB 2=√22−12=√3，AA 1＝3，故tan ∠APA 1=AA 1AP =33=√3，故直线A 1P 与平面ABP 所成的角的正切值为√3，故B 错误； 对于C ，连接B 1P ，因为AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1，故四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以AB ∥A 1B 1，所以直线A 1P 与直线AB 所成的角为∠B 1A 1P 或其补角， 在△A 1B 1P 中，A 1P =√AP 2+A 1A 2=√(√3)2+32=2√3， B 1P =√BP 2+B 1B 2=√12+32=√10，所以cos ∠B 1A 1P =A 1B 12+A 1P 2−B 1P 22A 1B 1⋅A 1P =22+(2√3)2−(√10)22×2×2√3=√34，故C 正确； 对于D ，设点A 到平面A 1PB 的距离为h ， 则V A−A 1PB =V A 1−APB ，即13⋅S △A 1PB ⋅ℎ=13⋅S △APB ⋅AA 1，又S △APB =12AP ⋅BP =12×√3×1=√32，S △A 1PB =12A 1P ⋅PB =12×2√3×1=√3， 所以13×√3×ℎ=13×√32×3，解得ℎ=32，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，一个水平放置的△ABO 的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若B ′A ′＝B ′O ′＝1，则原三角形ABO 的面积为 √2 ．解：根据题意可得O ′A ′=√2， 在△ABO 中，OB ＝O ′B ′＝1， OA =2O ′A ′=2√2， 所以△ABO 的面积为S =12×1×2√2=√2 故答案为：√2．14．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是310．解：总的样本点的个数为A 52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A 32=6个，故所求概率为620=310．故答案为：310．15．在△ABC 中，点D 满足DC →=2AD →，若线段BD 上的一点P 满足AP →=xAB →+yAC →(x ＞0，y ＞0)，则y ﹣x 的取值范围是 (−1，13) ．解：∵DC →=2AD →，∴AC →=3AD →，∴AP →=xAB →+3yAD →． ∵B ，P ，D 三点共线，∴x +3y ＝1，∵x ＞0，∴y =13(1−x)＜13，∴0＜y ＜13， ∴y −x =y −(1−3y)=4y −1∈(−1，13)．故答案为：(−1，13)．16．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设AB ＝a ，则该模型中5个球的表面积之和为π3a 2 ．解：如图所示，设O 为大球的球心，大球的半径为R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为a ，高为h ，CD 的中点为F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，BF ， 则BE =23BF =√33a ，正四面体的高ℎ=AE =√AB 2−BE 2=√63a ， 因为V 正四面体＝4V O ﹣ABC ，所以13×S △ABC ℎ=4×13×S △ABC ×R ，所以R =14ℎ=√612a ，设小球的半径为r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高ℎ小=ℎ−2R =√66a ，所以r =14ℎ小=√624a =R2，故该模型中5个球的表面积之和为4πR 2+4×4πr 2=8πR 2=8π×6144a 2=π3a 2． 故答案为：π3a 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z ＝m +（4﹣m 2）i （m 为正实数），且z +5i ∈R ． （1）求z ；（2）若z 1=z(a +i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）由z +5i ＝m +（9﹣m 2）i 为实数，可得9﹣m 2＝0， 解得m ＝±3，因为m ＞0，所以m ＝3， 所以z ＝3﹣5i ；（2）由（1）可知z =3+5i ，所以z 1=z(a +i)=(3+5i)(a +i)=(3a −5)+(5a +3)i ， 因为z 1在复平面内对应的点在第二象限， 所以{3a −5＜05a +3＞0，解得−35＜a ＜53，故实数a 的取值范围为(−35，53)．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，△ABF 是等边三角形，EF ∥AD ，且EF =12AD =2，M ，N 分别是AD ，CB 的中点． （1）证明：平面NMF ∥平面ECD ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：因为EF ∥AD ，EF =12AD =2，M 是AD 的中点， 所以EF ∥DM ，且EF ＝DM ， 所以四边形DEFM 是平行四边形， 从而MF ∥DE ．因为MF ⊄平面ECD ，DE ⊂平面ECD ， 所以MF ∥平面ECD ． 同理NF ∥平面ECD ， 又MF ∩NF ＝F ，所以平面NMF ∥平面ECD ．（2）设AB 的中点为H ，连接FH ，则FH ⊥AB ．因为平面ABF ⊥平面ABCD ， 平面ABF ∩平面ABCD ＝AB ， FH ⊂平面ABF ， 所以FH ⊥平面ABCD ，因为EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ，所以E 到平面ABCD 的距离为FH =2√3， 所以V E−ABCD =13×(4×4)×2√3=32√33． 19．（12分）根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数（API ）不大于100时，空气质量为优良．某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x ，y ，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110． （1）若x ＜y ，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若90＜x ＜150，求这5天空气污染指数的方差的最小值． 解：（1）由题意知15(90+110+x +y +150)=110，则x +y ＝200．因为x ＜y ，所以x ＜100＜y ．从这5天中任选2天，所有的结果为：（90，110），（90，x ），（90，y ），（90，150），（110，x ），（110，y ），（110，150），（x ，y ），（x ，150），（y ，150），共10种， 这2天的空气质量均为优良的结果为（90，x ），只有1种， 故所求的概率为P =110． （2）方差s 2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x −110)2+(y −110)2+(150−110)2] =15[2000+(x −110)2+(90−x)2]=25(x −100)2+440，因为90＜x ＜150，所以当x ＝100时，s 2的值最小，最小值为440． 20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a−b+c c=b a+b−c．（1）求A ； （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 解：（1）∵a−b+c c=b a+b−c，∴bc ＝b 2+c 2﹣a 2，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， 又0＜A ＜π，∴A =π3； （2）证明：∵b −c =√33a ， 由正弦定理得sinB −sinC =√33sinA =12，∴sinB −sin(2π3−B)=sinB −√32cosB −12sinB =12sinB −√32cosB =sin(B −π3)=12， ∵B ∈(0，2π3)， ∴B −π3∈(−π3，π3)， ∴B −π3=π6，即B =π2， 故△ABC 是直角三角形．21．（12分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1，下部分是正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的52倍．（1）若AB ＝6dm ，OO 1＝5dm ，求玻璃罩的容积是多少升（玻璃厚度不计）；（2）若P A 1＝4dm ，当PO 1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？解：（1）（1）∵OO 1＝5dm ，∴PO 1＝2dm ．∴玻璃罩的容积V =13×62×2+62×5=24+180=204(dm 3)=204(L)． （2）连接A 1O 1，设PO 1＝xdm （0＜x ＜4），则O 1O =52xdm ，A 1O 1=√16−x 2dm ，A 1B 1=√2√16−x 2dm ， ∴正四棱柱的侧面积S =4⋅52x ⋅√2√16−x 2=10√2√(16−x 2)x 2．∵S ≤10√2×x 2+16−x 22=80√2，当且仅当x =√16−x 2，即x =2√2时，取等号．∴当PO 1=2√2dm 时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm 2．22．（12分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分．整理评分数据，将评分分成6组：[0，10），[10，20），⋯，[50，60]，得到A 餐厅评分的频率分布直方图，以及B 餐厅评分的频数分布表如下： B 餐厅评分的频数分布表根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：（1）在调查的200名学生中，求对A 餐厅的满意度指数为2的人数；（2）从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．解：（1）学生对A餐厅的评分在[30，50）的频率为（0.02+0.02）×10＝0.4，即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4＝80；（2）设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，则P（A1）＝（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，P（A2）＝0.4，P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，所以P（M）＝P（A1B2+A1B3+A2B3）＝P（A1）P（B2）+P（A1）P（B3）+P（A2）P（B3）＝0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35＝0.32．。
河南省2022-学年高一数学下学期期末考试试题
河南省回民中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题第I 卷〔选择题〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项. 1．函数()112-++=x x x f 的定义域是〔 〕 A ．()()+∞∞-,11, B ．[)+∞-,2 C ． [)()+∞-,11,2 D ．()∞+，1 2．设3.0log ,4,3.043.04===c b a ，那么c b a ,,的大小关系为〔 〕 A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 3．直线013=-+y x 的倾斜角为〔 〕A ． 060 B ． 030 C ． 0120 D ． 0150 4．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面ABC 。
假设2,11====BC AA AC AB ，那么异面直线C A 1与11C B 所成的角为A ．030 B ．045 C ．060 D ．0905．函数()x a x f =〔a ＞0且1≠a 〕在()2,0内的值域是()2,1a ，那么函数()x f y =的图像大致是 〔 〕6．过点()3,1-且垂直于直线052=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．072=--y xB ．012=++y xC ．072=+-y xD ．012=-+y x 7．设βα,是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,〔 〕 A ．假设β⊥l ，那么βα⊥ B ．假设βα⊥，那么m l ⊥ C ．假设l ∥β，那么α∥β D ．假设α∥β，那么l ∥m8．假设直线03=++a y x 过圆04222=-++y x y x 的圆心，那么实数a 的值为〔 〕 A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-9．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面， 点D 是侧面C C BB 11的中心，那么AD 与平面ABC 所成角的大小是〔 〕A ． 030B ．045C ．060D ．090 10．函数4)1()(22--=x x x f 的零点个数是〔 〕 A.1 B.2 C. 3 D.411．对任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是〔 〕 A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 12．圆1C ：()()11122=++-y x ，圆2C ：()()95422=-+-y x ，点N M ,分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，那么PM PN -的最大值是〔 〕A ．452+B ．9C ．7D ．252+第II 卷〔非选择题〕二、填空题：此题共4小题，每题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。
2022-2023学年河南省许昌市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数z 满足（1﹣i ）2z ＝2﹣4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．i2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（ ） A ．0.26B ．0.98C ．0.72D ．0.93．已知向量a →=（1，1），b →=（1，﹣1）．若（a →+λb →）⊥（a →+μb →），则（ ） A ．λ+μ＝1B ．λ+μ＝﹣1C ．λμ＝1D ．λμ＝﹣14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，则m ∥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A ．91mB ．74mC ．64mD ．52m6．平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，AM ＝3MB ，记CA →=a →，CM →=b →，则AD →=（ ）A ．43a →−73b → B ．23b →−43a → C ．73b →−43a → D ．13a →−43b →7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.5D ．中位数为3，方差为2.88．正四棱锥S ﹣ABCD 中，底面边长AB ＝2，侧棱SA =√5，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（ ） A ．4πB ．16πC ．8π3D ．4π3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省濮阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
高中一年级学业质量监测数学（答案在最后）本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数()11iz m m =++-纯虚数，则实数m =（）.A.0 B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义列方程求m 即可.【详解】∵复数()11i z m m =++-为纯虚数，10m ∴+=，10m -≠，1m ∴=-.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.若a b =，则a b= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量D.单位向量都相等【答案】C 【解析】【分析】根据向量的相关性质逐项分析.【详解】对于A ，若a b=，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A 错误；对于B ，如果0b =，结论B 不正确；对于C ，根据平行向量的定义，C 正确；对于D ，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D 错误；故选：C.3.直线l 与平面α不平行，则（）A.l 与α相交B.l ⊂αC.l 与α相交或l ⊂αD.以上结论都不对【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系的概念，结合题意，即可得到答案.【详解】由直线与平面的位置关系概念，可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系，因为直线l 与平面α不平行，所以l 与α相交或l ⊂α.故选：C.4.在ABC 中，若45,30,3A B BC =︒=︒=，则边AC 的长为（）A.62B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理即可.【详解】因为45,30,3A B BC =︒=︒=，所以由正弦定理得：sin 3sin 30sin sin sin sin 45BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒=== ，故选：B.5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B 【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B6.已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1c a a b b c+=++，则()sin A C +的大小为（）A.2B.2C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】由已知得222c a b ac +-=，利用余弦定理求得cos B ，得到角B ，从而由sin()sin A C B +=求出结果.【详解】c a1a b b c+=++，∴整理可得222c a b ac +-=，cos 222c a b ac 1B 2ac 2ac 2+-∴===，0πB << ，π3B ∴=，()sin()sin πsin 2A CB B +=-==∴，故选：A ．7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p ，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p 的值为（）A.14B.13C.23D.34【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，则()()()12,,23P A p P B P C ===，可知恰好投中两次为事件,ABC ABC ABC ，故恰好投中两次的概率()121212113111232323368P p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =．故选：A.8.点,,O G P 为ABC 所在平面内的点，且有222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，0GA GB GC ++=，()()()0PA PB AB PB PC BC PC PA CA +⋅=+⋅=+⋅= ，则点,,O G P 分别为ABC的（）A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】A 【解析】【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.【详解】由2222||||||||OA BC OB CA +=+ ，得2222OA OB CA BC -=- ，即()()()()OA OB OA OB CA BC CA BC +⋅-=+⋅-，则()()OA OB BA BA CA CB +⋅=⋅+ ，得()0OA OB CA CB BA +--⋅= 所以20OC BA ⋅= ，则OC AB ⊥ ，同理可得OA BC ⊥ ，OB AC ⊥，即O 是ABC 三边上高的交点，则O 为ABC 的垂心；由0GA GB GC ++=，得GA GB GC +=- ，设AB 的中点为M ，则2G GA M GC GB ==-+，即G ，M ，C 三点共线，所以G 在ABC 的中线CM 上，同理可得G 在ABC 的其余两边的中线上，即G 是ABC 三边中线的交点，故G 为ABC 的重心；由()0PA PB AB +⋅= ，得20PM AB ⋅= ，即PM AB ⊥，又M 是AB 的中点，所以P 在AB 的垂直平分线上，同理可得，P 在BC ，AC 的垂直平分线上，即P 是ABC 三边垂直平分线的交点，故P 是ABC 的外心，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（）A.9i i=B.复数32i z =-的虚部为2iC.若()21i z =-，则复平面内z 对应的点位于第二象限D.复数z 为实数的充要条件是z z =【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的定义判断B ，根据复数的几何意义判断C ，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A ：2941i i i ⨯+==，故A 正确；对于B ：复数32i z =-的虚部为2-，故B 错误；对于C ：()2221i 12i i 2i z =-=-+=-，所以2i z =，则复平面内z 对应的点为()0,2位于虚轴，故C 错误；对于D ：若复数z 为实数则z z =，设i z a b =+，(),R a b ∈，若z z =，即i i a b a b =+-，所以0b =，则复数z 为实数，故复数z 为实数的充要条件是z z =，故D 正确；故选：AD10.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与B 对立B.B 与C 互斥C.A 与C 互斥D.B 与C 对立【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断作答.【详解】事件A ：三件产品都是正品，事件C ：三件产品包含一件正品两件次品，两件正品一件次品，三件正品，事件A 与B 互斥不对立，事件A 与C 不互斥，事件B 与C 互斥，又对立，所以A ，C 都不正确；B ，D 都正确.故选：BD11.下列说法中正确的有（）A.若AB 与CD是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上B.若向量()1,3a = ，()1,3a b -=--，则a b∥C.若平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 满足320OA OB OC -+=，则2AB BC= D.若非零向量a ，b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是π3【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，根据向量共线的定义，可得其正误；对于B ，利用向量共线定理，可得其正误；对于C ，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D ，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB 与CD是共线向量，也可能是AB CD ，故A 错误；设(),b x y = ，∵()1,3a = ，()1,3a b -=--，∴11,33,x y -=-⎧⎨-=-⎩解得2,6,x y =⎧⎨=⎩∴()2,6b = ，又∵16320⨯-⨯=，∴a b∥，故B 正确；由已知得()()220OA OB OC OB BA BC -+-=+= ，∴2AB BC =，∴2AB BC= ，故C 正确；由()22a a b =- 整理可得22b a b =⋅，设a 与a b + 的夹角是θ，则()2221322cos 2a b a a a b a a b θ+⋅+==⋅+ ，∴a 与a b + 的夹角是π6，故D 错误．故选：BC.12.已知三棱锥S ABC -中,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，则下列结论正确的是（）A.二面角S AB C --B.三棱锥S ABC -的内切球的半径为33C.E 是线段AC 上一动点，则SEB △D.Q 是三棱锥S ABC -的外接球上一动点，则点Q 到面ABC 距离的最大值为433【答案】ACD 【解析】【分析】将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，对于A ：可证SD AB ⊥，CO AB ⊥，结合二面角可知：二面角S AB C --的平面角为COS ∠，运算判断；对于B ：根据三棱锥内切球的半径公式3Vr S =表，运算判断；对于C ：根据正方体可证：SB SE ⊥，结合三角形面积分析可得：当E 是线段AC 的中点时，SEB △面积取到最小值，运算判断；对于D ：结合正方体可知：三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，且SN 为外接球的直径，可证SN ⊥平面ABC ，则点Q 到面ABC 距离的最大值为NG ，运算判断．【详解】根据题意将三棱锥S ABC -嵌套在正方体SADB CMNH -内，如图所示：连接SD 交AB 于点O ，在正方体SADB 中，∴SD AB⊥∵AB AC BC ==，点O 为AB 的中点，则CO AB ⊥∴二面角S AB C --的平面角为COS ∠，则tan CSCOS SO∠==，A 正确；三棱锥S ABC -的表面积为113226222S =⨯⨯⨯+⨯=+表114222323V =⨯⨯⨯⨯=∴三棱锥S ABC -的内切球的半径为313V r S ==-表，B 错误；根据题意可知：SB ⊥平面ASCM ，则SB SE⊥∴SEB △面积为12S SB SE SE =⨯=当E 是线段AC 的中点时，SE 取到最小值∴SEB △面积的最小值为，C 正确；三棱锥S ABC -的外接球即为正方体SADB CMNH -的外接球，显然SN 为外接球的直径，设SN CO G= ∵SD AB ⊥，CO AB⊥SD CO O = ，则AB ⊥平面SDNC∴SN AB ⊥同理可证：SN AC⊥AB AC A ⋂=，则SN ⊥平面ABC点Q 到面ABC 距离的最大值为NG∵SC DN ∥且SC DN =，则CSDN 为平行四边形∴SD CN ∥，则2GN CNSG SO==∴233NG SN ==，D 正确；故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是_____【答案】19【解析】【分析】高一(1)班的总人数乘以该班“运动与健康”评价等级为A 的所占的百分比，即可得该班“运动与健康”评价等级为A 的人数．【详解】该班“运动与健康”评价等级为A 的人数是：50×38%=19人．故答案为19【点睛】本题主要考查扇形统计图的定义，其中各部分的数量=总体×其所占的百分比．14.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据，那么该壶的容量为______．（结果用圆周率表示）【答案】244π3##244π3【解析】【分析】利用圆台体积公式可得，也可以看成为两个圆锥体积相减.【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，则222221244π(4π5π45π433V =⨯+⨯⨯⨯=.方法2：如图，设大圆锥的高为h ，则4810h h -=，解得：20h =，所以2211244ππ520π416333V =⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：244π3.15.若{}1,3,4,6,7m ∈-，则方程240x x m ++=有实根的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】先利用判别式求出m 的范围，然后根据m 可取的值得概率.【详解】 方程240x x m ++=有实根,1640m ∴∆=-≥，解得4m ≤，又{}1,3,4,6,7m ∈-，m ∴可取的值的集合为{}1,3,4-，则方程240x x m ++=有实根的概率为35.故答案为：35.16.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，90ACB ∠= ，11BC CC ==，32AC =，P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，若要1CP PA+取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，即可求出满足条件的P 点位置，然后应余弦定理求解.【详解】由题设可知1CC B 为等腰直角三角形，且11A C ⊥平面11BCC B ，故1190A C B ∠= ，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB ，如图所示，若要1CP PA +取得最小值，当且仅当C 、P 、1A 三点共线，∵11CC =、11AC AC ==，145CC B ∠= ，1190BC A ∠= ，∴11135CC A ∠= ，∴当1CP PA +最小值时，由余弦定理得(22112cos13525A C =+-⨯= ，∴15A C =，即1CP PA +的最小值为5．故答案为：5.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数3i 2iz -=+（i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数.（1）求复数z 的模；（2）若21i az z b ++=+（a ，b ∈R ），求a ，b 的值.【答案】（1（2）32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模的定义，直接计算z 的模长即可（2）先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数相等即可求解【小问1详解】∵3i (3i)(2i)55i 1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-，∴z ==【小问2详解】∵21i az z b ++=+，∴2(1i)(1i)1i-+++=+a b ∴()(2)i 1i ++-=+a b a ，∴1,21,a b a +=⎧⎨-=⎩∴3,2.a b =⎧⎨=-⎩18.仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm ）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，26，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？【答案】（1）乙种玉米苗长得高（2）甲种玉米苗长得齐【解析】【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.【小问1详解】()()11293130322815030cm 55x =⨯++++=⨯= 甲，()()11274440264318036cm 55x =⨯++++=⨯=乙，x x ∴<甲乙．∴乙种玉米苗长得高．【小问2详解】()()()()()()22222221293031303030323028302cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲，()()()()()()222222212736443640362636433662cm 5s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，22s s ∴<甲乙．∴甲种玉米苗长得齐．19.已知平面向量a 、b ，若2a = ，3b =，a b -= .（1）求向量a 、b 的夹角；（2）若c a tb =+ 且c a ⊥ ，求c r.【答案】（1）2π3（2）c = 【解析】【分析】（1）在等式a b -= 两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量a 、b 的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解；（2）由已知可得0c a ⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出t 的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得c r.【小问1详解】解：因为a b -= ，则()2222222cos ,a b a a b b a a b a b b-=-⋅+=-⋅+ 412cos ,919a b =-+= ，所以，1cos ,2a b =- ，又因为0,πa b ≤≤ ，因此，2π,3a b = ，即向量a 、b 的夹角为2π3.【小问2详解】解：因为c a tb =+ 且c a ⊥ ，则()222πcos 3c a a tb a a ta b a t a b ⋅=+⋅=+⋅=+⋅ 430t =-=，解得43t =，因此c == .20.某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5（2）110【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．【小问2详解】在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．21.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin sin sin A B C B C --=.（1）求角A ；（2）若6a =，求△ABC 周长的取值范围.【答案】（1）2π3A =（2）(12,6+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得222a b c bc --=，由余弦定理即可求解，（2）根据正弦定理得b B =，由内角和关系以及和差角公式可得31cos sin 22c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【小问1详解】由正弦定理可得：222a b c bc --=，2221cos 22c b a A bc +-∴==-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=【小问2详解】因为πA B C ++=，2π3A =，所以π3B C +=，故ππ(0)33C B B =-<<由正弦定理得：62πsin sin sin sin 3a b c A B C ====所以b B =，π1cos sin 322c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以ABC周长1π6cos sin 6223a b c B B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为π03B <<，则ππ2π<333B <+，所以πsin 123B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求ABC周长的取值范围为(12,6+.22.如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥面ABE ，AD BC ∥，2AD BC =，AB BE =．（1）求证：平面DCE ⊥平面DAE ；（2）AB =1，2AE =14ABCDE V =，求CE 与平面DAE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据线线平行证得//CN BM ，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）首先确定直线CE 与平面DAE 所成角的平面角为CEN ∠，再应用棱锥体积公式求52CE =、22CN =，即可得解.【小问1详解】如图，取AE DE 、的中点M 、N ，连接BM 、MN 、CN ，则知MN AD ∥，且2AD MN =，又AD BC ∥，且2AD BC =，所以MN BC ∥，且MN BC =，则四边形BMNC 为平行四边形，所以CN BM ∥．∵AB BE =，M 为AE 的中点，∴BM AE ⊥，∵AD ⊥平面ABE ，BM ⊂平面ABE ，∴BM AD ⊥．又AD AE A ⋂=，AD ⊂平面DAE ,AE ⊂平面DAE ，∴BM ⊥平面DAE从而可得CN ⊥平面DAE ，由于CN ⊂平面DCE ，所以平面DCE ⊥平面DAE ，命题得证．.【小问2详解】由（1）知，CN ⊥平面DAE 于N ，则CEN ∠为CE 与平面DAE 所成角.且在Rt CEN △中，sin CN CEN CE∠=，由1AB BE ==且2AE =AB BE ⊥，又已知AD ⊥平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，∴AD BE ⊥，∵,,AD AB A AD AB ⋂=⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ，设(0)BC t t =>，则2AD t =，那么有322ABCD AD BC t S AB +=⋅=，则11324ABCDE ABCD t V S BE =⋅==，解得12t =，即有12BC =．从而易得，在Rt CBE △中，52CE =；又在Rt ABE △中，22BM =，则知22CN BM ==；∴210sin 55CN CEN CE ∠==，即CE 与平面DAE 所成角的正弦值为105．。
2024届河南省名校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析
2024届河南省名校联考数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．512- D ．322．直线10ax by ++=（a ，0b >）过点(-1,-1),则14a b+的最小值为 ( ) A ．9B ．1C ．4D ．103．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 4．设集合{}(4)3A x x x =->，{}B x x a =≥，若AB A =，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．3a ≤D ．3a <5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增6．在ABC ∆中，已知30,8,3A a b ===ABC S ∆等于( ) A ．323B ．16C．323或163D ．323或167．若角α的终边过点P(-3，-4)，则cos(π-2α)的值为()A．2425-B．725-C．725D．24258．已知,a b是非零向量，若32a b=，且()a b b+⊥，则a与b的夹角为（）A．30B．60C．120D．1509．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A．B．C．D．10．不等式2230x x-->的解集为A．(3,1)-B．-∞-+∞(,3)(1,)C．(1,3)-D．(,1)(3,)-∞-+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河南省郑州市高一下期末考试数学试题有答案
下期期末考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ． 2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3.的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+ 4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ） A ． B ． C. D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C. 8.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy =．15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；（II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=-+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()23)(2)44cos 5a ab bb b θ-⋅+-⨯===-- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-=()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x ⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=，解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人． 记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
2021-2022学年河南省许昌市高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)
河南省许昌市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(1)1i z -=，则(z z += ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2〖解 析〗由(1)1i z -=，得211iz i i i--===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．〖答 案〗D2．已知平面向量(3,1)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则(x = ) A ．1B ．1-C ．23D ．23-〖解 析〗(3,1)a =，(,2)b x =-，a b ⊥，∴320a b x ⋅=-=，∴23x =． 〖答 案〗C3．某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M 为“至少3名女生参加”，则下列事件与事件M 对立的是( ) A ．恰有1名女生参加 B ．至多有2名男生参加C ．至少有2名男生参加D ．恰有2名女生参加〖解 析〗至少3名女生的对立面是至多两名女生，总共选4名，也即为至少2名男生． 〖答 案〗C ．4．已知向量a ，b ，且||9a =，||12b =，a 与b 的夹角为4π，则(a b ⋅= )A ．36B ．C ．54D ．〖解 析〗因为||9a =，||12b =，a 与b 的夹角为4π，所以||||cos ,912cos 4a b a b a b π⋅=<>=⨯⨯=〖答 案〗D5．已知P 在ABC ∆所在平面内，满足||||||PA PB PC ==，则P 是ABC ∆的( )A．外心B．内心C．垂心D．重心〖解析〗||||||==表示P到A，B，C三点距离相等，P为外心．PA PB PC〖答案〗A6．下列四个命题中不正确的是()A．平行线段在直观图中仍然平行B．相等的角在直观图中仍然相等C．直线与平面相交有且只有一个公共点D．垂直于同一个平面的两条直线平行〖解析〗逐一考查所给的选项：A．平行线段在直观图中仍然平行，A说法正确；B．相等的角在直观图中不一定相等，B说法错误；C．直线与平面相交有且只有一个公共点，C说法正确；D．由面面垂直的性质可知垂直于同一个平面的两条直线平行，D说法正确．〖答案〗B7．对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是()A．若a，b满足||||>a b>，且a与b同向，则a bB．||||||++a b a bC．||||||⋅⋅a b a bD．||||||--a b a b〖解析〗A中，向量既有方向，又有大小，所以向量不能比较大小，所以A不正确；B中，因为22222+=+=++<>++=+，a b a b a b a b a b a b a b a b||()2||||cos,2||||||||当且仅当//a b且同方向时，取等号，所以B正确；C中，|||||||cosa b时取等号，所以C不正确；>⋅，当且仅当//b a b⋅=⋅⋅<，|||||a b a b aD中，22222||()2||||cos,2|||||||| -=-=+-⋅<>+-=-，当a b a b a b a b a b a b a b a b且仅当a，b同方向时确定等号，所以D不正确．〖答案〗B8．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，图中信息，下列结论错误的 是( )A ．图中的x 值为0.020B ．得分在80分及以上的人数为40C ．这组数据平均数的估计值为77D ．这组数据第80百分位数的估计值为85〖解 析〗由频率之和为1得：10(0.0050.0350.0300.010)1x ++++=， 解得：0.020x =，A 说法正确；得分在80分及以上的人数为(0.0300.010)1010040+⨯⨯=，B 说法正确；因为10(550.005650.020750.035850.030950.010)77⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，C 说法正确；0.005100.020100.035100.60.8⨯+⨯+⨯=<，0.005100.020100.035100.030100.90.8⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以这组数据第80百分位数的估计值落在区间[80，90)内，0.80.626080100.90.63-+⨯=-，故这组数据第80百分位数的估计值不为85，D 说法错误． 〖答 案〗D9．已知a ，b 是两个不共线向量，向量b ta -，1322a b -共线，则实数(t = )A ．13-B ．13C ．34-D ．34〖解 析〗由向量b ta -与1322a b -共线，得11322t -=-，解得：13t =．〖答 案〗B10．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．给出下列命题： ①若αβ⊥，a αβ=，a b ⊥，则b α⊥或b β⊥；②若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b ；③若a αβ=，b αγ=，//a b ，则//βγ；④“若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥”是随机事件；⑤若a ，b 是异面直线，则存在平面α过直线a 且垂直于直线b ． 其中正确的命题是( ) A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．②④〖解 析〗若αβ⊥，a αβ=，a b ⊥，b 与α，β可能垂直也可能不垂直，①错；由面面平行的性质定理知②正确；三棱柱的两个侧面与第三个侧面的交线相互平行，但这两个侧面相交，③错；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能垂直也可能不垂直，“若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥”是随机事件，④正确；若存在平面α过直线a 且垂直于直线b ，则a b ⊥，但已知中a ，b 不一定垂直，⑤错误． 〖答 案〗D11．已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知平面内点(1,2)A ，点(2,3)B ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转116π得到点P ，则点P 的坐标为( )A ．33(22--+B ．11(22-C ．15(22--+D ．15(22+〖解 析〗平面内点(1,2)A ，点(2,3)B ，所以(1,1)AB =， 把点B 绕点A 顺时针旋转116π后得到点P ， 即把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转6π得到点P ，则(cos sin AP x y θθ=-，sin cos )(cos sin66x y ππθθ+=-，1sincos )662ππ+=-，12，设(,)P a b ，则(1AP a =-，2)(b -=12-，12+，解得12a =+，52b =+．所以点P 的坐标为12+，52+． 〖答 案〗D12．在三棱锥A BCD -中，所有的棱长都相等，E 为AB 中点，F 对AC 上一动点，若DF FE +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗如图，三棱锥A BCD -各棱相等，H 是底面BCD ∆中心，则AH ⊥平面ABC ，显然有AH 与底面上的直线BH 垂直，O 是其外接球球心，设三棱锥棱长为a ，外接球半径为R ，则BH =，AH =，由222BO BH OH =+得222))R R =+-，R ， 把ABC ∆和ACD ∆沿AC 摊平，如图，则DE ==，因为DF FE +的最小值为=，4a =，所以4R ==334433V R ππ==⨯=． 〖答 案〗A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在ABC ∆中，已知6b =，45A =︒，75C =︒，则c = ． 〖解 析〗由180A B C ++=︒，45A =︒，75C =︒，60B ∴=︒，sin sin b c B C =即6sin 60sin 75c=︒︒，∴=，c ∴=．〖答案〗14．某学校共有学生2000名，各年级的男生、女生人数如表：已知从全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法，从全校学生中抽取64名，则应在三年级抽取的学生人数为 名． 〖解 析〗由已知抽取的64名学生中一、二年级的学生数为377373370(0.19)64482000+++⨯=，所以三年级的学生数为644816-=． 〖答 案〗1615．在2022年新冠肺炎疫情期间，长葛市组织市民进行核酸检测，某个检测点派出了3名医生，6名护士．把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为 ．〖解 析〗某个检测点派出了3名医生，6名护士， 把这9名医护人员分成三组，每组1名医生2名护士，基本事件总数111222321642540n C C C C C C ==， 医生甲与护士乙分在一组包含的基本事件个数12112223252242180m C C C C C C C ==， ∴医生甲与护士乙分在一组的概率为18015403m P n ===． 〖答 案〗1316．19世纪，美国天文学家西蒙⋅纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值19的3倍，并提出本福特定律，即在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的概率为1()log ()b b n P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若1012()3ni P i =∑，则n 的最大值为 ． 〖解 析〗由1()log ()b b n P n n +=可得，10101()log ()(1)i P i lg i lgi i+==+-， 所以101()(1)ni P i lg n ==+∑，又1012()3ni P i =∑，所以，2(1)3lg n +，即3(1)100n +， 所以，1n =，2，3，则n 的最大值为3． 〖答 案〗3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省郑州市2022学年高一下学期期末考试数学试卷
郑州市2022—2022学年下期期末考试高中一年级数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知平行四边形ABCD 中，向量()3,7AD =，()2,3AB =-，则向量AC 的坐标为（）()1,5.()2,7-C.()5,4D.()1,10【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则，结合平面向量坐标的加法运算可求得向量AC 的坐标.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得()()()2,33,71,10AC AB AD =+=-+=.故选：D.【点睛】本题考查平面向量加法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2.10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于()B.C.12D.12-【答案】A10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭=2πsin 3=,选A.3.某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻两个组的编号确定组矩，即可得解.【详解】由题：样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，所以组矩为9，则第一组所取学生的编号为3，第四组所取学生的编号为30.故选：A【点睛】此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.4.下列函数中是偶函数且最小正周期为4π的是（）A.22cos4sin 4y x x =- B.sin 4y x = C.sin 2cos2y x x =+D.cos 2y x =【解析】 【分析】本题首先可将四个选项都转化为()sin y A ωx φ=+的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果．【详解】A 中，函数22cos4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284T ππ==；B 中，函数是奇函数，周期242T ππ==；C 中，函数sin 2224y x cos x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，是非奇非偶函数，周期T π=；D 中，函数是偶函数，周期22T ππ==. 综上所述，故选A ．【点睛】本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足()()f x f x -=，对于函数()sin y A ωx φ=+，其最小正周期为2T πω=，考查化归与转化思想，是中档题．5.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（）A.52C.72【答案】C【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．6.已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.7- C.17-D.17【答案】D 【解析】 【分析】由平方关系求得sin θ，再由商数关系求得tan θ，最后由两角和的正切公式可计算．【详解】,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，tan tan14tan 471tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭-故选：D.【点睛】本题考查两角和的正切公式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题．7.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a=75，则I（a）=57，D（a）=75），执行如图所示的程序框图，若输入的a=97，则输出的b=（）【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输入a＝97，按程序框图执行即可得选项.【详解】由题意得:97,977918;==-=a b18,811863;a b ==-=63,633627a b ==-=；27,722745a b ==-=，45为5的倍数，所以输出45， 故选:A【点睛】本题主要考查了求程序框图的执行结果，属于基础题.8.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（）A.25B.12C.37 D.38【答案】D 【解析】 【分析】分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.【详解】设中心圆的半径为r ，所以中心圆的面积为2r π，8环面积为222945r r r πππ-=， 射击靶的面积为216r π，所以命中深色部分的概率为2263168r r ππ=. 故选：D【点睛】此题考查几何概型，属于面积型，关键在于准确求解面积，根据圆环特征分别求出面积即可得解.9.在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=，若(01)BM BC λλ=<<，则()AM AB AC ⋅+=（）C.32D.12【答案】A 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，连接DA ，根据()2AM AB AC AD AM ⋅+=⋅，即可得解.【详解】取BC 的中点D ，连接DA ，在ABC 中，2AB AC ==，且120BAC ︒∠=，所以,1DA BC AD ⊥=，2AB AC AD +=()22cos 22AM AB AC AD AM AD AM MAD AD AD ⋅+=⋅=⋅⋅∠=⋅=.故选：A【点睛】此题考查求向量的数量积，涉及平面向量的线性运算，根据数量积的几何意义求解，可以简化计算.10.若点(,1)6A π在函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象上，为了得到函数y =sin （2x +3π）（x ∈R ）的图象，只需把曲线f （x ）上所有的点（）A.向左平行移动3π个单位长度B.向右平行移动3π个单位长度C.向右平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动12π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】依次带入三个点计算得到3πϕ=-，再通过平移法则得到答案.【详解】当,16A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-+∈， 当0k =时满足条件，故3πϕ=-. 所以()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又sin(2)cos(2)cos(2)3326y x x x ππππ=+=+-=-cos[2()]123x ππ=+-， 所以只需将()f x 的图象向左平移12π个单位长度得到y =sin （2x +3π）（x ∈R ）的图象故选：D.【点睛】本题考查了根据函数过点求参数，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题目.11.已知(2sin13,2sin 77),||1a a b ︒︒=-=，a 与a b -的夹角为3π，则a b ⋅=（）【答案】B 【解析】 【分析】利用a 与a b -的夹角为3π结合向量的夹角公式求解即可.【详解】因为a 与a b -的夹角为3π，且(2sin13a=2==.故()cos 3a a ba a bπ⋅-=⋅-，即214122aa ba b -⋅=⇒-⋅=，解得3a b ⋅=. 故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式运用、模长公式以及向量的夹角公式等.属于基础题.12.若关于x 的方程sin cos 2sin cos 10,,44x x x x a x ππ⎡⎤+-+-=∈-⎢⎥⎣⎦有两个不同解，则实数a 的取值范围为（）A.9(2,]4B.5[2,]2C.5(2,)2D.9[2,)4【答案】D 【解析】 【分析】换元设sin cos t x x =+，将原函数变为22192()24a t t t =-+=--+，根据函数图像得到答案.【详解】sin cos 2sin cos 10,,sin cos 2sin cos 144x x x x a x a x x x x ππ⎡⎤+-+-=∈-⇒=+-+⎢⎥⎣⎦设sin cos t x x =+，则22sin cos 1x x t =-sin cos 2sin(),4t x x x π=+=+,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，单调递增，则[0,2]t ∈22192()24a t t t =-+=--+如图：数a 的取值范围为9[2,)4故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知向量3),(2,0)a b →→==，则|2|a b →→-=________【答案】23【解析】【分析】求得2a b →→-的坐标，根据向量模的公式计算即可.【详解】(1,3),(2,0)a b →→==,∴()2(1,3)2(2,0)3,3a b →→-=-=-, ∴|2|9323a b →→-=+=.故答案为：23【点睛】本题考查利用坐标求向量的模，考查计算能力，属于基础题.14.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为_________.【答案】56π【解析】 【分析】根据图像可得1(0)sin ,02f ϕϕπ==<<，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.【详解】由图可得：1(0)sin ,02f ϕϕπ==<<，56πϕ=或6π=ϕ 由于0在函数()f x 的单调减区间内， 所以56πϕ=.故答案为：56π 【点睛】此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.15.已知3sin()65x π+=-，则25sin ()sin()36x x ππ---的值________【答案】3125【解析】 分析】设6x πθ+=，将25sin ()sin()36x x ππ---转化为θ的函数，再利用诱导公式以及同角三角函数关系求解.【详解】设6x πθ+=，则3sin 5θ=-，所以2225sin ()sin()sin ()sin()cos sin 362x x πππθπθθθ---=---=-2233311sin sin 1()()5525θθ=--=----=故答案为：3125【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16.在Rt ABC △中，90,3C AB ︒∠==.以C 为圆心，2为半径作圆，线段PQ 为该圆一条直径，则AP BQ ⋅的最小值为_________.【答案】-10 【解析】 【分析】向量变形为()()AP BQ AC CP BC CQ ⋅=+⋅+，化简得4CP BA ⋅-，转化为讨论夹角问题求解.【详解】由题线段PQ为该圆的一条直径，设,CP BA夹角为θ，可得：()()AP BQ AC CP BC CQ⋅=+⋅+()()=+⋅-2AC CP BC CP=⋅+⋅-⋅-AC BC CP BC AC CP CP()2=⋅--4CP BC AC CPCP BA=⋅-=⋅-6cos4CP BAθcos4θ=-，当,CP BA夹角为θπ=时取得最小值-10.故答案为：-10【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量(3,2),(1,2),(4,1)==-=.a b c（1）求32+-；a b c（2）若()//(2)a kc b a +-，求实数k . 【答案】（1）()0,6（2）1613k =- 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得答案； （2）由向量平行的坐标运算条件可得答案. 【详解】（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--()()()9,61,28,2=+--()0,6=·（2）()34,2a kc k k +=++，()25,2b a -=-，∵()()//2a kc b a +-，∴()()()234520k k ⨯+--⨯+=， 解之得：1613k =-·【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量平行的条件，属于基础题.18.疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN 95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如下：（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （2）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；（3）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率.【答案】（1）15；（2）77.8；（3）35.【解析】 【分析】（1）根据表中数据确定不合格的口罩数，再利用频数除以总数估计不合格率；（2）根据平均数计算公式直接求解；（3）先根据分层抽样确定抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件，再利用枚举法列出基本事件总数以及至少有一件不合格品包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式以及对立事件概率公式求解.【详解】解：（1）在抽取的100件产品中，不合格的口罩有：4+16＝20（件）所以口罩为不合格品的频率为2011005=， 根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为15.（2）平均测试分数为554651675428524951477.8100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=·（3）由题意所抽取的5件口罩中不合格的1件，合格的4件.设4件合格口罩记为a ，b ，c ，d ，1件不合格口罩记为x . 若抽取的口罩中恰有1件不合格，则共有ax ，bx ，cx ，dx ，4种情况.·而从5件口罩中抽取2件，共有ab ，ac ，ad ，ax ，bc ，bd ，bx ，cd ，cx ，dx ，10种情况.所以2件口罩中至少有一件不合格品的概率为42105=. 故2件口罩全是合格品的概率为23155-=. 【点睛】本题考查平均数、频率、古典概型概率、分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知α，β为锐角，tan )ααβ=+=. （1）求cos 2α的值； （2）求tan (β-α)的值.【答案】（1）13-；（2）5【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，转化为齐次式求值；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.【详解】解：（1）由tan α=，得222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin 1tan 123ααααααα---====-+++； （2）由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），又∵()cos 3αβ+=-，∴()sin αβ+==，sin()tan()cos()αβαβαβ++==+由tan α=，得22tan tan 21tan ααα==--则()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 25αβαβααβααβα+-⎡⎤-=+-==⎣⎦++ 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.综上本题考查运算求解能力，是中档题. 20.已知函数(),[,]122f x x ππ=⋅∈a b ，其中2(3,cos ),(sin(2),4)3x x π==+-a b（1）求函数f (x )的单调递增区间； （2）求函数f （x ）的最大值和最小值.【答案】（1）,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值-1；最小值2-【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简，再根据两角和正弦公式展开，结合二倍角余弦公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数单调性求结果；（2）先根据[,]122x ππ∈确定50266x ππ≤-≤，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()224cos 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭sin2cos cos2sin 33x x ππ⎫=+⎪⎭1cos242x +-⨯31cos22cos22cos22sin 2 2.22226x x x x x x π⎛⎫=+--=--=-- ⎪⎝⎭222,()262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈,()63k x k k Z ππππ[,],122x ππ∈所以函数f (x )的单调递增区间为,].123ππ[（2）∵122x ππ≤≤，可得50266x ππ≤-≤∴0sin 2 1.6x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭当3x π=时，函数()f x 有最大值-1； 当12x π=时，函数()f x 有最小值2-.【点睛】本题考查向量数量积、两角和正弦公式、二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.21.如图，四边形OQRP 为矩形，其中P ，Q 分别是函数()(0)f x x ωω=>图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R 为图象与x 轴的交点.求f （x ）的解析式.【答案】()32f x x π=【解析】 【分析】借助函数()f x 的最小正周期得出P ，Q 的坐标，矩形OQRP 中OP OQ ⊥，利用向量数量积运算可求出最小正周期，由()f x 的最小正周期可得ω的值，从而求出f （x ）的解析式.【详解】解：设函数()f x 的最小正周期为T ，则(3)4TP ，3(,3)4TQ -， 因为四边形OQRP 为矩形，得OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=， 即233016T -=，解得4T =，所以2242T πππω===，所以()32f x x π=.【点睛】本题考查利用三角函数函数图象求三角函数解析式，主要考查三角函数的周期性，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.22.红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如下表：（1）根据表中数据求y关于x的线性回归方程；（2）①每台红外线治疗仪的价格为165元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）②若该红外线治疗仪的成本为120元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（1）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到1元）.参考公式：回归直线方程y bx a=+，()()()121ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆa y bx=-.【答案】（1）0.96198.6y x=-+；（2）①红外线治疗仪的月销量为40台；②价格应定为163元.【解析】【分析】（1）计算出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）①将10x =代入回归直线方程，求得y 的值，即可得出红外线治疗仪的月销售量的预测值；②计算出药店每月获取得纯利()Q x 的函数解析式，利用二次函数的基本性质可求得()Q x 取最大值时对应的x 值，即可得解.【详解】（1）1401501601701801605x ++++==，6455453526455y ++++==， ()()()()()()22222521140160150160160160170160180160i i x x =-+-+-+-+=--∑1000=，()()51201910100010102019960i ii x x y y =--=-⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯=-∑. ()()()1219600.961000ni ii n ii x x y y b x x ==---∴===--∑∑，450.96160198.6a y bx =-=+⨯=， y ∴关于x 的回归方程为0.96198.6y x =-+；（2）①由（1）知，当165x =时，0.96165198.640.240y =-⨯+=≈，答：每台红外线治疗仪的价格为165元时，红外线治疗仪的月销量为40台；②药店每月获取得纯利()()()20.96198.61200.96313.823832Q x x x x x =-+-=-+-. 所以当313.816320.96x =≈⨯时，()Q x 取得最大值.答：药店为使每月获得最大的纯收益，每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为163元.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程与总体进行估计，考查计算能力，属于中等题.。
河南省2022学年高一数学下学期期末考试试题理
第二学期期末考试 高一数学试卷（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（1）从集合}2,1,2{-=A 中随机选取一个数记为a ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线0=+-a y bx 不经过第四象限的概率为 A.31 B. 32 C. 92 D. 94（2）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A.46，45，53 B.47，45，56 C.46，45，56 D.45，47，53 （3）已知向量)sin ,(cos ),3,2(θθ==b a ，若b a ⊥，则=θtan A. 32-B. 32C. 23-D. 23 （4）已知曲线x y C sin 1=：，曲线)32cos(2π-=x y C ：，则A. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位. B. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位.C. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移6π个单位.D. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移12π个单位.（5）已知等比数列}{n a 中，且0>n a .若881=a a ，则=+++822212log ...log log a a aA. 4B. 8C. 12D. 6（6）已知等差数列}{n a 满足3,375-==a a ，则数列}||{n a 的前10项和为 A. 15 B. 75C. 45D. 60（7）在ABC ∆中，O 为ABC ∆的外心，且满足2||=AB ,则=⋅+⋅AB BO AB AO 2 A. 1 B. 2C. 4D. 01 2 52 0 23 3 3 1 24 4 8 9 45 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 96 17 8开始1S =结束1i =1000?S ≥i 输出2i i =+*S S i=是否（8）已知函数.,0,sin cos )(R x x x x f ∈>+=ωωω若曲线)(x f y =与直线1=y 的交点中，相邻交点的距离的最小值为43π，则)(x f y =的最小正周期为 A. 2πB . π C. π2 D . π3（9）已知程序框图如右，则输出的i 的值为A. 7B. 9C. 11D. 13(10) 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，cbA 2212cos 2+=，则ABC ∆的形状为A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形 （11）已知等差数列}{},{n n b a 的前n 项和为n n T S ,，且3212+-=n n T S n n .若数列}{n a 为递增数列，则使0<n a 的最大正整数n 为A. 6B. 7C. 5D. 4(12)已知函数0,cos sin 3)(>+=ωωωx x x f . 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为A.315π B. 33π C. 321π D.339π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13.已知2tan =θ，则_____________cos sin sin 2=-θθθ. 14.在ABC △中，::2:3:4a b c =，则sin 2sin AC= ．15.在矩形ABCD 中，43==AD AB ，,点P 在以A 为圆心且与BD 相切的圆上，且在矩形ABCD 内，若μλμλ++=则,AD AB AP 的最大值为__________.16.如果数列}{n a 的前n 项和为nn S 21+=，则.________=n a三、解答题17.设函数2()sin()2cos 1366x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期;(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当3[0,]2x ∈时()y g x =的最大值． 18.已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列}1{1+n n a a 的前n 项和为1+n n （1）求数列}{n a 的通项公式;（2）设nn n a b 2)12(•+=，求数列}{b n 的前n 项和n T .19.在锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边为c b a 、、.且B cco B a C b s cos 2cos -=（1）求角B 的值;（2）设θ=A ,求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的取值范围.20.2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数x （单位：次） 2 4 6 8 10 粉丝数量y （单位：万人） 10204080100（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y 与上春晚次数x 满足线性回归方程，试求回归方程^^^y b x a =+，并就此分析：该演员上春晚11次时的粉丝数量； （Ⅱ）若用(1,2,3,4,5)iiy i x =表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）： （1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率. 参考公式：()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bxxnxx x -----⋅--===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：21.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边为c b a 、、.且cb aC A -=2cos cos （1）求角A 的值;（2）设2=a ,求ABC ∆面积的取值范围.22.已知数列}{n a ，}{b n 满足)(),(211+++∈-=-N n b b a a n n n n （1）若,32,11+==n b a n 求数列}{n a 的通项公式;（2）若恒成立，对一切+∈++>==N n a b a n n n n λλ212,2,61求实数λ取值范围.答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D CADCBBDDBAB二、填空题13. 52 14.8715. 1 16. ⎩⎨⎧≥==-2,21,31n n a n n三、解答题17.（1）3cos 3cos 213sin 23)(x x x x f πππ--=3cos 233sin 23x x ππ-= )33sin 3ππ-=x （.........................4分所以函数的最小正周期为632==ππT .............5分（2）因为函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称， 所以)33sin(3]3)2(3sin[3)2()(xx x f x g ππππ-=--=-=.....7分 因为3[0,]2x ∈[,]3363xππππ-∈-所以.........9分所以]23,21[)33sin(-∈-x ππ，]23,23[)(-∈x g 。
2024届河南省平顶山市、许昌市、汝州数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2024届河南省平顶山市、许昌市、汝州数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．各项不为零的等差数列}{n a 中，23711440a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．642．已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是 A ．[0,1]B ．8[0,]5C ．1[,1]2-D ．18[,]25-3．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．84．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm . A ．8B ．9C ．10D ．125．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x=B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．77．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．572π B ．632π C ．29πD ．32π8．下列关于函数()sin 1f x x =+（[0,2]x π）的叙述，正确的是（ ） A ．在[0,]π上单调递增，在[,2]ππ上单调递减 B ．值域为[2,2]-C ．图像关于点(,0)()k k Z π∈中心对称D ．不等式3()2f x >的解集为15|66x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭9．A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 10．如图，是上一点，分别以为直径作半圆，从作，与半圆相交于，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年河南省平顶山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．793．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π26．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．678．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥010．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M ，N 是此试验中的两个事件，且满足P （M ）=13，P （N ）=23，则下列说法正确的是（ ） A ．M 与N 是对立事件B ．若M ⊆N ，则P （MN ）=13C ．若P(MN)=19，则M 与N 相互独立D ．若P （M ∪N ）＝1，则M 与N 互斥11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b ＝3，A ＝2B ，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ＜b ，则△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 可能是顶角为钝角的等腰三角形C ．若a =3√3，则C =π2D ．若c ＝1，则a =2√312．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ ． 14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 ．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝t+（t2﹣1）i，z2＝sinθ+（2cosθ+1）i，其中t∈R，θ∈[0，π]．（1）若z1，z2∈R且z1＞z2，求t的值；（2）若z1＝z2，求θ．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1B1，AB，AD的中点．（1）求平面AEC截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =5i 31−2i =−5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−i ，则z 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D ．2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．79解：8×25%＝2，该组数据的25%分位数为从小到大第2个数据和第3个数据的平均数 73+792=76．故选：C ．3．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2解：前三年6月份最高气温小于30°C 的天数为5+7+24＝36，所以概率为3690=0.4，所以可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率0.4． 故选：C ．4．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）解：∵a →⋅b →=2+4=6，b →2=2，∴a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=62(−1，1)=(−3，3)．5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π2解：根据题意，设圆锥的高为h ，它的侧面展开图的圆心角θ， 圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则V =π×4×ℎ3=8√33π， 则h ＝2√3，故该圆锥的母线长l =√12+4=4， 则4θ＝2π×2，解可得θ＝π． 故选：B ．6．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →解：如图，在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →， 则CD →=CM →+MD →⋯⋯①， BA →=BM →+MA →⋯⋯②，①×2+②可得：4CD →=2CM →+BM →，即CD →=12CM →+14BM →．故选：A ．7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．67解：延长BB 1至G ，使得B 1G ＝1，连接D 1G ，GM ， 易知D 1G ∥DN ，则∠MD 1G 为异面直线D 1M ，DN 所成角，因为D 1G =√32+22+12=√14，MG =√12+32=√10，D 1M =√12+32+22=√14，故△MD 1G 中，cos ∠MD 1G =D 1M 2+D 1G 2−MG 22D 1M⋅D 1G =14+14−102×14×14=914．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12解：由已知得sin A +sin B ＝2sin C ，根据正弦定理可得a +b ＝2c ， 根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =(a+b)2−2ab−c 22ab =3c 22ab −1≥3c 22(a+b 2)2−1=32−1=12，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以cos C 的最小值为12，sin 2C +cos 2C =1，从而sin C 的最大值为√32． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥0解：对于ABC ，不妨设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则z =a −bi ，对于A ，|z|=|z|=√a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 当b ＝0时，z −z =0，故B 错误；对于C ，z +z =a +bi +a −bi =2a ∈R ，故C 正确； 对于D ，设z ＝i ， z 2＝﹣1＜0，故D 错误． 故选：AC ．10．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M，N是此试验中的两个事件，且满足P（M）=13，P（N）=23，则下列说法正确的是（）A．M与N是对立事件B．若M⊆N，则P（MN）=13C．若P(MN)=19，则M与N相互独立D．若P（M∪N）＝1，则M与N互斥解：对于A，M与N不一定为对立事件，也有可能由交集，比如M为“抽出的数大于等于7”，N为“抽出的数大于等于8或小于等于4”，A错误；对于B，当M⊆N，则P（MN）＝P（M）=13，B正确；对于C，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（N）＝1−23=13，则P（M N）＝P（M）P（N），可得M，N互相独立，即有M与N相互独立，C正确；对于D，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（M）+P（N）＝P（M∪N）＝1，即有P（MN）＝0，M与N也可能由交集，比如M为“抽出的数小于等于3”，N为“抽出的数大于等于3且小于等于8”显然P（M∪N）=49+49+19=1，二者的交集是“抽出的数字为3”，互斥，D正确．故选：BCD．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝3，A＝2B，则下列说法正确的是（）A．若c＜b，则△ABC是钝角三角形B．△ABC可能是顶角为钝角的等腰三角形C．若a=3√3，则C=π2D．若c＝1，则a=2√3解：对于A，若c＜b，则C＜B，由π＝A+B+C＜4B，得B＞π4，所以A＞π2，故A正确；对于C，由正弦定理得asinA =bsinB，即asin2B=bsinB，所以a2sinBcosB=bsinB，结合b＝3得a＝6cos B，若a＝3√3，则\cos B=√32，所以B=π6，A=π3，则C=π2，故C正确；对于B，若△ABC是等腰三角形，当A＝C时，A+B+C＝5B，则顶角B=π5为锐角，当B＝C时，A+B+C＝2A，则顶角A=π2为直角，即顶角不可能为钝角，故B错误；对于D ，由选项C 的分析可知a ＝6cos B ，再由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+1−92a ， 所以a ＝6×a 2+1−92a，整理得a 2＝12，所以a ＝2√3，故D 正确．故选：ACD ．12．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10解：∵∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点， ∴∠BOC =∠AOC =π3，设|AE |＝x ，（0≤x ≤4），则|OD |＝x ，|OE |＝4﹣x ， ∴CD →=OD →−OC →，CE →=OE →−OC →， ∴CD →⋅CE →=(OD →−OC →)⋅(OE →−OC →) =OD →⋅OE →−OD →⋅OC →−OC →⋅OE →+OC →2 =x ⋅(4−x)⋅(−12)−4x ⋅12−4(4−x)⋅12+16 =12x 2−2x +8=12(x −2)2+6，0≤x ≤4， ∴6≤CD →⋅CE →≤8，故AB 正确；又6=2√9＜2√10＜2√16=8，故C 正确； (3√10)2=90＞64=82，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ 32．解：a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)， 则a →+2b →=（1，2）+（﹣4，2）＝（﹣3，4）， ∵(a →+2b →)⊥c →，∴2×（﹣3）+4t ＝0，解得t =32． 故答案为：32．14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 45 ．解：已知4＝1×3+1，7＝2×3+1，3a +1＝3×a +1， 3b +1＝3×b +1，16＝5×3+1，19＝6×3+1，25＝8×3+1，所以数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25是数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的3倍再加1， 则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差为32×5＝45． 故答案为：45．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为34．解：设事件A 表示“小王买甲书”，事件B 表示“小王买乙书”， 由题意可知，事件A 与事件B 相互独立， 所以事件A 与事件B 也相互独立，所以P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝P （A ）（1﹣P （B ））=16，即P （A ）﹣P （A ）P （B ）=16， 又因为P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12，所以P （A ）=12+16=23，P （B ）=1223=34，即小王买乙书的概率为34．故答案为：34．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 40π ．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外接圆圆心即点D ，三棱锥外接球球心在过点D 与平面ABC 垂直的直线上，即在平面P AB 内，所以球心即为△P AB 的外接圆圆心，球的半径即为△P AB 的外接圆半径R ，因为PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，所以BD =2√2，从而AD =2√2，设P A ＝x ，在△P AD 中，根据余弦定理有PA 2=22+(2√2)2−2×2×2√2cos3π4=20，所以PA =2√5， 由正弦定理得2R =2√5sin∠PBA =2√10，所以R =√10，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝40π．故答案为：40π．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z 1＝t +（t 2﹣1）i ，z 2＝sin θ+（2cos θ+1）i ，其中t ∈R ，θ∈[0，π]．（1）若z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，求t 的值；（2）若z 1＝z 2，求θ．解：（1）由z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，可得{t 2−1=2cosθ+1=0t ＞sinθ，且θ∈[0，π]，解得t ＝1； （2）因为z 1＝z 2，所以{t =sinθt 2−1=2cosθ+1θ∈[0，π]，解得cos θ＝﹣1，所以θ＝π．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．解：（1）因为4（0.025+0.075+0.1+a ）＝1，解得a ＝0.05，易得评分在[84，92）内的频率为4（0.025+0.075）＝0.4＜0.5，评分在[84，96）内的频率为4（0.025+0.075+0.1）＝0.8＞0.5，所以中位数在区间[92，96）内，则中位数为92+0.5−0.40.8−0.4×4=93；（2）易知这6人中评分在[84，88）内的有2人，记为x 、y ，评分在[96，100]内的有4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共15种情况，其中至少有一人评分在[84，88）内的有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 共9种情况，则这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率P =915=35． 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1B 1，AB ，AD 的中点．（1）求平面AEC 截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC ⊥平面MEF ．解：（1）平面AEC 截正方体所得截面为梯形ACQE ，其中Q 为B 1C 1的中点，由题易知AC ＝2√2，EQ =√2，OC ＝AE =√5，∴梯形的高h =√5−12=√92=3√22，所以截面面积为√2+2√22×3√22=92． 证明：（2）连接BD ，∵M ，F 为AD ，AB 的中点，∴MF ∥BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MF ，∵E ，F 分别是A 1B 1，AB 的中点，∴EF ∥AA 1，∵AA1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，又∵EF∩MF＝F，∴AC⊥平面MEF，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．解：（1）由tanB=−2√2，可得sinB=2√23，cosB=−13，设AB＝c（c＞0），在△ABC中，由余弦定理得9=4+c2−4c×(−13)，即c2+43c−5=0，解得c＝﹣3（舍去）或c=5 3，由正弦定理得sin∠ACB=c⋅sinB3=53×2√233=10√227．（2）∵∠COD＝∠AOD，∴AD＝CD，由已知得∠B+∠ADC＝π，∴cos∠ADC=1 3，设AD＝CD＝m（m＞0），在△ACD中，由余弦定理得9=m2+m2−2m2×13=43m2，所以m2=27 4，所以m=3√32，即AD=3√32．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．解：（1）因为AD∥BC，AD∉平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即点D到平面PBC的距离，作DM⊥PC，垂足为M，如下图所示：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且交线为PC，又DM⊂平面PCD，所以DM⊥平面PBC，点D到平面PBC的距离即DM，在等腰直角△PCD中，PD＝CD＝3，所以DM=3×332=3√22，即点A到平面PBC的距离为3√2 2．证明：（2）存在满足条件的点G，且点G为线段PB上靠近点B的三等分点，证明如下：连接AC，BD交于点O，连接OG，AG，因为点F，G是PB的三等分点，所以F为PG的中点，G为BF的中点，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以OG∥DF，OG∉平面DEF，所以OG∥平面DEF，因为点E为P A的中点，所以EF∥AG，AG∉平面DEF，所以AG∥平面DEF，又因为OG∩AG＝G，OG，AG⊂平面ACG，所以平面ACG∥平面DEF，又因为CG⊂平面ACG，所以CG∥平面DEF，因为PB=√12+32+32=√19，所以BG=√193．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m 元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m ＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m ＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．解：（1）记1个红球为a ，4个白球分别为b ，c ，d ，e ．则从箱子中随机摸出两球，样本点有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个样本点 其中含有红球的为：ab ，ac ，ad ，ae ，共4个样本点，所以在一次摸奖中，中奖概率为410=25． 当m ＝60时，甲、乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为25．（2）当m ＝240时，他们可以摸奖4次．记事件第i 次由甲摸奖为A i （i ＝1，2，3，4），记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B ， 则B =A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4，所以P(B)=P(A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4)，=P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)，=12×(25)3+12×25×35×35+12×35×35×25+12×35×25×35 =31125．。
河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
河南省高一下学期数学期末考试试卷
河南省高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和=（）A . 58B . 88C . 143D . 1762. （2分） (2019高二上·绍兴期末) 直线的斜率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二上·江门月考) 过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·银川模拟) 等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A . 5D . 105. （2分）在等比数列{an}中，a1=3，a3=12，则a5=（）A . 48B . ﹣48C . ±48D . 366. （2分） (2019高一下·泰州月考) 圆的圆心坐标和半径分别是（）A . ，2B . ，1C . ，2D . ，17. （2分）直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）设是等差数列，若，则数列前8项的和为（）A . 128D . 569. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4= ，则该数列的前10项和为（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线l的倾斜角为45°，经过点P（﹣2，3），则直线的方程为（）A . y=x﹣5B . y=x+3C . y=x﹣5D . y=x+511. （2分）在等差数列中，，则（）.A . 45B . 75C . 180D . 30012. （2分）直线的倾斜角是（）A . -arctanB . -arctanC .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·张家港期中) 已知数列{an}的通项公式为an= ，那么是它的第________项．14. （1分） (2016高二上·徐州期中) 过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为________．15. （2分） (2020高一下·金华月考) 若直线l的方程为，则其倾斜角为________，在y轴上的截距为________.16. （1分） (2016高二上·江阴期中) 圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为________三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2019高二下·哈尔滨期末) 已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，证明： .18. （15分） (2016高三上·江苏期中) 在数列{an}中，已知a1= ，an+1= an﹣，n∈N* ，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3nan}是等差数列；（2）求Sn；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp ， Sq ， Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．19. （10分） (2019高一下·海珠期末) 已知圆经过，，三点．（1）求圆的标准方程；（2）若过点N 的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．20. （10分） (2017高二上·长春期中) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）求m的取值范围；（2）圆C与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) （）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是（）
A . 36
B . 37
C . 38
D . 39
3. （2分）已知平面上直线的方向向量，点和在直线的正射影分别是和，且，则等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高三上·广州月考) 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1;
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份.
A . ①②③
B . ②③
C . ②③④
D . ①②④
5. （2分）下列各式中，正确的是（）
A . sin（﹣）＞sin（﹣）
B . cos（﹣）＞cos（﹣）
C . cos250°＞cos260°
D . tan144°＜tan148°
6. （2分） (2017高二下·寿光期中) 设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（）
A . A与B是对立事件
B . A与B是互斥事件
C . A与是相互独立事件
D . 与不相互独立
7. （2分） (2016高二上·马山期中) 函数y=|sinx|的最小正周期是（）
A .
B . π
C .
D . 2π
8. （2分） (2019高二下·深圳期中) 已知，在⊙O：上任取一点P ，则满足的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 如图，程序框图所进行的求和运算是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高三上·汕头期中) 已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2019·黄山模拟) 谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.在一个正三角形中，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形为剩下的部
分，我们称此三角形为谢尔宾斯基三角形.若在图（3）内随机取一点，则此点取自谢尔宾斯基三角形的概率是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2020高一下·苍南月考) 在中，内角为钝角，，，，则（）
A . 2
B . 3
C . 5
D . 10
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn ．已知向量，
满足，则 =________．
14. （1分）(2019·成都模拟) 某单位有职工人，其年龄分布如下表：
年龄（岁）
人数709040
为了解该单位职工的身体健康状况，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行调查，则年龄在
内的职工应抽取的人数为________
15. （1分）若α、β∈（0，），且tanα= ，tanβ= ，则α﹣β的值是________．
16. （1分）(2019·十堰模拟) 在△ABC中，a=3，，B=2A，则cosA=________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分） (2019高一下·海珠期末) 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
18. （5分） (2019高二下·宝安期末) 已知 =12sin(x+ )cosx-3,x∈[o, ].
(Ⅰ)求的最大值、最小值;
(Ⅱ)CD为△ABC的内角平分线,已知AC= max,BC= ,CD=2 ,求∠C．
19. （10分） (2019高一下·扶余期末) 在中，角所对的边分别为，，
，，为的中点.
（1）求的长；
（2）求的值.
20. （5分）(2017·黑龙江模拟) 在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC 的面积为，，b=3．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．
21. （15分） (2016高一下·驻马店期末) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．
（1）从该校高三模拟考试的成绩中随机抽取一份，利用随机事件频率估计概率，求数学分数恰在[120，130）内的频率；
（2）估计本次考试的中位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
22. （5分） (2017高三下·重庆模拟) 已知函数
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最小正周期与单调递增区间
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、考点：
解析：。