中学生世界九年级数学第
人教版初中数学2011课标版九级上册第二十五章251随机事件与概率2(实用资料)ppt
• （2）如果两种球都有可能被摸出，那
么摸出黄球和摸出白球的可能性一样 大吗?
• 能否通过改变袋子中某种颜色的球
的数量，使“摸出的黄球”和“摸 出的白球”可能性大小相同？
能，再加入4个白球或减去4黄球， 袋子中两种球的数量相等就可以。性，偶数的可 能性分别多大？
九年级
上册
活动二中“出现的点数大于0”吗？ 在空地上抛掷一球，球终将下落
我们称之为不可能事件。
抽到的序号可能是1，也可能不是1，但事先无法确定.
（能，这些事件都必然会发生.） 在空地上抛掷一球，球终将下落
⑴抽到的序号有几种可能情况？ （3）出现的点数会是7吗？
能性是3，偶数的可能性是3也就是说都是
在实验过程中是必然,象以上的这些事件 （不能，都不可能发生.
1 随机事件 在活动一抽签过程中，能抽到的序号小于6吗？
会发生的。我们称之为必然事件。 1 随机事件
在一定条件下重复进行试验时，有的事件是不可能
袋子中装有6个黄球，2个白球，这些球的形状，大小，质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋子
中摸出1个球，
艾力掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。
所有出现的结果为6种，其中点数奇数的可 能性是3，偶数的可能性是3也就是说都是 1/2
感谢观看
探究2：
在活动一抽签过程中，能抽到0号的签吗？ 在活动二中“出现的点数会是7”吗？
（不能，都不可能发生.）
象这样的事件，在实验过程中是不可能发生的。 我们称之为不可能事件。
探究3：
在活动一抽签过程中，能抽到1号、2号或5号的签吗？
在活动二中“出现的点数会是4”吗？ 在一定条件下重复进行试验时，有的事件是不可能
第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题B卷(含答案)
第15届WMO世界数学奥林匹克竞赛九年级数学复赛试题B卷(含答案)第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛--------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（） A．0 B．1 C．3 D．4 2．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2 倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A′的纵坐标是（） A．3 B．－3 C．－4 D．4 第2题图第3题图第4题图第5题图 4．如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（） A． B．2 C． D．4 5．如图，圆O为△ABC的外接圆，其中点D在弧AC上，且OD⊥AC，若∠A=36°，∠C= 60°，则∠BOD的度数为（） A．132° B．144° C．156° D．162° 6．已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（） A．7 B．9 C．13 D．5 7．如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组 mx＞kx+b＞mx－2的解集是（） A．x＞1 B．0＜x ＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x＜2 8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（） A． B． C．1 D．第7题图第8题图第9题图 9．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC 对称，点E与点F关于BD对称，AB=1，则cos∠AGB 等于（） A． B． C． D． 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y= （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y= （x＞0， k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，CC′交x轴于点B，连接AB、AA′、A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（） A．8 B．10 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共30分） 11．若2m=3，4n=8，则2m-2n 的值是____________． 12．如图，将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____________．第12题图第13题图13．如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a 的值为_____________． 14．m、n是两个连续自然数，且q=mn，p= ，则p的值是．（填“奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”） 15．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的．小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为_____________． 16．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面三个结论：①GH⊥BE；②S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；③EM：MG=1：（1+ ），其中正确结论的序号为．三、解答题（共5小题，共50分） 17．请分别用配方法和因式分解法解方程：6x2+7x－3=0．（8分）配方法：因式分解法：18．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．试说明点（a，b），（c，d）和坐标原点O（0，0）在同一条直线上．（9分）19．如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．（10分）20．如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD 于F、G、H．（1）求证：CF=2DH；（4分）（2）若AB=BC，cos∠BCA= ，DE=4，求HD的长．（6分） 21．在平面直角坐标系中，以D（－4，）为圆心的⊙D与y轴相切于点Q，与x轴交于A、 B两点，其中点B坐标为（－1，0）．以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点，点 C坐标为（－4，9），CD与x轴交于点H．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（3分）（2）P为直线AC上方抛物线上一点，当S△APC= S△AHC时，求点P坐标；（4分）（3）PM⊥AC于点M，PE⊥x轴于点E且与AC交于点N，△PMN 的周长为l，求l的最大值．（6分）。
九年级数学知识点总结人教版
九年级数学知识点总结人教版学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。
学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。
下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。
1、概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：(1)旋转前后的两个图形是全等形;(2)两个对应点到旋转中心的距离相等(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.4、中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.6、坐标系中的中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O 的对称点P′(-x，-y).(一)平行四边形的定义、性质及判定.1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4 ·对称性：平行四边形是中心对称图形.(二)矩形的定义、性质及判定.1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 ·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.4 ·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.(三)菱形的定义、性质及判定.1 ·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(1)菱形的四条边都相等;。
第29章 投影与视图 核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)
第29章投影与视图核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)1. 投影与视图概述在几何学中，我们经常要处理三维物体的投影与视图问题。
投影是将三维物体投射到一个二维平面上得到的影像，而视图则是根据观察者的角度和位置，得到三维物体在不同平面上的投影。
掌握投影与视图的技巧是非常重要的，它能帮助我们更好地理解三维物体的形状和结构，并在实际应用中解决一些几何问题。
2. 投影与视图的基本概念在进一步学习投影与视图之前，我们先来了解一些基本概念。
平行投影与中心投影平行投影是指投影线与观察窗口之间平行的投影方式，而中心投影是指投影线与观察窗口的中心点相交的投影方式。
在实际应用中，我们常用平行投影来简化计算。
而中心投影则更贴近人眼的观察方式。
正投影与斜投影正投影是指投影线与观察平面垂直的投影方式，而斜投影则是指投影线与观察平面不垂直的投影方式。
正投影给我们提供了真实的物体形状，而斜投影则可以呈现物体的立体感。
俯视图与侧视图俯视图是指从上方观察物体得到的视图，而侧视图则是指从侧面观察物体得到的视图。
俯视图可以展示物体的上下关系，而侧视图则更能表现物体的宽度和长度。
3. 正交投影与投影向量正交投影是指投影线与观察平面相互垂直的投影方式。
投影向量是指将物体的顶点与投影平面相连所得到的向量。
通过计算投影向量的长度和方向，我们可以确定投影的位置和大小。
4. 立体图形的投影与视图对于常见的立体图形，我们可以通过投影与视图的方式来观察和理解它们。
球体的投影与视图当观察者与球体平行时，球体在观察平面上投影为一个圆。
当观察者与球体垂直时，球体在观察平面上投影为一个点。
而在其他角度下，球体的投影则是一个椭圆。
直线与平面的投影与视图对于一条直线，它的投影可以是一条线段或一点，具体取决于观察者与直线的相对位置。
对于一个平面，它的投影在观察平面上是一个与原平面共面的图形，我们可以通过观察得到平面在观察平面上的形状和位置。
九年级上册数学第一章知识点总结
九年级上册数学第一章知识点总结一、判定两个三角形全等的公理及推论；1、一般三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS。
2、直角三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
（简称为“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、等腰三角形的判定方法：定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称为“等角对等边”）3、反证法的理念：①假设与原命题的结论相反的结论；②根据假设的结论进行推理，推出一个新的结论；③判断新结论与公里、定理、推论、已知条件等相互矛盾；④所以假设不成立，故原命题成立。
三、等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度。
2、等边三角形的判定方法：定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形1、直角三角形的性质定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度。
2、直角三角形的判定方法：定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、用尺规作图法求作线段的垂直平分线六、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
人教版初三九年级数学第二十一单元一元二次方程知识点及单元测试(含答案)
第二十一章一元二次方程一．知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
第3章 概率的进一步认识 整理与复习-2022-2023学年九年级全一册初三数学(北师大版)
第3章概率的进一步认识整理与复习一、概率的基本概念回顾概率是数学中研究事件发生可能性的一门分支。
在初中数学中，我们已经学习了概率的基本概念，包括随机事件、样本空间和概率的计算方法等。
1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下，无法预测结果的事件。
在数学中，我们用字母A、B、C等表示随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一个试验中可能出现的所有结果组成的集合，用S表示。
样本空间可以是有限个元素的集合，也可以是无限多个元素的集合。
3. 概率的计算方法：在概率的计算中，我们常使用频率概率和理论概率两种计算方法。
•频率概率是指通过大量重复试验，统计事件发生的次数与总试验次数之比来估计事件发生的可能性。
•理论概率是指根据事件在样本空间中的可能性来计算事件发生的可能性。
二、条件概率以及乘法定理1. 条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。
用P(A|B)表示条件概率，读作“事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率的计算公式如下：$$ P(A|B) = \\frac{{P(A \\cap B)}}{{P(B)}} $$其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 乘法定理乘法定理是指计算多个事件同时发生的概率的方法。
对于事件A、B、C，乘法定理可以表示为：$$ P(A \\cap B \\cap C) = P(A) \\cdot P(B|A) \\cdot P(C|A \\cap B) $$其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(C|A ∩ B)表示在事件A和事件B同时发生的条件下，事件C发生的概率。
三、事件的独立性1. 独立事件的概念如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，事件B的发生与否也不会改变事件A的发生概率，那么我们称事件A和事件B是独立事件。
九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 2 用频率估计概率 例析彩票中奖的概率有多大素材 北师大
九年级数学上册第三章概率的进一步认识2 用频率估计概率例析彩票中奖的概率有多大素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第三章概率的进一步认识2 用频率估计概率例析彩票中奖的概率有多大素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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每种彩票中奖的概率有多大概率是表示一个事件发生的可能性的大小．了解事件发生的概率,我们可以解决实际生活中的一些实际问题，如我们可以通过计算概率来判断彩票中奖机会的可能性的大小．例1 某种彩票规定：每发行100万份，设立特等奖1名，一等奖10名，二等奖100名，三等奖1000名，四等奖10000名。
然后随机摇出中奖号码.小李花了2元钱买了1份,（1）请计算一下小李中各种奖的概率分别是多少?（2）请计算小李中奖的概率是多少？（3）如果他想使中奖的概率达到0.5以上，至少需要花多少元?（设各种奖可以兼得）析解:（1）P （特等奖)11000000=;P （一等奖）1011000000100000==; P （二等奖)1001100000010000==；P （三等奖）11000=；P （四等奖)1100=． （2）因为只要中各奖项中的一种都算中奖，所以中奖的概率为P （中奖）1101001000100000.0111111000000++++==． （3)设购买a 份彩票可使中奖概率提高到0.5,则0.0111110.5x =，解得45x ≈．所以至少需要花90元．例2某种彩票的购买及中奖的方法是:买一注彩票时任选一个7位数(每一位数字从09~这10个数字中选一个）,如果抽签所得到的7位数与你购买的这注彩票的7位数数字相同且排列也相同，那么就中了大奖，问购买一注此种彩票中大奖的概率是多少?析解：选定第一位数时它的概率为101，同样选定第二位数时也是从10个数字中选取一个，概率是101,……，依次类推，选定这个7位数的概率是: 111111111010101010101010000000P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以购买一注此种彩票中大奖的概率是100000001． 例3 有一种彩票是“21选5"，规则是从12321，，，…这21个数中任选5个数，如果所选的5个数，不计顺序，与开奖的5个数完全吻合,那么就中了一等奖.当你购买一注这种彩票时，中奖的概率是多少？析解:从21中选1个数正好是中奖的5个数中的一个的概率是521P =， 再从剩余的20个数中选1个数正好是中奖的5个数中剩余4个数中的1个的概率是420P =． 再从剩余的19个数中选1个数，正好是中奖的5个数中剩余3个数中的1个的概率是319P =． 再从剩余的18个数中选1个数，正好是中奖的5个数中剩余2个数中的1个的概率218P =．最后从剩余的17个数中选中最后一个中奖的数字的概率是171．所以在“21选5"这种彩票中，中大奖的概率为：5432110.000049212019181720349P =⨯⨯⨯⨯=≈．。
上海世界外国语中学九年级数学上册第二十二章《二次函数》知识点总结(专题培优)
一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．D 解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B解析：B【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键3．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣7C解析：C【分析】 当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，解得：a ＝13， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小， 此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣5或1，即点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小D 解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．B解析：B【分析】 根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．6．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<B 解析：B【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4；∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4∴312y y y <<故选B【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．7．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)A解析：A【分析】 根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．8．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤C解析：C【分析】 根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．10．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++C 解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．二、填空题11．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴ 解析：2【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒∴∠DBD FDE =∠在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF∴FE OD FD BO ==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t +∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即822OE ==，故OE 的最小值为22 故答案为：2【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．12．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．或【分析】先求出A1A2B1B2…的坐标若B1为直角顶点则A1A2的中点（10）到B1的距离与到A1和A2的距离相等求出d的值；同理：若B2为直角顶点求出d的值；若B3为直角顶点求出的d值是负数（舍解析：512或1112【分析】先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．【详解】解：直线l：1134y x=+，当x＝1时，y＝7 12，即：B1（1，712），当x＝2时，y＝11 12，即：B2（2，1112），∵A1（d，0），A2（2﹣d，0），若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，即：1﹣d＝7 12，解得：d＝5 12；同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝11 12，解得：d＝11 12；若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；所以d 的值是512或1112． 故答案为：512或1112． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨．13．将抛物线2y x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（- 解析：()2,1-【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14．已知抛物线y ＝x 2+9的最小值是y ＝_____．9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：∵y ＝x2+9∴当x ＝0时y 有最小值最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h 当a ＞0时x=ky 有解析：9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解．【详解】解：∵y ＝x 2+9，∴当x ＝0时，y 有最小值，最小值为9．故答案为：9．【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h ，当a ＞0时，x=k ，y 有最小值h ；当a ＜0时，x=k ，y 有最大值h ．15．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平解析：22y x =-【分析】根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；【详解】∵抛物线2(3)2y x =--∴顶点坐标为(3，-2)，∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 16．将二次函数y=x 2-4x+5化成=（x-h ）2+k 的形式，则y= _____．【分析】将二次函数的右边配方即可化成的形式【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c （a≠0abc 为常数）；（2解析：2(2)1x -+【分析】将二次函数245y x x =-+的右边配方即可化成2()y x h k =-+的形式．【详解】解：245y x x =-+， 24445y x x =-+-+，2441y x x =-++，22()1y x =-+．故答案为：2(2)1x -+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式，关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．17．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则||a b c -+的结果为___________．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0， ∴2244||b bc c a b c ++-+ =2(2)b c a b c +-+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 18．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表： x 1-0 3 yn 3 3 _______．（填序号即可）①0abc <；②若点()12,C y -，()2,D y π在该拋物线上，则12y y <；③4n a < ；④对于任意实数t ，总有()2496at bt a b +≤+．①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知当x=0时y=3当x=3时y=3∴对称轴为且∴①∵∴异号故①正确；②对称轴为解析：①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=32，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解：由图表知，当x=0时，y=3，当x=3时，y=3∴对称轴为0+33=222b x a =-=，且3c =，3b a =- ∴23y ax bx =++①∵3b a =-，3c =∴a b ，异号，0abc <，故①正确；②对称轴为32x =，且当1x =-时，.y n = 将(1)n -，代入23y ax bx =++中得3a b n -+=， ∴3a b n -=-又∵0n <∴-0a b <又∵a b ，异号，∴0a ＜，0.b >∴23y ax bx =++的图象开口向下， ∵33|2|||22π-->- ∴12y y <，故②正确；③∵3b a =-， 3.a b n -=-∴(3)3a a n --=-∴4 3.a n =-∴4.a n <，故③错误；④当32x =时，y 有最大值， ∴最大值为3492a b c ++ ∴对任意实数t ，总有29342at bt c a b c ++≤++， ∴24()96at bt a b +≤+，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与解析：3【分析】先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；【详解】∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，∴化二次函数解析式为顶点式为：()226y x h =--+， ∴令0y =，得()2260x h --+=， 解得：13x h =+23x h =-，∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点， ∴()3,0A h +，()3,0B h -， ∴(3323AB h h =+--= 故答案是3【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键． 20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C -都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.解析：（1）1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)（2）223⨯ ，22n ⨯．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形111A OC B 是正方形且关于y 轴对称，∴ ∠11AOB =45°，又∵点1A 在二次函数图象上， 设1A (x ，x)，∴2x x = 且x ＞0，∴x=1即点1A (1，1)，∴1OA =2 ，12OB = ，∴1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)；（2）根据正方形的性质，1OA 与y 轴的夹角为45°，故直线1OA 解析式为y x =，∵1B (0，2)，求得直线11C B 的解析式为2y x =+，进而求得2A (2，4)，2C (-2，4)，2B (0，6)，同时求得3B (0，12) ，于是12OB =，124B B =，236B B =，正方形111OA B C 面积=12222⨯⨯=， 正方形1222B A B C 面积=21448=222⨯⨯=⨯， 正方形2333B A B C 面积=216618=232⨯⨯=⨯， 正方形1n n n n B A B C -的面积=212222n n n ⨯⨯=⨯； 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；22．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为．解析：（1）y＝x2﹣4x+5．（2）见解析；（3）y＝﹣x2+4x﹣5．【分析】（1）当x=1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得．【详解】解：（1）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x＝132＝2；∴顶点坐标为：（2，1），∴设y＝a（x﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a＝1，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+1，即y＝x2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称，∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2个单位就能与22y x c =-+的图象完全重合，则c =______． （3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表： x 2- 1 5y m n pm n p解析：（1）见解析；（2）2±，2-；（3）p m n <<【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到2a =±；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数22y ax =-，再由题意就可得到c =-2．（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m 、n 、p 含未知数c 的代数式，比较大小即可．【详解】（1）二次函数2y ax =的图像随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数22y x c =-+的图像随着c 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数2y ax =与函数22y x c =-+的形状相同， 所以2a =-，即2a =±．抛物线2y ax =沿y 轴向下平移两个单位，即得到抛物线22y ax =-．因为该抛物线与22y x c =-+的图像完全重合所以2c =-故答案为2±；2-（3）表中数值代入二次函数22y x c =-+可得; 8m c =-+,2n c =-+,50p c =-+因为50c -+<8c -+<2c -+所以p m n <<．故答案为p m n <<【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）2a =时两个函数图像形状相同．24．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解析：（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．25．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．解析：(1)x=22） ABCD 37S =四边形 【分析】（1）由正方形推出22a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，2BC ，22a2y ax bx c =+-=a (x 22对称轴为x=222b a a --==(2) 对称轴为直线34x =-，∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y axbx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=由c>0、b>0、a>0，10ac b --=∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去），∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2272OB AB AO =-=，AD=2OB=7 ∴ABCD 137732S =⨯⨯=四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题26．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4）（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是 ．解析：（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得： 314c b c =-⎧⎨++=-⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．27．如图，直线:33l y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连结BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形ABDE,顶点E 是否在抛物线上？(3)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 横坐标为m,△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．解析：(1) 2y x 2x 3=-++，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；(3)S=21522m m +，S 的最大值为：258． 【分析】（1）求出A 、B 两点坐标，把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．（2）首先求出BD 和BD 所在直线解析式，再过A 作//AE BD 交抛物线于点F ，联立方程组2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩求出点F 的坐标，进而得出AF 的长，从而可判断出AF 和BD 的关系，故可得结；（3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），根据S=S △BOM +S △AOM -S △AOB 计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵直线l ：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，∴A （1，0），B （0，3），把点B （0，3）代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．顶点D 的坐标为（1，4）(2)不在，如图1，。
中学生世界九年级数学第
中学生世界九年级数学第一册第一章世界是一个充满无限可能的地方，而数学则是探索和理解这个世界的有力工具。
对于中学生来说，数学作为一门基础学科，对他们的学习和未来的发展有着重要的影响。
尤其是九年级学生，他们将面临更加复杂和深入的数学知识，需要更多的学习和实践来掌握。
第一节：数的运算九年级数学的第一个重点是数的运算。
在这一阶段，学生需要加强对加减乘除的掌握，并且探索更高级的数学运算，例如整式的加减乘除和分式的运算。
他们需要知道如何进行运算规则的灵活应用，并且学会解决实际问题。
第二节：代数和方程式九年级数学的下一个重点是代数和方程式。
代数是数学的一门分支，它通过符号和符号的关系来表示和解决各种问题。
九年级学生将学习如何使用代数表达式和方程式来解决实际问题，并且掌握解方程的方法和技巧。
第三节：几何几何是数学的另一个重要分支，它研究形状、大小、相对位置以及它们之间的关系。
九年级学生将通过学习线段、角度、三角形和平行线等概念来探索几何。
他们需要理解几何定理和推理，并且能够应用它们解决几何问题。
第四节：概率与统计九年级数学的最后一个重点是概率和统计。
概率是数学用于描述随机事件发生可能性的工具，而统计则是数学用于收集、分析和解释数据的工具。
学生需要学会计算概率和统计数据，并且能够应用它们解决实际问题。
结语通过九年级数学的学习，中学生不仅能够掌握基本的数学技巧和概念，还能够培养分析问题和解决问题的能力。
数学的学习不仅仅是为了应对考试，更是为了培养学生的逻辑思维和创造力。
希望学生们能够积极投入到数学学习中，不断提升自己的数学水平，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
中学生世界九年级数学第一学期答案
中学生世界九年级数学第一学期答案中学生世界第一学期数学课程中，九年级的学生们肩负着重任，考试任务繁重，给学习带来了极大的压力，所有人都非常关注及时的考试答案，那么，九年级数学第一学期的答案到底是什么呢？首先，我们来看看九年级数学第一学期考试中全部章节的答案：一、代数：1、用简便计算方法求多项式的值。
答案：通过分析多项式的系数和指数，逐项加减乘除，计算出多项式的值。
2、求一元二次方程的解。
答案：按照一元二次方程的求解公式，计算出一元二次方程的解。
3、求平面直角坐标系中某点的坐标。
答案：按照右手定则的思想，通过构图法求出某点的坐标。
二、几何：1、求矩形的周长和面积。
答案：根据矩形的长和宽，求矩形的周长=2(长+宽)，求矩形的面积=长乘以宽。
2、求三角形的周长和面积。
答案：根据三角形的三条边a、b、c，求三角形的周长=a+b+c，求三角形的面积=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=（a+b+c）/2。
3、求圆的面积和周长。
答案：根据圆的半径r，求圆的周长=2πr，求圆的面积=πr。
三、数列：1、求数列的前n项之和。
答案：使用等差数列前n项和的公式求出数列的前n项之和。
2、求数列的通项公式。
答案：通过观察数列的规律，找出数列的通项公式。
3、求数列的前n项的乘积。
答案：使用等比数列前n项乘积的公式求出数列的前n项之积。
四、概率：1、求两个事件A、B的概率P(A∩B)。
答案：根据全概率公式，计算两个事件A、B的概率P(A∩B)。
2、求两个事件A、B的条件概率P(A|B)。
答案：使用条件概率公式求出两个事件A、B的条件概率P(A|B)。
3、求一组离散随机变量的期望。
答案：根据离散随机变量的概率分布表，求出一组离散随机变量的期望。
以上就是九年级数学第一学期考试的所有章节答案，希望能够为大家解决学习中的疑惑，也希望大家会参加考试时都能取得理想的成绩。
在学习九年级数学第一学期课程的过程中，学生们应该充分利用课堂上的学习时间，仔细地认真完成课后的习题，加强理解；同时要正确使用数学技巧，注意掌握一些基本算法，这样才能更好地掌握数学知识，解决复杂的数学问题。
上海世界外国语中学九年级数学上册第五单元《概率初步》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．15个B．25个C．35个D．45个2．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（）A．14B．12C．18D．1163．甲、乙、丙三个小朋友玩滑梯，他们通过抽签的方式决定玩滑梯的先后顺序，则顺序恰好是甲→乙→丙的概率是（）A．13B．14C．15D．164．从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax2+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程211x a ax x++--＝3有正数解，则符合条件的概率是（）A．15B．25C．35D．455．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )A．12B．13C．14D．166．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为13．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定7．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有()A．6个B．16个C．18个D．24个8．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A ．34B ．13C ．12D ．149．“明天的降水概率为90%”的含义解释正确的是( )A ．明天90%的地区会下雨B ．90％的人认为明天会下雨C ．明天90%的时间会下雨D ．在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨10．现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （,x y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．16 11．同时抛掷完全相同的,A B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），两个立方体朝上的数字分别为,x y ，并以此确定(,)P x y ，那么点P 落在函数29y x =-+上的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．1612．有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一枚均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定不小于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a ，b 为实数，那么a +b ＝b +a ．其中是必然事件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．从1-,0,1,2,3这五个数中，随机取出一个数，记为a ，那么使关于x 的方程21x a x+=有解，且使关于的一元二次方程230x x a -+=有两个不相等的实数根的概率为___________．14．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒）1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 …发芽频率m n 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 …①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95；②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号）15．在一个不透明的袋子中，装有4个红球和白球若干个，若抽到红球的概率为13，则袋中白球有___________．16．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m 2．17．小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关，第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是________．18．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．19．已知a 为正整数，且二次函数()273y x a x =+-+的对称轴在y 轴右侧，则a 使关于y 的分式方程4211ay y y y--=--有正整数解的概率为_______． 20．有黄色抹子9只，绿色袜子7只，白色袜子4只，红色袜子2只，黑色袜子1只，盲人摸袜子（摸出的袜子不放回）：（1）若每次摸1只，连续摸两次，恰好凑成一双黄袜子的概率是________.（2）若要保证凑出2双不同色袜子，则至少要摸出________只袜子。
人民教育出社九年级数学上册 第二十五章251 1 随机事件(共19张PPT)演示文稿ppt
下午放学后，我开始写作业。今天作业太多 了，我不停的写啊，一直写到太阳从西边落下。
思考：袋中装有4个黑球，2个白球，这些 球的形状、大小、质地等完全相同，在看 不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一 个球。
人民教育出社九年 级数学上册 第二十 五章251 1 随机事
件(共19张PPT)
学习 目标
1、理解必然事件、不可能事件、随机事 件的定义。 2、能判断必然事件、不可能事件、随机 事件。
同学们听过“天有不测风云” 这句话吧!它的原意是指刮风、下 雨、阴天、晴天这些天气状况， 人们事先很难准确预料。后来泛 指世界上很多事情具有偶然性， 人们无法事先预料这些事情是否 会发生。
下列事件哪些是不可能事件， 哪些是必然事件，哪些是随机事件？
1.老师早上在操场上5秒跑了1000米。 2.购买一张彩票中奖。
不可能事件 随机事件
3.射击运动员射击一次，命中10环。
随机事件
4.高温下牛奶放空气中1小时，牛奶中细菌数增大。必然事件 5.我们班里有41个人，至少有两个人是同月出生的必。然事件
在现实世界中，我们经常会遇 到无法预料事情发生结果的情况， 例如，虽然天气预报说明天有雨， 但是我们无法确定明天是否一定 会下雨。聪明的你，还能举出其 他的例子吗？
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌” 这一事件的发生情况?
必然发生
必然不会发生
可能发生, 也 可能不发生
在一定条件下，有些事件必然会发生， 这样的事件称为必然事件。
(1)抽到的序号小于6 (2)抽到的序号是0 (3)抽到的序号是1
确定事件
上海世界外国语中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(专题培优)
一、选择题1．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．2．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-4B 解析：B【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出k 的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．【详解】解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，解得：x=14， ∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx 2-4x-1=0有实数根，∴△=（-4）2+4k≥0，解得：k≥-4且k≠0．综上可知：k 的取值范围是k≥-4．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3D解析：D【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．【详解】解：由题意得21112210,2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．4．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+C 解析：C【分析】把原方程变形为2(2)621x x +⨯=，将2x 看成未知数，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=， 2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．5．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．6．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根C 解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-8＜0，进而可得出方程23210x x ++=没有实数根．【详解】解：∵△=22-4×1×3=-8＜0，∴方程23210x x ++=没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．7．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．8．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9D 解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．9．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0B解析：B【分析】把0x =代入，求出a 的值即可．【详解】解：把0x =代入可得210a -=，解得1a =±，∵一元二次方程二次项系数不为0，∴1a ≠，∴1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．10．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．A ．40B ．10C ．9D ．8D 解析：D设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则一轮传染后共有（1+x ）人被传染，两轮传染后共有[（1+x ）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，由题意，得：（1+x ）+x(1+x)=81，即x 2+2x ﹣80=0，解得：x 1=8，x 2=﹣10（不符合题意，舍去），故每轮传染中平均一个人传染了8人，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．二、填空题11．方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________．2-6312有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式再计算出判别式的值根据结果判断根的情况【详解】解：化简可得：二次项系数为2一次项系数为-6常数项为3该方程判别式的值为由此可以判断它的根的 解析：2 -6 3 12 有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．【详解】解：化简可得：22630x x -+=，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为3， 该方程判别式的值为()2642312--⨯⨯=，由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，故答案为：2；-6；3；12；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式．12．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）249【分析】运用配方法的运算方法填写即可【详解】解：（1）x2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x2-9x+=（x-）2故答案为：【点睛】此题主要考查了配方法的应用熟练掌握完全平方公解析：49814 92【分析】运用配方法的运算方法填写即可．解：（1）x 2+14x+49=（x+7）2故答案为：49；（2）x 2-9x+814=（x-92）2， 故答案为：814，92． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是关键．13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的解析：-1【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案．【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根， ∴()2140k k =-+=， 解得：k 1=k 2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．15．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．16．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】 解析：-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 17．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【解析：相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值，将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值，由此即可得出结论．【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，∴2b t a -+=或2b t a --=，当2b t a-+=时，则()224M b b b ac =-=-；当2b t a-=时，则()224M b b b ac =-=-； ∴24b ac M =-=．故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键．18．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一解析：3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则：()1+116,x x x ++=()2116,x ∴+=14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =答：每轮传染中平均一个人传染了3人．故答案为：3.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．19．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=， ∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 20．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三、解答题21．已知关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x 1，x 2，且x 12+x 22＝8，求k 的值．解析：（1）见解析；（2）-1或13 【分析】（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8，解此方程即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），△()()231421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--221k k =++2(1)k =+，∴无论k 为任何实数，△0≥．∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）解：根据题意得x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，∴（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8， 整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝13，k 2＝﹣1， 经检验k 1＝13，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0，∴k 的值为﹣1或13． 【点睛】 本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．22．某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．解析：这两个月营业额的平均增长率是10%【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），即可表示出三月份的营业额，根据三月份营业额达到12.1万元，即可列方程求解．【详解】解：设这两个月营业额的平均增长率是x ，由题意可得：10（1＋x ）2＝12.1，解得x 1＝0.1；x 2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两个月营业额的平均增长率是10%．【点睛】此题主要考查了求平均变化率的问题．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．23．解方程：（1） 2890x x --=（2）（x+1）2=6x+6解析：（1）11x =-，29x =；（2）11x =-，25x =．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．（2）289x x ，2228494x x -+=+2(4)25x -=，45x =±，∴11x =-，29x =；（2）()2166x x +=+， ()21(66)0x x +-+=， ()216(1)0x x +-+=， ()()1160++-=x x ，(1)(5)0x x +-=，11x =-， 25x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．25．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．26．若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1，x 2，且x 12+x 22=24，求m 的值． 解析：m =5．【分析】先根据根与系数的关系求得x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1，再对x 12+x 22=24变形，然后将x 1+x 2=6、x 1x 2=m +1代入得到关于m 的方程，最后求解即可．【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=m +1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=24，∴62-2（m +1）=24，解得：m=5．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式成为解答本题的关键．27．阅读下列材料，解答问题．222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+，原方程可化为222()m n m n +=+，0mn ，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．解析：x 1=54，x 2=23【分析】 设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，代入后求出mn ＝0，即可得出（4x -5）（3x -2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，∴4x -5＝0，3x -2＝0，∴x 1=54，x 2=23． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x -5）（3x -2）＝0是解此题的关键．28．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-（1）求一次函数的表达式；（2）若点()222,a a +在该一次函数图象上，求a 的值；（3）已知点()()1122,,,A x y B x y 在该一次函数图象上，设()()1212m x x y y =--，判断正比例函数y mx =的图象所在的象限，说明理由．解析：（1）21y x =-+；（2）a 的值是－1或－3；（3）在第二、四象限．【分析】（1）把点()0,1和点()1,1-两点坐标分别代入一次函数y kx b =+，进而求得k 、b 的值，即可求出一次函数的表达式；（2）将点()222,a a +代入一次函数21y x =-+，即可求得a 的值；（3）根据点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，由()()1212m x x y y =--可得()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-，据此可以判断m 的取值，结合正比例函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1和点()1,1-，根据题意得： 11b k b =⎧⎨-=+⎩， 解得21k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的表达式为21y x =-+；（2）∵点()222,a a +在一次函数21y x =-+的图象上，∴22(22)1a a =-++，解得1a =-或3a =-，即a 的值是－1或－3；（3）正比例函数y mx =的图象在第二、四象限．理由：∵点()()1122,,,A x y B x y 在一次函数21y x =-+图象上，()()1212m x x y y =--，∴()()()212121222112m x x x x x x =--+=--+-， ∴m ＜0，∴正比例函数y mx =的图象在第二、四象限．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．。
上海世界外国语中学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(专题培优)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM 2．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4 3．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12 4．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ） A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11 5．若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k-4且k≠0B ．k≥-4C ．k>-4且k≠0D ．k>-4 6．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠ 7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2104x x -+=B ．2390x x ++=C ．2250x x -+=D ．25130x x -= 8．用配方法解方程23620x x -+=时，方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．21(1)33x -=C ．21(1)3-=xD ．2(31)1x -=9．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >-B ．2m ≥-C ．2m >-且1m ≠-D ．2m ≥-且1m ≠- 11．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0 12．一元二次方程x 2=4x 的解是（ ） A ．x=4 B ．x=0 C ．x=0或-4 D ．x=0或4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案13．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n++的值（ ） A ．5- B ．5 C ．10319- D ．1031914．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8 B ．3，4 C ．4，3 D ．4，815．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题16．已知12,x x 是一元二次方程21402x mx m -+-=的两个实数根且12111x x +=，则m 的值为______．17．方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________． 18．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______19．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．20．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．21．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)22．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．23．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．24．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 25．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值．26．已知关于x 的方程x 2﹣px +q ＝0的两根为﹣3和﹣1，则p ＝_____，q ＝_____． 三、解答题27．解方程：（1） 2890x x --=（2）（x+1）2=6x+628．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x29．计算题 （1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩ 30．若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1，x 2，且x 12+x 22=24，求m 的值．。
上海世界外国语中学九年级数学上册第二十二章《二次函数》知识点总结(专题培优)
一、选择题1．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b+c ＞0；②3a+b ＝0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．根据下列表格中的对应值：x 1.981.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（ ）A ．1.00 1.98x <<B ．1.98 1.99x <<C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x << 7．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．39．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =< 11．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．112．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -< 14．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）A ．0b <B ．0c >C ．0a b c ++=D ．240b ac -< 15．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点A （3，0）对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＜－1时，y ＜0；②30a b +>；③2-13a ≤≤-；④248ac a b ->；其中正确的结论有_________．17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．18．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．19．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.20．将二次函数y=x 2-4x+5化成=（x-h ）2+k 的形式，则y= _____．21．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．22．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．23．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．24．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”） 25．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为_____．26．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=x 2的图象经过点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，若﹣4＜x 1＜﹣2，0＜x 2＜2，则y 1 ______y 2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）三、解答题27．新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%．(1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？28．有这样一个问题：探究函数243y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数243y x x =-+，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；④函数图象与x 轴有2个公共点．所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．29．若二次函数y ＝x 2-x-2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P(m ，-2)为二次函数y ＝x 2-x-2图象上一点，求m 的值．30．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x 元，每天的销售量利润为y 元．（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x 的代数式表示） （2）若这款洗手液的日销售利润y 达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为多少元？。
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中学生世界九年级数学第
一单元课堂小结
留影千古恨，数学难掩颜。
中学生世界九年级数学第一单元如期展开，课堂上学生们睁大眼睛，认真聆听，积极思考。
本文将对这一单
元的学习内容进行一次小结。
一、集合概念与运算
在这一单元中，我们首先了解了集合的概念。
集合是由一些具有共
同特征的对象组成的总体。
我们学习了集合的表示方法，如用大括号{}表示集合，用逗号分隔元素。
同时，我们还学习了集合间的运算，包
括交集、并集和补集。
这些运算的掌握对于解决实际问题中的数学逻
辑非常重要。
二、集合的分类与性质
除了了解集合的概念和运算，我们还深入研究了各种不同类型的集合，并掌握了它们的特性和性质。
比如，我们学习了全集、空集、单
元素集合和无限集等等。
通过学习这些集合的分类与性质，我们能够
更好地理解和分析不同数学问题中的集合关系。
三、集合的表示与应用
在实际问题中，我们经常需要用集合来表示和解决一些情况。
比如，用集合表示某个班级的学生，用集合求解交集来确定两个班级共有的
学生，用集合求解并集来确定两个班级的总人数等等。
通过不同应用
场景的实践训练，我们对集合的表示和运用有了更深入的理解。
四、集合的图示与数轴表示
为了更直观地表示和理解集合，我们还学习了集合的图示与数轴表
示方法。
通过将集合元素用点、线段或者区域在平面上进行绘制，我
们能够更直观地看到集合与元素之间的关系。
此外，通过在数轴上表
示集合的元素，我们能够更方便地进行集合的运算和比较。
五、集合的应用举例
在课堂上，老师还通过一系列生活实例向我们展示了集合在实际问
题中的应用。
比如，用集合表示一个购物清单，用集合运算确定购物
车中已有的物品和待购的物品，用集合表示一个地区的天气情况等等。
通过这些应用举例，我们对集合的实际运用有了更深入的认识。
总结起来，中学生世界九年级数学第一单元的集合学习给我们带来
了丰富的知识和实践经验。
通过对集合的概念、分类、运算、表示和
应用的学习，我们提高了数学逻辑思维和问题解决能力。
希望在接下
来的学习中，我们能够进一步巩固和应用这一单元的知识，为未来的
数学学习打下坚实的基础。
愿我们的数学之旅越走越远，越来越精彩！。