函数奇偶性讲义

函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明*②抽象函数的奇偶性周期性 B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明*②抽象函数的周期性板块一：函数的单调性 （一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数； ()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．高考要求函数的基本性质知识精讲即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑻函数(0,0)by ax a b x =+>>在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减．（三）典例分析【例1】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例2】证明函数()f x x =-在定义域上是减函数．【例3】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．【例4】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．12x -≤或2x ≥【例5】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例6】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例7】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ） A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例8】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．【例9】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()x f f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+； ⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例10】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．板块二：函数的奇偶性 （一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质： ⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（二）主要方法：1．判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法； ⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． （三）典例分析：【例11】判断下列函数的奇偶性：1()(1)1xf x x x+=--【例12】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）【例13】设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．【例14】()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．【例15】已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x．【例16】设函数322||2()2||x x x xf xx x+++=+的最大值为M，最小值为m，则M与m满足（）．A．2M m+=B．4M m+= C．2M m-=D．4M m-=【例17】函数22()||a xf xx a a-=+-为奇函数，则a的取值范围是（）．A．10a-<≤或01a<≤B．1a-≤或1a≥C．0a>D．0a<【例18】已知()y f x=为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x=在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f=，解不等式41(log)0f x-<≤，习题1. 试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．习题2. 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴()11f x x x =-+-；⑵2()5||f x x x =+．习题3. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．习题4. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．习题5. 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+，⑴求证：(1)(1)0f f =-=；家庭作业⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．一、抽象函数例题由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。