函数奇偶性讲义

函数的性质

要求层次

重点

难点

单调性

C

①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象

①函数单调性的证明和判断

②简单函数单调区间的求法

奇偶性 B

简单函数奇偶性的判断和证明

①复合函数的奇偶性判断与证明

*②抽象函数的奇偶性

周期性 B

简单函数周期性的判断和证明

①复合函数的周期性判断与证明

*②抽象函数的周期性

板块一：函数的单调性 （一）知识内容

1.函数单调性的定义：

①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；

当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则

()y f x =为x D ∈的减函数．

2.单调性的定义①的等价形式：

设[]12,,x x a b ∈，那么

()()

()1212

0f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数； ()()()1212

0f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；

()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔

在[],a b 是减函数．

3.复合函数单调性的判断：“同增异减”

4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．

高考要求

函数的基本性质

知识精讲

即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等

（二）主要方法

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <

②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．

③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；

⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；

⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：

如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．

注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．

⑻函数(0,0)b

y ax a b x =+>>在,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭或上单调递增；在,00b b a a ⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦或，上是单调递减．

（三）典例分析

【例1】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．

【例2】证明函数()f x x =-在定义域上是减函数．

【例3】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．

【例4】函数2

1

x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）

A ．2x ≥

B ．0x ≤或2x ≥

C ．0x ≤

D ．12x -≤或2x ≥

【例5】求下列函数的单调区间：

⑴ |1|y x =-；⑵ 1

y x x

=+

（0x >）．

【例6】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．

【例7】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式

|(1)1|2f x +-<的解集为（ ） A ．(3)-∞，

B ．(2)-∞，

C ．(03)，

D ．(12)-，

【例8】求函数1

()f x x x

=+

，0x >的最小值．

【例9】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()x f f x f y y

=-．

⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+； ⑵若(2)1f =，解不等式1

()()23

f x f x -≤-．

【例10】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，

()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．

板块二：函数的奇偶性 （一） 主要知识：