举一反三- 四年级奥数 - 第35讲 容斥原理
完整版小学四年级奥数容斥问题
容斥问题涉及到一个重要的原理一一包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nad例1•一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2•一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3.在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4•艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1•将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6）,已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2 . 二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3.有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4 •某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5 •四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6 •在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学四年级奥数 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。
用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。
1．先包含——A＋B＋CA∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。
2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。
例250名同学面向老师站成一行。
老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。
举一反三四年级数学奥数课程第1讲至第40讲全(精品)
举一反三四年级数学奥数课程第1讲至第40讲全(精品)目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一·知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律；1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二·精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为；10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1；先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3，，【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
小学四年级奥数容斥问题
容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
（1）订阅报纸的总人数有多少（2）两种报纸都没订阅的有多少人例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。
四级奥数容斥问题.完整版PPT资料
练习一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每 人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩 优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学 都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》 和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学 生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物， 订《数学大世界》的有多少人？
练习四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数 又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数 又不是5的倍数的数有多少个？
3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行 的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5 个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？
Hale Waihona Puke 例5 、光明小学举办学生书法展
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级 2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知 会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共 有多少人？
例2 、某班有36个同学在一项
测试中，答对第一题的有25人， 答对第二题的有23人，两题都 答对的有15人。问多少个同学 两题都答得不对？
分析 与解答：
例3、某班有56人，参加语文 竞赛的有28人，参加数学竞 赛的有27人，如果两科都没 有参加的有25人，那么同时
参加语文、数学两科竞赛的 有多少人？
分析 、
要求两科竞赛同时参加的人数，应 先求出至少参加一科竞赛的人数： 56－25=31人， 再求两科竞赛同时参加的人数： 28＋27－31=24人。
四年级奥数(40讲)《举一反三》第35讲 容斥原理
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学数学奥数举一反三四年级数学容斥原理35
小学 数学奥数 举一反三
【练习5】 1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件 不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他 年级参展的作品共有多少件？
2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8 幅。其他年级参展的画共有多少幅？
3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结 果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。 已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多 少人？
小学 数学奥数 举一反三 【例题3】 某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学 竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参 加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【思路导航】 要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛 的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28 ＋27－31=24人。
小学 数学奥数 举一反三
【练习1】 1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多 少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和 《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀 作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大 世界》的有多少人？
小学 数学奥数 举一反三
【练习4】
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少 个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少 个？
3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置 是：从前面数第5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次.所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以，两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了.那么，有多少人两个小组都没有参加？2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算，这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算,这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
小学奥数举一反三(四年级)全
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
四级奥数容斥问题.完美版PPT
例4、在1到100的自然数中， 既不是5的倍数也不是6的倍 数的数有多少个？
分析：
从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个
数。从1到100的自然数中，5的倍数有
那么，有多少人两个小组都没有参加？
100÷5=20个，6的倍数有16个 语文、数学都优秀的有多少人？
其他年级参展的画共有多少幅？
（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又 例4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多 少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人， 会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。 问这两种棋都会下的有多少人？
3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的 有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两 队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少 人？
算了一次。
数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍 所以，这个班语文、数作业都完成的有：
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订 一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
数又不是6的倍数的数的个数是：100－ 28＋27－31=24人。
例5 、光明小学举办学生书法展
览。学校的橱窗里展出了每个年 级学生的书法作品，其中有24幅 不是五年级的，有22幅不是六年 级的，五、六年级参展的书法作 品共有10幅，其他年级参展的书 法作品共有多少幅？
分析 ：
由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年 级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、 五年级参展作品的总数。 24＋22=46幅， 这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年 级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级 共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、 四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其 他年级参展作品的总数。 （24＋22－10）÷2=18幅。
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
(完整word版)小学奥数-容斥原理(教师版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
四年级奥数 第35讲 容斥问题
第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是Na 十Nb- Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。
语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。
订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。
其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。
其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。
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第35讲容斥原理
一、专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab Nb
Na
二、精讲精练：
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？
2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？
练习二
1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？
2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
练习三
1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
练习四
1、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
例5：光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
练习五
1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？
2、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？
三、课后作业
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？
4、五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。
小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个。
这个班共有多少个学生？
5、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。