建筑抗震第4章地震作用计算(二)

称为振型关于质量矩阵的正交性 T 同样有 {X j } [ K ]{X k } 0 称为振型关于刚 度矩阵的正交性
{X j } [M ]{X k } 0, ( j k )
T
（2）振型分解
由前述，多自由度体系自由振动微分方程组
(t )} [k ]{x(t )} 0 [M ]{ x
X 11 X 12 X 1n [ A ] 令 为振型矩阵 X n1 X n 2 X nn
} [ A] {q }， } [ A] {q } ， {x { x 则{x} [ A] {q}
一、底部剪力法的适用条件： 建筑高度不超过40m 以剪切变形为主 质量和刚度沿高度分布均匀 假定位移反应以第一振型为主，接近于 直线
二、底部剪力法的计算步骤 1）底部剪力计算
FEk 1 Geq
α1 ——对应基本周期的地震影响系数 Geq ——结构等效总重力荷载代表值，单质 点时取总重力荷载代表值，多质点时，取总 重力荷载代表值85%，即
点体系，用反应谱求地震作用。
(t )] g (t ) F ji mi j X ji [ x j max j j X jiGi
单质点解
分别求出各振型下i质点上的地震作用及效 应Sj，i质点上总的地震效应：
S

2 Sj
二、振型分解反应谱法的计算步骤：
求多质点体系的自振周期Tj、振型｛X｝j 求各振型下的地震反应效应: 由Xji计算振型参与系数γj， 由Tj得水平地震影响系数αj，
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况计算的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载 计算的楼面活荷载 其他民用建筑 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不计入 1.0 0.8 0.5 0.5 不计入
二、单自由度体系的计算步骤
计算重力荷载代表值G 计算结构抗侧移刚度K 计算自振周期T=2π/ω， k / m 由Tg、αmax等确定水平地震影响系数α 水平地震作用力FEk=α G 分别计算结构在水平及竖向荷载作用下内力 内力组合 承载力及位移验算 构造措施
②计算各振型的地震影响系数j
max=0.16, Tg=0.45s
Tg 1 T max 1
③计算振型参与系数
1
0.9
1=0.139 2=0.16 3=0.16
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
2 m X i 1i
γ 1=1.363, γ 2=-0.428 , γ 3=0.063 注意:Σ γ =1
T j
T j
g (t ) x
j
m X
i 1 n i 1 i
n
g (t ) j x
ji
2 m X i ji
称为j振型的振型参与系数
单自由度参数
上述关于q的微分方程与单自由度体系振动方程只 相差一个常数 j ，可以利用杜哈米积分得到解答：
j q j (t ) j
展开后得到n个彼此独立的关于q的方程，第j个方程：
j Ck q j K k q j X M I g (t ) Mkq x
T j
经整理并化简得：
j 2 j j q j qj q
2 j
{ X } [ M ]{I } { X } [ M ]{X } j
第4章 地震作用计算（二）
——反应谱的应用
基本问题：
• 反应谱方法的实质是什么？ • 反应谱法有哪些基本假定？ • 反应谱法的适用范围？
§4.1 反应谱用于单自由度体系计算
单层房屋、水塔及其他类似的结构，一般 简化成单质点体系。
FEK F1 G
F1
F1
G
FEK
一、重力荷载代表值
计算地震作用时采用的建筑结构的重量称为重力荷载 代表值。 重力荷载代表值=结构的永久荷载标准值+Ei ×可 变荷载标准值 Ei为组合系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可 能性。 Ei见下表
按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点在振动 过程中的位移等于各振型的线性组合：
xi (t ) X ji q j (t )
j 1
3
n
( )
13
23
33
2
( ) ( )
12 1
22
32 2
(t)
21
(t)
31
3
1
11
{ X 11 , X 12 , X 13 } 称为特征向量 q j (t )称为广义坐标
j 1 ji
注意 j X
第i质点的位移
xi (t )

j 1
n
j j (t ) X ji
j 表达式
i (t ) x 加速度
惯性力
(t ) X ji j j
j 1
n
i (t ) g (t )] Fi (t ) mi [ x x X mi [ j j
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⑥计算地震效应——层间剪力组合
第一层的剪力V1： V1
V V V
2 11 2 21
2 31
V1=845.8KN V2=671.6KN V3=335.8KN 注意:组合的地震效应与第一振型的地震剪 力分布相近.
第一振型剪力
§4.3进一步的简化方法——底部剪力法
用振型分解反应谱法计算比较复杂，对 于一般性的建筑可采用底部剪力法。
Fji j j X ji Gi
总效应
S

2 Sj
例
用振型分解法求结构的层间 剪力。设防烈度为8度第一组， Ⅲ类场地。
①求结构的自振周期和振型 T1=0.467s, T2=0.208s, T3=0.134s 第一振型 {X}1={0.334 0.667 1.00} 第二振型 {X}2={-0.667 -0.666 1.00} 第三振型 {X}3={4.019 -3.035 1.00}
底部剪力法是简化的反应谱法。它是用经过 修正的只考虑第一主振型的状态近似代替多振型 的复合状态，使计算大大简化。在一定范围内误 差不大。 第一主振型下各质点水平力的总和等于等效 的单质点体系的水平力（即等于底部的总剪力）。 总思路是：首先求出等效单质点的作用力 （即底部剪力），然后再按一定的规则分配到各 个质点。最后按静力法计算结构的内力和变形。
振型称为体系振动的形状函数，即当体系按 某一自振频率振动时，振动的型式不变，质点的 位移比不变，只是位移大小不同。
（1）振型的正交性
数学上，当两个向量乘积为零时，称这两个向 量 为正交的。 振型的正交性的物理意义是：多质点体系按某
一振型振动时，它的动能和位能不会转移到另一振
型上去，就是体系按某一振型振动时不会激起该体 系其他振型的振动，即各个振型是相互独立无关的。 利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求 解大大的简化。
§4.2 反应谱用于多自由度体系—— 振型分解反应谱法
基本思路：
线弹性多自由度 利用正交性原理将振型分解 利用反应谱求出对应于各振型的n个独立的 等效单自由度体系的最大地震反应 求每一振型的作用效应 组合
一、多自由度弹性体系的振型分解
基本思路： 利用振型正交性原理，将耦联的震动微分 方程组解耦，形成n个独立的一维微分方程。 每个振型对应于1个等效的单自由度体系 （称为‘振子’），对于每个等效单自由度 体系可运用反应谱求解地震作用。 然后再将各振型的地震作用效应按一定的 规则进行组合。
Ejk =j振型上的惯性力 × K振型的位移
= Ekj = k振型上的惯性力×j振型的位移
E jk m1 X j1 X k1 m2 X j 2 X k 2 mn X jn X kn
2 j 2 j 2 j
Ekj m1k2 X k1 X j1 m2k2 X k 2 X j 2 mnk2 X kn X jn
j (t )
x
0
t
g
( )e
g
j j ( t )
sin j (t )d
sin j (t )d
令
1
则
j 0 q j (t ) j j (t )
j n
x ( )e
1
t
j ( t )

g (t ) g (t ) X ji x x
代入多质点振动微分方程
} [c]{x } [k ]{x} [M ]{I } g (t ) [M ]{ x x
成为求解q的微分方程组
t cA t K A q qt M Aq g t I M x
④计算各振型各楼层的地震作用Fji Fji j j X jiGi
第一振型 F11=167.4KN F12=334.4KN F13=334.2KN 第二振型 F21=120.9KN F22=120.7KN F23=-120.8KN 第三振型 F31=107.2KN F32=-80.9KN F33=17.8KN ⑤计算各振型的层间剪力Vji V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN V21=120.8KN V22=-0.1KN V23=-120.8KN V31=44.1KN V32=-63.1KN V33=17.8KN
2 E jk Ekj ( 2 j k )[m1 X j1 X k 1 m2 X j 2 X k 2 mn X jn X kn ] 0
一个振型的力在另一个振型上做的功等于零
当k=j时
{ X k }T [ M ]{X k } M k { X k }T [ K ]{X k } K k
称为对应k振型的广义质量 称为对应k振型的广义刚度
j≠k 时
[m1 X j1 X k1 m2 X j 2 X k 2 mn X jn X kn ] 0
可写成矩阵形式
数学中，当 {A}T {B} 0 时称为 {A}与{B}正交 {X j }T [M ]{X k } 0
当质点的质量为 m，频率为 ，位移为x(t) 则作用于质点m上的惯性力
F m a m x(t )
2

j振型
k振型
当结构以j振型振动时，作用于i 质点mi上的 惯性力为
mi X ji
2 j
当结构以k振型振动时，i质点上的惯性力
mi X ki
2 k
根据功的互等定理 （虚功原理）
ji
g (t )] j X ji x
求和后等于1
求解最大值比求Fi(t)容易。对于单质 点，用反应谱的方法可求出地震反应最 大值。对于多质点体系，利用振型分解， 对应于每一个振型 j 有一个
ji (t )和Fji (t ) x ji (t )、 x
对于一个按 j 振型的振动的多质点体系可 视为阻尼比为 j 频率为 j 的等效单质
将方程两边左乘[A]T得：
t A c Aq t A K Aqt A M Aq T g t A M I x
T T T
[A]T[M][A]相乘所得方阵中各元素为{Xj}T[M]{Xk}, 根据振型的正交性原理，其中j≠k的各项均为零， 只有j=k的元素（即矩阵对角线上的元素）不为零。 同理，[A]T[c][A]及[A]T[K][A]两项亦然。
解的形式为
{x(t )} j { X j } sin( j t )
2 2 {x(t )} j j { X j } sin( j t ) j {x(t )} j
当按某一振型振j动时，各质点位移相对比值保持不 变，振型向量{Xj}不随时间变化。 随时间变化的函数sin(ωjt+φ)对于各质点是相同 的，我们将它用函数qj(t)表示，由于{Xj}不变，qj(t)值 就间接决定了各质点的位移大小，所以又称之为‚广义 坐标‛。 可以证明，对于强迫振动，方程的解答仍然可以用 振型向量与广义坐标的乘积形式表达，只是qj(t)的具体 表达式要复杂一些。