东南大学线性代数期末考试试卷B

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东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）

课程名称 线性代数

考试学期

07-08-3

得分

适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟

一．填空题（E 表示单位矩阵）

1． 设12102,21111A B ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，则AB = ；

2． 若矩阵435x A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

不可逆，则x 满足条件 ； 3． 若矩阵A 满足2

32A A E O -+=，则1

A -= ；

4． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵1

23A A E -++的行列式

123A A E -++= ；

5． 若矩阵12321045A x ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

的秩为2，则参数x 满足条件 ；

6． 假设A 是n s ⨯矩阵，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性

方程组0T

A y =的基础解系中向量的个数为 ； 7． 若1a α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵120b A -⎛⎫=

⎪⎝⎭的相应于特征值１的特征向量，则a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫

⎪⎝⎭

；

8． 若二次型22

121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件 ；

9． 如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足

条件

；

10． 若矩阵122a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵0053⎛⎫ ⎪⎝⎭

相似，则参数a = 。

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8%）计算行列式1

2

34

111

111

1111

1

1

x x D x x =

，其中1234,,,x x x x 均不等于1。

8%）假设1101000,1,210,11101T

P A P P αβαβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，求2008A 。

四． （16%）已知矩阵3

2

2

1423A k

k -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪-⎝

⎭。 1.

求A 的特征值多项式。

2. 如果A 相似于对角阵，求参数k 的值；

3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ；

4.

是否存在正交阵Q 使得T

Q AQ 是对角阵？为什么？

14%）假设,a b 是实数，二次型

222

1231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++

1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；

2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形； 3． 问：当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。

16%）设向量组1231111,3,114a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12100,1b c αα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

1. 如果向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示，求参数a 的值，求向量组123

,,βββ的秩及其一个极大线性无关组；

2. 如果123

,,βββ与12,αα等价，求参数,,a b c 的值，并将123,,βββ中的每个向量

表示成2,αα的线性组合。

8%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：

1． 设,A B 分别是n s ⨯、s n ⨯矩阵。若n s >，证明：齐次线性方程组0ABx =必有

非零解。

2． 假设n 维列向量α的长度

1α<，证明：矩阵T A E αα=-是正定的。

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