2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九

|25x－15y+12| |5(5x－3y+2)+2| 解：直线即 25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离= = ． 5 34 5 34
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∵5x－3y+2 为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当 x=y=－1 时即可取到 2．选 B． π π 6．设 ω=cos +isin ，则以，3，7，9 为根的方程是( 5 5 )
B F
y
5－1 5+1 5+3 2 解：c= a，∴|AF|= a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2= a． 2 2 2 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90° ．填 90° ． 或由 b2=a2－c2= 5－1 2 a =ac，得解． 2
H
O
A x
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个 球的体积是________. 解：取球心 O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE= AG= 6 6 3 a，AO= a，BG= a，AB∶AO=BG∶OH． 3 4 3 3 a， 2
1 13 2．若函数 f(x)=－ x2+ 在区间[a，b]上的最小值为 2a，最大值为 2b，求[a，b]． 2 2
x2 y2 3．已知 C0：x2+y2=1 和 C1： 2+ 2=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1 a a 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论．
π π 6．设 ω=cos +isin ，则以，3，7，9 为根的方程是( 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________．
(B) x4x3+x2x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0
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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷九
参考答案
一．选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1．设全集是实数，若 A={x| x－2≤0}，B={x|10 (A){2} (B){1} 解：A={2}，B={2，－1}，故选 D．
4．给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则 一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号 实根 5 4 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 ) (D) 1 30 )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 解：ω5+1=0，故，3，7，9 都是方程 x5+1=0 的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选 B． 二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________. π 解：2000° =180° ×12－160° ．故填－20° 或－ ． 9 32 33 3n 2．设 an 是(3 x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，„)，则 lim ( + +„+ ))=________. an n→∞ a2 a3 解：an=3n 2Cn．∴
x2－2
=10x}，则 A∩∁RB 是(
) (D)
(C){x|x≤2}
α α α 2．设 sin＞0，cos＜0，且 sin ＞cos ，则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k+ ，2k+ )， kZ 6 3 (C)(2k+ 5π ，2k+)，k Z 6 (B)(
B
A
O D G C E
AO· BG 2 4 2 2 OH= = a．V= πr3= πa3．填 πa3． ． AB 4 3 24 24 6．如果：(1)a，b，c，d 都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值， ____ 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 解：a、c 可以相等，b、d 也可以相等．
π π 5π (D)(2k+ ，2k+ )∪(2k+ ，2k+)，k Z 4 3 6
3．已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角 形，则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
32 33 3n 2．设 an 是(3 x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，„)，则 lim ( + +„+ ))=________. an n→∞ a2 a3 3．等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是____________. x2 y2 4．在椭圆 2+ 2=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的 a b 离心率是 5－1 ，则∠ABF=_________. 2
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d 都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da；
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(3)a 是 a，b，c，d 中的最小值， ____ 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(60 分，每小题 20 分) Sn 1．设 Sn=1+2+3+„+n，nN*，求 f(n)= 的最大值． (n+32)Sn+1
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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷九
命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳
一、选择题（36 分，每小题 6 分） 1．设全集是实数，若 A={x| x－2≤0}，B={x|10 (A){2} (B){1}
x2－2
=10x}，则 A∩∁RB 是(
y
B A
解：A(－1，0)，AB 方程：y=
3 (x+1)，代入双曲线方程，解得 B(2， 3)， 3
O
x
∴ S=3 3．选 C． C 4．给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号 实根 2p+q p+2q 解：a2=pq，b+c=p+q．b= ，c= ； 3 3 1 1 2 △=a2－bc=pq－ (2p+q)(p+2q)=－ (p－q)2<0．选 A． 4 9 9 5 4 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 )
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⑴ 当 a、c 相等，b、d 也相等时，有 C4=6 种； ⑵ 当 a、c 相等，b、d 不相等时，有 A3+A2=8 种； ⑶ 当 a、c 不相等，b、d 相等时，有 C3C2+C2=8 种； ⑷ 当 a、c 不相等，b、d 也不相等时，有 A3=6 种；共 28 种．填 28．
)
2kπ π 2kπ π + ， + )，kZ 3 6 3 3
π π 5π (D)(2k+ ，2k+ )∪(2k+ ，2k+)，kZ 4 3 6
π α 2kπ π 2kπ π 解：满足 sin＞0，cos＜0 的 α 的范围是(2k+ ，2k+π)，于是 的取值范围是( + ， + )， 2 3 3 6 3 3 α α α π 5π π π 5π 满足 sin ＞cos 的 的取值范围为(2k+ ，2k+ )．故所求范围是(2k+ ，2k+ )∪(2k+ ， 3 3 3 4 4 4 3 6 2k+)，kZ．选 D． 3．已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角 形，则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
3 1 1 1 2 2
2
三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) Sn 1．设 Sn=1+2+3+„+n，nN*，求 f(n)= 的最大值． (n+32)Sn+1 1 n(n+1) 解：Sn= n(n+1)，f(n)= = 2 (n+32)(n+1)(n+2) 大值)． 1 13 2．若函数 f(x)=－ x2+ 在区间[a，b]上的最小值为 2a，最大值为 2b，求[a，b]． 2 2 1 13 1 13 解：⑴ 若 a≤b<0，则最大值为 f(b)=－ b2+ =2b．最小值为 f(a)=－ a2+ =2a．即 a，b 是方 2 2 2 2 程 x2+4x－13=0 的两个根，而此方程两根异号．故不可能． 13 13 ⑵ 若 a<0<b，当 x=0 时，f(x)取最大值，故 2b= ，得 b= ． 2 4 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值， ①f(a)=－ a2+ =2a 时． a=－2± 17， 但 a<0， 故取 a=－2－ 17． 由 2 2 1 13 39 于|a|>|b|，从而 f(a)是最小值．②f(b)=－ b2+ = =2a>0．与 a<0 矛盾．故舍． 2 2 32 ⑶ 0≤a<b．此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a． 1 13 1 13 ∴ － b2+ =2a．－ a2+ =2b．相减得 a+b=4．解得 a=1，b=3． 2 2 2 2 13 ∴ [a，b]=[1，3]或[－2－ 17， ]． 4 x2 y2 3．已知 C0：x2+y2=1 和 C1： 2+ 2=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1 a a 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论． 解：设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形．易知圆的 y 外切平行四边形是菱形．即 PQRS 是菱形．于是 OP⊥OQ． P 设 P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90° )，r2sin(θ+90° )，则在直角三