正弦交流电
第五章正弦交流电
0 ωt i d(UmSinω t) u=C dt =ω CUmcosω t (a) (b) =ω CUmSin(ω t+90°)=ImSin(ω t+90°) · I 由上式得: （1）i与u是同频率的正弦量。 （2）i超前u相位角。 · U (c) （3）u与i的有效值（或最大值）之比称为容抗。 XC=U/I=Um/Im=1/ω C=1/2∏fC 若电压U和C电容确定时，当f较高时,容抗XC较少，电容中通过的电流较 大，说明电容对高频电流的阻碍作用较小；当f较低时，容抗XC较大，电 容中通过的电流较小，说明电容对低频电流的阻碍作用较大；当f=0,即直 流XC=∞,电容可视为开路. （4）电压u与电流i的波形如图（b） （5）电压与电流相量之比称为复容抗，即
+j
• （2）相量图求。
8v
· U1 10v · U
00
ψ =23° ψ =-30°
6v · U2
+1
第三节电阻元件的正弦交流电路
• 一、电阻的伏安特性： • u=Ri • 设电流i=ImSinω t, 代人得 • u=Ri=RImSinω t=UmSinω t • 则可得，u与i的伏安特性如下： （1）u是与i同频同相的正弦电压。 • （2）u与i的幅值或有效值间是线性关 • 系其比值是线性电阻R，即 • Um/Im=U/I=R • （3）u与i的波形如图（b） 。 • （4）u与i伏安关系的相量形式为: · • I=Iej0°=I∠0°=I, ˙ U=Uej0°=U∠O°=U · U U ej0° U • ·= = = R
第四节电感元件的正弦交流电路
• 一、电感的伏安特性： di • u=-e=L dt • 设电流为参考正弦量代人得
• • • • • • • •
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
正弦交流电概念
正弦交流电是一种常见的交流电形式，其波形形状为正弦波。
正弦交流电的三要素包括幅值、频率和相位。
正弦交流电的数学描述涉及到相位和初相位的概念，以及瞬时值、最大值、有效值、平均值和峰值的计算。
在物理特性方面，电阻、电感和电容对交流电的影响不可忽视。
此外，交流电路中的功率因数和效率以及谐振现象也是正弦交流电的物理特性之一。
在工程应用方面，正弦交流电被广泛应用于电力系统的交流供电和电子设备中的交流信号处理。
1. 正弦交流电的基本概念正弦交流电是指电流的波形形状呈正弦波的交流电形式。
在直流电中，电流的大小和方向均不随时间变化。
而在交流电中，电流的大小和方向会随时间变化。
正弦波是最常见的交流电波形之一，其波形形状具有周期性变化的特点。
1.1 交流电与直流电的区别交流电与直流电的主要区别在于电流的方向是否随时间变化。
在直流电中，电流的方向始终不变，而在交流电中，电流的方向会随时间变化。
此外，交流电的电压和电流也会随时间变化，而直流电的电压和电流则相对稳定。
1.2 正弦交流电的波形形状正弦交流电的波形形状可以用数学函数表示，即y=Asin(ωt+φ)。
其中，A表示幅值，ω表示角速度，φ表示初相位。
正弦波的周期为T，频率为f=1/T。
正弦波具有对称性，即在一个周期内，电流的大小和方向会经历一次从最大值到零，再从零到最大值的循环。
1.3 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素包括幅值、频率和相位。
幅值是指电流的最大值，即y=A时的值；频率是指电流变化的周期，即一个周期内电流变化次数；相位是指电流达到最大值的时间点，即ωt+φ=π/2时的时刻。
2. 正弦交流电的数学描述正弦交流电可以用数学函数进行描述。
其中，相位和初相位是描述电流变化的重要参数，瞬时值、最大值、有效值、平均值和峰值是描述电流大小的重要参数。
2.1 相位与初相位的概念相位是指电流达到最大值的时间点，即ωt+φ=π/2时的时刻。
初相位是指电流开始计时时的相位，即φ的值。
正弦交流电
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(2) 平均功率(有功功率)P
i
瞬时功率在一个周期内的平均值
+
u
1T
1T
P T 0 p dt T 0 u i dt
大写 1 T 1
p
_ p
R
T
0 2 UmIm(1 cos 2ω t)dt
P
1T
UI(1 cos2ω t)dt UI
T0
O
ωt
P U I I 2R U 2 单位:瓦（W）
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(3)相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
（4）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图中。
(5)相量的书写方式 • 模用最大值表示 ，则用符号：
U m 、Im
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
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2.3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.3.1 电阻元件
1 电压与电流的关系
u Ri
2 电阻元件的参数
i 2π
O
ωt
T
周期 T：变化一周所需要的时间（s）
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）
f
=
1 T
角频率ω： 正弦量 1s 内变化的弧度数
ω = 2πf
=
2π T
正弦交流电的基本概念
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707E m
2.周期、频率、角频率
（1）周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期， 用字母 T 表示，单位为秒：s 。显然正弦交流电流或电压相 邻的两个最大值 ( 或相邻的两个最小值 ) 之间的时间间隔即 为周期，由三角函数知识可知
正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、 电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一 时刻 t 的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0)
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为 i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A
3.相位、初相位、相位差 任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 )， 本章只涉及两个同频率正弦量的相位差 (与时间 t 无关)。设 第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初相为 02 ， 则这两个正弦量的相位差为 12 = 01周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即 f 1
正弦交流电的表示方法
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
i
描述正弦量数值大小的参数：
振幅 Im
瞬时值:正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小写字母表示 0
i、u、e
Ｔt
振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
相量
（用复数表示正弦量）
一个复数由模和幅角两个特征量确定。
一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。
在分析计算线性电路时，电路中各部分
电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频
率是已知的，计算时可不必考虑。
如： i i1 i2
角频率 不变
Im1 sin( t 1 ) Im2 sin( t 2 )
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im sin( t i )
+
0
i
t
正半周： 振幅 角频率 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周： 电流实际方向与参考方向相反
3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系 （正弦交流电是时间的函数）。
4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。
i 0 I 0 u 0 U 0
基尔霍夫 定律的相
量形式
2.2 单一参数的 交流电路
2.2.1 电阻电路 2.2.2 电感电路 2.2.3 电容电路
2.2.1 电阻电路
例： i1 70.7sin(314 t 300 )A 求： i i1 i2
单相交流电路之正弦交流电
变压器：改变电压和电流，实现能量传输和转换
电感：储存磁场能量，阻碍电流变化
导线与开关
导线：连接电源和负载的导线，用于传输电流
开关：控制电路通断的开关，用于保护电路和设备安全
单相交流电路的分析方法
03
阻抗分析法
阻抗分析法的定义：通过分析电路中各元件的阻抗，来求解电路中电流、电压等参数的方法。
添加标题
添加标题
功率分析法
功率的测量方法：使用功率表或电能表进行测量
功率的用途：用于分析电路的能耗和效率
功率的定义：电压与电流的乘积
功率的种类：有功功率、无功功率、视在功率
功率的计算公式：P=UI
相量分析法
相量分析法的基本概念和原理
添加标题
相量分析法在单相交流电路中的应用
添加标题
相量分析法的优点和局限性
并联谐振的条件：当电路中的电感L和电容C的频率相同时，电路中的电流达到最大，这种现象称为并联谐振。
滤波器的工作原理
滤波器是一种能够滤除特定频率信号的电子设备
滤波器的工作原理主要是利用电容、电感等元件的频率特性来实现信号的滤波
滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等类型
滤波器的性能指标主要包括通带增益、阻带衰减、截止频率等
效率：交流电的转换效率，单位为百分比（%）
单相交流电路的组成
02
电源
交流电源：提供交流电能
直流电源：提供直流电能
变压器：将交流电能转换为直流电能
整流器：将交流电能转换为直流电能
滤波器：滤除交流电中的杂波和噪声
稳压器：稳定交流电的电压和频率
负载
电阻：消耗电能，产生热量
电容：储存电场能量，阻碍电压变化
正弦交流电知识
交流电的基本概念交流电可分为正弦交流电和非正弦交流电。
正弦交流电的大小和方向随时间按正弦规律周期性变化，通常所说的交流电就是指正弦交流电。
1. 正弦交流电（1）正弦交流电的产生：正弦交流电由交流发电机产生的。
（2）正弦交流电的三要素①瞬时值、最大值、有效值图1 正弦交流电波形瞬时值：正弦波上每一点的幅度称为正弦交流电的瞬时值，反映该点正弦交流电的大小，用小写字母表示，如i、u分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的瞬时值。
峰值：正弦波上幅度最大点的值称为峰值。
峰值有两个，其中一个峰值为正，另一个峰值为负，两者大小相等。
峰-峰值：两个峰值之间的垂直量称正弦交流电的峰-峰值，如图2所示。
峰值的绝对值称正弦交流电的最大值，反映正弦交流电大小变化的范围，用大写字母加下标m表示，如I m、U m分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的最大值。
图2 正弦波的峰-峰值有效值：相同时间内、相同电阻上，产生与交流电相同热量所需的直流电的大小。
I＝0.707I m U＝0.707U m一般电气设备上标注的额定电压、额定电流都是指有效值。
当给定或测量交流电压、交流电流时，除非特别说明，也都是指有效值。
大多数仪表都能测量显示交流电压、交流电流的有效值。
②相位角、初相角在实际应用中，正弦波的相位通常用转子线圈旋转了多长时间来表示。
如果1秒钟转子线圈旋转了ω电角度，则t时间正弦波的相位为：Φ＝ωt＋φ其中，Φ称为相位角，φ称为初相角③周期、频率、角频率周期：正弦波完成一次循环所需的时间叫周期，用T表示。
周期的单位是秒（s）。
频率：指1秒钟循环的次数，用f表示。
频率的单位是赫兹（Hz），简称赫。
角频率：指1秒钟变化的电角度，用ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。
关系：2πf（3）正弦交流电的表示三角函数法：u＝U m sin（ωt＋φu）＝U sin（ωt＋φu）i＝I m sin（ωt＋φi）＝I sin（ωt＋φi）波形图表示法：图3 正弦交流电的波形表示2. 三相正弦交流电正弦交流电有单相正弦交流电和三相正弦交流电两种，实际应用中的单相正弦交流电只是三相正弦交流电中的某一相。
正弦交流电
第六章
正弦交流电路
在计算电气设备的绝缘耐压水平时，要考虑 交流电压的最大值。例如，耐压为250V的电容器， 就不能接在220V的交流电压上使用。因为交流电 压的最大值 Um 2U 1.414 220 311 超过了电 容器的耐压值，极易造成电容器击穿。
第六章
正弦交流电路
3.平均值 平均值——正弦交流电在半个周期内所有瞬
Up、角频率ω、频率f、周期T和初相各为多少？ （2）当t＝0和t＝0.01s时，电压的瞬时值各 是多少？ （3）该电压的三要素是多少?
第六章
正弦交流电路
【练一练】
1．已知某正弦电压的有效值为100V，频率为
50Hz，初相为－30°，试写出该电压的解析式。 2．已知某正弦电流的初相为45°，试求同频率
正弦电压在下列情况下的初相各是多少?
（1）u与i同相；（2）u与i反相；
（3）u超前i30°；（4）u滞后i75°。
第六章
正弦交流电路
课堂小结
1．凡大小和方向都随时间变化的电动势、电 压或电流，统称为交流电。其中，按正弦规律变 化的交流电称为正弦交流电。通常讲的交流电都 是指最常用的正弦交流电。
2．表示交流电大小的物理量是有效值，分别
第六章
正弦交流电路
第六章
正弦交流电路
六、正弦交流电的三要素
最大值：反映了正弦交流电的变化范围。
角频率：反映了正弦交流电变化的快慢。
初 相：反映了正弦交流电的起始状态。
第六章
正弦交流电路
［例6—1］ 已知某正弦电压是 u 220 2 sin(100πt 30)V， 试求：
（1）电压的最大值Um、有效值U、平均值
ms（毫秒）、μs（微秒）和ns（纳秒）。
正弦交流电路PPT课件
阻抗 Z R2X2
阻抗角
arcU L t a U C narcX L t aX C n
U R
R
三、电路的电感性、电容性和电阻性
四、功率
视在功率——电压与电流有效值的乘积，用S 表示，单位为伏·安（VA）。
视在功率并不代表电路中消耗的功率，它常用 于表示电源设备的容量。
解题过程
常用电子仪器的使用
§3－2 正弦交流电的相量图表示法
旋转矢量与波形图的关系
有效值相量图
应用相量图时注意以下几点：
同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。 同一相量图中，相同单位的相量应按相同比
例画出。
一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向， 逆时针转动的角度为正，反之为负。
用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运 算可按平行四边形法则进行。
视在功率S与有功功率P和无功功率Q的关系：
S P2 Q2
PSc os QSsin
cos P 称为功率因数。
S
五、电压三角形、阻抗三角形和功率三角形
阻抗三角形
电压相量图
电压三角形
功率三角形
§3－7 提高功率因数的意义和方法
计算电感性负载的有功功率，除考虑电压、
电流的大小外，还要考虑电压、电流之间的相位
QCUII2XCU XC 2
【例3－5 】 容量为40μF的电容接在的电源上，试求： （1）电容的容抗；（2）电流的有效值；（3）电流瞬时值 表达式；（4）电路的无功功率。
解题过程
§3－6 RLC串联电路
一、电容对交流电的阻碍作用
开关SA闭合后接交流 电压，灯泡微亮。再断开 SA，灯泡突然变亮。测量 R、L、C两端电压 UR 、UL、 UC ，发现：
正弦交流电常用的三种表达法
正弦交流电常用的三种表达法
正弦交流电常用的三种表达法如下:
1. 正弦波表达法:正弦波是交流电的一种常见形式,它的波形是
正弦函数,即周期为2π/180°的曲线。
正弦波可以用公式sin(x)表示,其中x表示时间。
正弦交流电压可以用正弦波的周期来表示,即
2π/T正弦波的电压值等于周期内的平均值,其中T表示正弦波的周期。
2. 复数表达法:复数是正弦交流电的一种更方便的表示方式。
复数可以用z表示,其中z指数为-1到1,分别代表正弦波的振幅和相位。
正弦交流电流可以用i和z表示,其中i表示电流,z表示电流和正弦波的相位差。
复数的模数(即z模)表示正弦交流电的振幅,而模幅(即z幅)则表示正弦交流电的电压值。
3. 欧姆定律表达法:欧姆定律是一种描述电路特性的基本定律,
可以用于描述交流电路中的电流和电压关系。
在正弦交流电路中,欧
姆定律的表达式为:R = ∫V/I ,其中V表示电压,I表示电流,R表示
电阻。
这个表达式可以用于计算正弦交流电路中的电阻值和电流值,
从而可以判断电路中是否存在短路、断路等问题。
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
交流电的基本概念
交流电的基本概念一、正弦交流电的产生正弦交流电是由交流发电机产生的，最简单的交流发电机示意图如下图所示：由于电枢表面的磁感应强度是按正弦规律分布的，所以产生的感应电动势也是按正弦规律变化的。
即e=E m sinα如线圈经电刷与外电路的负载接通，形成闭合回路，所以外电路中也就产生了相应的正弦电压和正弦电流，表示如下u=U m sinαi=I m sinα二、表征正弦交流电的物理量1.频率和周期正弦量每秒内变化的次（周）数，称为频率，用字母f表示，其单位为赫兹简称赫，用字母Hz来表示。
频率的其它单位还有千赫（KHz）、兆赫（MHz），它们的换算关系为：1KHz=103Hz1MHz=106Hz根据我国国家标准，供电系统采用的频率为50Hz，这个频率通常称为工业频率（简称为“工频”），另外，像美国、日本等国家的电网频率采用60Hz，通常收音机中波段的频率是530—1600KHz，短波段的频率是2.3－23MHz。
正弦量每变化一次（周）所需要的时间，称为周期，用字母T表示，其单位为秒（S）。
根据频率和周期的上述定义，它们之间有如下关系：我国工频为50Hz，则其周期为正弦量在1秒钟内变化的电角度，称为角频率，用字母ω表示。
正弦量变化一次，其电角度变化了2π弧度，1秒钟内共变化了f次，所以角频率可表示为其单位为弧度/秒（rad/s），对于工频50Hz来说，其角频率为314rad/s。
有了角频率ω的概念后，t秒钟正弦量变化的电角度可表示为α=ωt。
于是参照式（3-1），正弦交流电流、电压和电动势的表达式可表示为i=I m sinωt u=U m sinωt e=E m sinωt2.最大值与有效值正弦量在任一瞬间的值，称为瞬时值，习惯上用小写的字母来表示，如i、u、e等，见上式。
正弦量瞬时值中的最大者，称为最大值或幅值，习惯上用带下标m的大写字母来表示，如I m、U m、E m等。
在分析和计算交流电路时，为了有效地表示正弦量的大小，往往不是用它们的瞬时值或最大值来计量的，而是采用有效值来计量的。
正弦交流电
正弦交流电与电机
引言
直流电路：电流、电压的大小和方向都不随时间变化。
交流电路：电流、电压的大小和方向都随时间作周期性变化。
I(U） i(u） i(u）
Im
0 直流电
t
0 正弦波
t
0 方波
t
3.1 正弦交流电的基本概念
基本概念: 所谓正弦交流电，是指大小和方向都随时间 按正弦规律作周期性变化的电流、电压，简称交 流电。
1 f T
T
2
注意：角频率与角速度是两不同的概念，角速度是机 械上的空间的旋转角速度，而角频率泛指任何随时间作正 弦变化量的频率f与2π的乘积。
例3-1
已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。
解：
角频率为=2f=2×50=100=314rad/s 周期为T=0.02s
通常，选择初相位的绝对值小于π，可正，也可负。
(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。
例3-2 已知u = 311sin(314t－60°)V，求幅值Um、频率 f、角频率、初相位。
解：根据表达式 u(t) = Umsin( t u)，可知 幅值为 Um = 311V 角频率为 = 314rad/s
(4) 当 12 = 时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达 负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图3.2 (c)所示；
(5) 当 12 = /2时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最 大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图3.2 (d) 所示。
四、正弦量的有效量
利用电流的热效应来确定电流的大小。
在热效应方面，交流电流与直流电流(i与I)是等效的。如对同一个 电阻
正弦交流电的表示法
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
正弦交流电路
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
P=UI
=I2R=i U2/2RI
sint
Uu =IRR
u 2U sint
P1 Tpd t1Tuidt
T0
T0
大写 1 T 2UIsin2t dt
T0
1
T
UI(1cos2t)dtUI
T0
§ 3.4 理想电感元件上的正弦稳态响应
一、电压电流关系
即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足
I1I2I30
I1
I3
I1-I2+I3= 0
I2
U 3
U 4
U 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U 1
U 5
U 6
例： i162si nt (3)0
i282si nt (6)0
求i=i1+i2
i
解： I 1 6 3 0 5 .1 9 j3 6
Im[Ime ji e jt ]
复指数函数中的一个复常数
复常数定义为正弦量的相量，记
为
Im
相量 的表示
Im 为“最大值”相量
Im Im eji Im i
I 为“有效值”相量 IIeji Ii
相量是一个复数
注意
1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该
正弦量。
U 50ej15° 50
2
sin(
实部是余弦量 虚部是正弦量
则 I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
正弦交流电的基本概念
家用电器中的正弦交流电
家用电器如电灯、电视、空调等都依赖于正弦交流电来正常 工作。正弦交流电的特性使得家用电器能够实现稳定的运行 ，并提供了良好的用户体验。
家用电器的能耗和性能与正弦交流电的质量密切相关。电压 和频率的稳定对于家用电器的正常运行至关重要，而正弦交 流电的特性恰好满足了这些要求。
工业生产中的正弦交流电
大小
正弦交流电的大小不断变化，而直流电的大小保持恒定。
应用
正弦交流电主要用于电力系统、电子设备和电机控制等领域，而直流电主要用于电池供电、信号 传输和电子仪器等领域。
02
正弦交流电的产生
交流发电机的工作原理
交流发电机的基本结构
交流发电机通常由转子、定子和两个电刷组成。转子绕组 通入励磁电流后产生磁场，当转子旋转时，磁场随之旋转。
瞬时值的概念及其计算方法
瞬时值是指正弦交流电在某一时刻的数值。
瞬时值的计算方法是将正弦交流电的角频率、幅度和初相位代入正弦函数表达式中 得到。
瞬时值能够准确地反映正弦交流电在每个时刻的实际情况，因此在分析电路的瞬态 响应和波形失真等问题时，瞬时值具有重要的意义。
06
正弦交流电在日常生活和工 业中的应用
正弦交流电的基本概念
$number {01}
目 录
• 正弦交流电的概述 • 正弦交流电的产生 • 正弦交流电的参数 • 正弦交流电的波形 • 正弦交流电的分析方法 • 正弦交流电在日常生活和工业中
的应用
01
正弦交流电的概述
定义与特性
定义
正弦交流电是指电流随时间按正 弦函数规律变化的电能。
特性
正弦交流电具有周期性变化、方 向不断改变、大小不断改变等特 性。
线性动态电路等。
正弦交流电基本公式及表示
正弦交流电基本公式及表示一、正弦交流电的基本公式。
（一）瞬时值表达式。
1. 正弦电流。
- 对于正弦交流电流i，其瞬时值表达式为i = I_msin(ω t+φ_i)，其中I_m是电流的最大值（幅值），ω是角频率，t是时间，φ_i是电流的初相位。
2. 正弦电压。
- 正弦交流电压u的瞬时值表达式为u = U_msin(ω t+φ_u)，U_m为电压最大值，φ_u为电压的初相位。
（二）最大值、有效值关系。
1. 电流。
- 对于正弦交流电，有效值I与最大值I_m的关系为I=(I_m)/(√(2))，即I_m=√(2)I。
2. 电压。
- 正弦交流电压的有效值U和最大值U_m的关系为U = (U_m)/(√(2))，U_m=√(2)U。
（三）角频率、频率和周期的关系。
1. 定义。
- 角频率ω表示正弦量每秒变化的弧度数，单位是rad/s；频率f表示正弦量每秒变化的次数，单位是Hz；周期T表示正弦量变化一次所需要的时间，单位是s。
2. 关系公式。
- ω = 2π f，T=(1)/(f)，所以ω=(2π)/(T)。
二、正弦交流电的表示。
（一）解析式表示。
1. 如上述瞬时值表达式。
- 以电流i = I_msin(ω t+φ_i)和电压u = U_msin(ω t+φ_u)这种形式，就是正弦交流电的解析式表示。
通过解析式，可以直接计算出在任意时刻正弦交流电的瞬时值。
（二）波形图表示。
1. 绘制方法。
- 在直角坐标系中，横坐标表示时间t或角度ω t，纵坐标表示正弦量的瞬时值（如电压u或电流i）。
- 例如对于u = U_msin(ω t+φ_u)，当t = 0时，u = U_msinφ_u，随着时间t的增加，u按照正弦规律变化，画出的图形是一个正弦曲线。
- 波形图能够直观地反映出正弦交流电的最大值、周期等特征。
（三）相量表示。
1. 相量的定义。
- 相量是表示正弦交流电的复数。
对于正弦电压u = U_msin(ω t+φ_u)，其对应的相量为U=U∠φ_u，其中U是电压的有效值。
电工学第二章 正弦交流电
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
电工基础正弦交流电
05
正弦交流电的测量与仪 器
交流电压表与电流表
交流电压表
用于测量正弦交流电压的大小，通常采用电 磁感应原理，将交流电压转换为可测量的直 流电压。
交流电流表
用于测量正弦交流电流的大小，通常采用电 磁感应原理，将交流电流转换为可测量的直
流电流。
功率表与功率因数表
要点一
功率表
用于测量正弦交流电路的功率，可以测量有功功率和无功 功率。
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谐振与滤波
谐振
正弦交流电路中的一种特殊状态，当电路的感抗与容抗相等时，电流与电压相位相同， 产生共振现象。谐振时电路的阻抗最小，电流最大，可能会引起过电流和设备损坏。
滤波
通过电路中的电容、电感等元件，将特定频率的信号滤除，实现信号处理和噪声抑制。 在正弦交流电路中，滤波器可以用于分离不同频率的信号，提高电路的稳定性和可靠性。
正弦交流电的三要素
幅值、频率和相位。幅值表示正弦波 的最大值，频率表示单位时间内波动 的次数，相位表示正弦波在某一时刻 所处的位置。
正弦交流电的特点
周期性
01
正弦交流电每秒完成一个周期的波形变化，其频率和周期成反
比。
相位差
02
两个不同频率或不同相位的正弦交流电在合成时会产生相位差。
方向性
03
正弦交流电的电压和电流方向随时间变化，但平均值保持不变。
1
变压器由两个线圈（初级和次级）和一个磁芯组 成。初级线圈输入电压，在磁芯中产生磁场，次 级线圈感应出电压。
2
变压器的工作原理基于电磁感应定律，即变化的 磁场会产生感应电动势，而感应电动势的大小与 磁通量的变化率成正比。
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同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
I2 10 e j30 A
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
旋转矢量
最大值 Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I包含幅度与相位信息 U、I
则： U U1 U2 U1 U 2 e j(12 )
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2
U1 U2
e j12
复数符号法应用举例
例1：已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141.4sin314t A
6
求：
u 311.1sin314t V i 、u 的相量
2 2
初相位： 30
§2-2 正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i Im sin1000 t 30
相量
必须
重点 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
一、交流电的特征、周期和频率 二、正弦波的三要素 三、相位差 四、有效值
一、 正弦波的特征
i
i Im sin t
Im
t
特征量:
（三要素）
I m ： 幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
正弦波特征量之一 —— 幅度
i Im sin t
I 为正弦电流的最大值 m
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值
隐含频率的信息。
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1
U2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
2
1
U1
相位： 2 1
U1 落后于 U2
？ U2领落先后 U1
例2：只有同频率正弦波才能相加
u1 2U1sin t 1
正弦交流电的优越性： 便于传输； 有利于电器设备的运行； 电路具有典型性
.....
正弦交流电的方向
正弦交流电也有参考方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的正方向，然后才能用数学表达式来描述。
§2.1 交流电的基本概念
第二章 正弦交流电路
• 重点：
❖三要素（特征） ❖正弦量的四种表达式 ❖相量法、相量图 ❖R、L、C伏安特性的相量形式 ❖功率P、Q、S ❖谐振
❖Cos
补： 正弦交流电路
如果在线性电路中，如果全部激励都是同一频 率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应，也将是 同一频率的正弦函数，这样的电路称为正弦交流电 路。
b
U
a
U a jb
U (cos jsin)
U e j
U
代数式
指数式 极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算
设： U1 a1 jb1 U2 a2 jb2
则：
U& U&1 U&2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
2. 乘法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j2
I Im 2
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
正弦波特征量之二 —— 角频率
i
t
T
描述变化周期的几种方法：
在工程应用中常用有效值表示幅度。交流电表指 示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。
标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
T0
（均方根值）
当 i Im sin t 时， 可得
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 T
2 2 f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
正弦波特征量之三 —— 初相位
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相位间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t 2 t 1 21
u2 2U2 sin t 2
U2
U
平行四边形法则
同频率正弦波的 相量画在一起，
构成相量图。
2
1
u=
U1
U U1 U2
2U sint
2
相量的复数表示—相量式
将复数 U放到复平面上，可如下表示：
j
U U a2 b2
bU
tan1 b
+1
a
a
U a jb U cos jU sin
U