模逆运算快速算法
现代密码学_清华大学_杨波着+习题答案
一、古典密码（1,2,4）解：设解密变换为m=D(c)≡a*c+b (mod 26)由题目可知密文ed 解密后为if，即有：D(e)=i ：8≡4a+b (mod 26) D(d)=f ：5≡3a+b (mod 26) 由上述两式，可求得a=3，b=22。
因此，解密变换为m=D(c)≡3c+22 (mod 26)密文用数字表示为：c=[4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7] 则明文为m=3*c+22 (mod 26)=[8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17]= ifyoucanreadthisthankateahcer4. 设多表代换密码C i≡ AM i + B (mod 26) 中，A是2×2 矩阵，B是0 矩阵，又知明文“dont”被加密为“elni”，求矩阵A。
解：dont = (3,14,13,19) => elni = (4,11,13,8)二、流密码 （1,3,4）1. 3 级 线 性 反 馈 移 位 寄 存 器 在 c 3=1 时 可 有 4 种 线 性 反 馈 函 数 ， 设 其 初 始 状 态 为 (a 1,a 2,a 3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。
解：设反馈函数为 f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕c 2a 2⊕c 1a 3当 c1=0，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1，输出序列为 101101…，周期为 3。
当 c1=0，c2=1 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 2，输出序列如下 10111001011100…，周期为 7。
当 c1=1，c2=0 时，f(a 1,a 2,a 3) = a 1⊕a 3，输出序列为 10100111010011…，周期为 7。
模逆运算快速算法
模逆运算快速算法模逆运算快速算法——扩展的Euclid 算法与扩展的Stein 算法(1)扩展的Euclid 算法求模逆的传统算法是扩展的Euclid 算法，该算法是在用Euclid 算法求取二个数的最大公因子时，若最大公因子为1，说明二个数互素，则可同时得出二者的乘法逆元。
算法描述如下：输入：二个整数a 、b ，设b a >输出：a 与b 的最大公因子；若二者互素，同时得出乘法逆元Step 1: ),0,1(),,(321a X X X ←，),1,0(),,(321N Y Y Y ← Step 2: if 03=Y then return ),gcd(3b a X =，no inverseStep 3: if 13=Y then return ),gcd(3b a Y =，a Y b mod 21=-，b b Y a mod )(11+=- Step 4: ??33X Q =Step 5: ),,(),,(332211321QY X QY X QY X T T T ---← Step 6: ),,(),,(321321Y Y Y X X X ← Step 7: ),,(),,(321321T T T Y Y Y ←Step 8: goto Step 2 (2)扩展的Stein 算法较之扩展的Euclid 算法，扩展的Stein 算法可以得到更高的执行效率。
Stein 算法基于以下求取二个数公因子的基本性质： 1)若a 与b 都是偶数，则)2,2gcd(2),gcd(b a b a = 2)若a 为偶数、b 为奇数，则),2gcd(),gcd(b a b a = 3)若a 与b 都是奇数，则),2)(gcd(),gcd(b b a b a -=由于除2在二进制运算中仅做一次移位操作，因此可以说Stein 算法主要只用到了减法，通过计算复杂性分析可知，在最坏情况下，Stein 算法所需减法次数为)13()(-+lb a lb 。
求模逆元的几种算法
求模逆元的几种算法关健词：模逆元；扩展欧几里得算法；二进制扩展欧几里得算法；牛顿迭代法；费马小定理1 引言模算术就是用算术表达式模一些非零整数的计算。
其数学概念就是是剩余类环。
在数论和近世代数中，模算术是一个很重要的概念和方法，而求解模逆元又是模运算中最重要的一个问题。
随着计算机网络技术和通信技术的发展，求解模逆元的问题在现代信息密码安全中有着充分的应用和体现。
尤其是在现代公钥密码体制中，加密和解密的过程中，都涉及到求逆元的问题。
因此，研究求解模逆元的算法问题不仅在代数学上有重要的理论意义，而且在现代密码学方面也有重要的现实意义。
2 模逆元概念及其相关定理定义若整数a,b,p, 满足a?b三1(mod p).则称a为b模p 的乘法逆元，即a=b-1mod p .其中，p是模数。
定理1设p是素数，a €乙则ap三a mod p.特别地当gcd(a,p)=1 时，ap-1 三1(mod p)成立。
此定理就是有名的费马小定理。
作为代数学和数论学科方面的一个强有力的工具，它在多项式分解和素数检测方面已有广泛地应用。
在此，进行适当转换我们可以十分方便地利用它来计算mod p 的逆元。
即ap 三a mod p=>a?ap-2三1mod p.所以，a-1=ap-2mod p.因此，在求a modp 逆元时，若p 为素数且gcd(a,p)=1 时, 则可直接利用该定理计算ap-2mod p的大小。
其值就是所求的逆元a-1 。
一般情况下，由于p 值较大，其计算烦琐且易出错。
但由于计算思想相对简单即先进行幂运算而后再模运算。
因此，更一般的做法是：我们可以利用某些数学工具软件(如maple)进行直接计算即可。
定理2 对于a€ {0,1,2,…,p -1}，存在a-1€ {1,2,3,…,p -1} 使a?a-1 三1mod p充要条件是gcd(a,p)=1.该定理的证明(此处从略)主要是用了最大公约数的有关性质，其中重要的一个就是，gcd(a,p)=S?a+t?p(*1)(*1) 式表明，两整数的最大公约数可用整系数线性组合的方式来表示。
同余方程的求解技巧
同余方程的求解技巧同余方程是一类重要的数学问题，它在很多领域都有应用，例如密码学、图论、代数学等。
在解决此类问题的过程中，需要掌握一些相关的求解技巧。
一、欧几里得算法欧几里得算法是解同余方程中最基本的技巧。
它的核心思想是将两个数的较大值通过辗转相除的方式，求出它们的最大公约数。
例如，将6和9进行运算，可以得到如下计算式：9 = 6 x 1 + 36 = 3 x 2 + 0因为6和9的最大公约数为3，所以可以用这种方法求解同余方程Ax ≡ B(mod M) 。
其中A、B、M是已知的整数，x是未知整数。
首先，使用欧几里得算法求出A和M的最大公约数D；如果B能被D整除，那么方程有解。
然后，将A和M分别除以D，得到A'和M'，此时Ax ≡ B(mod M)可写为：A'x ≡ B'/D(mod M'/D)。
对这个新的方程重复以上步骤，直到求出解x。
二、中国剩余定理中国剩余定理是解同余方程组的一种方法。
最初，这个定理是由中国数学家孙子所发现并应用于民事案例中。
中国剩余定理适用于一组形如x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), …, x≡ ar (mod nr) 的同余方程。
其中a1, a2, …, ar是已知的整数，n1, n2, …,nr是互不相同的正整数。
首先，使用欧几里得算法求解n1, n2, …, nr之间的最大公约数D；如果D不整除每一个ai，则无解。
否则，设N = [n1, n2, …,nr] = n1 x n2 x … x nr，则以上同余方程的通解可以写成：x = a1k1M1 + a2k2M2 + … + arkrMr。
其中，Mi = N/ni，且Mi与ni互质；ki是未知的整数，是通过扩展的欧几里得算法计算得到的。
三、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是用于求解同余方程 Ax + By = C 的一种算法。
其中，A、B、C是已知的整数，x和y是未知的整数。
线形同余方程组
线形同余方程组全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线性同余方程组是数论中的一个重要概念，它与模运算和同余关系密切相关。
线性同余方程组的求解在密码学、计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
本文将对线性同余方程组的定义、性质、求解方法以及应用进行介绍。
一、线性同余方程组的定义线性同余方程组是指一组同时满足一系列线性同余方程的整数解。
一般形式如下：a1x ≡ b1 (mod m1)a2x ≡ b2 (mod m2)….anx ≡ bn (mod mn)a1，a2，…，an为整数系数，b1，b2，…，bn为整数常量，m1，m2，…，mn为模数，x为未知数。
1. 唯一性：线性同余方程组的解可能有唯一解、无解或者有多个解。
这取决于模数之间是否互素，互素的模数方程组往往有唯一解。
2. 模运算性质：线性同余方程组的解需要满足模运算的性质，即同余式在模数下成立。
3. 解的存在性：线性同余方程组一般都有整数解，但需注意是否存在特解或通解。
1. 逐步求解：通过逐步代入或变换方程，可以得到线性同余方程组的解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是求解线性同余方程组的一种重要方法，适用于模数互素的情况。
3. 模运算法则：由于线性同余方程组中的运算都是模数进行的，所以模运算的法则也是求解方程组的重要工具。
1. 密码学：在线性同余方程组中，模数一般取素数，这使得线性同余方程组在密码学领域中有着广泛的应用。
例如RSA公钥密码算法就是基于线性同余方程组的。
2. 计算机科学：在计算机算法设计中，线性同余方程组的求解经常涉及到，能够提高算法的效率和准确性。
3. 数学研究：线性同余方程组也是数论研究的一个重要方向，通过研究线性同余方程组的性质和解的特点，能够推动数论领域的发展。
线性同余方程组在数学领域具有重要的地位和应用价值，在实际运用中也有着广泛的应用。
希望本文对线性同余方程组这一概念有所帮助，也能引发更多人对数学理论的研究和探讨。
bouncycastle mododdinverse 算法原理 -回复
bouncycastle mododdinverse 算法原理-回复Bouncy Castle ModOddInverse算法原理引言：在密码学中，原始根是一个广泛应用于许多公钥密码体制中的概念。
它们是一个整数的集合，具有重要的数论性质。
Bouncy Castle ModOddInverse算法是基于原始根的一个变种算法，用于计算给定奇素数模下的逆元。
本文将从数论基础开始介绍ModOddInverse算法的原理，以及如何使用Bouncy Castle库实现该算法。
一、数论基础知识：1. 原始根：原始根是一个整数集合，如果它的阶等于给定模的欧拉函数。
阶是指幂运算过程中的周期，而欧拉函数是小于给定数且和它互质的正整数的个数。
例如，如果给定模为10，那么2是一个原始根，因为2的阶是4，与欧拉函数φ(10)的值相等。
2. 模反元素：在数论中，模反元素（也称为逆元）是指两个整数a和n满足(a * b) ≡1 mod n，其中b是a的模反元素。
换句话说，模反元素是一个数与模逆运算下的倒数。
二、算法原理：1. ModOddInverse算法的目标是计算给定奇素数模下的逆元。
首先，我们需要确定给定模的原始根。
2. 基于原始根的计算：(a) 首先，在给定模下，选择一个随机整数a（约束条件：1 < a < 模）。
(b) 计算a的阶，并与欧拉函数的值进行比较。
如果它们相等，则a 是模的原始根。
否则，重复步骤(a)直到找到一个原始根。
(c) 在给定模下，选择一个随机整数b（约束条件：1 < b < 模），并计算a和b的最大公约数。
(d) 如果最大公约数等于1，则计算b的模反元素。
具体计算方法如下：i. 计算b的欧拉函数值及a的欧拉函数值。
ii. 根据欧拉函数的值，将a和b分别提升到相应的阶次方。
iii. 计算a的阶次方对模的余数，并用它计算b的模反元素。
三、使用Bouncy Castle库实现ModOddInverse算法：Bouncy Castle是一个开源的Java密码学库，提供了丰富的加密和解密算法。
模逆运算 费马定理
模逆运算费马定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：模逆运算和费马定理是数论中两个非常重要的概念和定理。
模逆运算是指在模运算中找到某个数的乘法逆元，而费马定理则是指一种关于素数的性质。
这两个概念和定理在数论和密码学等领域有着广泛的应用和重要性。
首先我们来谈谈模逆运算。
在数学中，模逆运算是指在一个模数的情况下，找到一个数的乘法逆元。
当两个整数a和n互素时，a在模n下存在乘法逆元。
具体来说，如果存在一个整数b，使得ab ≡ 1 (mod n)，则称b是a在模n下的乘法逆元。
对于任意一个整数a，在模n下的乘法逆元可能存在也可能不存在。
当存在时，我们可以通过一些数论算法来找到这个乘法逆元。
一种常见的方法是使用扩展欧几里得算法，通过该算法可以找到a在模n下的乘法逆元。
具体的算法过程不在此详述，有兴趣的读者可以自行查阅资料学习。
模逆运算在密码学中有着广泛的应用。
在RSA加密算法中，找到两个大素数p和q的乘法逆元是关键的一步。
只有找到p和q的乘法逆元才能生成RSA的公钥和私钥，从而实现加密和解密的过程。
模逆运算在密码学中扮演着非常重要的角色。
接下来我们来谈谈费马定理。
费马定理是数论中的一条重要定理，它由法国数学家费尔马在17世纪提出并证明。
费马定理的内容是：对于任意一个素数p和整数a，当a不是p的倍数时，有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
简单来说，费马定理表明，对于素数p和不是p的倍数的整数a，a^(p-1)除以p的余数一定是1。
费马定理在数论中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在素数检测中。
通过费马定理，我们可以获取一种新的检测素数的方法。
如果对于某个整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)不成立，那么p一定不是素数。
这种检测方法在密码学和计算机科学中有着很多重要的应用。
模逆运算和费马定理都是数论中非常重要的概念和定理。
它们在密码学、素数检测等领域有着重要的应用和价值。
深入理解和掌握这两个概念和定理，可以帮助我们更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
sagemath 组合数取模快速算法
sagemath 组合数取模快速算法在数学和计算机科学领域，组合数是一种常见的数学概念，表示从n个元素中选取k个元素的方式数目。
组合数通常用符号C(n, k)来表示，也可以写作n choose k或者。
在实际应用中，我们经常需要计算组合数，并且有时候需要对计算结果取模。
本文将介绍如何使用SageMath中的快速算法来计算组合数并进行取模运算。
组合数的定义首先，让我们回顾一下组合数的定义。
对于非负整数n和k，其中k不大于n，组合数C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的方式数目。
其计算公式为：其中，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数乘积。
在实际计算中，阶乘的计算量很大，容易导致溢出问题。
因此，我们通常需要对计算结果进行取模运算。
快速算法SageMath提供了一种快速算法来计算组合数并进行取模运算，该算法基于Lucas定理和逆元的性质。
具体步骤如下：Lucas定理：Lucas定理指出，在模p的意义下，对于任意非负整数n和k，有以下等式成立：其中//表示整除运算。
逆元性质：如果p是一个质数，a是一个整数且a与p互质（即gcd(a, p) = 1），那么a关于p的逆元a’满足以下等式：结合Lucas定理和逆元性质，我们可以通过递归地计算小规模的组合数并利用逆元性质来避免大整数的溢出问题。
SageMath代码示例下面是使用SageMath实现组合数取模快速算法的代码示例：示例代码star：编程语言：pythondef mod_comb(n, k, p):if k == 0:return 1if n < k:return 0num = den = 1for i in range(k):num = (num * (n - i)) % pden = (den * (i + 1)) % preturn (num * pow(den, -1, p)) % p# 示例：计算C(10, 3) mod 1000000007n = 10k = 3p = 1000000007result = mod_comb(n, k, p)print(result)示例代码end在上述代码中，mod_comb函数实现了组合数取模快速算法。
一种改进的模逆算法与硬件实现
第49卷第2期2022年2月Vol.49，No.2Feb.2022湖南大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University（Natural Sciences）一种改进的模逆算法与硬件实现胡锦†，李勇彬（湖南大学物理与微电子科学学院，湖南长沙410082）摘要：在公钥密码体系中，无论是RSA密码还是椭圆曲线密码，模逆运算都是非常关键的运算.模逆运算的前提是两数的最大公约数为1，否则结果是没有意义的.基于现有的二进制模逆算法的基础上提出了一种可以同时求最大公约数和进行模逆运算的算法，并且对算法进行优化，用VERILOG HDL语言进行硬件实现.通过功能仿真和FPGA验证，结果表明该设计可以正确进行32~1024bit的大数模逆运算.该设计应用于一款汽车安全芯片的PKI模块，采用UMC55nm工艺进行流片，芯片面积为10mm2，工作电压3.3V，钟频率为200MHz时，功耗约为30.2mW.关键词：RSA密码；椭圆曲线密码；公钥密码；模逆；最大公约数中图分类号：TN492文献标志码：AAn Improved Modular Inversion Algorithm and Hardware ImplementationHU Jin†，LI Yongbin（School of Physics and Electronics，Hunan University，Changsha410082，China）Abstract：In public-key cryptosystems（PKI），whether it is RSA cryptography or elliptic curve cryptography（ECC），modular inversion operations are very critical operations.The premise of modular inversion operations is that the greatest common divisor（GCD）of the two numbers is1，otherwise the result is meaningless.Based on the existing binary modular inversion algorithms，an algorithm that can simultaneously find the GCD and perform modu⁃lar inversion operations is proposed，and the algorithm is optimized and implemented in hardware using VERILOG HDL language.Through functional simulation and FPGA verification，the results show that this design can correctly perform the modular inversion operation of large number from32to1024bits.The design is applied to a PKI module of an automotive security chip，using UMC55nm process for tape-out，and the chip area is10mm2.When the work⁃ing voltage is3.3V and the clock frequency is200MHz，the power consumption is about30.2mW.Key words：RSA cryptography；elliptic curve cryptography（ECC）；public-key cryptosystems（PKI）；modular inversion；greatest common divisor（GCD）RSA密码和椭圆曲线密码是目前使用最广泛的公钥密码算法.随着物联网的发展，用户信息安全越∗收稿日期：2021-01-18基金项目：国家自然科学基金资助项目（61674055），National Natural Science Foundation of China（61674055）作者简介：胡锦（1964—），男，湖南长沙人，湖南大学教授†通信联系人，E-mail：*************.cn文章编号：1674-2974（2022）02-0101-05DOI：10.16339/ki.hdxbzkb.2022264湖南大学学报（自然科学版）2022年来越重要，例如现今高速发展的智能汽车，安全性和实时性要求极高，软件实现加密算法的方式已经无法满足需求，采用硬件方式实现算法是发展的趋势.模逆算法是公钥密码体系中的核心算法［1-2］，尤其在椭圆曲线密码体系中［3］，也是最复杂［4］和最消耗时间的算法之一［5］.在RSA密码算法中，生成密钥对时，需要计算d=e-1modϕ，其中e表示公钥，满足1<e<ϕ且gcd（e，ϕ）=1，ϕ表示欧拉函数，d表示私钥.为了安全，ϕ至少为1024位，用软件实现模逆运算，运算量大，运算时间长，效率低［6］.在椭圆曲线密码算法中，进行点加［7］、点乘和倍点运算时，用雅可比坐标进行坐标变换［8］也只能减少模逆运算使用的次数而不能完全避免.本文在现有的二进制模逆算法基础上进行了改进，提出了一种在求逆过程中同时可以求取最大公约数的算法.此外，出于对实现算法的硬件资源考虑，对算法做了优化，最后通过VERILOG语言进行硬件实现.1算法介绍1.1二进制模逆算法二进制模逆算法原理是根据贝祖等式gcd（a，b）=gcd（b-a，a）=ax+by推导得出.目前常用的模逆算法还有扩展欧几里得算法［9-10］，但是由于算法中每步都要用到除法操作，开销很大［11］，尤其在进行大素数模逆运算时缺点更突出.算法1只用到了移位操作和减法运算，比扩展欧几里得算法更加高效.算法1二进制模逆算法输入：素数p和a∈［1，p］输出：a-1mod p1，u←a，v←p.2，x1←1，x2←0.3，当u≠1和v≠1时，重复执行3.1当u是偶数时，重复执行u←u/2.若x1是偶数，则x1←x1/2，否则，x1←（x1+p）/2.3.2当v是偶数时，重复执行v←v/2.若x2是偶数，则x2←x2/2，否则，x2←（x2+p）/2.3.3若u≥v，则u←u-v，x2←x1-x2，否则v←v-u，x2←x2-x1.4，若u=1，返回（x1mod p），否则，返回（x2mod p）.1.2改进的模逆算法算法1有一个缺陷是无法判定输入的两数是否互质，如果gcd（a，p）不等于1时，再用算法1计算就会得到错误的结果，或者说算出的结果是没有意义的.结合stein算法［11］，可以将上述算法改写为算法2，算法2在模逆运算的同时可以求解最大公约数gcd（a，p），从而保证模逆运算的结果是在gcd（a，p）= 1的情况下得到的正确结果.在算法1中可以看出，循环计算时u和v的计算基本上是一致的，为了节省资源，可以进行进一步优化.由于算法2中的步骤3和步骤5.2保证u和v每次循环最多只有一个为偶数，利用这个特点可以去掉u的循环.算法2改进的模逆算法输入：正整数a和p输出：a-1mod p和gcd（a，p）1，x←a，y←p.2，g←1.3，当x和y都为偶数，重复执行：x←x/2，y←y/2，g←2g.4，当x为偶数时，执行：u←y，v←x，A←0，C←1，B←1，D←0.否则：u←x，v←y，A←1，C←0，B←0，D←1.5，当v≠0，重复执行：5.1当v是偶数时，重复执行v←v/2.如果C和D都是偶数，执行C←C/2，D←D/2.否则：C←（C+y）/2，D←（D-x）/2.5.2当u≥v时，执行u←v，v←u-v；A←C，C←A-C，B←D，D←B-D.否则：v←v-u，C←C-A，D←D-B.6，计算gcd（a，p）=u*g.7，返回（A mod y）和gcd（a，p）.2算法硬件结构框图模逆算法主要通过状态机来控制算法流程，通过ram存储大量的中间数据，图1是模逆算法硬件结102第2期胡锦等：一种改进的模逆算法与硬件实现构框图，主要分为两个模块，INV_FSM 模块是状态机模块，INV_CAL 是模逆算法的运算模块，受状态机模块的调度.ram 为伪双端口ram ，主要用来存储在运算过程中产生的中间数据和运算结果.ClkINV_CALRstRun_iData_a _i Data_p _i done_oINV_FSMINVram cram uram a ram vram bram d图1模逆算法硬件结构框图Fig.1Modular inversion algorithm hardwarestructure block diagram2.1算法状态机图2是模逆算法的状态转移图，严格控制模逆算法的运算流程.该状态机共有9个状态，IDLE 是空闲状态，开始运算时，进入SHIFT 状态，SHIFT 状态完成x 和y 同时向右移位（即除以2），g 向左移位，直到x 和y 不同时为偶数.LOAD 状态主要完成u 、v 、A 、B 、C 、D 数据的装载.INV_CAL 状态完成模逆算法的主体运算直到v 等于0时才跳出该状态.在GCD_CAL 状态中完成gcd （a ，p ）计算，在GCD_CAL 状态计算完成后判断A 的极性进行状态跳转.若A 为负数，则跳转到A _NEG 状态进行A +y 运算，直到A 为正数，则跳转到DONE 状态；若A 为正数，则跳转到A _POS1状态进一步判断A 是否大于y ，若A 小于y ，则跳转到DONE 状态，若A 大于y 则跳转到A _POS2状态进行A -y 运算，直到A 小于y ，然后跳转到DONE 状态，模逆运算完成，最终回到IDLE 状态.DONEIDLESHIFT A_POS2A_POS1A_NEGGCD_CALINV_CALLOAD图2模逆算法状态转移图Fig.2State transition diagram of modular inversion algorithm2.2算法运算模块算法运算模块主要功能是在状态机的控制下进行数据的运算.从算法2中可以看出，求逆的过程需要用到大数加法和大数减法，还需要进行两数大小判断和移位.大数加法和大数减法可以通过算法3和算法4实现，两数的大小比较可以通过使用大数减法的借位信号来判断.图3是运算模块主要运算电路，data_v 和data_u 通过mux 来进行选择，mux 的选择信号通过比较data_u 和data_v 的大小得到，data_c 和data_a 、data_b 和data_d 类似.从图3中可以看出：改进后的算法使用mux 可以进行u 和v 的选择，从而实现资源的复用，减少了资源的消耗.运算的中间结果和运算结果保存在ram 中.A _0D _0B _0C _0u _0v _0y _i u _iC _i v _i A _iX _iD _i B _i 323232323232323232323232323232[32]32323232323232[32][32][31∶0][31∶0][31∶0][31∶0][31∶0][31∶1][31∶1]3232323233DQ 32[31∶1]DQ DQ DQ D QD Q D QD Q D Q D Q[0]323131[0][0]0MUXMUXMUXMUX MUX MUXMUX MUX MUXMUX MUX MUXMUXMUXD Q31图3算法模块电路图Fig.3Algorithm module circuit diagram该电路中输入数据都是以32位为最小输入单元，如果进行1024位的模逆运算，此电路需要计算32次，可以看出此电路其实还可以实现2048位甚至更大的模逆运算.需要注意的是.计算的位宽越大，需要保存的中间数据也越多，ram 的容量就需要越大.算法3大数加法算法输入：整数A =（a k -1，a k -2，…，a 0）232整数B =（b k -1，b k -2，…，b 0）232输出：｛c ，s ｝=A +B .1，｛c ，s 0｝=a 0+b 0.2，对于i 从1到k -1，重复执行2.1｛c ，s i ｝=a i +b i +c .3，返回（c ，s ）.103湖南大学学报（自然科学版）2022年算法4大数减法算法输入：整数A =（a k -1，a k -2，…，a 0）232整数B =（b k -1，b k -2，…，b 0）232输出：｛c ，s ｝=A -B .1，｛c ，s 0｝=a 0-b 0.2，对于i 从1到k -1，重复执行2.1｛c ，s i ｝=a i -b i -c .3，返回（c ，s ）.3结果与分析通过VCS 对该电路进行功能仿真，如图4所示.模逆算法电路能正确计算出最大公约数和模逆运算的结果，将计算的结果保存在ram 中.仿真结果表明：该设计可以正确进行32~1024bit 的模逆运算.图4算法功能仿真图Fig.4Algorithm function simulation diagram使用Xilinx virtex-II FPGA 开发板进行了板级验证，验证了该设计的正确性.表1列出了该设计与同类设计的资源消耗和性能比较.表格中的时间为计算256bit 模逆运算使用的时间.表1FPGA 结果对比Tab.1FPGA result comparison设计文献［12］文献［13］本设计最大频率/MHz146.3868.17185面积/slice 148020851347时间/µs 2.3211.601.48该设计应用于一款汽车安全芯片的PKI 模块，用于实现RSA 和SM2算法.图5为该安全芯片的版图，采用UMC 55nm 工艺进行流片，该芯片总面积为10mm 2，在工作电压3.3V ，时钟频率为200MHz 时，功耗仅为30.2mW ，流片测试结果表明，芯片达到设计指标要求.图5芯片版图Fig.5Chip layout4结语本文提出了一种在现有二进制模逆算法的基础上进行改进的算法.该算法不仅可以进行模逆运算，还同时可以计算最大公约数，并且在算法上进行了优化，减少了算法实现的资源消耗，最后通过VERILOG 语言实现了该算法.该设计电路结构简单，可扩展性强.最后该设计采用UMC 55nm 工艺进行流片，流片测试结果表明，芯片达到设计指标要求.参考文献［1］CHEN C P ，QIN Z P ．Fast algorithm and hardware architecturefor modular inversion in GF （p ）［C ］//2009Second International Conference on Intelligent Networks and Intelligent Systems ．Tian⁃jian ，China ：IEEE ，2009：43-45．［2］WANG J ，JIANG A P ．An area-efficient design for modular inver⁃sion in GF （2m ）［C ］//APCCAS 2006-2006IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems ．Singapore ：IEEE ，2006：1496-1499．［3］XU S ，GU H H ，WANG L Y ，et al ．Efficient and constant timemodular inversions over prime fields ［C ］//201713th International Conference on Computational Intelligence and Security （CIS ）．Hong Kong ，China ：IEEE ，2017：524-528．104第2期胡锦等：一种改进的模逆算法与硬件实现［4］LIN S Y，HE S，GUO X，et al．An efficient algorithm for comput⁃ing modular division over GF（2m）in elliptic curve cryptography［C］//201711th IEEE International Conference on Anti-counterfeiting，Security，and Identification（ASID）．Xiamen，China：IEEE，2017：179-182．［5］TIAN C L，YU J，ZHANG H L，et al．Novel secure outsourcing of modular inversion for arbitrary and variable modulus［J］．IEEETransactions on Services Computing，2019：1-1．［6］CHOI P，KONG J T，KIM D K．Analysis of hardware modular in⁃version modules for elliptic curve cryptography［C］//2015Interna⁃tional SoC Design Conference（ISOCC）．Gyeongju，Korea（South）：IEEE，2015：313-314．［7］MRABET A，EL-MRABET N，BOUALLEGUE B，et al．An effi⁃cient and scalable modular inversion/division for public key crypto⁃systems［C］//2017International Conference on Engineering&MIS（ICEMIS）．Monastir，Tunisia：IEEE，2017：1-6．［8］RAHMAN M S，HOSSAIN M S，RAHAT E H，et al．Efficient hardware implementation of256-bit ECC processor over primefield［C］//2019International Conference on Electrical，Computerand Communication Engineering（ECCE）．Cox′sBazar，Bangla⁃desh：IEEE，2019：1-6．［9］FU B W．A rapid algorithm and its implementation for modularinversion［C］//2009Fifth International Conference on InformationAssurance and Security．Xi′an，China：IEEE，2009：697-700．［10］PHIAMPHU D，SAHA P．Redesigned the architecture of extended-euclidean algorithm for modular multiplicative inverseand jacobi symbol［C］//20182nd International Conference onTrends in Electronics and Informatics（ICOEI）．Tirunelveli，In⁃dia：IEEE，2018：1345-1349．［11］谭丽娟，陈运．模逆算法的分析、改进及测试［J］．电子科技大学学报，2004，33（4）：383-386．TAN L J，CHEN Y．Analysis and improvement of modular inversealgorithm［J］．Journal of University of Electronic Science andTechnology of China，2004，33（4）：383-386．（In Chinese）［12］HOSSAIN M S，KONG Y N．High-performance FPGA implemen⁃tation of modular inversion over F256for elliptic curve cryptography［C］//2015IEEE International Conference on Data Science andData Intensive Systems．Sydney，NSW，Australia：IEEE，2015：169-174．［13］VLIEGEN J，MENTENS N，GENOE J，et al．A compact FPGA-based architecture for elliptic curve cryptography over prime fields［C］//ASAP2010-21st IEEE International Conference onApplication-specific Systems，Architectures and Processors．Rennes，France：IEEE，2010：313-316．105。
信息安全数学基础教学中模逆元的求解技巧
北京电子科技学院学报Journal of Beijing Electronic Science and Technology Institute 2020年3月Mar.2020第28卷第1期Vol.28No.l信息安全数学基础教学中模逆元的求解技巧曹浩陈雪敏董姗姗安徽科技学院，安徽凤阳233100摘要:信息安全数学基础是信息安全专业的一门核心课程，在信息安全专业的教学过程中占有重要的地位。
模逆元是该课程的一个核心概念,贯穿整个课程知识体系的始终，是学好该课程的关键。
本文在对模逆元的求解方法总结的基础上，探索了适合实际教学的求解模逆元的技巧。
通过这些技巧的使用，不仅加深了学生对模运算的理解，更加深了学生对模逆元的理解，同时，也激发了学生的学习兴趣和创新能力，取得了较好的教学效果。
关键词：模逆元；扩展的欧几里德算法；欧拉定理；同余中图分类号:TP309-4；G642文献标识码:A 引言随着信息技术的发展，越来越多的敏感数据需要在云端存储并通过网络来传输，确保敏感数据在存储和传输的过程中不被泄漏，对于维护国家网络安全主权、保护政府和企业的机密以及个人用户的隐私，均具有重要的现实意义。
信息安全技术可以对数据处理后再存储和传输,使之不会被非法用户窃取,对于保护数据安全起到至关重要的作用。
信息安全技术水平的高低归根到底取决于信息安全人才队伍的建设状况。
因此，高度重视信息安全相关专业的建设，大力提升信息安全专业的人才培养质量，以信息安全人才队伍建设为驱动，深入推进信息安全产业的全面发展，对于维护国家安全和社会稳定，具有重要的文章编号:1672-464X(2020)1-80-05战略意义。
《信息安全数学基础》是信息安全本科专业的一门专业基础课程，课程内容主要由初等数论和抽象代数两部分组成，介绍了信息安全专业学生所需掌握的整除、同余式、原根与指数、群、有限域等知识,是学习《现代密码学》、《信息论与编码理论》等后续专业核心课程的基本支撑。
模2运算法则 -回复
模2运算法则-回复什么是模2运算法则？模2运算，也称为取模运算或者求余运算，是一种基于二进制数的运算方法。
在模2运算中，当一个数被2整除后，如果有余数，则结果为1；反之则结果为0。
模2运算法则是指在进行模2运算时，遵循的一系列运算规则。
首先，我们来看一些基本的模2运算规则：1. 加法的模2运算：两个数相加后，对2取模。
例如：1 + 1 = 0（2 mod 2 = 0）2. 减法的模2运算：两个数相减后，取绝对值，并对2取模。
例如：1 - 0 = 1（1 mod 2 = 1）3. 乘法的模2运算：两个数相乘后，对2取模。
例如：1 ×1 = 1（1 mod 2 = 1）4. 除法的模2运算：两个数相除后，取余数。
例如：1 ÷1 = 1 余05. 指数的模2运算：对一个数进行指数运算后，再对2取模。
例如：2^3 = 8（8 mod 2 = 0）以上是一些基本的模2运算规则，接下来我们将介绍一些更复杂的模2运算法则。
6. XOR（异或）的模2运算：两个数逐位进行异或运算后，对2取模。
例如：1 XOR 0 = 1（1 mod 2 = 1）7. AND（与）的模2运算：两个数逐位进行与运算后，对2取模。
例如：1 AND 0 = 0（0 mod 2 = 0）8. OR（或）的模2运算：两个数逐位进行或运算后，对2取模。
例如：1 OR 0 = 1（1 mod 2 = 1）这些规则可以用于解决很多与二进制运算有关的问题。
在计算机科学、电子工程以及密码学等领域，模2运算法则被广泛应用于数据传输、纠错码和加密算法等方面。
在实际应用中，模2运算往往是通过位运算来实现的。
位运算是一种针对二进制数据的运算方法，包括逻辑与（AND）、逻辑或（OR）、逻辑异或（XOR）等操作。
通过结合模2运算法则和位运算，可以高效地进行二进制数的操作和运算。
总结起来，模2运算法则是一系列基于二进制数的运算规则，包括加法、减法、乘法、除法、指数、异或、与、或等操作。
montgomery模乘算法
montgomery模乘算法Montgomery模乘算法引言：在计算机科学和密码学领域，Montgomery模乘算法是一种高效的模乘运算方法，它在大数乘法中得到广泛应用。
它的主要优点是可以快速地进行模运算，特别适用于大数乘法的场景。
本文将介绍Montgomery模乘算法的原理和应用，并探讨其在密码学中的重要性。
一、Montgomery模乘算法的原理Montgomery模乘算法基于模运算的特性，可以快速地进行大数乘法运算。
其原理主要可以分为以下几个步骤：1. 预处理：需要对两个大数进行预处理。
假设我们要计算两个大数A和B的模乘结果，其中A是模数，B是待乘数。
我们首先要将A进行一次特殊处理，得到一个新的数R，使得R满足R * A ≡ 1 (mod 2^k)，其中k是一个大于等于A的位数的整数。
这个过程称为模重duction。
2. 转换：接下来，我们将待乘数B转换成Montgomery域中的数B'。
这个转换过程是通过将B乘以R后取模得到的，即B' = B * R (mod A)。
这样，我们就将原来的大数乘法转换成了Montgomery域中的乘法。
3. Montgomery域中的乘法：在Montgomery域中，乘法运算可以通过移位和加法来实现。
具体地，我们可以将乘法运算转换成一系列的移位和累加操作。
这样，我们就可以快速地计算出Montgomery域中的乘法结果。
4. 逆转换：我们需要将Montgomery域中的乘法结果转换回普通的数值表示。
这个过程是通过将Montgomery域中的乘法结果乘以1/R后取模得到的。
即最终的结果为 C ≡ C' * R^-1 (mod A)，其中C'为Montgomery 域中的乘法结果，R^-1为R的逆元。
二、Montgomery模乘算法的应用Montgomery模乘算法在密码学领域具有重要的应用价值。
主要体现在以下几个方面：1. RSA加密算法：RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性依赖于大数的乘法和取模运算。
模逆算法的分析、改进及测试
数，恐可能为奇数，置是做ｘＩ＝ｘ１＋“还是ｘ１；ｘｌ尼，要由ｘ：的奇偶性来定：鼍为奇数，ｘ。＝ｘｌ＋“。否则置豳，２。
基于上面的分析，如果求的模数是奇数的时候，就可以省掉ｘ２和ｙ２的操作，得到算法４。 算法４模数为奇数时，对子科技大学学报
第３３卷
Ａ４＿ｌⅨｌ，玛）＝（１，ｖ）；
当Ｙ产１时，ｖｘｙｌ＋“ｘｙ２－ｂ＝１，则Ｋ＝ｖ＿１ ｍｏｄ“和如＝“－１ ｍｏｄｖ。 扩展欧几里德算法的主要开销是来自除法运算的，假设“＞ｖ＞０，那么用这种方法求模逆所用到除法
次数与用欧几里德方法求ｇｃｄ（“，ｖ）的除法次数是相同的，ｄ：＜尔ｏｇ：“］，所以这种算法用到的除法运算的复 杂度就是０００９：“１。
３）俏数，Ｈ奇数，ｘｌ偶数，局偶数：ｖ×隅／２）＋“×（ｘ犯）＝（１，×墨＋“×碣）仕玛倥； ４）偶数，“奇数．墨奇数，是偶数：ｖ×（墨＋“），２扣×Ｃｘ２．ｖ比＝（ｖｘｘＩ＋Ｈ×砭汜＋（ｖ×炉“×ｖ），２献犯；
５）ｙ奇数，“偶数．ｘＩ偶数，玛偶数：ｖ×皤ｌ，２）＋ｌ‘×Ⅸ以）；（１Ｊ）（墨＋“ｘ砭）仕如，２； ６）谪馓，“偶数，ｘＩ偶数，ｘ２奇数：ｖ×俩ｌ＋“豫＋Ⅳ×Ｃｘ—ｖ），２＝（ｖ×蜀＋“×ｘ２），２“ｖ×舻“×ｖ）厅ｂ为，２。
模逆算法的分析、改进及测试
谭丽娟，陈运
（电子科技大学通信与信息工程学院成都６１００５４）
【摘要】会钥密码实现中，模逆算法经常是算法实现的舰颈。通常求模逆的运算方法牵涉到大量的除法和
减法操作，而除法操作需要大量的运算开销。基于现有的求最大套因子的方法，分析利用扩展欧几里德求模逆的
方法．以厦二进制扩展欧几里德算法，提出了利用二进制扩展殴几里德算法求模逆的方法，给出了几种算法性能
模逆运算在公开密钥加密算法和数字签名算法中占有重要的位置，如Ｍａｓｓｅｙ－Ｏｍｕｒａ公钥体制和Ｅ１Ｇｍｌａｌ 公钥体制中都要用到。但是，模逆运算是模运算中效率最低的，因此，模逆运算的运行速度会直接影响到 整个密码体制的执行效率。
二进制域模逆算法
001001
i=10
1
1
1
100000
000000
010110
100101
此算法需要2m个时钟周期，时序较长但固定，且不用判断R和S的次数，实际硬件实现较为简单。
000001
000100
i=5
1
0
0
101000
100000
001000
000001
i=6
1
1
1
101000
010000
000100
001001
i=7
1
0
0
100000
101000
010010
000100
i=8
1
1
1
100000
010000
001001
010110
i=9
1
0
0
100000
100000
二进制域模逆运算
二进制域内的模逆运算多用扩展的Euclidean算法，此算法使用移位操作，适合于硬件实现，内容如下图：
此处，设m=5，f(x)=x5+x2+1,即f=100101。欲求多项式a=01000的逆，则上述算法的运算过程如下表所示：
deg(u)
deg(v)
k
u
v
g1
g2
/
/
/
001000
100101
000001
000000
3
5
-2
100101
001000
000000
000001
5
3
2
000101
001000
000100
求模逆元的几种算法
求模逆元的几种算法作者：黄伟亮王震黄勇来源：《电脑知识与技术·学术交流》2008年第11期摘要：基于模乘法逆元的定义、存在条件及其相关定理，首先，对各求模逆元的算法思想和计算过程进行了深入的剖析，并总结了它们各自的运算特点以及它们的局限性所在，最后，依据可计算的复杂性理论和实际所测试的数据，比较了各种算法的执行效率以及它们的使用范围。
关健词：模逆元；扩展欧几里得算法；二进制扩展欧几里得算法；牛顿迭代法；费马小定理中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)11-20308-031 引言模算术就是用算术表达式模一些非零整数的计算。
其数学概念就是是剩余类环。
在数论和近世代数中，模算术是一个很重要的概念和方法，而求解模逆元又是模运算中最重要的一个问题。
随着计算机网络技术和通信技术的发展，求解模逆元的问题在现代信息密码安全中有着充分的应用和体现。
尤其是在现代公钥密码体制中，加密和解密的过程中，都涉及到求逆元的问题。
因此，研究求解模逆元的算法问题不仅在代数学上有重要的理论意义，而且在现代密码学方面也有重要的现实意义。
2 模逆元概念及其相关定理定义若整数a,b,p, 满足a·b≡1(mod p)．则称a为b模p的乘法逆元，即a=b-1mod p．其中，p是模数。
定理1设p是素数，a∈Z,则ap≡a mod p.特别地当gcd(a,p)=1时，ap-1≡1(mod p)成立。
此定理就是有名的费马小定理。
作为代数学和数论学科方面的一个强有力的工具，它在多项式分解和素数检测方面已有广泛地应用。
在此，进行适当转换我们可以十分方便地利用它来计算mod p的逆元。
即ap≡a mod p=>a·ap-2≡1mod p.所以， a-1=ap-2mod p.因此，在求a mod p逆元时，若p为素数且gcd(a,p)=1时,则可直接利用该定理计算ap-2mod p的大小。
基于FPGA的F2 m域椭圆曲线点乘的快速实现
关键词 ： 圆曲线密码 算法 ； 椭 模乘 ； 点乘
中 图分 类 号 ： Ｐ ０ Ｔ ３ ２ Ｔ ３９； Ｐ ０ 文 献 标 志 码 ： Ａ
Ｆａ ｔｉ ｐ ｅ ｅ ａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｎ ｕ ｔｐ ｉａ ｉｎ ｏ ｅ ｌｉ ｔｃ ｃ ｒ ｅ ｓ ｍ ｌｍ ｎｔ ｔｏ ｆｐ ｉ ｔｍ ｌｉ ｌｃ ｔｏ ｖ ｒ ｅｌｐ ｉ ｕ ｖ
Ｗ ＥＩＤｏ ｇ ｍｅ． ＹＡＮＧ ｏ ｎ． ｉ Ｔａ
ｂ ｓｄ ０ ａ ｅ ｎ ＦＰＧＡ
（ ｏｌ ｅｆＩ ｏｍ ｔ ｎＥ ｇｎｅｉ ，Ｓｕｈ ｅ ｎｖｒｔ ｉ ｃ ｎ ｅ ｎｌｇ，ＭｉｎａｇＳｃｕ ｎ６ １ １，Ｃ ｉａ Ｃ ｌｇ ｆｒ ａｉ ｎ ｉｅｒ ｇ ｏｔｗ ｓＵ ｉ ｓｙｏ Ｓ ｅ ｅａｄ Ｔｃ ｏ ｙ ｅ ｏ ｎ ｏ ｎ ｔ ｅｉ ｆ ｃ ｎ ｈ ｏ ａｙ ｎ ｉ ａ ２ ００ ｈｎ ） ｈ
Ｋｅ ｒ ｓ ｌｐｉ Ｃ ｒｅＣ ｐｏｒｐ ｙ（ Ｃ ） ｏｕａ ｍｕ ｉｌａｉ ；ｐｉｔ ｕ ｉｌ ａｏ ｙｗｏｄ ：Ｅｌｔ ｕ ｒ ｔｇ ｈ Ｅ Ｃ ；ｍ ｒ ｔ ｃ ｏ ｎｍ ｃｉ
椭圆 曲线密码 算法 （ ｌｐ ｃＣ ｒｅＣｙｔｇａｈ ，Ｃ ） Ｅｌ ｔ ｕｖ ｒｐｏｒ ｙ Ｅ Ｃ 与 ｉｉ ｐ Ｒ Ａ和数 字签名算法 （ ｉｔ ｉ ａ ｒ Ａｇｒｈ Ｄ Ａ） 比， Ｓ Ｄｇ ａ Ｓ ｎｔ ｅ ｌｏｉ ｍ， Ｓ 相 ｉｌ ｇ ｕ ｔ 在保证相 同安全强度下所需 的密钥 长度短 ， 特别适 用于无 线
摘
要 ： 圆曲线点乘的 实现速度决定 了椭 圆曲线密码 算法（ Ｃ ） 椭 Ｅ Ｃ 的实现速度 。采用 蒙哥马利点乘算法 ， 中模 其
椭圆曲线加密算法中模逆的研究
椭圆曲线加密算法中模逆的研究摘要;随着互联网时代的快速发展，个人的信息安全受到了人们普遍地关注并越来越受到大众重视。
椭圆曲线加密算法是目前最为安全的信息加密算法之一，因为其占用相对较小的空间的条件下兼具很高的安全性，因此，椭圆曲线加密算法已经成为目前使用最多的加密标准。
在椭圆曲线加密算法中最关键的步骤是倍点运算，在倍点运算中最占用资源最多的是模逆运算，本文主要对模逆运算中所用到的欧几里得算法，欧几里得算法的推论进行了研究，并对相关算法进行了证明，使用软件进行了算法的验证。
关键词：椭圆曲线加密算法，模逆，欧几里得算法1.引言现如今，对椭圆曲线的研究已经有一百多年的历史，因此有着非常厚重的理论积累。
二十世纪末期，Koblitz和Miller两位科学家在经过长期的研究之后，将椭圆曲线应用到了加密算法，椭圆曲线密码体制（EllipticCurveCrypsystem，ECC）就此诞生[1]。
椭圆曲线加密算法是一种非对称加密算法，在实现过程中模逆算法要占用大量的资源，因此模逆是椭圆曲线加密算法中一个关键的步骤。
在目前实现的模逆的算法研究中，主要有基于蒙哥马利的模逆算反，基于欧几里得算法的模逆算法以及基于费马小定理的模逆算法。
本文主要研究了基于欧几里得算法的模逆算法的理论基础，并进行相关算法和推论的推导，最后使用编程语言对算法进行了验证。
1.椭圆曲线加密算法中的模逆运算在椭圆曲线加密算法中关键的步骤是倍点运算，但是在二维坐标下进行倍点运算需要进行大量的模逆运算，可以通过坐标的变换，将椭圆曲线上的点由二维坐标转化为雅克比坐标系下的坐标从而进行大量模逆运算的消减，只进行少数的模逆运算。
坐标转换的规则是椭圆曲线方程在标准射影坐标系下进行花间，然后遵循标准射影坐标系下的运算即可进行椭圆曲线的倍点运算。
椭圆曲线算法是在二维坐标系下进行的，雅可比坐标下的点是在雅可比坐标系下进行的，目的是为了避免求逆运算来加速运算，因此计算完成之后还要把雅可比坐标映射到二维坐标，才是椭圆曲线能用的点。
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模逆运算快速算法——扩展的Euclid 算法与扩展的Stein 算法
(1)扩展的Euclid 算法
求模逆的传统算法是扩展的Euclid 算法，该算法是在用Euclid 算法求取二个数的最大公因子时，若最大公因子为1，说明二个数互素，则可同时得出二者的乘法逆元。
算法描述如下：
输入：二个整数a 、b ，设b a >
输出：a 与b 的最大公因子；若二者互素，同时得出乘法逆元
Step 1: ),0,1(),,(321a X X X ←，),1,0(),,(321N Y Y Y ← Step 2: if 03=Y then return ),gcd(3b a X =，no inverse
Step 3: if 13=Y then return ),gcd(3b a Y =，a Y b m od 21
=-，b b Y a m od )(11+=-
Step 4: ⎣⎦33Y X Q =
Step 5: ),,(),,(332211321QY X QY X QY X T T T ---← Step 6: ),,(),,(321321Y Y Y X X X ← Step 7: ),,(),,(321321T T T Y Y Y ←
Step 8: goto Step 2 (2)扩展的Stein 算法
较之扩展的Euclid 算法，扩展的Stein 算法可以得到更高的执行效率。
Stein 算法基于以下求取二个数公因子的基本性质： 1)若a 与b 都是偶数，则)2,2gcd(2),gcd(b a b a = 2)若a 为偶数、b 为奇数，则),2gcd(),gcd(b a b a = 3)若a 与b 都是奇数，则),2)(gcd(),gcd(b b a b a -=
由于除2在二进制运算中仅做一次移位操作，因此可以说Stein 算法主要只用到了减法，通过计算复杂性分析可知，在最坏情况下，Stein 算法所需减法次数为)13()(-+lb a lb 。
使用扩展的Stein 算法处理模逆运算的流程如下图所示。
图处理模逆运算的Stein算法。