2021届湖南雅礼中学新高考原创预测试卷(十五)数学

2021届湖南雅礼中学新高考原创预测试卷（十五）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3aA =，{},B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A. 11,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,3b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，求出1a =-，13b =，由此能求出A B ．【详解】集合{1A =，3}a ，{B a =，}b ，13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，1a ∴=-，13b =， {1A ∴=，1}3，{1B =-，1}3， {1A B ∴=-，1，1}3．故选：C ．【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题．2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. x y > C. 2x xy >D. 22x y >【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性可知x y <，并且x 、y 都大于0，A 选项不成立；当x 、y 都是负数的时候，绝对值符号是相反的，可判断B 错误；举反例，0x =的时候选项C 就不成立了；根据指数函数的单调性可判断选项D 中x y >成立．【详解】A ．对数函数的底数是在0到1之间，所以是减函数，因此x y <，并且要保证真数0>，因此不成立；B ．取1x =-，4y =-，显然不成立；C ．当0x =时，式子不成立；D ．指数函数的底数大于1，所以是增函数，即有x y <，因此成立；故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，结合了对数函数、指数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 3.设随机变量(),7XN μ，若()()24P X P X <=>，则（ ）A. 3μ=，7DX =B. 6μ=，DX =C. 3μ=，7DX =D. 6μ=，7DX =【解析】 【分析】利用正态分布列的性质即可得出． 【详解】随机变量~(,7)X N μ，若(2)(4)P X P X <=>，则3μ=，7DX =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正态分布列的性质，属于容易题． 4.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.5.设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c b a <<【答案】C 【解析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解． 【详解】0x y >>，1x y +=，∴11x>，01xy <<，1111xy y x >>>，∴011()()1y a x x=>=，1()log10xyb xy ==-<，11101log log 1yyylog c x y =>=>=-，∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6.设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若l m ⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，则l m ⊥ D. 若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】 【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可． 【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知： 在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

【详解】解：函数的定义域为{}0x x ≠，()()()33lg xxf x x f x --=+⋅=，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ， 当1x >时，()0f x >，排除A ， 当01x <<时，()0f x <，排除C ， 故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数基本性质，属于基础题。

8.已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()77,x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，…7x 的平均数为1，则71ii y==∑（ ）A. 2B. 11C. 12D. 14【答案】D 【解析】根据(),x y 在回归直线上，代入求y ，再求71ii y=∑.【详解】∵1x =，且(),x y 在线性回归直线24y x =-+上， ∴242142y x =-+=-⨯+=，则7177214ii yy ===⨯=∑.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点(),x y .9.用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为（ ）A.83πB.3C.D.323π【答案】B 【解析】 【分析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．【详解】用一平面去截球所得截面的面积为π，则截面圆的半径为1，已知球心到该截面的距离为1，则球的半径为r =∴球的体积为：343r π．故选：B ．【点睛】本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是中档题．10.在3x y =，3log y x =，2yx ，1y x=四个函数中，当1201x x 时，使()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立的函数的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】 【分析】根据条件结合凸凹函数的定义进行判断即可． 【详解】满足1212()()()22x x f x f x f ++>为凸函数， 分别作出四个函数在(0,1)上的图象，由图象知，在四个函数中，只有3log y x =是凸函数，其余三个为凹函数， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，结合凸凹函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况，得到柱图：2016年高考数据统计 2019年高考数据统计 则下列结论正确的是（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】AD 【解析】 【分析】根据柱状图给出的信息，做差比较即可．【详解】依题意，设2016年高考考生人数为x ，则2019年高考考生人数为1.5x ， 由24%1.528%8%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项A 正确； 由7(40%1.532%)(32%)8x x x ⋅-⋅÷⋅=，故选项B 不正确； 由8%1.58%4%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项C 不正确； 由28%1.532%42%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项D 正确．故选：AD ． 【点睛】本题考查了统计图表的识别和应用，属中档题．12.已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50︒，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是(090)θθ︒<︒，则下列选项正确的是（ ） A. 当15θ=︒时，满足题意的直线l 不存在 B. 当25θ=︒时，满足题意的直线l 有且仅有1条 C. 当40θ=︒时，满足题意的直线l 有且仅有2条D. 当60θ=︒时，满足题意的直线l 有且仅有3条【答案】ABC 【解析】 【分析】为了讨论：过点O 与a ､b 所成的角都是(090)θθ︒︒的直线l 有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，只须考虑过点O 与直线1a ､1b 所成的角都是(090)θθ︒︒的直线l 有且仅有几条即可，再利用12cos cos cos θθθ=⋅.进行角之间的大小比较即得. 【详解】过点O 作1//a a ，1//b b ，则相交直线1a ､1b 确定一平面α.1a 与1b 夹角为50︒或130︒，设直线OA与1a､1b均为θ角，作AB⊥面α于点B，1BC a⊥于点C，1BD b⊥于点D，记1AOBθ∠=，22(25BOCθθ∠==︒或65)︒，则有12cos cos cosθθθ=⋅.因为1090θ︒︒，所以20cos cosθθ.当225θ=︒时，由0cos cos25θ︒，得2590θ︒︒；当265θ=︒时，由0cos cos65θ︒，得6590θ︒︒.故当25θ<︒时，直线l不存在；当25θ=︒时，直线l有且仅有1条；当2565θ︒<<︒时，直线l有且仅有2条；当65θ=︒时，直线l有且仅有3条；当6590θ︒<<︒时，直线l有且仅有4条；当90θ=︒时，直线l有且仅有1条.故A，B，C均正确，D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线,a b转化成共面直线非常关键，考查了数形结合，分类讨论的数学思想，属于中档题13.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数()1,xf xx⎧=⎨⎩为有理数，为无理数成为狄利克雷函数，则关于()f x，下列说法正确的是（）A. ()(),1x R f f x∀∈=B. 函数()f x 是偶函数C. 任意一个非零有理数T ，f x Tf x 对任意x ∈R 恒成立D. 存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】依次判断每个选项：(){}0,1f x ∈，故()()1f f x =；判断()()f x f x -=，为偶函数；判断f x Tf x；取(),0,1,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为等边三角形，得到答案. 【详解】(){}()(),0,11x R f x ff x ∀∈∈∴=，A 正确；()()1,1,0,0,x x f x f x x x -⎧⎧-===⎨⎨-⎩⎩为有理数为有理数为无理数为无理数，偶函数，B 正确；()()1,1,00x T x f x T f x x T x +⎧⎧+===⎨⎨+⎩⎩为有理数为有理数，为无理数，为无理数，C 正确；易知(),0,1,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点构成等边三角形，D 正确；故选：ABCD【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上.14.命题p ：“x R ∀∈，20x x π-≥”的否定p ⌝是______.【答案】0x R ∃∈，2000x x π-<【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题的否定为2000,0x R x x π∃∈-<， 故答案为：2000,0x R x x π∃∈-<．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题．15.已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()()ln x f x x -=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是______.【答案】y x =-【解析】【分析】由已知求得函数()f x 在(0,)+∞上的解析式，求其导函数，得到f '（1），再由直线方程点斜式得答案．【详解】()f x 为偶函数，且当0x 时，()()ln x f x x-=， ∴当0x >时，0x -<，则()()lnx f x f x x =-=-，21()lnx f x x -+'=， f ∴'（1）1=-． ∴曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是01(1)y x -=-⨯-，即10x y +-=．故答案为：10x y +-=．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，是中档题．16.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____. 【答案】13【解析】【分析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.【详解】∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，∴这三个人获得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型. 17.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则PD PC=_______，三棱锥P BCD -的体积最大值是 _______.【答案】 (1). 2 (2). 123【解析】【分析】根据Rt ADP ∆∽△Rt PMC ∆，2PD PC =，利用体积公式求解得出PO CD ⊥，求解OP 最值，根据勾股定理得出223348144h x x =-+-，06x ，利用函数求解即可.【详解】在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，如图：Rt ADP ∴∆∽△Rt PMC ∆，∴2AD PD MC PC==，即2PD PC =， 设DO x =，PO h =，作PO CD ⊥，∴22222(6)x h x h +-+，化简得：223348144h x x =-+-，06x ，根据函数单调性判断：6x =时，23h 最大值为36，23h ∴=最大值在正方体中，PO ⊥面BCD ，∴三棱锥P BCD -的体积最大值为116632V =⨯⨯⨯⨯故答案为：2；【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解，是中档题．四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数()(1)(0x x f x a k a a -=-->,且 1)a ≠是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值；（2）若(1)0f <,试判断函数单调性,并求使不等式2()(4)0f x tx f x ++-<恒成立的t 的取值范围;【答案】（1）2（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =即可求得实数k 的值为2k =.（2）由题意可得()f x 在 R 上单调递减.结合函数的单调性和函数的奇偶性可得t 的取值范围是35t -<<.【详解】（1）∵()f x 是定义域为 R 的奇函数.∴()()()0001110f a k a k =--=--=. ∴2k =.（2）()(0x x f x a a a -=->且 1)a ≠.∵()110,0f a a<∴-<. 又 0a >,且 1,01a a ≠∴<<.而x y a =在 R 上单调递减, x y a -=在 R 上单调递增,故判断 ()x xf x a a -=-在 R 上单调递减. 不等式化为 ()()224,4f x txf x x tx x +-∴+-. ∴()2140x t x +-+> 恒成立.∴()21160t ∆=--<,解得 35t -<<.【点睛】本题主要考查奇函数的性质及其应用，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知集合{}2|4120A x x x =--≤，{}22|440B x x x m =--+≤.（1）求集合A 、B ；（2）当0m >时，若x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）()4,+∞.【解析】【分析】(1) 由24120x x --≤， 解得x 范围，可得集合A ，由22440x x m --+=解得x=2+m ，或2-m .对m 分类讨论即可得出集合B ；（2）根据x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，可得[-2，6]是[2-m ，2+m ]的真子集，进而得出范围.【详解】（1）由24120x x --≤，得26x -≤≤.故集合{}|26A x x =-≤≤.由22440x x m --+=，得12x m =+，22x m =-.当0m >时，22m m -<+，由22440x x m --+≤得22m x m -≤≤+，故集合{}|22B x m x m =-≤≤+.当0m <时，22m m ->+，由22440x x m --+≤得：22m x m +≤≤-，故集合{}|22B x m x m =+≤≤-.当0m =时，由2440x x -+≤得2x =，故集合{}|2B x x ==.（2）∵x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，∴[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则有222226m mmm-<+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得4m≥，又当4m=时，[][]2,22,6m m-+=-，不合题意，∴实数m的取值范围为()4,+∞.【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.如图所示，在直角梯形ABCD中，2AB BC==，4CD=，BC DC⊥，AE DC⊥，M，N两点分别在线段AD，BE上运动，且DM EN=.将三角形ADE沿AE折起，使点D到达1D的位置，且平面1D AE⊥平面ABCE.（1）判断直线MN与平面1D CE的位置关系并证明；（2）证明：MN的长度最短时，M，N分别为1AD和BE的中点；（3）当MN的长度最短时，求平面1D MN与平面EMN所成角（锐角）的余弦值.【答案】（1）MN与平面1D CE平行，证明详见解析；（2）详见解析；（3）13.【解析】【分析】(1)分别在平面D1AE和平面BCE内，作MG//AE,交D1E于点G, NH//BC,交CE于点H,连接GH,则MG//NH.推导出四边形MNHG是平行四边形, 从而MN// GH.由此能求出MN与平面D1CE 平行；(2) 推导出222121,2(2)2,(022)22D E CE GH x x x x⎛⎫⊥=-+=-+<<⎪⎪⎝⎭,从而当2x =时，min 2MN =, 此时M ，N 分别是A D 1和BE 的中点；（3）以E 为坐标原点，分别以EA, EC , ED ，所在直线为x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面D 1MN 与平面EMN 所成角(锐角)的余弦值.【详解】（1）MN 与平面1D CE 平行.证明如下：分别在平面1D AE 和平面BCE 内作//MG AE 交1D E 于点G ，//NH BC 交CE 于点H ，连接GH ,∵//AE BC ，∴//MG NH .设(1022D M EN x x ==<<，在1Rt MGD ∆中，145D MG ∠=︒，则22MG x =， ∴22GE x =-， 同理可求22NH x =， ∴MG NH =，即四边形MNHG 是平行四边形.∴//MN GH .∵1MN D EC ⊄，1GH D EC ⊂，∴//MN 平面1D EC .（2）证明：∵平面1D AE⊥平面ABCE ，1D E AE ⊥，∴1D E CE ⊥，在1Rt D EC ∆中，222GE x =-，22EH x =， ∴()()2222122202222GH x x x x ⎛⎫=-+=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭. 当2x =时，min 2MN =.此时M 、N 分别是1AD 和BE 的中点.（2）以E 为坐标原点，分别以EA 、EC 、1ED 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，()0,0,0E ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，()1,0,1M ，()1,1,0N . ∴()11,0,1D M =-，()11,1,2D N =-，∴()1,0,1EM =，()1,1,0EN =， 设()111,,m x y z =是平面1D MN 的一个法向量，由1100m D M m D N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得11111020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩.取11z =，可得()1,1,1m =. 设()222,,n x y z =是平面EMN 的一个法向量，由00n EM n EN ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222200x z x y +=⎧⎨+=⎩.取21z =，可得()1,1,1n =-. ∴1cos ,3m nm n m n ⋅==⋅，∴平面1D MN与平面EMN所成角（锐角）的余弦值13.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线段的中点的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力，属于中档题.21.某市近郊有一块大约500500m m⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）1500030306S xx⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其定义域是(6,500)．（2）设计50x m=，60y m=时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【解析】【分析】（1）总面积为3000xy=，且26a y+=，则3000yx=，1500332yax=-=-（其中6500)x<<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a=-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积1500015000303063030(6)S x xx x=--=-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【详解】解：（1）由已知3000xy=，∴3000yx=，其定义域是(6,500)．(4)(6)(210)S x a x a x a=-+-=-，26a y+=，∴1500332yax=-=-，∴150015000(210)(3)3030(6)S x xx x=--=-+，其定义域(6,500)．（2）150003030(6)3030303023002430S x x x x=-+-=-⨯=， 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50x m =，60y m =时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．22.设函数()()22ln f x x a x a x =---. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)3. 【解析】【分析】（1）先求导，再对a 进行分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出；（2）由（1）可知，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()min 02a f x f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.转化为求满足()4ln402a h a a =+->的最小正整数a 的值，利用单调性判断其零点所在的最小区间即可求得. 【详解】（1）函数()()22ln f x x a x a x =---的定义域为()0,∞+. ()()()()()2'222122x a x a x a x a f x x a x x x----+=---==. 0,10x x >∴+>,∴当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，由()'0fx >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<.所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()min 02a f x f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 即()22ln 0222a a a a a ⎛⎫--⨯-< ⎪⎝⎭， 即4ln 402a a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭， 0,4ln 402a a a >∴+->. 令()4ln 42a h a a =+-，易知()h a 在()0,∞+上是增函数，且()22h =-， 又()4333334ln 44ln 1ln 1ln 10222h e ⎛⎫=+-=-=->-= ⎪⎝⎭， 即()()20,30h h <>.所以存在()02,3a ∈，使()00h a =，当00a a <<时，()0h a <；当0a a >时，()0h a >.所以满足()0h a >的最小正整数a 的值为3.又3a =时，()()()30,10,332ln 302f f f ⎛⎫<==-> ⎪⎝⎭，且函数()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 3a ∴=时，函数()f x 有两个零点.综上，满足条件的最小正整数a 的值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查分类讨论的思想方法和等价转化方法，考查学生的逻辑思维能力,属于较难的题目.23.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元. (1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望;(3)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C 可以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率? 【答案】(1)12；(2)见解析；(3) 当112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率. 【解析】 【分析】（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；（2）设X 为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到500X ξ=，利用公式写出分布列，并求得期望；（3）根据题意，当系统G 有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】（1）系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设X 为维修维修的系统的个数，则13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，且500X ξ=， 所以()()3311500,0,1,2,322kkk P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()150037502E ξ=⨯⨯=. （3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；若前3个电子元件中有两个正常工作， 同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+， 于是由()3113214828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.。