雅礼中学自主招生考试数学试卷(一)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考卷(一)数学试题及答案
·3·
16. (本小题满分 15 分)
ex(2x - 1) 已知画数 f(x) = x - 1 . (1) 求函数 f(x) 的单调区间; (2) 当 x < 1 时, 不等式 2xex - ax - ex + a ≥ 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
17．已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an+1 = 2Sn + 2n ∈ N * . (1) 求数列 an 的通项公式. (2) 在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列
形所在的平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为
14 5
，则该五面体的所有棱长之和为
()
A． 102m B． 112m C． 117m D． 125m
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
1 2
x
C． y = f 4 - 2x
B． y =-f 1 -
1 2
x
D． y =-f 4 - 2x
·1·
8．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是
全等的等腰三角形．若 AB = 25m,BC = AD = 10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角
.
13．已知抛物线 C:x2 = 2py(p > 0) 的焦点为 F ，点 A 在抛物线 C 上，若点 A 到 x 轴的距离
是 AF - 2，则 p =
雅礼中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
雅礼教育集团2022级新高一入学考试试卷数学时量：120分钟满分：100分一、填空题（共18题，每小题3分，共54分．请将答案直接填在答题卡的相应位置）1.一组数据如下：7，10，9，6，11，9，8，4，则这组数据的中位数为________．2.计算22tan 602--︒++=___________.3.化简：2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷-= ⎪ ---+⎝⎭⎝⎭________．4.=________．5.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.6.如图，在ABC 中，40A ∠=︒，B C ∠=∠，BP CE =，BD CP =，则DPE ∠=________.7.已知2310x x -+=，求3313x x ++的值________．8.如图，边长为20的正方形ABCD 中，以BC 为直径画一个半圆，直线DE 与半圆相切，交AB 于E 点，则DE=________．9.不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．10.若方程2(2)(4)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数m 的取值范围是______________.11.如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是________．12.如图，已知P 的半径是1，圆心P 在抛物线21122y x x =--上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______.13.如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S △P AB =________．14.因式分解：326114x x x -++=________．15.二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2-，9a -），下列结论：①0abc >；②420a b c ++<；③90a b c -+=；④若方程()()511a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程21ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-，其中正确的结论有__________个．16.若二次函数2y x mx =-+在21x -≤≤时的最大值为3，那么m 的值是________．17.如图，在菱形ABCD 中，边AB=5，E ，F 分别在BC 和AD 上，若DF=1，BE=3，且此时BF=DE ，则BF 的长为________．18.已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab ++的值为________．二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）19.随着我校选修课的全面开展，我校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整；（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率．20.已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且124x x -=，求m 的值．21.如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A=∠EBC ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG ·BA=48，，DF=2BF ，求AH 的值．22.平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点A 的坐标为（1，0），OB=OC ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；-=，求点Q的坐标和（3）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，若QA QB此时△QAA'的面积．23.在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，∠CBD=60°，BD=12．（1）如图①，将△BCD绕点B逆时针旋转120°得到△BC0D0，其中，点C、D的对应点分别是点C0、D0，延长D0C0交AB于点E．求BE的长；（2）如图②，将（1）中的△BC0D0以每秒1个单位长度的速度沿射线BC向右平行移动，得到△B1C1D1，其中，点B、C0、D0的对应点分别是点B1、C1、D1，当点C1移动到边CD上时停止移动．设移动的时间为t秒，△B1C1D1与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图③，在△B1C1D1移动过程中，直线D1C1与线段AB交于点N，直线B1C1与线段BD交于点M．是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．第6页/共6页。
雅礼初三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列选项中，不是实数的是（）A. 3.14B. -2C. √4D. π2. 已知方程2x-3=7，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=90°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x^2B. y=2x+1C. y=3/xD. y=√x5. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 下列选项中，能表示圆的方程是（）A. x^2+y^2=9B. x^2+y^2-6x-8y=0C. x^2+y^2=0D. x^2+y^2-2x-2y+1=07. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, -4)，则a，b，c的值分别为（）A. a=1，b=-2，c=-3B. a=1，b=-2，c=-4C. a=-1，b=2，c=3D. a=-1，b=2，c=48. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0，下列说法正确的是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程没有实数根D. 无法确定9. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点是（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）10. 若函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，-1），且与y轴的交点坐标为（0，b），则k和b的值分别为（）A. k=1，b=-1B. k=1，b=2C. k=-1，b=-1D. k=-1，b=2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知方程3x-2=5，则x=__________。
12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数是__________。
2024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学预测卷(一)
2024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学预测卷（一）一、单选题1．4的算术平方根是（ ）A ．2±B ．16±C ．2D ．2-2．下列计算正确的是( )A ．23x x x +=B ．632x x x ÷=C ．()437x x =D ．347x x x ⋅= 3．如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆柱组成的，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．方程211x x =+的解为（ ） A ．2x =- B ．2x = C ．4x =- D ．4x =5．下列有关四边形的命题正确的是（ ）A ．两组邻边分别相等的四边形是菱形B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．正方形的对角线相等且互相平分6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x （单位：环）及方差2S （单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择() A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若2AB=，4BC=，则四边形EFGH的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．68．2023年6月4日，我省“神十五”航天员张陆和他的两位战友安全回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，则甲、乙两人同时被选中的概率为（）A．12B．13C．14D．159．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD 所成夹角50ABC ∠=︒时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF 与地面的夹角EBC ∠=（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒10．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数242024若排在第a 行b 列，则a b -的值为（ ）A ．2025B ．2024C ．2023D ．2022二、填空题11．因式分解：22ax ax a -+=．12x 应满足的条件是．13．如图，BD 是等边ABC V 的边AC 上的高，以点D 为圆心，DB 长为半径作弧交BC 的延长于点E ，则DEC ∠=．14．据长沙晚报消息：2023年一季度长沙全市实现地区生产总值3801.8亿元，同比增长4.5%．数据“3801.8亿”用科学记数法表示为．15．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为3π米，高度为3.6米，则此粮仓的侧面积为2m ．（结果保留π）16．如图，点A ，B 分别在函数()0a y a x =>图像的两支上（A 在第一象限），连结AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数()0,0b y b x x=<<图像上，AE x P 轴，BD y ∥轴，连结DE ，BE ．若2A C B C =，ABE V 的面积为12，四边形ABDE 的面积为15，则a b -的值为．三、解答题17．计算： 1011cos30|22-⎛⎫-⋅︒+ ⎪⎝⎭．18．先化简后求值：22222244a b a b a b a b a b a ab b +---÷+--+．其中2 1a b =． 19．如图1，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈，sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）20．宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（6070x≤<），一般（7080x≤<），良好（8090x≤<），优秀（90100x≤≤），制作了如下统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题：(1)求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数直方图．(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．(3)这次测试成绩的中位数是什么等第？(4)如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？21．已知图中ABC V 和BDE V 都是等边三角形，点C 可沿AD 边翻折至BD 边上的点F ．(1)求证：AE CD =；(2)试用等式写出线段AD ，BD ，DF 三者之间的数量关系，并说明理由；22．某校与当地国防大学联合开展红色之旅研学活动，如地图1，上午7:00，国防大学官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路到红军抗战纪念基地进行研学．上午8:00，军车在离营地60km 的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，国防大学官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车继续按原速前行，最后和师生同时到达基地，图2为军车和大巴离营地的路程()km s 与所用时间()h t 的函数关系．(1)求国防大学官兵在仓库领取物资所用的时间．(2)求大巴离营地的路程s 与所用时间t 的函数表达式及a 的值．(3)请直接写出军车领先大巴4km 时对应的大巴离营地的路程．23．如图所示，O e 外接于锐角ABC V ，D 为边BC 的中点，连接AD 并延长交O e 于点E ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 为AD 上一点，已知BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)试求BGC ∠的度数．(2)①证明：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值．24．定义：对于函数图像上任意一点（1x ，1y ），当1x 满足1m x n ≤≤（m 、n 为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（2x ，2y ），其中2m x n ≤≤，使得124y y ⋅=成立，则称该函数在m x n ≤≤时为“依赖函数”．(1)判断函数4y x=在34x ≤≤时是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数2y kx =+（0k ≠）在15x ≤≤时是“依赖函数”，求k 的值；(3)已知函数()2y x a =-（3a ≥）在34x ≤≤时是“依赖函数”，且在34x ≤≤时不等式()()2225x a t s t x -≥-+-+对于任意实数t 都成立，求实数s 的取值范围．25．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∠=︒∥，对角线BD 平分ADC ∠．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．(3)如图3，四边形ABCD 是邻等四边形，90DAB ABC ∠=∠=︒，BCD ∠为邻等角，连接AC ，过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E ．若8,10AC DE ==，求四边形EBCD 的周长．。
【冲刺实验班】湖南长沙市雅礼中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
中学自主招生数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共60.0分）1.计算：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=______．2.化简：（-）÷得______，当a=-2+，其值是______．3.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则在45°，60°，75°，85°四个角度中，∠AMB的度数不可能是______．5.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是______．6.如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0）和y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为______．7.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为______．8.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则EF的值为______．9.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的序号有______．10.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是______．二、解答题（本大题共4小题，共60.0分）11.为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．12.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．13.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．14.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x=______；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．答案和解析1.【答案】-1【解析】解：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=3+1-4-2×=-1故答案为：-1．首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．2.【答案】【解析】解：原式=÷=，当a=-2+时，∴原式==，故答案为：，．根据分式的运算法则进行化简后，将a的值代入原式即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】γ=2α+β【解析】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4.【答案】85°【解析】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故答案为：85°．根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．5.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞-1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∵+=4m，∴=4m，∴m=2或-1，∵m＞-1，∴m=2．故答案是：2．先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记x1+x2=-，x1•x2=．6.【答案】8【解析】解：设：A、B、C三点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则：△ABC的面积=•AB•y A=•（-）•m=4，则k1-k2=8．故答案为8．△ABC的面积=•AB•y A，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．7.【答案】（6053，2）【解析】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．8.【答案】【解析】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=4-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4-x）2，∴x=∴EF=故答案为：根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得EF的长．本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9.【答案】②③⑤【解析】解：①∵a＞0，∴b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确．④∵点（-0.5，y1）在抛物线上，对称轴为x=-1，∴（-1.5，y1）也在抛物线上，∵-1.5＞-2，且（-1.5，y1），（-2，y2）都在对称轴的左侧，∴y1＜y2，故④错误．⑤：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），∴-=-1，a+b+c=0，∴b=2a，c=-3a，∴5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③⑤．故答案为②③⑤．①根据二次函数：①a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为x=-1，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为x=-1可得-=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0．本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．10.【答案】5【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1-=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故答案为：5．根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．11.【答案】2000 108【解析】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000-100-800-200-300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．12.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．【解析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．13.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=-，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-（x-3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有-（x-3）2+5=1.8，解得：x1=-1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=-（x-3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=-×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+3x+=-（x-）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．14.【答案】s【解析】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2-2x），∴x=s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图2中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2-x+2x）×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2-x+2）×[x-2（x-1）]=x2-3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan∠DEA=tan∠QPB，∴=，解得x=，综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题；（2）分三种情形分别求解即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程中学自主招生数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共60.0分）15.计算：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=______．16.化简：（-）÷得______，当a=-2+，其值是______．17.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．18.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则在45°，60°，75°，85°四个角度中，∠AMB的度数不可能是______．19.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是______．20.如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0）和y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为______．21.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为______．22.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则EF的值为______．23.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的序号有______．24.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是______．二、解答题（本大题共4小题，共60.0分）25.为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______°；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．26.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．27.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．28.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x=______；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．答案和解析1.【答案】-1【解析】解：|-3|+（+π）0-（-）-2-2cos60°=3+1-4-2×=-1故答案为：-1．首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．2.【答案】【解析】解：原式=÷=，当a=-2+时，∴原式==，故答案为：，．根据分式的运算法则进行化简后，将a的值代入原式即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．3.【答案】γ=2α+β【解析】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4.【答案】85°【解析】解：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故答案为：85°．根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．5.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞-1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2-（m+2）x+=0的两个实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∵+=4m，∴=4m，∴m=2或-1，∵m＞-1，∴m=2．故答案是：2．先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记x1+x2=-，x1•x2=．6.【答案】8【解析】解：设：A、B、C三点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则：△ABC的面积=•AB•y A=•（-）•m=4，则k1-k2=8．故答案为8．△ABC的面积=•AB•y A，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．7.【答案】（6053，2）【解析】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+12×504=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．8.【答案】【解析】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=4-x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，∴AF=AB-BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4-x）2，∴x=∴EF=故答案为：根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得EF的长．本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9.【答案】②③⑤【解析】解：①∵a＞0，∴b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确．④∵点（-0.5，y1）在抛物线上，对称轴为x=-1，∴（-1.5，y1）也在抛物线上，∵-1.5＞-2，且（-1.5，y1），（-2，y2）都在对称轴的左侧，∴y1＜y2，故④错误．⑤：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），∴-=-1，a+b+c=0，∴b=2a，c=-3a，∴5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③⑤．故答案为②③⑤．①根据二次函数：①a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为x=-1，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为x=-1可得-=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0．本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．10.【答案】5【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1-=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故答案为：5．根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．11.【答案】2000 108【解析】解：（1）被调查的人数为：800÷40%=2000（人），C组的人数为：2000-100-800-200-300=600（人），∴C组对应的扇形圆心角度数为：×360°=108°，故答案为：2000，108；（2）条形统计图如下：（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况，∴甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为：=．（1）根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）根据C组的人数，补全条形统计图；（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．12.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．【解析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．13.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=-，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-（x-3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有-（x-3）2+5=1.8，解得：x1=-1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=-（x-3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=-×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-x2+3x+=-（x-）2+．。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。
雅礼中学自主招生考试数学试卷一
雅礼中学自主招生考试数学试卷一一、选择题共6小题,每小题5分,满分30分1．飞形棋中有一正方体骰子,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a,2的对面的数字为b,那么a+b的为A．11 B．7 C．8 D．32．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象收支差额=车票收入﹣支出费用．由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出两条建议：建议1是不改变车票价格,减少支出费用；建议2是不改变支出费用,提高车票价格．下面给出四个图象如图所示则A．①反映了建议2,③反映了建议1B．①反映了建议1,③反映了建议2C．②反映了建议1,④反映了建议2D．④反映了建议1,②反映了建议23．已知函数y=3﹣x﹣mx﹣n,并且a,b是方程3﹣x﹣mx﹣n=0的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 4．记S n=a1+a2+…+a n,令,称T n为a1,a2,…,a n这列数的“理想数”．已知a1,a2,…,a500的“理想数”为2004,那么8,a1,a2,…,a500的“理想数”为A．2004 B．2006 C．2008 D．20105．以半圆中的一条弦BC非直径为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D,若,且AB=10,则CB的长为A．B．C．D．445、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n为A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题共7小题,每小题6分,满分42分7．若x表示不超过x的最大整数如等,则= _________ ．8．在△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,AE=2CE,BD=2CD,AD、BE交于点F,若S△ABC=3,则四边形DCEF的面积为_________ ．9．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3,现任意抽取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是_________ ．10．已知抛物线经过点A4,0．设点C1,﹣3,请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得|AD﹣CD|的值最大,则D点的坐标为_________ ．11．三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为_________ ．12．如图,已知点1,3在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上,点E是对角线BD的中点,函数的图象又经过A、E两点,则点E的横坐标为_________ ．13．按下列程序进行运算如图规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5,则运算进行_________ 次才停止；若运算进行了5次才停止,则x的取值范围是_________ ．14．如图,在Rt△ABC中,斜边AB=5厘米,BC=a厘米,AC=b厘米,a＞b,且a、b是方程x2﹣m﹣1x+m+4=0的两根,1求a和b的值；2若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合,然后让△ABC固定不动,将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分,其面积为y平方厘米,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；②若重叠部分的面积等于平方厘米,求x的值．15．2006•宁波已知⊙O过点D4,3,点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A 如图1．1求⊙O半径；2sin∠HAO的值；3如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点与P点不重合,连接并延长DE,DF 交⊙O于点B,C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO 的大小怎样变化请说明理由．16．青海玉树发生7.1级强震,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇,二分队因疲劳可在营地休息a0≤a≤3小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知,唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时,二分队的行进速度为4+a千米/时．1若二分队在营地不休息,问要使二分队在最短时间内赶到A镇,一分队的行进速度至少为多少千米/时2若b=4千米/时,二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时17．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．1在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4．求证：AE2+BF2=EF2；2若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．3如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD 的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长若能,指出三角形的形状,并给出证明；若不能,请说明理由．18．定义：在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等,方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量：、、、、、、、由于和是相等向量,因此只算一个．1作两个相邻的正方形如图一．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f2,试求f2的值；2作n个相邻的正方形如图二“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为fn,试求fn的值；3作2×3个相邻的正方形如图三排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为f2×3,试求f2×3的值；4作m×n个相邻的正方形如图四排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为fm×n,试求fm×n的值．。
2014年雅礼中学高中理科实验班初升高招生数学真卷(一)
2014年雅礼中学高中理科实验班初升高招生数学真卷（一）（满分：100分，时间90分钟）第I 卷 （选择题 共25分）一、选择题（本题共5个小题，每小题5分，满分25分。
）1、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且060COA ∠=。
设扇形AOC 、COB 、弓形BmC 的面积分别为123,,,S S S 则他们之间的大小关系是（ ） （第1题）A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 132S S S <<D. 321S S S <<2、如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A 、253490x y x y y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩B 、253490x y x y y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩C 、253490x y x y x +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩D 、253490x y x y x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（第2题图）3、正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=，设p =+ ）A. 5p >B. 5p =C. 5p <D. p 与5的大小关系不确定4、函数2y ax bx c =++图像的大致位置如图所示，则,,2,ab bc a b +22(),a c b +-2222(),a b c b a +--等代数式的值中，正数有（ ）A. 2个B. 3个C.4个D.5个5、图示某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段， （第4题图）单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车俩数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系为（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >> （第5题图）C. 231x x x >>D. 321x x x >>第II 卷 （非选择题 共75分）二、填空题（本题共10个小题，每小题6分，满分60分）6、已知不等式30ax +≥的所有正整数解为1,2,3, 则a 的取值范围是 。
湖南省长沙市雅礼集团2025届数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】
湖南省长沙市雅礼集团2025届数学九年级第一学期开学统考试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）与）A ．B 1-C D ．2、（4分）若不等式组30x a x >⎧⎨-≤⎩，只有三个正整数解，则a 的取值范围为()A ．0a 1≤<B ．0a 1<<C ．0a 1 <≤D ．0a 1≤≤3、（4分）方程3x 2﹣7x ﹣2＝0的根的情况是（）A ．方程没有实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数很D ．不确定4、（4分）一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是()A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差5、（4分）若13x y =，23y z =，则2x y z y +=-（）A ．157-B ．157C ．5-D ．56、（4分）一个事件的概率不可能是（）A ．1B ．0C ．12D ．327、（4分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，将数据0.00000032用科学记数法表示正确的是()A ．73.210⨯B ．73.210-⨯C ．83.210⨯D ．83.210-⨯8、（4分）点()1,2P -关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2D ．()2,1-二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，已知函数y ＝2x ＋b 与函数y ＝kx －3的图象交于点P (4，－6)，则不等式kx －3＞2x ＋b 的解集是__________.10、（4分）将点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是________11、（4分）若关于x 的方程201x a x -=+的解为负数，则a 的取值范围为______．12、（4分）方程22x x =-的根是_____．13、（4分）如图，已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，若3AB =，4BC =，则阴影部分的面积是______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，四边形ABCD 是正方形，AC 与BD ，相交于点O ，点E 、F 是边AD 上两动点，且AE ＝DF ，BE 与对角线AC 交于点G ，联结DG ，DG 交CF 于点H ．(1)求证：∠ADG ＝∠DCF ；(2)联结HO ，试证明HO 平分∠CHG ．15、（8分）如图,在△ABC 中,∠C=90∘，AC=BC ，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，垂足为E.(1)求证：CD=BE ；(2)若AB=10，求BD 的长度．16、（8分）如图，一次函数y=34x+6的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与点A 关于y 轴对称.动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 与点A 、C 不重合），且满足∠BPQ=∠BAO ．(1)求点A 、B 的坐标及线段BC 的长度；(2)当点P 在什么位置时，△APQ ≌△CBP,说明理由；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求点P 的坐标.17、（10分）一次函数y 1＝kx +b 和y 2＝﹣4x +a 的图象如图所示，且A （0，4），C （﹣2，0）．（1）由图可知，不等式kx +b ＞0的解集是；（2）若不等式kx +b ＞﹣4x +a 的解集是x ＞1．①求点B 的坐标；②求a 的值．18、（10分）先化简（242m m m +--m-2）÷2212m m m ++-，然后从-2＜m≤2中选一个合适的整数作为m 的值代入求值．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知点(4,0)A -及第二象限的动点(,)P x y ，且5y x -=．设OPA ∆的面积为S ，则S 关于x 的函数关系式为________．20、（4分）如图，已知90︒∠=C ，AD 平分,2,BAC BD CD DE AB ∠=⊥于点E ，5cm DE =，则BC=___cm 。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题(含答案)
雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 分值：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合{}240A x x =-≤，则A =N （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22、 ）A B C D3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.4、过椭圆22:1169x yC+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10所以PFQ△的周长为PF当线段PQ为椭圆短轴时，故选：B5、已知圆C的方程为22(2)x y a+-=，则“2a>”是“函数y x=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0(k = )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,)2X B ，则10101()()(02kP X k C k ===，1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,2X B ，所以10101010111()()(1()(0222k k k kP X k C C k -==-==，1，2...，10)，由二项式系数对称性知，当5k =时，10kC 最大，故05k =． 故选：B ．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70B ．64C ．60D ．58【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．故选：D ．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )A ．2(1)1e f -<B ．()21f e >C ．1(2f e >D ．1(1)(2f ef <【分析】构造函数2()()xf xg x e =，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()x f x g x e=，则22222()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以220(1)(0)(1)(0),(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即20(1)(0)f f e e<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；1()(0)2g g <，即101()(0)21f f e e<=，即1(2f e <，故C 不正确；1()(1)2g g >，即121()(1)2f f e e >，即1(1)()2f ef <，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -≤+D ．1212z z z z +≤+10、 已知函数()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有( )A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MON S S ∆∆=D ．24MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x ==则直线，∴11(,)ayM a x --，故12211122212220()BMay pay y x y y y pak x a x a y x a +++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212(,22x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB为直径的圆的半径12||||2AB y y =-=，所以222||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2pa =时相切，当2p a ≠时不相切，故B 错误；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211(),()22ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，则1212121211()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++221212121[2()4]4m y y am y y a y y =-+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=⋅-=-， 所以2222222121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、 已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得cos A =2168BD A -=①， 同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅ 222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2xf x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--∈R .（1）求λ的值；（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得 则11λλ-=-+，解得1λ=.【小问2详解】由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos xg x f x x ==-'，则()e 4sin xg x x =+'，当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；当0πx <<时，()e 4sin 0xg x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，又π(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；当()0,π,()0,()x x f x f x '∈>单调递增；又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n =，又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,n CF n CF n CF⋅===， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ==CF 与平面ABD(1)求C 的方程；(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线1l ，2l 互相垂直.【答案】(1)22143x y -=； (2)13-； (3)存在.【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)，则221691b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为22143x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由2243412x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，1212222436,3434m y y y y m m -+==--， 则121223my y y y +=-，即()121232my y y y =-+，所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++===++-()()1211211221223221236362y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，将y kx n =+代入22143x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，由0'∆=得()()2222644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，因此2222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，则01010202y k x n y k x n -=⎧⎨-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()22020243y k x k-=-，即()()2222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()22200004230x k x y k y --++=的两根，而121k k =-，则2020314y x +=--，即22001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交，所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)122n n a -=+【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=．{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+．。
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题(含答案与解析)_4591
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤<B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －33. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 24. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）AB..C. D.5. 已知220x kx m +-<解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -26. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ）的A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x以下结论正确的是的（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）在四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.【详解】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －3的【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ， 所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=.法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++. 故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-， 所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根， 所以2k m +=．故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10RAB AC == ，100tan10R BC =-=， 25250.760.985R R == 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为 ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ， 则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-， 又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 【答案】AC 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用特殊值判断D 错误.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()2sin 2g x x =，B 错误； 对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 则由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确； 对于D ，()π002f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无意义，∴2π不是函数的周期，D 错误. 故选：AC.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11AC D ， 平面11AC D ⋂平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO 的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ==，所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A点D 到平面11ACC A 的最大距离为R =，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 单调函数，故C 正确；为对于D ，()2e e e ==e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩. 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a =()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =--，所以a ==故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =，可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S ==.. 16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y '=+=，进而利用错位相减法运算求解. 【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y '=+=， 则()2020119200011.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn n n yy n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑L ，可得2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn yy ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑L ， 两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.121 1.121 1.11 1.1n n n y y =-'-⨯=+++-⨯=-⨯-∑L 2121221 1.10.121 1.11 1.118.1491.40.10.10.1-+⨯⨯++====----，所以20914nn n yy ='=∑.故答案：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】为【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解. 【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CA CB ==，所以C M A B ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ⋂=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ，因为11A B CM B ACM V V --=,所以111133B CM ACM S d S AA ⨯⨯=⨯⨯ ,所以11ACM B CM S AA d S ⨯== .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b+，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C--=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B -=-，所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =，所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b a R A B R==， 所以sin 2sin sin 12ba C R Ab A R=== , 所以1sin A b=， 因为2A B C C ππ=--=- ， 所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C+=+ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C -=+-=--+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C -<<，当1cos 24C =-时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 1-1p16 712 14()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=. 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +-+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c --=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=，11n n n b a a +=-+ ，则12112b a a =-+=，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++--=-+=+-+-+=-+=， 所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-，可得2123211212121n n n a a a a a a ---=-⎧⎪-=-⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=--- ，21n n a n ∴=--.213n n n n c --∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++-+---==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=， 令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，所以，()()122nf n f n +-=-.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =-<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n 1-项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n 1-项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1b m k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N *∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-==，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，12y y -=，AC 方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+- ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()22249144(24)180916916m t t mt m m --⇔-±=--3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，的2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--， AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2ny x =--， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=--， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-， 又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=． 将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00sx s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i ii i i i i ig g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->， 的故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭, 故1214627111...16222n nk k k n -⎛⎫+++>--+++⎪⎝⎭41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯-⨯ ⎪⎝⎭- 771797172184726n n n n =--+⨯>->-. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。
冲刺实验班湖南雅礼中学2021中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附
冲刺实验班湖南雅礼中学2021中考提前自主招生数学模拟试卷(1)附绝密★启用前重点高中预考数学试卷（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第一卷（选择题）一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列等式中，不一定成立的是（）a．=2b．c、 a=d。
2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2021年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（）元（保留两位有效数字）a．5.97×107b、 6.0×107c.5.97×108d．6.0×1083.如图所示，一条信息可以通过网络线从上（a点）到底（沿箭头方向）传输到每个站点。
例如，到B2点的信息可以由经过A1或A2的站点传送。
有两种传输方式，因此从a 点到D3点通过不同路径的B3站的概率为（）a．b．c．d．4．已知x+y=a．b。
，|x|+|y|=5c。
，则xy的值为（）d。
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4acb2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（）试卷第1页，共7页a．b．c．d．关于二次方程mx2。
6.且m≠0b．还有m≠ 0d。
0x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是7.由于缺货，小王和小李连续两次以不同的价格从同一家公司购买a型香米。
两次采购的单价分别为a和B（a<B，单位：元/公斤）。
小王的购买方法是：每次购买C公斤大米；小李的购买方法是：每次购买D元大米（D>C）。
如果只考虑购买单价，以下结论是正确的：（a）小王是符合成本效益的，（c）它也是符合成本效益的b．小李合算d、不可能确定谁更划算8．函数y=|x2+2x3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（）a、这个等式可能没有真正的根b．方程可能有三个互不相等的实数根c、如果方程只有两个实根，a的取值范围是：a=0d．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=49.如图所示，De是△ ABC，f是De上方的点，EF=2DF，BF的延长线与AC在点h，cf 处相交试卷第2页，总7页如果AB的延长线与点G相交，则s四边形agfh:s△ BFC=（）a．1：10b．1：5c．3：10d．2：5和弦的中点⊥ AB，垂直的脚是F点，10．如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的弦，点d是De在G点与AC相交，EH是⊙ o、 AC的延伸在h处相交，AF=3，FB=，然后是Tan∠ DEH=（）a．b、疾病控制中心。
雅礼中学高一理科实验班招生数学
雅礼中学高一理科实验班选拔考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。
下面 给出四个图像（如图所示）则A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<<4、记n S =n a a a +++Λ21，令12nnS S S T n+++=L ，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后1 1xyOA 1 1x yO A 1 1 xyO y1 1xO A A 1 1xyO ① ② ③④OD CBAFE D CBAxyE ODCBA 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
雅礼初中单招数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √9B. 2.5C. πD. -32. 已知a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. -a + b > 0D. -a - b > 03. 若一个等腰三角形的底边长为4，腰长为6，则该三角形的周长为（）A. 14B. 16C. 18D. 204. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 75. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于原点的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)6. 下列方程中，有唯一解的是（）A. 2x + 3 = 0B. 2x^2 + 3x + 2 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 07. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an为（）A. 29B. 31C. 33D. 358. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = -x^2 + 1D. y = x^2 - 19. 已知a、b、c为等比数列的前三项，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 1010. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则角B的正弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知方程x^2 - 3x + 2 = 0，则该方程的解为_________。
12. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第n项an =_________。
13. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点为_________。
长沙市雅礼中学理科实验班招生考试数学试题(1)
ABC EFO2012年长沙市雅礼中学理科实验班招生试题 数 学（本卷原名：长沙市雅礼优生毕业测试卷）考生注意：本卷满分120分，考试时间150分钟。
一、填空题（请将最后答案填写在横线上。
每小题3分，本大题满分60分）1.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示の图形，活动前老师在准备の四张纸片上分别写有如下四个等式中の一个等式：①AB=DC ；②∠ABE=∠DCE ；③AE=DE ；④∠A=∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下の纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取の两张纸片上の等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形の概率是______________.2．如图，“L ”形纸片由六个边长为1の小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积の一半，则EF の长为________ ______.3. 如图，AB 是半圆O の直径，C 、D 是半圆上の两个动点，且CD ∥AB,若半圆の半径为1,则梯形ABCD 周长の最大值是 。
4. 已知2152522＝－－－x x ，则221525x x －＋－の值为 。
5. 一次函数y ＝kx ＋b の图象过点P （1，4），且分别与x 轴和y 轴の正半轴交于点A ，B ． 点O 为坐标原点．当△AOB 面积最小时，k 和b の值分别为 。
6. 如图，直线b kx y +=1过点A （0，2），且与直线mx y =2交于点P （1，m ），则关于 x の不等式组mx ＞kx +b ＞mx －2の解集是______________。
7. 已知实数a 满足2008a -a ，那么a －20082值是 。
8. 如图，以Rt △ABC の斜边BC 为一边在△ABC の同侧作正方形BCEF ，设正方形の中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC の长等于 。
9.设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x の值是 ．10. 在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作の圆与斜边AB 只有一个公共点,则r の取值范围是___________ ．11. 已知a 、b 、c 102b 2－＝，则代数式a ＋c の值是 。
湖南省长沙市雅礼中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷
湖南省长沙市雅礼中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1．我国未来的航母将采用自行研制的电磁弹射器。
电磁弹射器的弹射车与飞机前轮连接，并处于强磁场中，当弹射车内的导体通以强电流时，弹射车受到强大的推力带动舰载机快速起飞。
下列四幅实验装置图中反映电磁弹射器工作原理的是（）A．B．C．D．2．如图，将甲，乙两灯电联在电路中闭合开关，发现甲灯发光，乙灯不发光。
则乙灯不发光的原因可能是A．乙灯灯丝断了B．乙灯的实际功率太小C．乙灯的额定电压太低D．通过乙灯的电流小于甲灯的电流3．如图所示，将一个条形磁铁置于水平桌面上，电磁铁左端固定在竖直墙壁上并保持水平。
当开关S闭合后，条形磁铁能保持静止状态，下列说法正确的是（）A．条形磁铁受到的摩擦力的方向是水平向右的B．条形磁铁受到的摩擦力的方向是水平向左的C．在滑片P向上移动的过程中，电磁铁的磁性减弱D．在滑片P向下移动的过程中，条形磁铁所受的摩擦力增大4．如图所示，电源电压恒为6V，R1＝10Ω，电流表量程为0～0.6A，电压表量程为0～3V，滑动变阻器R2规格“20Ω 0.5A”。
闭合开关S后，在保证电路安全的前提下移动滑片P，下列描述正确的是（）A．电压表示数和电流表示数的关系B．R2的阻值和电流表示数的关系C．R1电功率和电流表示数的关系D．电路总功率和电流表示数的关系5．以下描述中与光的折射现象有关的是（）A．形影相随，亲密无间B．海市蜃楼，虚无缥缈C．镜中生花，脱离实际D．水中捞月，一无所得6．小华用透镜观察书上的字，看到如图所示情景，以下说法正确的是（）A．图中成的是虚像B．图中成像规律可应用于投影仪C．图中的透镜制成的眼镜可以用于矫正近视眼D．图中透镜远离书本，所成的像变大7．如图甲是某款手持式电子测温仪，图乙是它内部的原理图，其中电源电压保持不变，R 是热敏电阻，用于靠近人体测温，定值电阻R0为保护电阻；在测人的体温时，当被测温者体温较高时，显示仪的示数也会变大。
湖南省长沙市雅礼中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷
湖南省长沙市雅礼中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1．下列操作符合安全用电原则的是（）A．控制电灯的开关应安装在零线上B．用电器失火时，要立即切断电源C．可以靠近落地的高压线检查其是否带电D．使用测电笔时，手指不能触碰笔尾金属体2．下列说法中，正确的是A．内能较大的物体所含有的热量较多B．温度高的物体具有的内能一定比温度低的物体多C．热量总是由内能大的物体传递给内能小的物体D．物体的内能增大时，可能是从外界吸收了热量，也可能是外界对物体做了功3．如图所示，条形磁铁置于水平面上，电磁铁水平放置且右端固定，闭合开关S，将滑片P向左移动的过程中，下列说法正确的是（）A．电磁铁的磁性减弱B．电磁铁左端是S极C．条形磁铁受到的排斥力增大D．条形磁铁所受的吸引力减小4．如图所示，长方体木块M放在水平桌面上，木块m放在木块M上面，在水平拉力F作用下二者一起向右做匀速直线运动，不计空气阻力，下列判断分析中正确的是（）A．木块m受到方向水平向左的摩擦力B．木块m受到方向水平向右的摩擦力C．水平拉力F和木块M受到地面的摩擦力大小相等D．木块M受到的重力和地面对木块M的支持力是一对平衡力5．在水平桌面上有甲、乙两个完全相同的杯子盛满不同浓度的盐水，将两个完全相同的小球分别放入其中，当小球静止时，两个杯子中小球所处的位置如图所示，则（）A．甲杯中溢出的盐水质量较小B．乙杯底部所受的液体压强较大C．甲杯底部所受的液体压力较大D．小球在乙杯中受到的浮力较大6．有6位同学用一把刻度尺测量同一本《科学》课本的长度，测得数据分别为26.02厘米，26.09厘米、26.10厘米、26.00厘米和26.08厘米、31.38厘米。
下列测量结果最接近真实值的是（）A．26.058厘米B．26.06厘米C．26.95厘米D．无法确定，因为真实值未知7．如图所示，一根重木棒在A点的拉力F的作用下以O点为轴，由竖直位置逆时针匀速转到水平位置的过程中，若动力臂为l，动力与动力臂的乘积为M，则（）A．F沿水平方向时，l减小、F逐渐变大、M减小B．F沿竖直方向时，l减小、F不变、M变大C．F作用在A点时杠杆一定是省力杠杆D．F无论沿哪个方向M均变大8．在图所示的实验装置中，闭合开关，移动导线ab，发现灵敏电流计的指针偏转。
湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷
3．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p ，则（ ）
A．p＞5B．p＝5
C．p＜5D．p与5的大小关系不确定
解析：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，
∴必有0＜a，b，c，d＜1
∵p ，
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x） 的图象，
由 ，得b＜﹣2a，所以2a+b＜0；
由a﹣b+c＜0得（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0；
由a+b+c＞0得a+b＞﹣c＞0，因此（a+b）2﹣c2＞0，|b|＞|a|，b2﹣a2＞0．
综上所述，仅有（a+b）2﹣c2，b2﹣a2为正数．故选：A．
5．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）
A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1
解析：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5＝＞x1＜x3，
同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10＝＞x1＜x2，
同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5＝＞x3＜x2．故选：C．
6．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是﹣1≤a ．
解析：不等式ax+3≥0的解集为：
（1）a＞0时，x ，正整数解一定有无数个．故不满足条件．
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雅礼中学自主招生考试数学试卷（一）
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的为（）
A．11 B．7 C．8 D．3
2．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）
A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）
B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）
D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）
3．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实
数m，n，a，b的大小关系可能是（）
A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
4．记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已
知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）
A．2004 B．2006 C．2008 D．2010
5．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）
A．B．C．D．4
6．某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）
7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则
= _________ ．
若S△ABC=3，则四8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，
边形DCEF的面积为_________ ．
9．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_________ ．
10．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为_________ ．
11．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_________ ．
12．如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD
的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为_________ ．
13．按下列程序进行运算（如图）
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行_________ 次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_________ ．
三、解答题（共5小题，满分72分）
14．如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，
（1）求a和b的值；
（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．
①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值．
15．（2006?宁波）已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．（1）求⊙O半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．
16．青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a
（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．
（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？
17．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理
由．
（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
18．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．
如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．
（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；
（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；
（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；
（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．。