等积变形问题

例 如图，用直径为200毫 米的圆钢，锻造一个长、
圆解钢：体设积应截= 取长的方圆体钢毛长坯为体x积毫，米，根据题意
设得应：截取圆钢长为x毫米
宽、高分别为300毫米、 二圆 、钢•（用的2含体00未积/2知是)2数的（• 式2x0子0/表=2)示32 0有0x立关×方的3毫量00米：×是. 指80
一元一次方程的应用
商店对某种商品进行调价，决定按原价的九 折出售，此时该商品的利润率是15℅,已知这种 商品每件的进货价为1800元，求每件商品的原 价。 售价=成本×（1+利润率）
解 设商品的原价为x元，根据题意，得
90℅x=1800(1+15℅) 解这个方程，得x=2300
所以，每件商品的原件为2300元。
方程为：_0_._5_2___X__=__0_.__3_2_×__0_.5 解这个方程：__X__=_0_.__1_8_ 答：_容__器___内__水__面__将___升__高__0_._1_8m。
一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘 米，容器内盛有15厘米高的水。现将一个底 面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放 入容器内，问容器的水将升高多少米？
0.5m
1.5m
1m
0.3m 0.5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系：
水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积
圆柱形体积公式是__r_2_h___,
水升高后的体积 小铁块的体积
（__0_._5_2___X__） （_0_._3_2__×__0_._5______)
解：设水面将升高x米, 根据题意得
分
析
思考2：如何用字母（未知
数x）表示圆钢的体积？
圆钢的体积=
(
200 2
)2x
立方毫米
x
90
二、用含未知数x的一次式 300 表示有关的量；
300
精讲
例题 200
分
析
思考3：如何根据等量关系“圆钢体 积=长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得：
•
(
200 2
)
2
•
x
=300×300×80
在有关营销问题中，一般要涉及到成本、售 价、利润。它们的关系是：利润=售价-成本，利润 率=利润/成本×100℅，售价=成本×（1+利润率）。
有时可以用“进货价”代替“成本”。但是， 成本除包括进货价外，还应包括诸如运输费、仓储 费、损耗、职工工资等。
复习：常用几何图形的计算公式
长方形的周长 = （长＋宽） ×2 长方形的面积 = 长 ×宽 三角形的面积 = 1 ×底×高
五、检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案：应截取圆钢的长为258毫米.
等积变形问题的等量关系
变形前的体积（周长)=变形后的体积（周长)
归
纳
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系， 用字母（例如 x）,表示问题里的未知数. 2、用代数式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
小结：说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系， 用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2、用代数式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
练
来自百度文库
习
1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形 圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变 成了多少？
锻压
等量关系：变形前的体积=变形后的体积
等量关系： 锻压前的体积=锻压后的体积
解：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：
锻压前
锻压后
底面半径
5厘米
10厘米
高 体积
36厘米
× 52×36
解：形状改变，体积不变
精讲
例题
200
例 如图，用直径为200毫米
??
90
的圆钢，锻造一个长、宽、
高分别为300毫米、300毫米
和90毫米的长方体毛坯底板，
应截取圆钢多少（计算时取 3.14.要求结果误差不超过1
毫米）？ 300
300
精讲
例题
分
析
200
思考1：题目中有哪些已知量和
未知量？它们之间有什么关系？如
x
90
三、根据等量关系列出方 300 程；
精讲
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？
×
(
200 2
)
2x
=300×300×90
方程化简为x =810
解得 x≈258
x
90
四、解方程，求出未知数的值；
五、检验求得的值是否正确和符 300 合实际情形，并写出答案.
300
精讲
例题
一、分析题意，找出等量关系 ：
x
90
何设未知数？
已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛
胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）
一、未知分：析圆钢题的意高，找出等量 关系相等，关分系：析题中数量及其 圆关钢系体积，=长用方字体毛母胚（的例体积如x）, 表示设未问知题数：里的未知数；
300
设应截取圆钢 x 毫米。
300
精讲
例题 200
根据题意，得 π·(32-22)·x= π 32×15
解这个方程，得x=27 因为27>28,这表明此时容器内的水已淹没了金 属圆柱，不符合题意，应舍去。
（2）如果容器内的水升高后淹没放入的金属圆柱， 根据题意，得
π ·32 ·x= π ·32×15+ π ·22×18
解这个方程，得 x=23 23-15=8 所以，容器内的水升高8厘米。
300毫米和80毫米的长方体 三、根据等量3.关14系x列=7出20方程，得：
毛坯底板，应截取圆钢多
少（计算时取3.14.要求
×（200/2x)2 •23x0 = 300×300×90
结果误差不超过1毫米）？
四、解方程求出未知数的值即解这个方程得：
答：x应截2取58圆钢的长为230毫米 .
分析：本题涉及圆柱的体积v= π r2h，这里r是圆柱底面半 径，h为圆柱的高。一个金属圆柱竖直放入容器内，会出现 两种可能：
（1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱；（2） 容 器内的水升高后 淹没放入的金属圆柱 。
因此列方程求解时要分两种情况。
解 设容器内放入金属圆柱后水的高度为x厘米。 （1）如果容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱，
x厘米
× 102 • x
根据等量关系，列出方程： × 52×36= × 102 • x
解得： x =9
因此，高变成了 9 厘米
练习
2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高为1.5m,里面盛有 1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉 入水中，问容器内水面将升高多少?
2
圆的周长= 2πr(其中r是圆的半径） 圆的面积= πr２
长方体的体积 = 长×宽×高
圆柱体的体积 = 底面积×高=π r２h
（这里r为底面圆的半径，h为圆柱体的高）
想一想： 请指出下列过程中，哪些量发生 了变化，哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 解：水的底面积、高度发生变化，水的 体积和质量都保持不变 2、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把 它改变成球。