等积变形(附答案)之令狐文艳创作
四下奥数-等积变形.doc
等积变形（1）姓名:如图在三角形ABC中，D是BC的中点，三角形ABD的面积是12,那么三角形ABC 的面积是多少？A: 12 B: 20 C： 24 D: 26（★★★）如图，在梯形ABCD中△刃游的面积为15cm：,求三角形DOC的面积.A: 45 B: 60 C: 75 D: 15（★★★★）如图，破;力为平行四边形，矽平行涉如果△血的面积为6平方厘米.求三角形建的面积•A: 4 B: 6 €： 5 D: 8（★★★★）如图，在平行四边形旭CD中，直线CF交旭于交DA延长线于若Sg =1,求3EF的面积.A: 1 B: 2 C： 3 D: 4（★★★★）如图：已知三角形ABC的面积是88平方厘米，是平行四边形Z）EFC的2倍, 求阴影部分的面积。
A: 44 B: 31 C： 22 D; 30（★★★）如图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的询长是占厘米，求三角形NBC 的面积.A: 4 B: 8 C： 16 D: 20（★★★）如图，与AEFG均为正方形，三角形如丑的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为•DA: 3 B: 6 C：9 D： 123 D等积变形（2） 姓名：BD 长4厘米，DC 长16厘米，B 、C 和D 在同一条直线上.则三角形ABC 的面积是三角 形ABD 面积的（ ）倍；三角形ADC 的面积是三角形ABD 面积的（ ）倍。
A; 3 , 4 B; 4 , 3 C ： 5 , 3 D; S , 4如图，在三角形ABC 中，BC=10厘米，高是6厘米，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形DEB 的面积是（ ）平方厘米。
A: 6 B: 6, 5 ('： 7 D: 7. 5三角形.4SC 中，DC = 23D, CE = 3北，三角形如）E 的面积是20平方厘米，三角形.45（? 的面积是（ ）平方厘米。
A:90 B: 100 C; 120 D: 150A; 30B;40 C ： 50 D ： 60 如图, 的面积是（ 三角形ECD 的面积为3,其中CE=3AE, 3D = 4CD,三角形ABC)0 A: 10B; 12 C ： 15 P: 16 如图, X13C 的面积是10平方厘米，将一纺、BC 、 得到一个新的SDEF ，则少EF 的面积为（ 分别延长一倍到D 、E. F 且两两 ）平方厘米。
等积变形问题归纳总结
等积变形问题归纳总结等积变形是数学中一个经典而重要的问题，涉及到几何和代数两个方面。
这类问题一般给定一个几何形状，然后要求找到一个变形的方法，使得该形状在变形后保持等面积不变。
在这篇文章中，我将对等积变形问题进行归纳和总结，介绍常见的等积变形方法及其应用。
一、等积变形的概念和意义等积变形是指通过某种方式改变一个几何形状，使得变形后的形状与原来的形状面积相等。
这个问题在工程、建筑、地理测量等领域有着广泛的应用。
等积变形的主要目的是在不改变面积的情况下，改变某个几何形状的外观或者其他性质。
在实际应用中，等积变形可以用于设计优化、曲面造型、地图绘制等方面。
二、等积变形的常见方法1. 平移变形：平移是最简单的等积变形方法之一。
平移变形是通过将几何形状整体平行地移动，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
平移变形的关键是保持对称性，即移动后的形状与原来的形状在空间中仍具有相同的位置关系。
2. 旋转变形：旋转变形是通过将几何形状绕一个确定的旋转点旋转一定角度，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
旋转变形的关键是确定旋转中心和旋转角度，以及保持旋转后的形状与原来的形状在空间中具有相同的位置关系。
3. 缩放变形：缩放变形是通过改变几何形状的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
缩放变形可以分为等比例缩放和非等比例缩放两种方式。
等比例缩放是将形状的所有尺寸同时按照相同的比例进行缩放；非等比例缩放是将形状的各个尺寸分别按照不同的比例进行缩放。
4. 拉伸变形：拉伸变形是通过改变几何形状的某个方向的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
拉伸变形可以在一维、二维和三维空间中进行。
在一维空间中，拉伸变形是指改变线段的长度；在二维空间中，拉伸变形是指改变面的某个方向的尺寸；在三维空间中，拉伸变形是指改变体的某个方向的尺寸。
5. 弯曲变形：弯曲变形是通过施加外力将几何形状弯曲，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
初一等积变形题解题方法
初一等积变形题解题方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一等积变形是初中数学中的一个重要知识点，也是中考中常考的内容之一。
等积变形是指在等式两侧同时乘以（或除以）相同的数（非零）得到新的等式，等式依然成立。
初一等积变形题目一般比较简单，但是要掌握一些解题方法才能高效解题。
下面就给大家介绍一下初一等积变形题解题方法。
要熟练掌握等式的性质。
等式的性质有交换性、结合性、分配律等。
通过这些性质可以将等式进行变形，从而更好地解题。
要能够灵活运用等性变形规律。
在等式中，常见的等式变形规律有消去规律、配方规律等。
要能够根据题目的要求，合理运用这些规律进行等式变形。
接着，要注意等式的两侧同时进行变形。
等式的两侧必须同时进行变形，不能只对一侧进行操作，否则等式就会不成立。
在进行等积变形题目时，一定要保持等式的平衡性。
要善于利用未知数进行代入。
有些等积变形题目中会涉及到未知数，此时可以通过代入的方法，将未知数代入到等式中，从而更好地解题。
要注意化简过程中的乘法运算。
在进行等积变形题解题时，常常会涉及到乘法运算，要注意运算的准确性和顺序，避免出现计算错误。
要进行检验答案。
在解完等积变形题目之后，一定要进行答案的检验。
将得到的答案代入原等式中进行验证，确保答案正确，避免因计算错误而导致答案不准确。
初一等积变形题目在解题过程中需要注意一些方法和技巧。
只有掌握了这些方法和技巧，才能更好地解答等积变形题目，提高解题效率。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地掌握初一等积变形题解题方法，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：初一的数学学习主要围绕着数学的基础知识展开，其中等积变形是其中一个比较重要的知识点。
等积变形是数学中的一个重要概念，它是指通过对等式两边进行一些操作，使得等式的两边仍然等积的过程。
初一阶段的数学学习主要是帮助学生建立数学思维和分析问题的能力，等积变形题是一个很好的训练这些能力的题型。
今天我们就来探讨一下初一等积变形题解题方法。
等积变形(附解答)
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC)，△ABC的高是△DBC 高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12(平方厘米)．例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S △DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．。
五年级奥数——等积变形
年 级授课日期 授课主题 第5讲——等积变形教学内容i.检测定位两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心，都要运用到“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则，并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧.【例1】如图5-1，ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形.已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积.分析与解 因为三角形ADC 和三角形ADB 同底等高，所以ADB ADC S S ∆∆=，又三角形AOD 是公共部分，可知).(3平方厘米==∆∆COD AOB S S在三角形BOC 与三角形DOC 中，BO 、OD 边上的高相等，6是3的2倍，可知OD BO 2=，得AOD AOB S S ∆∆=2，这样).(5.123平方厘米=÷=∆AOD S 因此，).(5.13)36(3336平方厘米梯形=÷÷+++=ABCD S随堂练习1如图5-2，三角形ABO 的面积为9平方厘米，线段BO 的长度是线段OD 的3倍，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例2】如图5-3，把三角形ABC 的一条边AB 延长1倍到D ，把它的另一边AC 延长2倍到E ，得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的多少倍？分析与解 如图5-4，连结BE ，因为AC CE 2=，所以ABC BCE S S ∆∆=2，即ABC ABE S S ∆∆=3.又因为BD AB =，则BDE ABE S S ∆∆=，ABC ADE S S ∆∆=6.随堂练习2如图5-5，DBE BC BD AB AE ∆==,2,3面积是ABC ∆面积的________倍.【例3】如图5-6，已知三角形ABC 的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC 的2倍，阴影部分的面积是多少平方厘米？分析与解 如图5-7，连结EC .EC 为平行四边形DEFC 的对角线.平行四边形DEFC 的面积是（平方厘米）28256=÷，由平行四边形的性质有.2S DEC ÷=∆DEFC S 平行四边形在ED CED AED 中，与∆∆为公共底，,AC DE 平行于则 ED 边上的高相等，因此.DEC AED S S ∆∆=).(1422562平方厘米=÷÷=÷==∆∆DEFC DEC AED S S S随堂练习3如图5-8，ABC ∆的面积等于24平方厘米，M 为AB 中点，E 为AM 上任意一点，MD 与EC 平行.求EBD ∆的面积.【例4】如图5-9所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是__________平方厘米.分析与解 三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为矩形ABCD 面积的一半，先求出三角形AOM 和三角形NOB 的面积之和，由三角形ABP 的面积减去三角形AOB 的面积，再减去三角形AOM 和三角形NOB 的面积和，就可求出四边形PMON 的面积了.).(2.48.7224平方厘米=-÷=+∆∆NOB AOM S S).(8.14242.4224平方厘米四边形=÷--÷=PMON S说明 本题说求的阴影部分面积看似无从下手，实质上只要我们理清楚解题的思路分步考虑，脚踏实地地去做，求出本题的答案是不难的.随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD 中DF BF 2=，.的中点是BC E 平方厘米，8=∆BEF S 求平行四边形ABCD 的面积.【例5】如图5-11，梯形ABCD 的面积是45平方厘米，高是6厘米，BC AD //.三角形AED 的面积是5平方厘米，厘米10=BC ，求三角形BCE 的面积.分析与解 由已知量，可先求出上底AD ，进而求出三角形ABD （或ACD ）面积及三角形ABE 面积，利用等积变换可知三角形ABE 与三角形CDE 等积.最后得到三角形BCE 的面积.由梯形的面积公式得 6102145⨯+⨯=）（AD ， 解得厘米5=AD ，进而 )(155621平方厘米=⨯⨯=∆ABD S . 由等积变形知 ACD ABD S S ∆∆=，从而 )(10515平方厘米=-==∆∆CDE ABE S S .所以 )(20210545平方厘米=⨯--=∆BCE S .【例6】如图5-12，已知长方形宽是长的32，平方厘米14=∆ABC S ，AD AC 31=，EF DE =.求阴影部分的面积.分析与解 连结BD ，因为AD AC 31=，所以，)(421433平方厘米=⨯=⨯=∆∆ABC ABD S S ， 从而)(84422平方厘米长方形=⨯=ABFD S .又因为EF DE =，所以 )(21844141平方厘米长方形=⨯==∆ABFD BFE S S ， 从而 )(49211484平方厘米长方形阴影面积=--=--=∆∆BFE ABC ABFD S S S S .随堂练习5如图5-13，梯形ABCD 中，BC AD //，对角线交于O ，三角形AOD 面积为20，三角形ABO 面积为30.求梯形ABCD 的面积.（单位：平方厘米）读一读不要轻易放弃题目 平面上有7个点，任意三点不在同一直线上.以上这7个点作为定点作三角形，使任意两个三角形至多只有一个公共顶点.问最多可以作出多少个满足上述条件的三角形？我在纸上画了很多草图，费尽心思，想得到合乎要求的7个三角形，但没有结果.只好向单墫请教，他很快就给出了解答，非常精彩.在他的解答中有一句话使我心头一震：“在构造这7个三角形时，每一个点恰好用了3次”.事后，我又回顾了自己的思路，有两张草图印象很深.第一张是开始时的草图（图1），这是第一个念头，只能作出3个符合要求的三角形.于是想在此图基础上连线增加符合要求的三角形，虽然有所改进，但毫无章法，很快就放弃了.为了改进作图，我先将7个点放在圆上，可保证无3个点共线，两两连线，得到以给定7个点为顶点的所有三角形（图2），我知道要求的7个三角形必在其中.但要把他们找出来，并加以说明又很困难.然而当单老师的信息“每个点恰用3次”出现时，我的第1个年头立刻浮现在眼前，图中的“1”不正好直观地被用了3次吗？如果对1进行轮换，用2、3、4、5、6、7替换1，就可产生2173=⨯个符合要求的三角形，而因为每个点恰好用了3次，因此，合乎题目要求的三角形正好是7个，这7个三角形的3个顶点分别为（1,2,3），（3,4,5），（5,6,1），（1,7,4），（3,7,6），（5,7,2），（2,4,6）.上面的想法几乎在一瞬间完成，再去复查2,7个三角形很容易找出来了.单老师在谈解题思路是常说，做不出来不要紧，很多想法虽然没有解决全部问题，但其中或解决了部分问题，或隐含着解决问题的合理成分.关键是要会总结，碰了钉子不要紧，不一定全部放弃你原来的想法.ii.针对培养1.如图，ABC ∆中，D 、E 分别为各边重点.若阴影部分面积为1，则ABC ∆的面积为_________.2.如图，同种阴影部分的面积为__________平方厘米.3.如图，梯形的下底长为10厘米，高为6厘米，阴影部分的面积是________平方厘米.4.如图，平行四边形中，A 、M 、N 分别为对应线段的中点，且阴影部分面积为15平方厘米，则大平行四边形的面积是__________平方厘米.5.如图，将ABC ∆的AB 边延长1倍，将BC 边延长2倍，得ADE ∆，则ADE ∆的面积是ABC ∆面积的________倍.6.如图，,4,3CD AC BE BC ==则ABC ∆的面积是DEA ∆面积的________倍.7.如图，求平行四边形中阴影部分面积.（单位：厘米）8.如图，ABC ∆中，.32==BD AD ，四边形DBEF 的面积等于ABE ∆的面积.若ABC ∆的面积等于10，则四边形DBEF 的面积是多少？9.如图，梯形ABCD 中，BC AD //，ABE ∆的面积为30平方厘米，.2AE EC =求梯形ABCD 的面积.10.如图，ABC ∆的面积是72平方厘米，D 是BC 的中点，.2,3EF FD AE BE ==求三角形AFD 面积.11.如图，ABC ∆的面积为14平方厘米，.,3ED AE DB DC ==求阴影部分面积.12.如图，长方形ABCD 中，,2,,GF EG FC DF ED AE ===且长方形的长和宽分别是10厘米、6厘米.则BFG ∆的面积是多少？。
几何五大模型一之令狐文艳创作
几何五大模型令狐文艳一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。
一半模型平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。
一、 模型归纳总结1、等面积变换模型(1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；::ABD ACD S S BD CD =△△如图B图A 图B(3)一半面积关系【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一内接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几?【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？【例4】、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____ 二、 不规则图形求面积的常用方法【例5】、右图中两个半径为1的14圆扇形'A O B ''与AOB 叠放在一起，POQO '是正方形，则整个阴影图形的面积是。
高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形
第二^一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密. 回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外， 下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、 高都相同，所以面积也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形）乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B. C\ ⑪个三角形，革均匀生 怅，1草场的苹可使⑷头牛吃I 氏，R 草场的草可供祀％牛吃 一天「【草场前龜可供⑷（）其牛唏一天,I ）堂埸堰？底AB底我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” •“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形.如图，已知平行四边形 ABCD 的面积是100平方 厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 系呢？练习1如图，E 是平行四边形 ABCD 中的任意一点，已 知厶AED 与厶EBC 的面积和是40平方厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB 、三角形PAB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是 AB ;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的•进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的.ABCA DBC如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米, 高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？练习2如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米, BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？练习3如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中, 而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进A F HBE CA D例题4如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点, 已知DE和AB平行，那么与△ ADC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦!8厘米.求阴影部分的面积.A DO如右图，梯形ABCD中，对角线相交于0点，由于AD与BC平行，那么就有△ ABC与厶DBC同底等高、面积相等，△ ABD与厶ACD同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ ABO与厶CDO面积相等.我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ ABO与△ CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB=8, AD=15，四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理 (Butterfly theorem )，是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，贝U M是XY的中点.从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得.实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可.这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”.混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论•混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别.混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国.作业1. 如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△ BCE的面积是多少平方厘米？2.如图，长方形ABCD的面积为6,平行四边形BECF 的面积为多少？4. 如图，长方形的长为16,宽为5.阴影三角形的面积和为多少?5. 如图，直角梯形 ABCD 中，CD 30，BD 40，BD 和CD 垂直•那么三角形 ABC 的面积是多少？3. 如图所示，一个长方形被分成 4个不同的三角形，红色三角形的面积是 9平方厘米，黄色三角形的面积是 21平方厘米，绿色三角形的面积是 面积是多少平方厘米？10平方厘米，那么蓝色三角形的C1. 例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米.2. 例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米•狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米.3. 例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米.4. 例题4答案：△KBD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和△KBE .5. 例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解:(1)如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底(共同的底为大正方形对角线)等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米.(2)如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底(共同的底为小正方形对角线)等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米.第二十一讲等积变形1. 例题1答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米.2. 例题2答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将 F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米.3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米.4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE •根据AD平行于BC，可以知道△KDC 的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．第二十一讲等积变形1. 例题1 答案：50 平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50 平方厘米．2. 例题2 答案：90 平方厘米详解：平行四边形面积是180 平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90 平方厘米．3. 例题3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD 面积的一半，即6 平方厘米．4. 例题4答案：△KBD 和A ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD 平行于BC，AB 平行于DE ．根据AD 平行于BC ，可以知道△\DC的面积等于△ ABD ;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ ABE .所以与△ ADC 面积相等的三角形有△ ABD和A ABE .5. 例题5答案：50 平方厘米；32 平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50 平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32 平方厘米．。
六年级奥数优胜教育第3讲：等积变形含答案
第三讲等积变形例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．例2：长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GB F C例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为．A DE OGB F C例4：已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)例5：如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．A AC D E F G C D E FGB B例6：如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，△S ADE=16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C例7：如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，△S ADE=12平方厘米，求△ABC的面积．DAEB CDAEB C例8：如图，平行四边形ABCD，BE=AB，C F=2CB，G D=3DC，HA=4A D，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．H HA B E A B EG D C G D CF例9：如图所示的四边形的面积等于多少？FC O131213D1312131212AB例10：如图所示，∆ABC中，∠ABC=90︒，AB=3，BC=5，以AC为一边向∆ABC外作正方形ACDE，中心为O，求∆OBC的面积．EEO DODA3B5CA3B5C F A1.如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_E_E_A_B_A_B_F_F_D_G_C_D_G_C2.在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．A D A(P)D A DP PB C B C B CC C甲乙3.如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为．A E DA E DMNO OB B4.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A AD E DEB C B C5.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4，B E=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AE B甲乙D C BED CB6.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB=90︒，AC、B D 交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．C B C BO E OEFD A D A7.如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF 平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知F D=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？B G BAC ACF D F DE E角形 BCD 的面积的 ，且 AO = 2 ，DO = 3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍．EBE8.如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD : DC = 1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．AEBDFC9.如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC = 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?AD ADBGFECBxF x y Gy EC10.四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)．如果三角形 ABD 的面积等于三13ADOBCC11.如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面 积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积．ADOF GBEC12.如图，长方形 ABCD 中， BE : EC = 2:3 ， DF : FC = 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方 厘米，求长方形 ABCD 的面积．AGDFAGDFBCC13.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．B CGA M D14.在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．A DFB E C15.已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．A DA DO OB C E B C E1.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．A D A D992121O44B E B E CCDA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，2.右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)， 阴影部分的面积是 平方厘米．AD AD881616O 2 2BEC BEC3.如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘 米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．A EFB A EFB225O ?5O ?88DC D C4.如图， ∆ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正 方形 DEFG 的面积 48， AK : KB = 1:3 ，则 ∆BKD 的面积是多少？DA G DA GKKBEF C B E M F C5.下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB ，BC ，CD ，mn(m + n ) 的值等于．AH D A H DEG E GBFC BFC1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．3.如右图，在梯形 ABCD 中，AC 与 BD 是对角线，其交点 △O ，求证：AOB 与△COD 面积相等．4.如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形．5.如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC的面积．6.如下页图，在△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC=面积的几分之几？1 3BC ，求阴影部分面积占三角形 A BC7.如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 △A C ，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米．求三角形 CDF的面积．8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若△S ADE=1，求△BEF的面积．△S ACD = △S BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．E第三讲 等积变形1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 S : S = a : b12③夹在一组平行线之间的等积变形，如图 △S ACD = △S BCD ；反之，如果④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比． 2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中，D , E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， 在 AC 上)，则S△ABC :S△ADE=(AB⨯AC):(AD⨯AE)3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①S:S=S:S或者S⨯S=S⨯S②AO:OC=(S+S):(S+S)124313241243蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．DAS2S1OS4S3B C梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①S:S=a2:b213②S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；1324③S的对应份数为(a+b)2．4.相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型A E F DAD F EB GC B G C①AD AE DE AF===AB AC BC AG；②：=AF2:AG2．△S ADE△S ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线AO和BC相交于D（有四种情形），则有S∆ABO :S∆ACO=BD:DC在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:S=BD:DC．∆ABO∆ACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO和∆ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.AFEBOD C1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
奥数几何专题：等积变形(基础篇)
等积变形(上)
例1
(★★)
⑴图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
⑵图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
⑶图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
例2
(★★★)
如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
例3
(★★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
例4
(★★★)
下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
例5
(★★★★)
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积。
例6
(★★★)
在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。
例7
(★★★★)
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
⑴夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，反之，如果S△ACD＝S△BCD，且A、B在CD同侧，则可知直线AB平行于CD。
⑵平行线藏在哪里？
——并列正方形的同方向对角线
【先睹为快】
(★★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。
五年级下册数学奥数试题-等积变形(人教版)
第3讲等积变形一、知识点等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.二、例题精讲例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是________平方厘米.三、水平测试1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。
2021新五年级奥数第八讲等积变形专业资料
把⊿ADE绕着E点顺时针旋转，如图2；
用连线的方法找出相关的三角形和四边形面积关系。
因为EF//AB//HG，根据【等底等高的三角形面积是四边形面积的一半】，可得出：
把⊿ADE绕着E点顺时针旋转，如图2；
因此，⊿ABC+ ⊿ADB的面积等于平行四边仔形E细FG发H面现积的，一A半E；,DE的长度是EC,EB长度的一半，我们可以：
上节课我们还学了： 2.两个三角形等高/等底，
则一个三角形的底/高是另一个的几倍，它的面积也 是另一个三角形的几倍。（面积的比例问题）
❖ 以上介绍了图形的几种性质，那我们来 看看实际案例中是怎么运用到等积变形 和面积计算当中的吧。
用连线的方法找出相 关的三角形和四边形 面积关系。
连接ADBC
因为EF//AB//HG，根据【等底等高的三角形面积 是四边形面积的一半】，可得出：
⊿ABC是平行四边形ABFE面积的一半，⊿ADB是 平行四边形ABGH面积的一半，
因此，⊿ABC+ ⊿ADB的面积等于平行四边形 EFGH面积的一半；
同理，⊿ABC+ ⊿ADB的面积也是平行四边形 WXYZ面积的一半；
所以平行四边形EFGH=WXYZ=7.17平方厘米。
例2.用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边为49 的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直 角三角形。求红蓝两张纸片的面积一共多少？
把红色纸片绕着O点逆时针旋转至和蓝色纸 片合成一个大的直角三角形， 大直角三角形两条边为29和49，因此红蓝纸 片面积之和=29×49÷2=710.5 O
用平移、旋转、割补的方 法找出组合图形当中的面 积关系。
测试题：高中数学必修4三角恒等变换测试题之令狐文艳创作
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）令狐文艳1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα（） A. 1325 B. 1327 C. 26217 D. 26272.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（）A.552 B.2552 C.2552552或 D.552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ A. 23- B. 21- C. 21D. 234.=-+0000tan50tan703tan50tan70A. 3B.33 C.33-D. 3-5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（）A. αtan B. αtan2 C.1 D.216.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（）A.x sin 2 B. x sin 2- C.x cos 2 D.x cos 2-7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（）A ．1010 B ．1010-C ．10103D ．10103-8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（）A. 6π-B. 6πC. 65πD.65π-9.已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=A ．89- B ．21-C ．21D ．8910.已知cos 2θ=，则44cossin θθ-的值为A ．B ．3C ．49D ．111. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A.521 B. 421C. 1D. 012. 函数sin 22x x y =的图像的一条对称轴方程是（）A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=-D ．3x π=-二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =．15.若542cos ,532sin-==αα，则角α的终边在象限．16.代数式sin15cos75cos15sin105oo o o +=．三．解答题（共6个小题，共74分） 17．（12分）△ABC中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．20.（12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2． 21．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =++，x R ∈.（1）求证)(x f 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．22.(14分) 已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-(cos ,sin ),n A A =且m.n=1(1)求角A;(2)若221sin 23,cos sin BB B +=--求tanC .《数学必修4》三角恒等变换测试题答案 一、选择题（12×5分=60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、43π 14、23-15、第四 16、 3三、解答题（共6个小题，满分74分）21.解：（1）2cos cos 1y x x x =++ （2）因为函数sin y x=的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈三角恒等变换测试题一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列表达式中,正确的是( )AA.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=-设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。
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三角形的等积变形
令狐文艳
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)．同样若三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底
都是BC)，它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们的高相等)，那么这两个
三角形的面积相等．
例如图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都
是BC)，△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE)，则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重
要依据．
例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、
连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以
自己寻找解决．
例3、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4、如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，
CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米)．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12(平方厘米)．
例6、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．
例8、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分
S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1 所以S △CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．
例9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．。