关于等周型不等式的探索
第八章几何中的不等式

当n是偶数时,过A1作直径A1Ai, A An 2 Bn 并连B1Bi, B2 同理可知: S B1B2…Bi<S A1A2…Ai, B i+1 A i+1 或 SBiBi+1…B1<S AiAi+1…A1, 所以,S B1B2…Bn<S A1A2…An. Ai Bi (2)设n边形B1B2…Bn的面积为S,周长为2p;正n边形A1A2…An 的面积为 S周长为2p1;往证2p> 2p1. 作正n边形C1C2…Cn,使其周长为2p, 由于n边形B1B2…Bn与正n边形C1C2…Cn有相同的周长2p,根据(1)的结果 知S C1C2…Cn>S B1B2…Bn =S=SA1A2…An. 由于n边形A1A2…An 、 n边形C1C2…Cn都是正n边形,故必有2p>2p1.
2 2
等号成立当且仅当 b p c,即b c. p
所以,等腰三角形有最大面积.
4S 2 a 4S 2 a 2 (2)由(1)可知:p 2 ap 2 ,即:p 2 a 2 a 4
2
4S 2 a 2 a 即:p , 等号成立当且仅当 c, b 2 a 4 2
C
定理8.1.10 若△ABC的三个内角都小于120°,则PA+PB+PC的最小值是
2 a 2 b 2 c 2 4 3s 2
或 : 2 R 1 2(cos 60 cos A cos B cos C sin 60 sin A sin B sin C ) .
A
P1 B E D
证明:()由海伦公式: p( p a)( p b)( p c) , 或 : S 2 p( p a)( p b)( p c). 1 S
高维等周不等式介绍

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等周问题知识点总结

等周问题知识点总结等周问题是解题方法之一,适用于用在初中和高中的几何中。
其实是由中国古代数学家, 刘徽提出的。
等周问题种类繁多,有两个角相等、两个边相等,既有直角三角形等周问题也有普通三角形等周问题。
然而,总的来说,等周问题的解法都是一致的。
通过总结,本文将对等周问题的解题方法作一个总结和归纳。
1. 等周问题的基本定义等周问题是指在一个图形中,有两个角相等、两个边相等,或者是在两个图形之间有着相同的轮廓。
也可以理解为周长相等的问题。
等周问题则不是直接给出图形或者图形的各种参数,而是通过一系列等式关系来解决图形的各种问题。
2. 等周问题的常见类型(1)等腰三角形:等腰三角形是指具有两边相等的三角形。
等腰三角形的求解重点在于找出等腰三角形的两个相等边的关系,从而求出所需的未知量。
(2)矩形:矩形是指有四边都是直角的四边形。
矩形的等周问题主要是求解其周长和面积,通过等周问题的解法可以快速求出所需的未知量。
(3)圆:圆是指平面内到一个定点距离相等的点的轨迹,圆的等周问题主要是求解其周长和面积,常见的问题有求圆的直径、圆的半径等。
(4)三角形:三角形是指平面上由三条线段组成的一个闭合图形。
三角形的等周问题主要是求解其周长和面积,通过等周问题的解法可以快速求出所需的未知量。
(5)其他类型:除了上述常见的图形外,等周问题还可以应用于其他各种图形,包括多边形、梯形、平行四边形等。
3. 等周问题的解题方法(1)几何推理:等周问题的解题方法主要是通过几何推理来推导出等式关系,从而求解出所需的未知量。
几何推理是指通过图形的各种性质和关系,来推导出各种等式、不等式或者比例关系,从而达到解题的目的。
(2)利用已知条件:在解等周问题时,通常需要利用已知条件来推导出需要的未知量。
这些已知条件可能是一些基本的图形性质,也可能是一些已知的关系或者比例,通过合理利用这些已知条件,可以解出等周问题中的各种未知量。
(3)应用数学知识:在解等周问题时,还需要应用一定的数学知识,包括代数知识、几何知识、三角函数知识等。
Wulff流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式

盥丝硕士学位论文答辩委员会成员名单;,、y一姓名职称单位备注眈兕踢钍摇辂峥影薅勰主席郄·章致摇裕.【l带钛弓豁i予,考崇孝吾)钍撩年鲡{稚大罾孰i系学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知,除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均-已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名:胜口期:型!留学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使门j学位论文的规定,学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。
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有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。
保密的学位论文在解密后适用本规定。
学位论文作者躲席卷远导师躲(%墟j日期:巫醇!五:Z。
口期:碰:笸:乏。
ABSTRACTTheWulffFlowandSomeNewIsoperimetricInequalitiesaboutConvexCurvesinthePlanebyTangXueyuanInthisthesiswewillconcernedwiththeWulffflowsofCurvesintheplaneMostoftheresultsareextensionsofpreviousresultsofM.GreenandS.Osher.Butweuseanewmethodstodescribetheflow.Bythisway,wecanobtainthedetailsoftheevolutionoftheflow,thus,weeai5provethetheorem1.1.Infact,theinequalityhasbeenexpressedinthepaperofMarkGreenandStanleyOsher,buttheydon’tgivethedetails.Inonechapter,wedescribesonleFlewisoperiuletrieinequalitiesforcloesdconvexcurvesintheplane.Keywords:WulffFlow,isoperimetricinequalities,evolutionequation.2摘要WULFF流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式唐学远在这篇文章中,我们着手处理平面上wul行曲线流。
R^(3)中四面体的Bonnesen型等周不等式

2021,41A (2):296-302数学物理学报http: // a ct a R ?中四面体的Bonnesen 型等周不等式1曾春娜 1彭璐 2马磊彳王星星*(1重庆师范大学数学科学学院 重庆401331; 2广东茂名幼儿师范专科学校 广东茂名525000;3上海立信会计金融学院统计与数学学院 上海201620)摘要:该文主要研究R 3中四面体的Bonnesen 型与逆Bonnesen 型等周不等式.对于R 3中 给定的四面体,利用其表面积、体积、内切球半径及外接球半径之间的关系,构造出两个重要 的几何不等式,得到了四面体的一些Bonnesen 型等周不等式与等周不等式的新的简单证明. 更进一步地,通过讨论四面体等周亏格的上界估计,获得了两个用内切球半径与外接球半径表 示的逆Bonnesen 型等周不等式.关键词:四面体;Bonnesen 型不等式;逆Bonnesen 型等周不等式.MR(2010)主题分类:52A22; 53C65 中图分类号:0186.5 文献标识码:A 文章编号:1003-3998(2021)02-296-071引言积分几何又称几何概率,起源于1977年的Buffon 投针问题.其中的度量就是积分, 1869年Crofton 找到这些积分之间的巧妙关系;1896年,Poincare 高瞻远瞩,引入运动密度 的观念,把积分几何建立在李群的基础上;1935-1939年间,Blaschke 及其学派以Integral Geometry 为总标题的一系列文章的主要根源在于几何概率,目的是考虑能否将概率的思想 有效地应用在几何方面,特别是凸体理论和大范围微分几何上,这标志着积分几何作为一门 独立的数学分支产生;1940年前后,陈省身先生和Weil 将局部紧群上不变测度引入积分几 何,从而形成齐性空间积分几何,使积分几何的内容和结果更加丰富完美.到目前为止积分 几何已发展为现代数学的一个重要而活跃的学科.积分几何研究的基本对象是几何元素的集合,如点偶、直线、带域、线性子空间等.一 方面,我们关注这些几何元素集在某种变换群上不变的几何测度;另一方面我们关注这些几 何元素的的几何不变量,如体积、曲率、表面积等之间的关系.通常这些几何不变量会满足收稿日期:2020-01-07;修订日期:2020-08-05E-mail: ***************; **************; ****************; ********************基金项目:国家自然科学基金(11801048)、重庆市自然科学基金(cstc2020jcyj-msxmX0609)、重庆市教育委员会科学技术研究项目(KJQN201900530)、重庆市留学人员创新创业支持计划(cx2018034, cx2019155) 和广东省普通高校特色创新项目(2020KTSCX358)Supported by the NSFC(11801048), the NSF of Chongqing(cstc2020jcyj-msxmX0609), the Tech nology Research Foundation of Chongqing Educational Committee(KJQN201900530), the Ven ture & Innovation Support Program for Chongqing Overseas Returnees(cx2018034, cx2019155) and the Characteristic Innovation Project of Guangdong Universities(2020KTSCX358)*通讯作者No.2曾春娜等:便中四面体的Bonnesen 型等周不等式297一些等式或不等式关系,称之为几何等式或不等式.几何不等式自上世纪50年代以来已成 为几何中非常重要的分支,与其他数学分支密切相关,应用非常广泛.经典的等周不等式或许是最古老的几何不等式之一:欧氏平面R 2中周长固定的域中圆 围成的面积最大.其数学表达如下(参见文献[1-4]).命题1.1设。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用

内蒙古师范大学硕士学位论文波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用姓名:***申请学位级别:硕士专业:学科教学·数学指导教师:***20051010中文摘要乔治·波利亚对数学教育的研究麓贡献举世瞩目,他在数学教育上的成就主要包括解题理论、数学教育理论和教师教育理论三个方面,这三个方面的理论对我国的数学谦程与数学教学改蕈、数学教师的培养与培训都有着十分重要的指鼯意义。
本文通过对波翻耍畜关著箨麓磷究,把其中鲶波裂亚关予数学壤嚣思维理论,比较全面系统地整理出来,从宏观和微观两个方丽加以论述,使其形成一个较为完善的体系。
渡利亚的解题理论强调盼是数学憨维的教学,钝把解霪作为一种手段,通过怎样解题的教学,启迪学生的数学思维,达到培养学生分析和解决惩题麓力魏霆鳇。
解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分,波利亚的解题理论给出_『没有冠以心理学名词的勰题元认知理论体系。
数学解题元认鲡能力盼携高,有赖予解遂学习者善于运霜波翻亚的“穗示语”,以及蒋于提炼具有个人风格的“提示语”。
近年寒,在素质教育滋下,人钔深入{爨究莠实载波穰亚的解题愚想。
教育创新的提嫩不仅符合时代和社会发展的要求,符合培养全面发展人的需要,而且像符合教育自身发展的客观规律,符合世界教育改革的大趋势,论文遥j建借鉴渡翻驻的数学解遂愚怒,阐述了教学过程孛如俺培养学生良好的思维方式和创新精神。
数学痘发法是波剩亚予1945年嚣绕“怎样勰题”提出的一静教学思想。
20世纪80年代初期美国提出“问题解决教学思想,给出了数学启发法一种新的解释理论。
另外,本文还对波剁亚著作中的合情推理进行了分析,指出合情推理在数学发现麓创造思维中的重瑟作用,结合我溺的数学谍程改革探讨了合情推理在数学教学中的独特优势。
关键词:波利戏,数学思维,闯题解决,数学教学GeorgePolya’Sresearchandcontributiononmathematicaleducationwasworld-famous.Hisachievementonmathematicaleducationmainlyincludedtheoryofproblemsolving,theoryofmathematicalteachingandtheoryofteachereducation.ThesethreekindsoftheorieshadgreatsignificanceonthereformofmoderncirrocumuliofmathematicsandteacherstOteaching,thecultivationandtrainingofmathematicalteachers幻ourcountry.ThroughthestudyofPolya’sworks,thearticleclearsuphisthinkingtheoryofsolution,anddiscussesitfrombothmicroandmacrophasestodevelopacomparativelycompletesystem.ThetheoryofsolvingproblemsPolyaemphasizesisakindofmathematicalthinking,whoregardssolvingproblemsasameansandtellspeoplehowtoenlightenthestudents’mathematicalthinkingwhichmayarriveattheaimofeducatingthestudents’abilitytoanalyzeandsolveproblems。
不等式基本性质教学设计(共5篇)

不等式根本性质教学设计〔共5篇〕第1篇:不等式性质教学设计 2022-2022学年度第二学期关集中心校七年级数学组导学案专用纸主备人:胡伟审核人:使用人:第11周讨论时间:不等式的根本性质〔1〕教学设计学习目标1、理解、掌握不等式的根本性质;2、能够运用不等式的根本性质解决有关问题.重点难点重点:不等式的三个性质.难点:不等式性质3的探索及运用.解决方法:不等式的根本性质3的导出,采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜测结论、验证等环节来突破的.并在理解的根底上加强练习,以期到达学生稳固所学知识的目的.教学方法先学后教、讨论、探究、讲练结合教具准备多媒体,或小黑板教学设计流程问题:等式有哪些性质?〔学生交流3-5分钟〕学生答复等式的性质:性质1 等式两边同时加〔或减〕同一个数〔或式子〕,结果仍相等.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.此次活动中教师应重点关注:〔1〕学生对已学过的等式性质内容的记忆,及表达语言的准确性;〔2〕学生对等式性质得出过程的回忆.探讨不等式的根本性质.〔学生读文8-10分钟后,研讨并解决下面问题〕如果a>b,那么,在数轴上表示a的点A位于表示b 的点B的右侧,画图表示.〔一〕做做1.请你在上面的数轴上画出表示a+3和b+3的点来,哪个点在右侧?并用不等号连接下面的式子: a+3______b+3.类似地,应有 a+c______b+c.2.如果在a>b的两边都减去同一个数或同一个整式,你认为应该有怎样的结论? 让学生多举出几组数据,结合数轴来比拟出两组数的大小关系.〔以小组为单位,充分讨论,通过交流得出结论〕.不等式的根本性质1:如果a>b,那么 a+c>b +c,a-c>b-c.就是说,不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.〔二〕探究1.根据8>3,用“>〞或“ 8×2_______3 × 2; 8×〔-2〕_______3×〔-2〕.8× _______3×; 8×〔-〕_______3×〔-〕.8×0.01______3×0.01; 8×〔-0.01〕_______3×〔-0.01〕.2.对于8>3,在不等式两边乘同一个正数,不等号方向改变吗?3.对于8>3,在不等式两边乘同一个负数,不等号方向改变吗?4.你有什么发现?再举几例,验证你的结论.通过多组数据,观察、思考、一起探究两组数的大小关系.学生在填空的根底上分组探索不等式的性质.教师深入小组参与活动,观察指导学生的探究方法,并倾听学生的讨论.此次活动是本节课的核心活动,对学生有一定的难度,有些学生可能会直接把等式的性质加以修改,推广得到不等式的性质,而忽略了不等式的两边乘或除以同一个正数或同一个负数时的不同结论,此时教师应引导学生注意观察题目,并继续举几个例子让学生观察比照,体会不等式性质与等式性质的异同,用自己的语言描述发现的规律.不等式的根本性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.不等式的根本性质3:如果a>b,并且c 〔三〕例题例根据不等式的根本性质,把以下不等式化成x>a或x2;〔2〕2x20.学生独立完成,举手答复以下问题.教师填写答案,并对学生出现的问题给予指导,进一步稳固不等式的性质.此次活动中教师应重点关注:〔1〕学生能否说出填空根据的是不等式的哪一条性质;〔2〕学生对不等式性质3的掌握情况.解:〔1〕 x-l>2,x-l+l>2+1〔不等式的根本性质1〕, x>3.〔2〕2x 2x-x 〔不等式的根本性质2〕, x20 〔不等式的根本性质3〕, xa或x 〔四〕教后检测1.如果a〞或“a或x8x+1;〔3〕 x>-4;〔4〕-10x 〔五〕当堂训练1.在以下各题横线上填入不等号,使不等式成立.并说明是根据哪一条不等式根本性质.〔1〕假设a-3<9,那么 a ______12;〔2〕假设-a<10,那么a______ -10;答:〔1〕a<12,根据不等式根本性质1.〔2〕a>-10,根据不等式根本性质3. 2.a<0,那么〔1〕a+2 ______2;〔2〕a-1 ______ -1;〔3〕3a______ 0;〔4〕a-1______0;〔5〕|a|______0.答:〔1〕a+2<2,根据不等式根本性质1.〔2〕a-1<-1,根据不等式根本性质1.〔3〕3a<0,根据不等式根本性质2.〔4〕因为a<0,两边同加上-1,由不等式根本性质1,得a-1<-1.又,-1<0,所以 a-1<0.〔5〕因为a<0,所以a≠0,所以|a|>0.〔此题除了进一步运用不等式的三条根本性质外,还涉及了一些旧的根底知识.如a<0表示a是负数;a>0表示a是正数;|a| 是非负数等.〕 3.判断以下各题的推导是否正确?为什么?〔投影〕〔请学生口答〕〔1〕因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;〔2〕因为a+8>4,所以a>-4;〔3〕因为4a>4b,所以a>b;〔4〕因为-1>-2,所以-a-1>-a-2;〔5〕因为3>2,所以3a>2a.答:〔1〕正确,根据不等式根本性质3.〔2〕正确,根据不等式根本性质1.〔3〕正确,根据不等式根本性质2.〔4〕正确,根据不等式根本性质1.〔5〕不对,应分情况逐一讨论.当a>0时,3a>2a.〔不等式根本性质2〕当 a=0时,3a=2a.当a<0时,3a<2a.〔不等式根本性质3〕〔学生在答复此题的过程中,当遇到困难或问题时,教师应做适当引导、启发、帮助〕4.按照以下条件,写出仍能成立的不等式:〔1〕由-2<-1,两边都加-a;〔2〕由7>5,两边都乘以不为零的-a.5.用不等号填空:〔1〕当a-b<0时,a______ b;〔2〕当a<0,b<0时,ab ______0;〔3〕当a<0,b>0时,ab ______0;〔4〕当a>0,b<0时,ab ______ 0;〔5〕假设a ______ 0,b<0,那么ab>0;〔六〕教后反思第2篇:根本不等式教学设计根本不等式一、教学设计理念:注重学生自主、合作、探究学习,用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路: 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面:第一层面:知识与技能层面,①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念;②要创设几何和代数两个方面的背景,从数形结合的高度让学生了解根本不等式;③引导学生从不同角度去证明根本不等式;④用根本不等式来证明一些简单不等式.第二层面:过程与方法,通过掌握公式的结构特点,适当运用公式的变形,能够提高学生分析问题和解决问题的能力,加强学生的实践能力,渗透数学的思想方法.第三层面:情感、态度与价值观,①通过具体问题的解决,让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系,鼓励学生用数学观点进行归纳,抽象,使学生感受到数学美,走进数学,培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式;②通过问题的解决,激发学生探究精神和科学态度,同时去感受数学的运用性,体会数学的微妙,数学的简洁美,激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节:第一个环节:创设情境,引入新课.我设计了两个情境:一个是天平测量的问题,另一个是让学生动手操作折纸试验,从不同的角度体验和理解根本不等式,让学生能够体会数学与生活紧密联系,激发学生学习兴趣,为后面学习作铺垫.第二个环节:探究交流,发现规律.我在问题的情境中,让学生带着不同的数据去比拟几何平均数和算术平均数的大小,并通过小组折纸试验,通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节:启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对根本不等式进行严格的证明,包括了比拟法,综合法和分析法,而学生对作差比拟法是比拟熟悉的,综合法和分析法的过程要加强引导,并组织学生去探究这两种方法之间的关系,并标准证明过程,为今后学习证明方法打下根底.第四个环节:训练小结,稳固深化.学习根本不等式最终的目的表达在它的运用上,首先在例题选择上,注重让学生充分认识和间的关系,给出一般的结论,在练习中我选择了题组形式,目的是与让学生强化对根本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节:研究拓展,提高能力.我设计了一道关于例题的变式题,目的是让学生感受到,通过适当的变形将其化为例题中出现的形式,表达化归的思想,最后设计三道思考题,两道进一步稳固化归思想及应用根本不等式的条件,一道需要分类讨论,让学有余力的学生提供更好展示自己能力的时机,得到进一步提高.最后我通过问题式的小结,让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识,特别是最后一问中,让学生去总结在使用根本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等〞这样的结论,但已潜移默化为我们下一节课使用根本不等式求最值问题作了铺垫,起到承前启后的作用.三、本节课重点重点:应用数形结合的思想和日常生活中例子理解根本不等式,并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点:灵活使用化归思想把问题转化为运用根本不等式,以及根本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索根本不等式的证明过程,包括它的成立条件,在这一节课中我的总体想法是通过互动,发现规律,直接猜测,指定验证,得出结论,最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点:1.积极引导学生自主探究问题,解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变:①变教学生学会知识为指导学生会学知识;②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟;③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究:上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客,你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗??〔教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标,并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力,激发学生的学习热情,并增强学生的爱国主义热情〕?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?如何找??【三维目标】:一、知识与技能1.能够运用根本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用根本不等式求函数的最值问题;3.审清题意,综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题.4.能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.二、过程与方法本节课是根本不等式应用举例的延伸。
数学与应用数学专业毕业论文参考题目

数学与应用数学专业毕业论文参考题目论文指导:选题,排版、大纲、查重A、1、极限思想的产生和发展;2、利用泰勒展式求函数极限;3、数列极限和函数极限;4、求函数极限的方法;5、等价无穷小求函数极限;6、求二重极限的方法;7、三角函数的极值求法;8、有界非连续函数可积的条件;9、正项级数收敛的判别方法;10、Riemann可积条件探究;11、凸函数的几个等价定义;12、函数的本质探讨;13、数学概念的探究教学法;14、学习《数学分析》的读书报告。
15、用复数证明几何问题;16、用复数证明代数问题;17、解析函数展开成幂级数的方法分析;18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析;19、利用残数定理计算一类实积分;20、利用对数残数计算复积分;21、利用辐角原理确定一类方程根的范围;22、学习《复变函数论》的读书报告。
23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响(利用假设检验分析试验班的成绩显著水平);24、概率统计在教学管理中的应用;25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平;26、有理数域上多项式不可约的判定;27、利用行列式分解因式。
28、n阶矩阵可对角化的条件;29、有理数域上多项式的因式分解;30、矩阵在解线性方程组中的应用;31、行列式的计算;32、求极值的若干方法;33、数形结合法在初等数学中的应用;34、反例在中学数学教学中的作用;35、生成函数证明递归问题;36、一类组合恒等式的证明;37、一个组合恒等式的推广;38、常生成函数的几个应用;39、指数生成函数的几个应用;40、学习《组合数学》的读书报告;41、学习《离散数学》的读书报告;42、论数学史的教育价值43、学习《常微分方程》的读书报告;44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析;45、数学优秀生(或后进生)家庭内外状况的分析;46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析;47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力;48、中学生的数学创新思维的培养;49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。
关于等周型不等式的探索

陈欣,高翔
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定理 2.1.1 若 γ 是二维欧氏平面上一简单严格闭凸曲线, γ 的周长为 L,曲线所围区域的面积为 A,
DOI: 10.12677/pm.2019.93043
324
理论数学
陈欣,高翔
则有 等号成立当且仅当曲线 γ 为圆。
L2 − 4πA ≥ 0
2.2. 高维欧式空间情形
在平面等周不等式发展的过程中,人们将其推广到 n 维欧式空间中。空间等周不等式可表述为:在 一切具有相同体积的立体形状中,球体具有最小的面积或者欧式空间 Rn 中表面积固定的域中,球所包围
对于 K 为二维欧式平面上的严格闭凸曲线所围成的区域的情形,Bottema 于 1933 年得到如下著名的结果 [23]:
∆2 ( K ) =L2 − 4πA ≤ π2 ( ρM − ρm )2
其中 ρM 和 ρm 分别为曲率半径 ρ 的最大值和最小值,等号成立当且仅当 ρM = ρm ,即 K 为圆域。 1955 年,Pleijel 加强了 Bottema 的结果[24]:
的体积最大。严格的表述为:
定理 2.2.1 设 K 为欧式空间 Rn 中表面积为 A,体积为 V 的域,则有不等式
一些特殊曲面上的等周不等式的开题报告

一些特殊曲面上的等周不等式的开题报告
在差分几何中,等周不等式是指对于一条曲线或曲面的周长或边长的不等式,通常表达为等式成立时特殊情况下的形式。
当考虑到特殊曲面时,等周不等式可以是研究它们的一种重要工具。
以下是一些特殊曲面的等周不等式的开题报告:
1. 球体上的等周不等式:球体上的等周不等式,或称为球体上的伯努利不等式,在差分几何中有广泛应用。
该不等式的形式为:在同一球面上,任意两条经过其中一点,经过另一点的曲线,其中一条曲线的长度增加,则其曲率减小。
这个不等式在优化问题、微分几何和测地线理论中被频繁使用。
2. 椭球面上的等周不等式:椭球面上的等周不等式是指沿着椭球面中的任意两条曲线的长度,两个曲线之间的关系与它们所在的曲面的形状有关。
这个不等式在航空航天学、地理学等领域有着广泛应用。
3. 需要特别指出的是,对于一些曲面,例如双曲面和超球面,它们的长度和曲率可以以不同的方式相互影响。
因此,它们的等周不等式需要更加深入的研究。
通过研究曲面的等周不等式,我们可以更好地理解其几何特性,并为研究各种应用问题提供更准确的数学模型。
例说一些等周问题的不等式解法

.
为定值 , 则 : a- c 为 定 值 —_ + 亦 -  ̄b
.
△ = ss 口 ( 一 6 ( — c , (一 )s )s )
所以 △ 一 s . , = 号 { i 了= 了 =_
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所△ () 一 ( 以≤害号 一 譬
解 设 口一 B C= ,Ⅱ =AC:√ , = A 贝b C B: 2 ,
则A B 的 周 s + AC 半 长 :1 掣
记 △AB 的 面 积 为 △, C 则
△。= s s 口) s 6 ( — f (一 (一 )s )
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解 设 三 角形 的 三 条 边 长 分 别 为 a bc且 a b , ,, + +
所 以 △≤ 2 , 即所 求 面 积 之 最 大 值 为 2 从 以上 解 法 中 , 们 看 到 , 三 角 形 三 边 之 长 分 别 为 我 当
一
作 为函数 , 具有 灵活性 , 而巧妙地解决有关 问题. 更 从 含 参 数 的数 学 问题 是 一 类 相 对 复 杂 的 问 题 , 解 题 其 方 法 多 种 多 样 , 具 体 解 题 时 要 认 真 分 析 题 意 , 活 选 择 在 灵 合 适 的方法 , 有适 合 的才是 最好 的. 时要 不断 积累 , 只 同
例 说 一 些 等周 问题 的不 等 式解 法
汤正谊 ( 苏州大 学数 学科 学学 院
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版

七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版一、教学目标:知识与技能:使学生掌握不等式的概念、性质和基本运算;学会解一元一次不等式及不等式组。
过程与方法:通过观察、实验、探究等活动,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生克服困难、自主学习的品质。
二、教学内容:第一课时:不等式的概念与性质1. 不等式的定义2. 不等式的性质第二课时:不等式的基本运算1. 不等式的加减法2. 不等式的乘除法第三课时:解一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法2. 解不等式组的策略第四课时:不等式应用举例1. 应用不等式解决实际问题2. 不等式组在实际问题中的应用第五课时:复习与拓展1. 复习不等式、不等式组的解法及应用2. 拓展练习三、教学重点与难点:重点:不等式的概念、性质,解一元一次不等式及不等式组的方法。
难点:不等式的性质,解一元一次不等式,不等式组在实际问题中的应用。
四、教学方法:采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等,引导学生主动探究、合作交流,培养学生的数学素养。
五、教学过程:第一课时:1. 导入新课:通过生活中的实例引入不等式概念。
2. 讲解不等式的性质。
3. 练习不等式的基本运算。
第二课时:1. 讲解不等式的加减法运算。
2. 讲解不等式的乘除法运算。
3. 练习不等式的基本运算。
第三课时:1. 讲解一元一次不等式的解法。
2. 讲解解不等式组的策略。
3. 练习解一元一次不等式及不等式组。
第四课时:1. 举例讲解应用不等式解决实际问题。
2. 举例讲解不等式组在实际问题中的应用。
3. 练习不等式及不等式组在实际问题中的应用。
第五课时:1. 复习不等式、不等式组的解法及应用。
2. 拓展练习。
六、教学评价:采用课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等方式进行教学评价。
重点关注学生对不等式及不等式组的掌握程度,以及在实际问题中的应用能力。
七、教学策略:1. 采用多媒体课件辅助教学,直观展示不等式的性质和运算过程。
等周不等式的证明

等周不等式的证明等周不等式的证明等周不等式(又称为菱形不等式)是初中数学中比较重要的一个不等式,其表述为:任意三角形的两边之和大于第三边,即a+b>c,b+c>a,a+c>b(其中a、b、c为三角形三边的长度)。
其实,这个不等式成立的前提是三条边在同一平面内,并且不成一条直线。
下面,我们将通过几个步骤,来证明等周不等式的正确性。
1. 三角形面积公式:在证明等周不等式之前,我们需要了解一个三角形的面积公式。
一个三角形的面积可以通过它的底和高计算得到,即面积=底×高÷2。
如果记这个三角形的底为b,高为h,那么面积公式可以简化为面积=bh÷2。
2. 利用面积证明等周不等式:假设我们现在有一个三角形ABC,它的三条边为a、b、c。
我们可以先假设三边满足等周不等式,即a+b>c,b+c>a,a+c>b。
接着,我们可以利用面积公式来证明这个不等式的正确性。
对于任意一个三角形ABC,我们可以找到它的底为AB,高为h的高线。
根据三角形面积公式计算,可以得到三角形ABC的面积为S=AB×h÷2。
又因为三角形ABC可以分成两个三角形,一个是以AB为底,另一个是以AC为底。
同样利用三角形面积公式,可以得到三角形ABC面积的另一个计算公式,即 S=AC×h1÷2+BC×h2÷2。
由此,我们可以得到一个关键的结论,即AB×h÷2=AC×h1÷2+BC×h2÷2。
右侧的式子实际上是对锐角三角形的一个拆分,我们可以将它理解为将三角形ABC拆分成以AC、BC为底的两个三角形,并分别计算它们的面积。
因为AB是三角形ABC的底,所以h与h1、h2的关系是h=h1+h2。
而我们在构造三角形ABC时已经假设了等周不等式成立,因此可以得到:a+b>cb+c>aa+c>b所以,我们可以将它们相加,得到:2(a+b+c)>(a+b+c),即 a+b+c>0。
等周不等式初探

中学数 学研 究
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等周不等 式初探
广东省广州 市第二 中学 (510530) 胡方杰
摘 要 等周 定理,也称 为等周 不等 式,具 有悠 久 的历史,
(B)在具有 给定 面积的所有平 面图形 中,圆具有 最小 的
经典 的等周 不等式 是指平 面 内给定周 长的任 意简单 封闭 曲 周长 .
t< ,i= 1,2,… ,n,且 ∑ OZi= 7r.于是,P 被过切 点 的半 径 分 为 n个 四 边 形,容 易 计 算 ff{P 的 面 积 和 周 长 为 :A = tanOZ1+ tanOL2+ … +tanOt ,L = 2A.特别 地,当 P 为 正 几边 形 时,由 于 n.& = 7r,即 n = ,则
线所 围成 区域面积 不超 过同样周 长圆所围圆盘的面积 ,区域 达到最 大面积 当且仅 当给定 曲线是 圆.等周 不等式可推广 到 高维 ,三 维时是 指给定 面积 的所 围区域 中,球具 有最 大的体 积.本 文以等周 不等式 为 中心,介绍 平面 以及 三维空 间 中的 一 类 等周 不等式.首先从 最简单 的三角形 人手 ,讨论 等周不 等式 等号成 立 的条 件,然 后推广 到 佗边形 的情形,再 考虑平 面上一般 区域上 的等周不等式,并给 出了几种不 同的证 明.
定理 1.1 (A)在具有 给定周长的所有平面 图形 中,圆具 可 以知道,当 (L一 2a)(L一2b)(L一2c)最大 时,16A。也最
有最大 的面积 .
大,即 最 大.又 由均值 定理 “算 术平均 数大 于等于几 何平
中学数 学研 究
Байду номын сангаас
2018年 第 8期 (上)
变分法证明等周定理

变分法证明等周定理摘要:一、引言二、变分法的概念和原理1.变分法的起源和发展2.变分法的定义和基本原理三、等周定理的定义和性质1.等周定理的概念和背景2.等周定理的重要性质四、变分法证明等周定理的过程1.变分问题构建2.求解变分问题3.证明等周定理五、结论正文:一、引言变分法是一种重要的数学方法,广泛应用于物理、力学、工程等领域。
本文主要介绍如何利用变分法证明等周定理,首先简要回顾一下变分法的概念和原理,然后阐述等周定理的定义和性质,最后详细介绍变分法证明等周定理的过程。
二、变分法的概念和原理1.变分法的起源和发展变分法起源于古希腊时期,经过众多数学家的努力,逐渐发展成为一种重要的数学方法。
著名的数学家欧拉、拉格朗日、哈密顿等都是变分法的奠基者和重要推动者。
2.变分法的定义和基本原理变分法是一种求解最优化问题的数学方法,其核心思想是将问题转化为求解泛函极值问题。
具体来说,给定一个目标函数和一个泛函,变分法的任务是寻找一个使目标函数达到极值的变分解,即最优解。
三、等周定理的定义和性质1.等周定理的概念和背景等周定理,又称等周不等式,是几何学中的一个著名定理。
它表明,在给定周长的所有简单多边形中,正多边形具有最大的面积。
该定理的发现可追溯至古希腊时期,对于理解和解决各种多边形问题具有重要意义。
2.等周定理的重要性质等周定理具有许多重要的性质,如对于任意给定的周长,正多边形的面积都是最大的;当正多边形的边数增加时,其面积无限接近于圆的面积等。
四、变分法证明等周定理的过程1.变分问题构建为了证明等周定理,我们采用变分法,首先构建一个变分问题。
给定一个周长为L 的多边形,我们设其边长为a_1, a_2, ..., a_n,并定义泛函J(a_1, a_2, ..., a_n) = ∫(a_1 + a_2 + ...+ a_n)dx。
2.求解变分问题接下来,我们需要求解这个变分问题,即求解使泛函J 达到极值的最优边长a_1, a_2, ..., a_n。
等周问题

等周问题等周定理等周定理,又称等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。
其中的“等周”指的是周界的长度相等。
等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中,以圆形的面积最大;另一个说法是面积相等的几何形状之中,以圆形的周界长度最小。
这两种说法是等价的。
它可以以不等式表达:若为封闭曲线的周界长,为曲线所包围的区域面积,。
虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。
首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。
之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。
等周问题有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。
在物理中,等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关。
一个直观的表现就是水珠的形状。
在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体。
这是因为当水珠体积一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。
根据等周定理,最小值是在水珠形状为球状时达到。
历史一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”,从而使得面积更大而周长不变。
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式,它的出现可以追溯到很早以前。
这个问题可以被表述为:在平面上所有周长一定的封闭曲线中,是否有一个围成的面积最大?如果有的话,是什么形状?另一种等价的表述是:当平面上的封闭曲线围成的面积一定时,怎样的曲线周长最小?虽然圆看似是问题的表面答案,但证明此事实其实不易。
首个接近答案的步骤出现在1838年——雅各·史坦纳以几何方法证明若答案存在,答案必然是圆形[1]。
不久之后他的证明被其他数学家完善。
其方法包括证明了不完全凸的封闭曲线的话,能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形,以增加面积;不完全对称的封闭曲线能以倾斜来取得更多的面积。
圆,是完全凸和对称的形状。
可是这些并不足以作为等周定理的严格证明。
等周问题与不等式

等周问题 与 不等式成 飞公众号:保险客栈(浙江.宁海) 315600摘要:等周问题是希腊数学家帕波斯《数学汇编》中一个突出例子:在周长相等的平面图形中,圆的面积最大。
它最初和对周长(或周边)相同的图形的研究有关。
1838年雅各.斯塔纳以几何方法证明若答案存在,答案必然是圆形。
第一个严格证明是由Weierstrass 在1870年给出。
1902年,Hurwitz 利用傅里叶级数和格林定理证明了等周问题。
下面我用不等式证明等周问题。
关键词:等周问题;Cauchy 不等式;Jensen 不等式;Cauchy 不等式定理:成比例,取等号。
与或者当iiiini ini ii ni i b a b a b ab a 0,,)(121221=≤∑∑∑=== Jensen 不等式定理:设 φ是[a,b]上的凸函数,则对于任意[]方向。
为凹函数,不等号改变当(则不等式简化为令有且ϕϕϕϕ.),1)(,0p ,,...,2,1,0,,nxnxp px p p x p n k p b a x kkkkk kk kkkk k kk k kk k k ∑∑∑∑∑∑∑≤=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡>=≥∈在证明等周问题中,凸多边形内部一点到边的垂线的垂足落在边内,内一点与凸多边形顶点连线可以分解成若干个三角形。
在相同周长情况下,凸多边形显然比凹多边形具有更多面积。
首先,我们证明周长相等n 多边形中,正n 多边形面积最大。
设正n 多边形边长为a ,周长为L=na 。
正n 多边形中心角nπα2=,那么面积na n S 22tan42π⨯=正。
若任意n 多边形被多边形内部任一一点中心与边2点连线把多边形分割成n 个任意三角形,那么通过多边形中心可以作n 条垂线,垂线把n 多边形的边长i b 分成分成2部分i i b b 212,-,同时也把中心到多边形一边的两端点夹角i β也分成2部分i i 212,ββ-。
n 多边形周长na b b b b L n n =++++=-21221...... 任意n 多边形面积可表示为:正多是凹函数,所以上式阶导数其(不等式定理,令根据式再根据平方不等式,上根据平方不等式,上式不等式定理,上式根据S nna n na nna x x xx nsen J b b b b b b b b b b b b b b b b uchy C b b b b S n n nn n n n n n n n n n n n n n n nnn n ==⨯≤++++⨯=≤=++++∙++++⨯≤++++∙++++⨯=++++++++⨯≤++++∙++++⨯≤++++=-----------22tan422tan 142tan 1tan 1...tan 1tan 14)(,0)(2,tan 1)e )tan 1tan 1......tan 1tan 1()......(21)tan 1tan 1......tan 1tan 1()......(21)tan 1tan 1......tan 1tan 1()......(21)tan 1tan 1......tan 1tan 1()......(21a tan 2tan 2......tan 2tan 222212212"2122122122121221222122221221221222212222122122221242412424122212212222121ππββββϕϕϕββββββββββββββββββββ所以,周长一定n 多边形中,正n 多边形面积最大。
由等周不等式讨论均匀分布

∈ (, ] o
【 . 0 其它
’ 4 丌
(5 1) .
(.) 15
z< O
F)j ’< ≤丌 (一警, 、 篆 o 4 L z
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() 1 . 6
进一步 可 以求 出 A 的期 望 与方差 分别 为 :
r 2 r 4
E( )一 A
基金项 目: 里学院 21 凯 0 0年课 题 ( S 0 0 9 . J 2 10 )
收 稿 日 期 : O O一 1 1 21 2— 0
作 者 简 介 : 光 辉 ( 9 5 ) 男 ( 族 ) 贵 州 贵 阳人 , 教 , 士 , 要 从 事概 率 统 计 研 究 李 18 一 , 汉 , 助 硕 主
第 2 期
李 光辉 , : 等 由等 周不 等式 讨论 均匀 分布
1 3
大 内接 圆 的半 径 ; 2表 示 了 ( . ) 的 右 端 , △ ( )的上 界 , 中 图 13 式 即 zK 其 圆 与 最 小 曲率 圆 的 半 径 .
, 分 别 表 示 了 凸 集 K 的 最 大 曲 率 l D
一 L 1
(. ) 31
引理 2 1 ] 设 K。 K2 平 面 R 1 0 , 为 上 的凸集 , K K2 如 已知一 随机 点 P落人 K 则 P也 落人 K 且 c , 2 , z
的条件概 率是 K 与 K:的面 积之 比:
P{ P∈ KlP∈ Kz 一 I )
2 11年 0
青 海师范 大学学 报( 自然科 学版 )
J u n lo n h i r lUnv riy Na u a ce c ) o r a fQig a No ma i est ( t rlS in e
关于生灭过程的Cheeger型等周不等式_英文_

|G(j ) − G(i)| < +∞, |ρ(j ) − ρ(i)|
(2.1)
(i+1)−G(i)| which is equivalent to ||G||Lip(ρ) = supi≥0 |G < +∞. The space of all ρ-Lipschitz ρ(i+1)−ρ(i) functions is denoted by CLip(ρ) . Throughout this paper, we assume that ρ ∈ L1 (π ) and 0 denote by (CLip( Gdπ = 0. ρ) , || · ||Lip(ρ) ) the space of all ρ-Lipschitz functions with π (G) := 0 In addition, || · ||Lip(ρ) is a norm restricted to CLip(ρ) . Consider the Poisson equation −LG = g. (2.2) 0 By definition, we say that L has a spectral gap in CLip( ρ) if 0 is an isolated eigenvalue of 0 −1 0 0 −L in CLip(ρ) , or equivalently (−L) : CLip(ρ) → CLip(ρ) is bounded. The usual Lipschitzian 0 norm of (−L)−1 on CLip( ρ) :
k≥1
π ([k, +∞))
k−1 j =0
πj ϕ(j ) + π ([0, k ))
+∞ j =k
等周不等式与Bol_Fujiwara定理_何刚

Vol.26(2006) No.3,pp309-311数学杂志J.o f Math.(PRC)等周不等式与Bo-l Fujiwara定理*何刚(遵义师范学院数学系,贵州遵义563002)摘要:本文研究著名的Bo-l Fujiwar a定理.利用积分几何方法和经典的等周不等式,得到了Bo-l Fujiwar a定理的一个推广(定理1),以及推广了的Bo-l Fujiwa ra定理的逆定理(定理2).关键词:域;等周不等式;凸集;测度;曲率MR(2000)主题分类号:52A22;53C65中图分类号:O186.5文献标识码:A文章编号:0255-7797(2006)03-0309-03经典的等周不等式是几何中最早用基本的几何不变量刻划购平面几何图形的几何不等式,即平面上固定周长L的所有域D中,园盘所界的面积A最大.或者面积A固定的全体平面域D中,圆盘具有最短的周长L.更一般地:设D为平面上具有简单光滑闭曲线围成的区域,其面积为A,周长为L,则不等式L2-4P F\0(1)成立.等式成立的充分必要条件是D为圆盘.对于平面上区域D,其等周亏格定义为v(D)=L2-4P A.(2)经典的等周不等式(1)表明v(D)\0,即v(D)刻划了区域D与圆盘的/差别程度0即/亏格0.积分几何起源于Buffon投针实验,Cr ofton讨论了几何元素集的测度,H arr定义了运动群的测度,陈省身与Weil将向部紧群上的不变测度引入积分几何,把积分几何理论推向新阶段,德国数学家Blaschke对积分几何贡献巨大.等周不等式最传统的巧妙证法是A,H urw it(1902),E.Schmidt(1939).独特的积分几何证法属于Santalo[3],任德磷和周家足[2、3、4、5、6].周家足还用积分几何方法得到了空间域的一些新的几何不等式.本文我们用任德鳞和周家足的思想方法,得到了一个推广的Bo-l Fujiw ara定理(定理1)和逆定理(定理2).平面上一子集K,如果当x,y I K时,连结x,y两点之连线x y A K,则称K为凸集.对于任意域D,取D*为D的凸壳(convex hull),即点集D*=Gx,y I Dx y,则有L*[L和D*\D,因而L2-4P A\L*2-4P A*.因此证明(1)时只须证明当D为凸域的情形.定理1设D为平面上的具有光滑边界5D的域,如D不是圆盘,设G2为平面上的运*收稿日期:2004-10-01基金项目:贵州科技人才省长重点基金资助项目.作者简介:何刚(1963-),男,贵州遵义,讲师,研究方向:积分几何310数学杂志V ol.26动群,m为群G的测度.设m i=m{g I G2B D H gD XÁ,5D H g5D恰相交于i个点},则至少存在一个i\4,使m i>0.证首先设D为凸域,对D,gD运用Blaschke公式及对D,gD的边界运用Poincare 公式[2、3]Qdg=4P A+L2,(3)D H gD XÁQdg=4L2.(4)5D H g5D XÁ其中dg为运动群G的密度(几何测度论中的H arr测度).设m为运动群G的测度,令m i=m{g I G2B D H g D XÁ,5D H g5D恰为i个点},注意D不能包含其本身,即m0=m{g I G2B D H gD XÁ,5D H g5D=Á}=m{g I G2B gD=D或者gD A D}=0.并且当5D与g5D的交点为奇数时,D与gD处于相切位置,这些g构成零测度集.即当i为奇数时,m i=0.如果D H gD XÁ时全曲率c(5(D H gD))=Q5(D H gD)J ds=2P V(D)=2P,其中J为5(D H gD)的曲率,V为Euler示性数,当5D与g5D交于n个点时,这些位置被n次重复地计入,因而由(3)和(4)式,有:m2+m4+m6+,=4P A+L2,(5)2m2+4m4+6m6+,=4L2.由以上二式得到v(D)=L2-4P A=m4+2m6+3m8+,(6)因D不是圆盘,从而v(D)>0.因m i\0,由(6)式知至少存在一个i\4,使m i>0.如果D不是凸的,则取D的凸壳D*,对应测度记为m*i,则由(6)式知m4+2m6+3m8+,\m*4+2m*6+3m*8+,因而存在i\4,使m i>0.原来的Bo-l Fujiw ara定理中的D假定是凸域.设D的边界5D为光滑的,且记其边界的曲率半径的最大值和最小值分别为Q M和Q m,则有P2(r e-r i)2[v(D)[P2(Q M-Q m)2.(7)上式中第一个不等式是Bonnesen等周不等式.其中的r e和r i分别是含D的最小外接园半径和含于D内的最大内接圆半径.以上证明表明(7)式即为P2(r e-r i)2[m4+2m6+3m8+,[P2(Q M-Q m)2.(8) (8)式的几何意义不言而明,即以下Bo-l Fujiw ara定理的逆定理.定理2设D为平面区域,G2为平面上的运动群,设m i=m{g I G2B D H gD XÁ, 5D H g5D恰相交于i个点}.如果对一切i,m i=0,则D为圆盘.应该注意P.Go odey[1]和M.Woo dco ck对于欧氏平面的凸域有一个较强的结论,他们的定理仅需要平移变换群而不是整个运动群.参考文献:[1] Go odey P.,Woo dcock M.Inter sectio n o n Convex Bodies w ith T heir T r anslatio ns[M ],T he Geo metricV ein,Spring er V erlay,New yo rk,1981.[2] Ren D.,T o pics in Integr al G eometr y[M ].W or ld Scient itic,Sing apore,1994.[3] Sant alo L.,Integr al G eometr y and G eo metric Pr obability [M ].A ddiso n -W esley Publishing Company ,1976.[4] Zhou J.O n Bonnesen -type isperimatric inegualities [A ].Pr oceeding s of the 10th I nter nat ionalWo rkshop on Differ entia l Geo metry[C].Ko rea,2005.[5] Zhang G.and Zhou J.,Co nt ainment measures in integ r al g eometr y[M ].Wo rld Scientif ic,Sing npo re,2005.[6] 周家足,积分几何与等周不等式[J].贵州师范大学学报,2003.1:1-4.THE ISOPERIMETRIC INEQUALITYAND THE BOL -FUJIWARA THEOREMH E Gang(D ep t.of M ath.,Zuny i N or mal College,Zuny i 563002,China)Abstract:In this paper,we inv est igat e the kno wn Bo-l F ujiw ara theo rem.We o bt ain a g ener alized Bo-l Fujiw ar a theor em (T heor em 1)and the rever se t heo rem (T heo rem 2)of the generalized Bo-l F ujiw ara theo rem by method of integ ral geo met ry and the classica l iso per imetric inequality.Key words:doma in;isoperimetric inequality ;convex set ;measur e;curvat ur e2000M R Subject C lassification:52A22;53C65311 No.3 何 刚 等周不等式与Bo-l Fujiwar a 定理。
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3.2. 逆 Bonnesen-型等周不等式
与 Bonnesen-型等周不等式相对应,人们自然而然会考虑如下形式的逆 Bonnesen-型等周不等式,即
∆n ( K ) =An − nnωnV n−1 ≤ U K
数学研究者们最初借助微积分和变分学,建立平面等周不等式的一些严格的数学证明,其证明方法 的复杂性使得学者们在将等周不等式从平面推广到空间时也存在一定的缺陷。上个世纪三十年代,德国 数学家 Blaschke 等人首次提出了“积分几何”这一术语,“积分几何”的提出为等周不等式的研究打开 了新的思路(参见[6] [11])。以周家足、任德麟为代表的中国几何学者,利用包含测度的思想,研究欧式 空间中一域包含另一域的包含测度,在后来的研究中,该思想成为积分几何不等式的一个重要思想方法, 并在二维以及高维欧式空间的情形得到了等周不等式和一系列重要的不等式[12]。
Abstract
The isometric inequality is one of the oldest geometric inequalities and is widely used in academic research and our daily life. This paper explores the historical development process of the iso-type inequalities and the development of the iso-type inequalities in recent years. In addition, this paper also makes a reasonable outlook and discussing on the future development trend of the iso-type inequalities.
最早的几何不等式应该是著名的等周不等式,该不等式具有悠久的历史。等周问题最早由著名数学 家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出,从等周定理的提出到现在,人们关于等周问题的研究与讨论从未停 止过,研究成果不断的推陈出新,使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣,可以说等周定理是数学史上 被证明次数最多的定理之一。
Exploration on the Isoperimetric Inequalities
Xin Chen, Xiang Gao*
School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao Shandong
Received: Apr. 17th, 2019; accepted: Apr. 28th, 2019; published: May 9th, 2019
对于 K 为二维欧式平面上的严格闭凸曲线所围成的区域的情形,Bottema 于 1933 年得到如下著名的结果 [23]:
∆2 ( K ) =L2 − 4πA ≤ π2 ( ρM − ρm )2
其中 ρM 和 ρm 分别为曲率半径 ρ 的最大值和最小值,等号成立当且仅当 ρM = ρm ,即 K 为圆域。 1955 年,Pleijel 加强了 Bottema 的结果[24]:
等周问题是几何中一类最大最小值问题。早在古希腊时期,经典的等周不等式就已经被人们所知晓, 等周问题最早由著名的数学家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出,人们经历两千年的时间才完成它的证明, 以经典等周不等式为中心,它的推广工作到如今还在不断地进行。
十九世纪时,Steiner 从直观上提出了平面等周不等式问题解的存在性[4]。直到 1870 年,Weistrass 才用变分法给出了等周定理的第一个完整严格的数学证明[5]。1902 年时,A. Hurwitz 利用 Fourier 级数和 Green 定理给出了等周不等式的第一个纯解析证明。1939 年,由 E. Schmidt 给出了等周不等式的一个简 化证明。上世纪,等周不等式已经有了许多精巧的证明(参见[6] [7] [8] [9]),等周不等式还被推广到曲面 上的曲线和区域、以及非欧平面上(参见[9] [10])。
20 世纪 80 年代杨路、张景中等教授对几何不等式研究的一系列开创性的工作成果,将我国几何不 等式的研究推向高潮,涌现出一大批高产高水平的作者群,如杨学枝、陈计、王振等等。无论是就数量 而言还是就研究水平而言,在国际上都可以说是处于领先地位。特别是中国科学院成都计算机研究所杨 路研究员研究开发的不等式型机器证明软件 BOTTEMA 问世以来,借助这种软件可以发现并证明上千个 新的几何不等式。这些开拓性的工作,更是在国际上处于领先地位[1]。
3.1. Bonnesen-型等周不等式
在研究经典等周不等式的同时,几何不等式的研究者们已经不再仅满足于对经典等周不等式的简化 证明的探索,在 1920 年前后,Bonnesen 得到一系列具有下列性质的不等式:
L2 − 4πA ≥ B 其中 B 是与 γ 相关的几何不变量且满足:1) B ≥ 0 ;2) B = 0 当且仅当 γ 为圆。平面中,最著名的 Bonnesen型不等式为:
准球的差别程度。在 n 维情况下,Hadwiger 和 Dinghas [16]得到了如下结果:
n
1
n
A Ar
n−1
−V Vr
≥
A Ar
n−1
−1
其中 Ar 和Vr 分别为域 K 的内切球表面积和内切球体积。 自上世纪以来,数学家们已经得到了很多的不变量 BK ,且如今对 Bonnesen-型等周不等式的研究仍
从实用性的角度来看,在数学家正式提出等周定理之前,人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个 定理了,比如:人们使用定长的绳子圈地的过程中,当绳子以圆形的方式圈地时,得到的土地面积最大 [2];在寒冷的冬季,人类或者动物会缩成一团,为的就是在体积一定的情况下,尽量缩小自己的表面积, 减小热量的损失[3];在物理中,等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关,一个直观的表现就是水珠 的形状,在没有外力的情况下(如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体,这是因为当水珠体积 一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值,根据等周不等式的原理,最小值在水珠形状为球状 时达到……
学者们将 Bonnesen-型等周不等式推广到了 n 维欧式空间中,即数学家们对以下形式的不等式更感兴趣:
∆n ( K ) =An − nnωnV n−1 ≥ BK
其中 BK 非负且 BK 为零时当且仅当 K 为球。 ∆n ( K ) 称为区域 K 的等周亏格, ∆n ( K ) 刻画了区域 K 与标
L2 − 4πA ≥ π2 (re − ri )2
其中 re 和 ri 分别为曲线 γ 的最小外接圆半径和最大内接圆半径。
DOI: 10.12677/pm.2019.93043
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理论数学
陈欣,高翔
在过去的一个多世纪里,一系列的 Bonnesen-型等周不等式已经被发现[12] [13] [14] [15]。很久之后,
的体积最大。严格的表述为:
定理 2.2.1 设 K 为欧式空间 Rn 中表面积为 A,体积为 V 的域,则有不等式
An − nnωnV n−1 ≥ 0
等号成立的充分必要条件是 K 为 Rn 中标准球。其中 ωn 为 Rn 中单位球的体积,其计算公式为
ωn
=
2πn 2nΓ来自 n 2
3. 等周型不等式发展现状
定理 2.1.1 若 γ 是二维欧氏平面上一简单严格闭凸曲线, γ 的周长为 L,曲线所围区域的面积为 A,
DOI: 10.12677/pm.2019.93043
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理论数学
陈欣,高翔
则有 等号成立当且仅当曲线 γ 为圆。
L2 − 4πA ≥ 0
2.2. 高维欧式空间情形
在平面等周不等式发展的过程中,人们将其推广到 n 维欧式空间中。空间等周不等式可表述为:在 一切具有相同体积的立体形状中,球体具有最小的面积或者欧式空间 Rn 中表面积固定的域中,球所包围
因此,等周型不等式的研究对于数学和物理学等领域的发展均具有重要的研究意义。
2. 经典等周不等式介绍
2.1. 平面情形
在几何问题的研究中,我们非常关心一些几何元素的几何不变量,如体积、表面积、周长、曲率等 之间的关系。通常这些几何不变量满足一些等式或不等式关系,我们称之为几何等式或几何不等式。等 周不等式是几何不等式的重要分支,其经典等周不等式可以表述为:
摘要
等周不等式是最古老的几何不等式之一并且被广泛地应用于学术研究和日常生活中。本文探索了等周型 不等式的历史发展过程,以及近年来国内外关于等周型不等式的发展情况。此外,本文还对等周型不等 式的未来发展趋势进行了合理的展望和探讨。
关键词
等周型不等式,Bonnesen-型不等式,积分几何,傅里叶级数
*通讯作者。
文章引用: 陈欣, 高翔. 关于等周型不等式的探索[J]. 理论数学, 2019, 9(3): 323-329. DOI: 10.12677/pm.2019.93043
陈欣,高翔
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∆2 ( K ) =L2 − 4πA ≤ π (4 − π)( ρM − ρm )2
近年来,逆 Bonnesen-型等周不等式的结果日益丰富,如潘生亮,周家足,Howard,Klain 等[12] [25] [26] [27] [28] [29]致力于逆向 Bonnesen-型等周不等式的研究,已经得到了很多有价值的结果。此外,国 内还有大量学者,如高翔[30] [31] [32] [33],何刚[34],戴勇[35] [36] [37],张增乐[38]等还在继续不懈努 力地寻求那些未知的逆向 Bonnesen 型等周不等式,其中高翔,徐慧平等人还利用 Fourier 级数等相关性 质对等周型不等式的稳定性进行了深入的探讨和研究。n 维空间中的逆向 Bonnesen-型等周不等式的研究 在今年也得到了一定的发展,但结果相对较少,该研究方向在未来有待进一步的研究。