概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念

( X ) ~ t (n 1) S/ n
定理 2 (两总体样本均值差的分布)
设X ~ N ( 1, 2 )，Y ~ N ( 2 , 2 )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X m 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn 是
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值, S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
服从t分布？
3. F分布 定义：设 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X与Y相互独立, 则称统计量 X n1
F Y n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自 由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
F分布性质1 若X~F(m,n)， 则1/X~F(n,m)
Max=1572, Min=738, 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139140 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 分区区间 (735,875] (875,1015] 频数 6 8 频率 0.2 0.27 累计频率 0.2 0.47
3
4 5 6 合计
(1015,1155]
X (k ) X (k ) ( X1, X 2 , x1 , x2 ,
, X n ), k 1,
, n, , X n的观察值
其中X ( k )的观察值是样本X 1 , X 2 , 则称X (1) , , X ( n )为次序统计量。
, xn中由小到大排列后的第k 个数值,
X ( n ) max{ X1 , , X n }为最大次序统计量
则有
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (m n 2) 1 1 Sw m n
2 2 ( m 1) S ( n 1) S 2 1 2 Sw mn2
定理 3 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X m是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn 是
0, 1 , 8 2 , 8 3 , 8 Fn ( x) 5 , 8 6 , 8 7 ， 8 1, x 25, 25 x 27, 27 x 30, 30 x 33, 33 x 35, 35 x 45, 45 x 65, 65 x.
总体、样本、样本值的关系 总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
§6.2
■统计量
设X1,X2, …,Xn是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn) 是样本的实值函数，且不包含任何未知参数， 则称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
X (1) min{ X1 , , X n }为最小次序统计量
频数/频率直方图
某地区30名2000年某专业毕业实习生实习期满后的 月薪数据如下：
909 1091 967 1232 1096 1164 1086 1071 1572 950 808 971 1120 1081 825 775 1224 950 999 1130 914 1203 1044 866 1320 1336 992 1025 871 738 A. 构造该数据的频率分布表(组数为6) B. 画出直方图
(1155,1295] (1295,1435] (1435,1575]
9
4 2 1 30
0.3
0.13 0.07 0.03 1
0.77
0.9 0.97 1.0
经验分布函数
设X1,X2, …,Xn是取自总体X的样本，对应的次 序统计量为X(1) X(2) … X(n) ，当给定次序 统计量的观测值x(1) x(2) … x(n)时,对任意实 数x，称下面函数为总体X的经验分布函数。
2.已知F分布的分位点F0.05(9,12)=2.8, F0.05(12,9)=3.07,则F0.95(12，9)=（ ）
三、正态总体的抽样分布
定理1：设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(μ,σ2) 的样本，则
X ~ N ( ,
2
n
)
2
(n 1) S 2

2
~ (n 1)
2
X与S 相互独立
F分布性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问c=( )统计量
c
2 X i 3 i 1 n
X
i 4
2 i
服从F分布？
抽样分布的分位点
设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使
P ( n)
t1 (n) t (n)
设α为给定的常数，且0<α<1. 若存在Fα (m,n)使
PF F (m, n)
F ( m , n )
f ( y )dy
其中f(y)为 F的概率密度，则称点 Fα (m,n)为 F分布关于α的上侧分位点。
1 F (m, n) F1 (n, m)
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布 记为
2
~ (n)
2 2
分布的密度函数为
2
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t dt, x 0 0 来定义.
2 1 2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值，S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
S ~ F (m 1, n 1) S
2 1 2 2 2 1 2 2
分位点的性质
(1) u1 u (2)
t1 (n) t (n)
1 (3) F (m, n) F1 (n, m)
回顾1. 设X1 ,X2 ,X3, X4是来自总体N(0,4)的简单 随机样本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，问当 a,b为何值时，统计量X服从 2分布 .
•容量为n的样本可以看作n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)
一旦取定一组样本，得到的是n个数 (x1,x2,…,xn)，称为 样本的一次观察值，简称样本观测值 .
简单随机样本
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为n的 样本。若它满足 (1)独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； (2)同分布性，即每个Xi都与总体X服从 相同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称 为样本。
2
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为T～t(n).
T的密度函数为：
[( n 1) 2] f n ( x) (1 n (n 2) n
2 n 1 x ) 2
例3.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,4) 的样本，试问c=( )统计量
c X1
X
i 2
n
2 i
2 2



2
( n )
f n ( x)dx
其中 fn(x) 为 χ2 的概率密度，则称点 χα2(n) 为 χ2分布关于α的上侧分位点。
设α为给定的常数，且0<α<1. 若存在tα (n)使
PT t (n)
t ( n )
f n (t )dt
其中fn(t)为T的概率密度，则称点tα (n)为 t分布关于α的上侧分位点。
■抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又 是随机变量，故统计量也是随机变量，它的 分布叫做统计量的“抽样分布” .
■统计三大分布
1. 分布
定义: 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2
Leabharlann Baidu
X X2 Xn
2 2 1 2
第六章 数理统计的基本概念
§6.1
■总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体，
总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的寿命
■样本 为推断总体分布及各种特征，随机地从总 体中抽取若干个体进行观察试验，这一抽取过 程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.
t x 1

性质1(可加性) Y1 ~χ2(m)， Y2 ~χ2(n)，Y1与Y2独立， 则Y1 +Y2 ~ χ2(m+n)
性质2(数字特征) 若χ2 ~χ2(n)，则 E(χ2)=n，D(χ2)=2n
2. t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n
常用统计量
样本均值
1 X Xi n i 1
样本方差
n 1 2 2 S (Xi X ) n 1 i 1
n
样本k阶原点矩
1 k Ak X i n i 1 1 n k Bk ( X i X ) n i 1
n
样本k阶中心矩
次序统计量 设X 1 , X 2 , , X n为总体X 的样本, 函数
0, k Fn ( x) n 1, x x(1) , x( k ) x x( k 1) , k 1, 2 x( n ) x. n 1,
例1：从总体X中抽取容量为8的样本，其观测值为 33，45，25，33，35，65，30，27。 试求X的经验分布函数。 解：将样本观测值由小到大排序得 25<27<30<33=33<35<45<65